2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第07講 一元二次方程的應(yīng)用

第07講一元二次方程的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．通過(guò)分析具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問(wèn)題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟；2.通過(guò)列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰；驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義

答：寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)。

注意：列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程應(yīng)用題的主要類(lèi)型1.數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1；幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2。如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問(wèn)題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題

利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

5.圖形面積問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.這是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.考點(diǎn)01：傳播問(wèn)題例題1．春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感．(1)每輪傳播中平均一人傳染幾個(gè)人？(2)經(jīng)過(guò)三輪傳染后會(huì)超過(guò)700人患流感嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-1】學(xué)?！白匀恢馈毖芯啃〗M在野外考查時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長(zhǎng)規(guī)律，即植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，現(xiàn)在一個(gè)主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強(qiáng)的病毒，會(huì)引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉及范圍廣等特點(diǎn)，在學(xué)校、游戲廳等聚集性場(chǎng)所易引起暴發(fā)．假設(shè)有一個(gè)人感染了該病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人．【變式1-3】在人群密集的場(chǎng)所，信息傳播很快，某居委會(huì)有3人同時(shí)得知一則喜訊，經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)，那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，列方程為．考點(diǎn)02：增長(zhǎng)率問(wèn)題例題2．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）隨著旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，月份游客人數(shù)為萬(wàn)人，月份游客人數(shù)為萬(wàn)人．求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）新能源汽車(chē)節(jié)能，環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)，2022年某款新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量為20萬(wàn)輛，銷(xiāo)售量逐年增加，2024年預(yù)估銷(xiāo)售量為24萬(wàn)輛，求這款新能源汽車(chē)的年平均增長(zhǎng)率，可設(shè)這款新能源汽車(chē)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（

）A． B． C． D．【變式2-2】某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．要求每次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則得到的方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）新能源汽車(chē)已逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車(chē)經(jīng)銷(xiāo)商8月份至10月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車(chē)8月份銷(xiāo)售1000輛，10月份銷(xiāo)售1690輛．設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為．考點(diǎn)03：數(shù)字問(wèn)題例題3．已知一個(gè)數(shù)的平方與10的差等于這個(gè)數(shù)與10的和，求這個(gè)數(shù)．【變式3-1】（24-25九年級(jí)上·河北唐山·期中）兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積是195，則這兩個(gè)奇數(shù)的和為（

