高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識歸納匯編

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識歸納匯編

第一部分集合

1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還

是因變量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…

2.教形轉(zhuǎn)合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩

圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方

法解決

3.(1)元素與集合的關(guān)系：xeA<^xeCuA,xeCyA^x^A.

(2)德摩根公式：Q(AnB)=QAUCd，B;Cu(AU8)=CuAnCuB.

(3)AD8=AoAU8=80AaBoQBqC"=人口q八①

<=>CUA\JB=R

注意：討論的時候不要遺忘了A=。的情況.

(4)集合｛4,生，…M”｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2”-1

個；

非空真子集有2〃-2個.

4.。是任何集合的子集，是任何車空集合的真子集.

第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.映射：注意：①第一個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.

2.函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元

法；

⑥利用均值不等式而《等《嚴(yán)手^⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距

離、

絕對值的意義等)；⑧利用函數(shù)有界性(。晨sinx、cosx等)；⑨平方法；⑩導(dǎo)數(shù)法

3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題：

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)

Wb解出

②若f[g(x)]的定義域?yàn)闉?b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x￡[a,b]時，求g(x)的值

域.

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)曠=分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=g(x)與外函數(shù))，=/(〃)

②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.

4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

5.函數(shù)的奇偶性：

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必晏條件

⑵/(%)是奇函數(shù)0/(-x)=-/W；是偶函數(shù)=/(—%)=/(x).

⑶奇函數(shù)/(幻在0處有定義，則f(0)=0

⑷在關(guān)于原點(diǎn)對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性

⑸若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性

6.函數(shù)的單調(diào)性：

⑴單調(diào)性的定義：

①/⑴在區(qū)間M上是增函數(shù)oVxpx2wM,當(dāng)再<9時有“X)</(/)；

②f⑺在區(qū)間M上是減函數(shù)o%,石￡當(dāng)再<小時有f(%)>，(W)；

⑵單調(diào)性的判定：①定義法：一般要將式子/(%)-/*2)化為幾個因式作積或作商的形

式，以利于判斷符號；②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分)；③復(fù)合函數(shù)法；④圖像法

注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

7.函數(shù)的周期性：

(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意x,若有/(x+r)=/(x)(其中7為非零常

數(shù))，則稱函數(shù)/(幻為周期函數(shù)，7為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函

數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函數(shù)的周期：=sinx:T=2n:；②丫=cosx:T=2笈；③

.27r

y=tanx.T=7r\?y=Asin(tur+^)?y=Acos(d?:+^):T-----；⑤

\(o\

y=tan:/=---

㈤

(3)與周期有關(guān)的結(jié)論：

f(x+a)=/(無一a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=/(x)的周期為2a

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

㈠.⑴指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>O,a^l)；

⑵對數(shù)函數(shù)：y=log“x(a>0,a*1)：

⑶累函數(shù)：y=xa(aeR)；

⑷正弦函數(shù)：y=sinx；

⑸余弦函數(shù)：y=cosx；

(6)正切函數(shù)：y=tanx：

⑺一元二次函數(shù)：ax2+bx+c=O(aWO)；

⑻其它常用函數(shù)：

①正比例函數(shù)：>=婦必:。0)；②反比例函數(shù)：y=-(k^O)；③函數(shù)

x

y=x+—(tz>0)

x

㈡.⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)累：〃〃二▼"”；(以上。>O,〃z,〃wN.,且〃>1).

疝

(2).①=N=log“N=b；②log“(MN)=log“M+fog(/N；

n

③log”與=log“M-log“N；?logb=—logrtZ?.

N°m

(3).對數(shù)的換底公式：log,,N=蛆也.對數(shù)恒等式：小=N.

log/

9.二次函數(shù)：

2

⑴解析式：①一般式：/(x)=ar+Z?x+c;

2

②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)+kt(力，口為頂點(diǎn)；

③零點(diǎn)式：/(x)=a{x-x1)(x-x2)(aWO).

