2021屆福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）（共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A．B．C．D．2．如右圖所示，點，線，面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（）A．B．C．D．3．在中，若,則（）A． B． C．D．4．在△中，為邊上的中線，為的中點，則()A．B．C．D．5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若平面向量與滿足：，則與的夾角為（）A． B． C．D．7．如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，與軸交于點，其中，，則原圖形的面積是A．B．C．D．8．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b+a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,2)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系可以是（）A．相交 B．平行 C．異面D．重合10．下列關(guān)于平面向量的說法中不正確的是（）A．，,若與共線,則B．若，，則C．若均為非零向量，則D．若點為的重心，則11．滿足及的復(fù)數(shù)可以是（）A．B．C．D．12.對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．在銳角中，一定有C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是銳角三角形第Ⅱ卷（非選擇題）（共90分）三、填空題：每題5分，滿分20分，其中第16題有兩空，第一空2分，第二空3分，將答案填在答題卡上13．若是虛數(shù)單位，則__________.14．已知在△ABC中，，，則a的值為________．15．已知向量，，那么在上的投影向量為__________.16．若球的內(nèi)接正四面體的表面積為，則該球的表面積為________，該球的體積為________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題10分）已知平面向量，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若與垂直，求實數(shù)的值18.（本小題12分）已知復(fù)數(shù)。(Ⅰ)求|z|；(Ⅱ)若，求實數(shù)的值．19．（本小題12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面積．20．（本小題12分）一艘輪船從A地向北偏西60°的方向航行100km到達(dá)B地，然后向C地航行，行駛速度為千米/小時，設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C兩地相距200km，試問該輪船從B地到C地是沿何方向行駛并航行了多少小時？．21．（本小題12分）如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為，底面半徑為。（Ⅰ）若正四棱柱的底面邊長為，求該幾何體的體積；（Ⅱ）求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值。22.（本小題12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，為的中點，求周長的范圍。2020-2021學(xué)年寧德市“同心順”第二學(xué)期期中聯(lián)合考試參考答案高一數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）（共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A．B．C．D．答案：C2．如右圖所示，點，線，面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（）A．B．C．D．答案B3．在中，若,則（）A． B． C． D．答案A4．在△中，為邊上的中線，為的中點，則()A．B．C．D．答案A5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D6．若平面向量與滿足：，則與的夾角為（）A． B． C． D．答案D7．如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，與軸交于點，其中，，則原圖形的面積是A．B．C．D．答案B8．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b+a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,2)答案C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系可以是（）A．相交 B．平行 C．異面D．重合答案：AC10．下列關(guān)于平面向量的說法中不正確的是（）A．，,若與共線,則B．若，，則C．若均為非零向量，則D．若點為的重心，則答案：ACD11．滿足及的復(fù)數(shù)可以是（）A．B．C．D．答案AB12.對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．在銳角中，一定有C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是銳角三角形答案BC第Ⅱ卷（非選擇題）（共90分）三、填空題：每題5分，滿分20分，其中第16題有兩空，第一空2分，第二空3分，將答案填在答題卡上13．若是虛數(shù)單位，則__________.答案：14．已知在△ABC中，，，則a的值為________．答案115．已知向量，，那么在上的投影向量為__________.答案16．若球的內(nèi)接正四面體的表面積為，則該球的表面積為________，體積為________．答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本題10分）已知平面向量，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若與垂直，求實數(shù)的值解：（Ⅰ）……4分（Ⅱ），，………………6分由于，從而，…8分解得：。………………10分18．（本題12分）已知復(fù)數(shù)。(Ⅰ)求|z|；(Ⅱ)若，求實數(shù)的值．解：……2分(Ⅰ)………4分(Ⅱ)，…………………5分………9分…………………12分19．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面積．解：（Ⅰ），…1分由余弦定理知，………………4分又，所以………………6分(注：未點明角B的范圍扣1分)（Ⅱ）解1：由，代入得，………………8分解得（舍去負(fù)根），………………10分所以的面積?！?2分解2：由,代入得，……………7分解得，又為銳角，，………9分……………10分所以的面積?！?2分20．一艘輪船從A地向北偏西60°的方向航行100km到達(dá)B地，然后向C地航行，行駛速度為千米/小時，設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C兩地相距200km，試問該輪船從B地到C地是沿何方向行駛并航行了多少小時？．解1:如下圖，設(shè)A地在東西基線和南北基線的交點處,則A(0,0)，B(－100cos30°，100sin30°)，C(－200cos30°，－200sin30°)即A(0,0)，B(－50eq\r(3)，50)，C(－100eq\r(3)，－100)，…………2分，…………………4分…………6分故輪船從B地到C地共行駛（小時）…………7分設(shè)正南方向的單位向量為，設(shè)與正南方向的夾角為，……………8分則有，又為銳角，∴，…11分答：輪船從B地到C地是沿南偏西30°方向行駛并航行了2小時?！?2分解2:由圖可知在中，，,，………1分故……5分故，故輪船從B地到C地共行駛（小時）………7分由，代入得，解得，………10分故行駛方向與正南方向的夾角為，………11分答：輪船從B地到C地是沿南偏西30°方向行駛并航行了2小時?！?2分21．如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為，底面半徑為。（Ⅰ）若正四棱柱的底面邊長為，求該幾何體的體積；（Ⅱ）求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值。解：設(shè)圓錐母線長為，高為，正四棱柱的高為（Ⅰ）由，有，故，…………1分由，故，…………2分所以圓錐體積為……3分由，有正四棱柱的底面對角線長為，由圖可得，所以，……4分故正四棱柱的體積為……5分所以該幾何體的體積為……6分（Ⅱ）由圖可得，即，即……8分由，當(dāng)且僅當(dāng)時左式等號成立，……9分有，當(dāng)且僅當(dāng)時左式等號成立，……10分故正四棱柱側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時左式等號成立，……11分所以該幾何體