）A．26 B．28 C．或26 D．或28【變式3-2】一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大40，已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，則這個(gè)兩位數(shù)是．【變式3-3】（24-25九年級(jí)上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩(shī)歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”請(qǐng)你求周瑜去世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）考點(diǎn)04：營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題例題4．（24-25九年級(jí)上·江西九江·期中）某童裝專(zhuān)賣(mài)店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進(jìn)價(jià)為80元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為120元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量是20件，據(jù)測(cè)算，每件童裝每降價(jià)1元，平均每天可多售出2件．(1)若該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價(jià)多少元？(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【變式4-1】（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）某水果經(jīng)銷(xiāo)商批發(fā)了一批水果，進(jìn)貨單價(jià)為每箱50元，若按每箱元出售，則每天可銷(xiāo)售箱．現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價(jià)元，每天的銷(xiāo)量就會(huì)減少箱．設(shè)該水果售價(jià)為每箱元．(1)用含的代數(shù)式表示提價(jià)后平均每天的銷(xiāo)售量為_(kāi)_____箱；（化為最簡(jiǎn)形式）(2)既要考慮經(jīng)銷(xiāo)商的利潤(rùn)，保證經(jīng)銷(xiāo)商每天可獲得元利潤(rùn)，又要讓利于消費(fèi)者，則這批水果應(yīng)按每箱多少元銷(xiāo)售？【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·山東棗莊·期中）2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十八運(yùn)載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛(ài)好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè)．(1)若每個(gè)模型降價(jià)5元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？(2)在每個(gè)模型盈利不超過(guò)25元的前提下，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？【變式4-3】超市銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利該店采取了降價(jià)措施，在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷(xiāo)售，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)每降低元，平均每天可多售出件．(1)若降價(jià)元，則平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為多少件；(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為1200元？考點(diǎn)05：圖形面積問(wèn)題例題5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問(wèn)題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是（）A． B．C． D．【變式5-1】圖①是一張長(zhǎng)，寬的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部分為4個(gè)完全相同的小矩形）并折疊成一個(gè)如圖②的底面積為的有蓋長(zhǎng)方體盒子．設(shè)該盒子的高為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【變式5-2】如圖，利用一面墻，用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，所圍矩形場(chǎng)地的面積為平方米，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【變式5-3】（22-23九年級(jí)上·四川成都·期中）學(xué)校停車(chē)場(chǎng)車(chē)位布局如圖所示．已知矩形停車(chē)場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為，共有五個(gè)等寬矩形停車(chē)區(qū)，其總面積為，其余部分是等寬通道，設(shè)通道寬．(1)用含的代數(shù)式表示：停車(chē)區(qū)寬為_(kāi)_____，停車(chē)區(qū)的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)停車(chē)場(chǎng)的通道寬為多少米？考點(diǎn)06：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例題6．如圖所示，中，，，．(1)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，、同時(shí)出發(fā)，問(wèn)幾秒后，的面積為？【變式6-1】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)，的面積是．【變式6-2】如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)由點(diǎn)開(kāi)始以的速度沿著邊勻速移動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，的面積等于？【變式6-3】如圖，在矩形中，，點(diǎn)從點(diǎn)沿AB向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)，兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為．(1)當(dāng)為何值時(shí)，；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積為．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）今年“十一”長(zhǎng)假某濕地公園迎來(lái)旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8萬(wàn)人，第三天的游客人數(shù)為3.2萬(wàn)人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪就會(huì)有64臺(tái)電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦可感染臺(tái)，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·期中）阿進(jìn)同學(xué)有一塊長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形紙板，他想制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子．為了合理使用材料，他設(shè)計(jì)了如圖所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來(lái)的邊角料，其中左側(cè)兩個(gè)空白部分為正方形．如果裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀相同），那么裁去的左側(cè)正方形的邊長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期中）某商家銷(xiāo)售某種商品，當(dāng)單價(jià)為10元時(shí)，每天能賣(mài)出200個(gè)，現(xiàn)在采用提高售價(jià)的方法來(lái)增加利潤(rùn)，已知商品單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就少10個(gè)，則每天的銷(xiāo)售金額最大為．5．（22-23八年級(jí)下·安徽滁州·期中）如圖，把一塊長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形硬紙板的四個(gè)角減去四個(gè)相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.若該無(wú)蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為，則可列方程為．6．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買(mǎi)椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢(qián)，倩人去買(mǎi)幾株椽．每株腳錢(qián)三文足，無(wú)錢(qián)準(zhǔn)與一株椽．”其大意如下：現(xiàn)請(qǐng)人代買(mǎi)一批椽，這批椽的價(jià)錢(qián)為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢(qián)．設(shè)這批椽的數(shù)量為，則根據(jù)題意可列一元二次方程：（化為一般式）．三、解答題7．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）化學(xué)是一門(mén)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了用高錳酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了名同學(xué)，這樣全班43名同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了．求的值．8．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期中）某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為3000元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為3500元/臺(tái)時(shí)，平均每天能銷(xiāo)售10臺(tái)；而當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降低20元時(shí)，平均每天就能多售出1臺(tái)．該商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，讓利于顧客，且想使這種冰箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)到6000元，那么每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？9．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)cm，cm；(用含x的式子表示)(2)若的面積為，求x的值．10．（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）某水果商店經(jīng)銷(xiāo)一種名為“陽(yáng)光玫瑰”水果，現(xiàn)進(jìn)行春日促銷(xiāo)，原價(jià)每千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量將減少10千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

第07講一元二次方程的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．通過(guò)分析具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問(wèn)題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟；2.通過(guò)列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰；驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義

答：寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)。

注意：列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程應(yīng)用題的主要類(lèi)型1.數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1；幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2。如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問(wèn)題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題

