換元積分 法教學(xué)課件

換元積分法換元積分法運(yùn)用不定積分的線(xiàn)性運(yùn)算法則和基本積分公式，可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.為了求出一些更復(fù)雜函數(shù)的不定積分，我們來(lái)學(xué)習(xí)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的積分方法.通常的做法是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將某些比較復(fù)雜的被積函數(shù)變換成符合基本積分表中的形式，從而容易求出積分，這種積分的方法叫換元積分法.不定積分換元積分法通常分為第一類(lèi)換元積分法和第二類(lèi)換元積分法兩種.一、第一類(lèi)換元積分法例如，上節(jié)思考題中提到的積分：∫2xcosx2dx，觀察被積函數(shù)發(fā)現(xiàn)，不能用直接積分法積出，但被積表達(dá)式中的一部分2xdx如果湊微分變成dx2，再將積分變量換成變量u=x2,這樣被積表達(dá)式就和基本積分公式(7)相同了.因此，本題可這樣求解∫2xcosx2dx=∫cosudu=sinu+C=sinx2+C.

一、第一類(lèi)換元積分法上述這種解題方法的關(guān)鍵是將被積函數(shù)的一部分與dx湊微分，然后引入中間變量，把中間變量看成新的積分變量的情況下，被積函數(shù)就符合了基本積分公式的形式，利用積分公式求出結(jié)果，再把中間變量換回原變量即可，即如果不定積分∫g(x)dx不能直接利用基本積分公式求解，但被積函數(shù)g(x)可變形為

g(x)=f［φ(x)］φ′(x).

作變量代換u=φ(x)，并將φ′(x)dx湊微分成dφ(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量u的積分，于是有

∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du.

如果∫f(u)du可以求出，那么∫g(x)dx的問(wèn)題也就解決了，這就是第一類(lèi)換元積分法，又稱(chēng)為湊微分法.

一、第一類(lèi)換元積分法定理3(第一類(lèi)換元積分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x)是可微函數(shù)，則有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du.(5-3)

證因?yàn)椤襢(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得一、第一類(lèi)換元積分法【例14】求∫2xex2dx.解本題的關(guān)鍵是將2xdx湊微分得dx2，然后令u=x2，則∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.一、第一類(lèi)換元積分法【例15】一、第一類(lèi)換元積分法【例16】一、第一類(lèi)換元積分法(1)求不定積分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它們的導(dǎo)數(shù)都是被積函數(shù)，經(jīng)過(guò)恒等變形后可以互化，其結(jié)果本質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù).(2)熟練掌握第一類(lèi)換元積分法的運(yùn)用以后，可以省略寫(xiě)出引進(jìn)變量u的步驟.注一、第一類(lèi)換元積分法下面是常用的湊微分等式，請(qǐng)熟記，對(duì)以后解題大有幫助.一、第一類(lèi)換元積分法【例17】【例18】一、第一類(lèi)換元積分法【例19】【例20】一、第一類(lèi)換元積分法【例21】一、第一類(lèi)換元積分法【例22】【例23】一、第一類(lèi)換元積分法【例24】當(dāng)被積函數(shù)為兩個(gè)三角函數(shù)(正弦函數(shù)和余弦函數(shù))的一次乘積時(shí)，一般要先積化和差再積分.注一、第一類(lèi)換元積分法【例25】(5-4)(5-5)一、第一類(lèi)換元積分法【例26】(5-6)解凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先將復(fù)雜分式化成幾個(gè)最簡(jiǎn)單的分式，再積分.由于一、第一類(lèi)換元積分法【例27】一、第一類(lèi)換元積分法【例28】解本題的關(guān)鍵是首先要把被積函數(shù)分母中的前一項(xiàng)變成1，將1adx湊微分得dxa，而后利用第一節(jié)中基本積分公式(12).(5-7)一、第一類(lèi)換元積分法【例29】(5-8)一、第一類(lèi)換元積分法【例30】(5-8)一、第一類(lèi)換元積分法(5-9)(5-10)一、第一類(lèi)換元積分法【例31】一、第一類(lèi)換元積分法【例32】使用湊微分法的重點(diǎn)在于如何“湊”出一個(gè)函數(shù)的微分.一方面要求熟悉一些常見(jiàn)函數(shù)的微分形式；另一方面對(duì)那些不常見(jiàn)的，則不妨從被積函數(shù)中拿出一個(gè)表達(dá)式來(lái)，求其導(dǎo)數(shù)，從而決定如何湊微分.注一、第一類(lèi)換元積分法把式(5-4)~式(5-11)的結(jié)果擴(kuò)充到第二節(jié)的基本積分公式表中，以后可以直接用.總結(jié)如下：(14)∫tanxdx=－ln|cosx|+C；(15)∫cotxdx=ln|sinx|+C；(16)∫secxdx=lnsecx+tanx+C；