利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

5.圖形面積問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.這是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.考點(diǎn)01：傳播問(wèn)題例題1．春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感．(1)每輪傳播中平均一人傳染幾個(gè)人？(2)經(jīng)過(guò)三輪傳染后會(huì)超過(guò)700人患流感嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)8個(gè)人(2)會(huì)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，（1）設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個(gè)人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有人被感染，根據(jù)“有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用經(jīng)過(guò)三輪傳染后患流感的人數(shù)等于經(jīng)過(guò)兩輪傳染后患流感的人數(shù)，即可求出結(jié)論．【解析】（1）解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個(gè)人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有人被感染，根據(jù)題意得，，解得：（不符合題意，舍去）.答：每輪傳播中平均一人傳染8個(gè)人；（2）經(jīng)過(guò)三輪傳染后會(huì)超過(guò)700人患流感，理由如下：根據(jù)題意得：（人），∵，∴經(jīng)過(guò)三輪傳染后會(huì)超過(guò)700人患流感．【變式1-1】學(xué)?！白匀恢馈毖芯啃〗M在野外考查時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長(zhǎng)規(guī)律，即植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，現(xiàn)在一個(gè)主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由枝干數(shù)及每個(gè)枝干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，可得出個(gè)枝干上共長(zhǎng)出個(gè)小分支，結(jié)合一個(gè)主干上有主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解析】解：植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，個(gè)枝干上共長(zhǎng)出個(gè)小分支．根據(jù)題意得：．故選：C．【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強(qiáng)的病毒，會(huì)引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉及范圍廣等特點(diǎn)，在學(xué)校、游戲廳等聚集性場(chǎng)所易引起暴發(fā)．假設(shè)有一個(gè)人感染了該病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳染中平均一人傳染人，根據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可．【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一人傳染人，則第一輪有人感染，第二輪有人感染，根據(jù)題意可得：解得：或（不符題意，舍去），故答案為：．【變式1-3】在人群密集的場(chǎng)所，信息傳播很快，某居委會(huì)有3人同時(shí)得知一則喜訊，經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)，那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，列方程為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達(dá)，列出一元二次方程即可．【解析】解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，根據(jù)題意得：，即：．故答案為：．考點(diǎn)02：增長(zhǎng)率問(wèn)題例題2．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）隨著旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，月份游客人數(shù)為萬(wàn)人，月份游客人數(shù)為萬(wàn)人．求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．【答案】這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．【分析】本題考查了一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．設(shè)這兩個(gè)月的平均增加率為x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意，可得，解得，（不合題意，舍去）．答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）新能源汽車(chē)節(jié)能，環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)，2022年某款新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量為20萬(wàn)輛，銷(xiāo)售量逐年增加，2024年預(yù)估銷(xiāo)售量為24萬(wàn)輛，求這款新能源汽車(chē)的年平均增長(zhǎng)率，可設(shè)這款新能源汽車(chē)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)平均變化率的等量關(guān)系，增長(zhǎng)為加，降低為減，列出方程即可．【解析】解：由題意，可列方程為：；故選A．【變式2-2】某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．要求每次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則得到的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，熟練的掌握由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得等量關(guān)系“原零售價(jià)×（1-百分比）（1-百分比）=降價(jià)后的售價(jià)”列出方程即可．【解析】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，由題意得：．故答案選：A．【變式2-2】（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）新能源汽車(chē)已逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車(chē)經(jīng)銷(xiāo)商8月份至10月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車(chē)8月份銷(xiāo)售1000輛，10月份銷(xiāo)售1690輛．設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出方程即可．【解析】解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為故答案為：．考點(diǎn)03：數(shù)字問(wèn)題例題3．已知一個(gè)數(shù)的平方與10的差等于這個(gè)數(shù)與10的和，求這個(gè)數(shù)．【答案】這個(gè)數(shù)為或【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)“一個(gè)數(shù)的平方與的差等于這個(gè)數(shù)與的和”列方程求解．找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則：，整理得，因式分解得：，∴，，解得：，．則這個(gè)數(shù)為或．【變式3-1】（24-25九年級(jí)上·河北唐山·期中）兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積是195，則這兩個(gè)奇數(shù)的和為（

）A．26 B．28 C．或26 D．或28【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別為，由題意得方程，求得n的值，即可求得這兩個(gè)奇數(shù)的和．【解析】解：設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別為，由題意得：，即，解得：，而，故兩個(gè)奇數(shù)和為：或28；故選：D．【變式3-2】一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大40，已知十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，則這個(gè)兩位數(shù)是．【答案】64或75【分析】可設(shè)個(gè)位數(shù)字為，則十位上的數(shù)字是．等量關(guān)系：十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積這個(gè)兩位數(shù)．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．正確理解關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為，則十位上的數(shù)字是，根據(jù)題意得，整理，得，即，解得，（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，這個(gè)兩位數(shù)是64；當(dāng)時(shí)，，這個(gè)兩位數(shù)是75．答：這兩位數(shù)是64或75．故答案為：64或75．【變式3-3】（24-25九年級(jí)上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩(shī)歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”請(qǐng)你求周瑜去世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）【答案】周瑜去世時(shí)年齡為36歲【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符”以及十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)周瑜去世的年齡十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為，則根據(jù)題意：，整理得：，解得，，由題意，而立之年督東吳，則舍去，∴周瑜去世的年齡為歲，考點(diǎn)04：營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題例題4．（24-25九年級(jí)上·江西九江·期中）某童裝專(zhuān)賣(mài)店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進(jìn)價(jià)為80元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為120元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量是20件，據(jù)測(cè)算，每件童裝每降價(jià)1元，平均每天可多售出2件．(1)若該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價(jià)多少元？(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【答案】(1)該款童裝每件應(yīng)降價(jià)6元或24元(2)該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的八折出售【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．（1）設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價(jià)x元，則每天可銷(xiāo)售件，每件盈利元，根據(jù)該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這款童裝要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)要盡可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，得出該款童裝每件應(yīng)降價(jià)24元，求出售價(jià)，然后列式算出答案即可．【解析】（1）解：設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價(jià)x元，則每天可銷(xiāo)售件，每件盈利元，根據(jù)題意可得：，解得：，，答：該款童裝每件應(yīng)降價(jià)6元或24元；（2）解：由（1）可知，該款童裝每件可降價(jià)6元或24元，因?yàn)橐M可能減少庫(kù)存，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，所以該款童裝每件應(yīng)降價(jià)24元，此時(shí)，售價(jià)為：（元），．答：該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售該款童裝時(shí)應(yīng)按原售價(jià)的八折出售．【變式4-1】（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）某水果經(jīng)銷(xiāo)商批發(fā)了一批水果，進(jìn)貨單價(jià)為每箱元，若按每箱元出售，則每天可銷(xiāo)售箱．現(xiàn)準(zhǔn)備提價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價(jià)元，每天的銷(xiāo)量就會(huì)減少箱．設(shè)該水果售價(jià)為每箱元．(1)用含的代數(shù)式表示提價(jià)后平均每天的銷(xiāo)售量為_(kāi)_____箱；（化為最簡(jiǎn)形式）(2)既要考慮經(jīng)銷(xiāo)商的利潤(rùn)，保證經(jīng)銷(xiāo)商每天可獲得元利潤(rùn)，又要讓利于消費(fèi)者，則這批水果應(yīng)按每箱多少元銷(xiāo)售？【答案】(1)(2)應(yīng)按每箱元銷(xiāo)售【分析】本題考查列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列一元二次方程是解題的關(guān)鍵；（1）利用平均每天的銷(xiāo)售量提高的價(jià)格，即可用含的代數(shù)式表示出提價(jià)后平均每天的銷(xiāo)售量；（2）根據(jù)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)每箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可確定的值．【解析】（1）解：由題意得：（箱），故答案為：；（2）解：依題意得，，解得，，∵要讓利于消費(fèi)者，∴．答：若超市銷(xiāo)售該水果每天想要獲得元的利潤(rùn)，則應(yīng)按每箱元銷(xiāo)售．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·山東棗莊·期中）2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十八運(yùn)載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛(ài)好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè)．(1)若每個(gè)模型降價(jià)5元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？