二、第二類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)是通過(guò)變量代換u=φ(x)，將φ′(x)dx湊微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx轉(zhuǎn)化為∫f(u)du，從而易于積分.湊微分法能解決一部分積分問(wèn)題，但是還有一類(lèi)不定積分使用湊微分法卻不奏效，如

等這些被積函數(shù)含有根號(hào)的無(wú)理函數(shù)的積分問(wèn)題.針對(duì)這些問(wèn)題，如果我們作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將被積函數(shù)中的根號(hào)去掉，就能順利積分了，這就是第二類(lèi)換元積分法的思想.詳細(xì)敘述成下面定理.二、第二類(lèi)換元積分法定理4(第二類(lèi)換元積分法)若x=φ(t)單調(diào)可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函數(shù)Φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C，(5-12)

其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數(shù).

二、第二類(lèi)換元積分法證由假設(shè)知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)法則，得二、第二類(lèi)換元積分法【例33】二、第二類(lèi)換元積分法【例34】二、第二類(lèi)換元積分法以上兩例是通過(guò)令nax+b=t將被積函數(shù)有理化，如果被積函數(shù)中含有根指數(shù)不同的幾個(gè)根式，又該如何將被積函數(shù)有理化呢？請(qǐng)看下面例題.注二、第二類(lèi)換元積分法【例35】解被積函數(shù)中所含的兩個(gè)根式的根指數(shù)分別為2和3，最小公倍數(shù)為6，故應(yīng)設(shè)6x=t(t>0)，才能把被積函數(shù)中所含的兩個(gè)根式都去掉，則有二、第二類(lèi)換元積分法【例36】二、第二類(lèi)換元積分法(5-13)二、第二類(lèi)換元積分法為了由假設(shè)x=asint方便地求出其他三角函數(shù)值，常作一輔助直角三角形(見(jiàn)圖5-3)，由圖容易看出

這樣可以省去許多沒(méi)必要的計(jì)算.圖5-3利用三角公式消去根號(hào)的方法通常稱(chēng)為三角代換法.二、第二類(lèi)換元積分法(1)例33和例36的解答表明，使用第二類(lèi)換元積分法往往要指明中間變量的取值范圍.只有這樣，才能保證將中間變量換回原變量時(shí)，有確定的函數(shù)關(guān)系.例如，例33中的t=x，例36中的都是根據(jù)預(yù)先指明的中間變量的取值范圍，確定根號(hào)前的符號(hào)的.(2)第二類(lèi)換元積分法是針對(duì)被積函數(shù)是無(wú)理數(shù)，即被積函數(shù)含有根式的情況，作變換x=x(t)后，可使被積函數(shù)去掉根式，達(dá)到有理化的目的.常用的變換如下：注二、第二類(lèi)換元積分法二、第二類(lèi)換元積分法【例37】二、第二類(lèi)換元積分法圖5-4二、第二類(lèi)換元積分法【例38】二、第二類(lèi)換元積分法(5-14)圖