(2)在每個(gè)模型盈利不超過(guò)25元的前提下，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)30個(gè)，1050元(2)20元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用——盈利問(wèn)題，根據(jù)銷(xiāo)售問(wèn)題列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)降價(jià)，求出降價(jià)后得每件利潤(rùn)和每天得銷(xiāo)量，即可求出利潤(rùn)；（2）設(shè)每個(gè)模型降價(jià)元，則每件利潤(rùn)元，平均每天可以售出個(gè)模型，根據(jù)利潤(rùn)可列方程，解方程，再進(jìn)行取舍即可．【解析】（1）解：（個(gè)）；（元）．答：平均每天可以售出30個(gè)模型，此時(shí)每天獲利1050元；（2）設(shè)每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，又每個(gè)模型盈利不超過(guò)25元，．答：每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)20元．【變式4-3】超市銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利該店采取了降價(jià)措施，在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷(xiāo)售，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)每降低元，平均每天可多售出件．(1)若降價(jià)元，則平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為多少件；(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為1200元？【答案】(1)平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為件．(2)當(dāng)每件商品降價(jià)元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為元．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用平均每天的銷(xiāo)售量每件商品降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品降價(jià)元，則每件盈利元，平均每天可售出元，利用總利潤(rùn)=每件盈利平均每天的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，即可得出每件商品應(yīng)降價(jià)元．【解析】（1）解∶根據(jù)題意得∶(件)，答∶平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為件．（2）解：設(shè)每件商品降價(jià)元，則每件盈利元，平均每天可售出元，依題意得∶，整理得∶，即解得∶，，要讓顧客得到更大實(shí)惠，．答∶當(dāng)每件商品降價(jià)元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為元．考點(diǎn)05：圖形面積問(wèn)題例題5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問(wèn)題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確表示出圓的面積是解題關(guān)鍵．直接利用圓的面積減去正方形面積，進(jìn)而得出答案．【解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是：故選：B．【變式5-1】圖①是一張長(zhǎng)，寬的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部分為4個(gè)完全相同的小矩形）并折疊成一個(gè)如圖②的底面積為的有蓋長(zhǎng)方體盒子．設(shè)該盒子的高為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，設(shè)該盒子的高為，則紙盒底面的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)“紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是”即可列出方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)該盒子的高為，則紙盒底面的長(zhǎng)為，寬為，紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是，，故選：D．【變式5-2】如圖，利用一面墻，用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，所圍矩形場(chǎng)地的面積為平方米，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)度為【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)設(shè)的長(zhǎng)度為，得出，再結(jié)合矩形面積公式列式計(jì)算，即可作答．【解析】解：設(shè)的長(zhǎng)度為．則，由題可知，解得：，答：的長(zhǎng)度為．【變式5-3】（22-23九年級(jí)上·四川成都·期中）學(xué)校停車(chē)場(chǎng)車(chē)位布局如圖所示．已知矩形停車(chē)場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為，共有五個(gè)等寬矩形停車(chē)區(qū)，其總面積為，其余部分是等寬通道，設(shè)通道寬．(1)用含的代數(shù)式表示：停車(chē)區(qū)寬為_(kāi)_____，停車(chē)區(qū)的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)停車(chē)場(chǎng)的通道寬為多少米？【答案】(1)(2)5m【分析】本題主要考查代數(shù)式表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系，一元二次方程的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示中，矩形停車(chē)場(chǎng)的寬為，是停車(chē)區(qū)與兩條通道的寬的和，由此列式即可求解；（2）根據(jù)面積的計(jì)算方法即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意，得停車(chē)區(qū)的寬為：，停車(chē)區(qū)的長(zhǎng)為：，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，得，解得（舍去），∴停車(chē)場(chǎng)的通道寬為5米．考點(diǎn)06：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例題6．如圖所示，中，，，．(1)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，、同時(shí)出發(fā)，問(wèn)幾秒后，的面積為？【答案】(1)不能，理由見(jiàn)解析(2)秒、5秒或秒【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，對(duì)于（1），設(shè)經(jīng)過(guò)秒，線段能否將分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；對(duì)于（2），分三種情況：①點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上；②點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上；③點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上；進(jìn)行討論即可求解．【解析】（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒，線段能將分成面積相等的兩部分由題意知：，，則，，，，此方程無(wú)解，線段不能將分成面積相等的兩部分；（2）設(shè)秒后，的面積為，①當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)此時(shí)由題意知：，整理得：，解得：（不合題意，應(yīng)舍去），；②當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)此時(shí)，由題意知：，整理得：，解得：；③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，由題意知：，整理得：，解得：，，（不合題意，應(yīng)舍去），綜上所述，經(jīng)過(guò)秒、5秒或秒后，的面積為.【變式6-1】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)，的面積是．【答案】或時(shí)【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，利用三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合的面積是，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，依題意，得．整理，得，解得，，或時(shí)，的面積是．【變式6-2】如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)由點(diǎn)開(kāi)始以的速度沿著邊勻速移動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，的面積等于？【答案】當(dāng)5秒時(shí)，的面積【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，可得，，，再利用三角形的面積公式建立方程求解即可．【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由題意可得：，，∵，，，∴，∴，解得：或．當(dāng)時(shí)，，∴應(yīng)舍去，所以．∴當(dāng)5秒時(shí)，的面積．【變式6-3】如圖，在矩形中，，點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)，兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為．(1)當(dāng)為何值時(shí)，；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積為．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，(2)為或時(shí)，的面積為【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，∵，∴，解得：，即當(dāng)時(shí)，；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)為或時(shí)，的面積為；一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）今年“十一”長(zhǎng)假某濕地公園迎來(lái)旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8萬(wàn)人，第三天的游客人數(shù)為3.2萬(wàn)人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則第二天的游客為人，第三天的人數(shù)為人，則可列出關(guān)于x的一元二次方程．【解析】解：設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，列方程為：，故選B．2．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪就會(huì)有64臺(tái)電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦可感染臺(tái)，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，能夠正確表示每輪感染中，有多少臺(tái)電腦被感染是解決此題的關(guān)鍵．設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染臺(tái)電腦．則經(jīng)過(guò)一輪感染，1臺(tái)電腦感染給了臺(tái)電腦，這臺(tái)電腦又感染給了臺(tái)電腦．根據(jù)等量關(guān)系：經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有64臺(tái)電腦被感染求解即可．【解析】解：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染臺(tái)電腦，列方程得：，即．故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·期中）阿進(jìn)同學(xué)有一塊長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形紙板，他想制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子．為了合理使用材料，他設(shè)計(jì)了如圖所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來(lái)的邊角料，其中左側(cè)兩個(gè)空白部分為正方形．如果裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀相同），那么裁去的左側(cè)正方形的邊長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)裁去左側(cè)正方形的邊長(zhǎng)為，則折成的長(zhǎng)方體盒子的底面長(zhǎng)為，再根據(jù)矩形面積計(jì)算公式列出方程求解即可．【解析】解：設(shè)裁去左側(cè)正方形的邊長(zhǎng)為，則折成的長(zhǎng)方體盒子的底面長(zhǎng)為，由題意得，

整理得：，解得：(不合題意，舍去)

∴折成的有蓋盒子，裁去左側(cè)的正方形邊長(zhǎng)是，故選：D．二、填空題4．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期中）某商家銷(xiāo)售某種商品，當(dāng)單價(jià)為10元時(shí)，每天能賣(mài)出200個(gè)，現(xiàn)在采用提高售價(jià)的方法來(lái)增加利潤(rùn)，已知商品單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就少10個(gè)，則每天的銷(xiāo)售金額最大為．【答案】2250元【分析】根據(jù)銷(xiāo)售金額=單價(jià)銷(xiāo)售總量，進(jìn)行列式得出一元二次方程進(jìn)行解答即可．【解析】解：設(shè)售價(jià)上漲元，銷(xiāo)售金額元，則所以當(dāng)時(shí)有最大值，最大值為2250．故答案為：2250元．5．（22-23八年級(jí)下·安徽滁州·期中）如圖，把一塊長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形硬紙板的四個(gè)角減去四個(gè)相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.若該無(wú)蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為，則可列方程為．【答案】（方程形式不唯一）【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長(zhǎng)是，則紙盒底面的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：設(shè)剪去小正方形的邊