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號。

二次函數(shù)丁=of+打+。的圖象的對稱軸方程是一2_,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

'b4ac-b2\

~2a9-4a-)

10.函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點(diǎn)法(特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

⑵圖象變換：

①平移變換：i)y=f(x)^y=f(x±a),(a>0)----左"+”右“一”；

ii)y=f(x)-^y=f(x)±k\k>0)-----上“+”下“一”；

②對稱變換：i)y=/(x)(。。)ii)y=f(x)y=—/(x)；

適)y=f(x)v=0>y=f(-x)；iv)y=f(x)y=x>x=/(y)；

③翻折變換：

i)y=/(x)fy=f(|x|)---------(去左翻右)y軸右不動，右向左翻(/(X)在y左側(cè)圖

象去掉)；

ii)y=/(x)^y=|/(x)|---------(留上翻下)X軸上不動，下向上翻(|7(x)1在冗下面

無圖象)；

11.函數(shù)圖象(曲線)對稱性的證明：

(1)證明函數(shù)y=/(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的

對稱點(diǎn)仍在圖像上；

(2)證明函數(shù)>=/。)與〉=8(幻圖象的對稱性，即證明>=/5)圖象上任意點(diǎn)關(guān)

于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)在y=g(x)的圖象上，反之亦然。

注：①曲線G:f(x,y)=0關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱曲線&方程為:f(―x,-y)=0;

曲線G:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對稱曲線Cz方程為：f(-x,y)=0;

曲線Ci：f(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對稱曲線C2方程為:f(x,—y)=0;

曲線G:f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對稱曲線C2方程為：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b—x)(xeR)=y=f(x)圖像關(guān)于直線x二”2對稱；

2

特別地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)<=>y=f(x)圖像關(guān)于直線x二a對稱.

③丁二/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(〃,b)對稱=f(a+x)+f(a-x)=2b.

特別地：y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱。/(a+x)=-/(a-x).

④函數(shù)y=/(x-a)與函數(shù)y=/(a-x)的圖象關(guān)于直線％=〃對稱；

函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=f(a—幻的圖象關(guān)于直線x=O定稱。

12.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

⑴直接法(求f(x)=O的根)；(2)圖象法；⑶二分法.

(4)零點(diǎn)定理：若y=f(x)在［a,b］上滿足f(a)?f(b)<0,則尸f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一

個零點(diǎn)。

13.導(dǎo)數(shù)：

⑴導(dǎo)數(shù)定義：網(wǎng)外在點(diǎn)選處的導(dǎo)數(shù)記作了1氣=八%)二期/?%+-—/(/)

⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①C'=0；②③(sinx)'=cosx；?

(cosx)=-sinx；⑤(o")=〃'ln〃；?(ev)=ex；⑦(log”x)二一--；⑧

xlna

1

(Inx)=一。

x

⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(u±u)'=〃’土生(〃?'=五+川;(號'=""川;

VV

⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：皿=乂.《；

⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：i)所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？五)所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)

的切線？

②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：i)r(x)>On/(x)是增函數(shù)；ii)r(x)<0=>f(x)

為減函數(shù)；iii)((x)三Onf(x)為常數(shù)；

③利用導(dǎo)數(shù)求極值：i)求導(dǎo)數(shù)/'")；ii)求方程/'(%)=0的根；迨)列表得極

值。

④利用導(dǎo)數(shù)求最大值與最小值：i)求極值；ii)求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有)；iii)比較

得最值。

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.⑴角度制與弧度制的互化：不弧度=180°,1°=2弧度，1弧度=(竺右57°18'

1807t

⑵弧長公式：/=紙；扇形面積公式：s=-lR=-OR2^

22

2.三角函數(shù)定義:角。終邊上任一點(diǎn)(非原點(diǎn))P(x,y),設(shè)|OP|二r則：

x

si.na=—y,cosa=—,tana=—y

rrx

3.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；(簡記為“全stc”)

4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”

5.(Dy=4sin(w+°)對稱軸：令cox+(p=k冗+三,得%=.??；對稱中心：

(竺2,O)(keZ);

co

(2)y=Acos(ax+<p)對稱軸：令cox,*(p=k兀，得工=”—―；對稱中心：

(0

,n

kn+--(p

(----Z-,0)(2WZ)；

0)

⑶周期公式:①函數(shù)y=Asin(0T+0)及y=Acos(〃zx+e)的周期r=了1(A、(p

網(wǎng)

為常數(shù)，

且AWO).②函數(shù)y=Alan(@￥+。)的周期T=告(A、3、。為常數(shù)，且AWO).

Ml

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2x+cos2x=1;s'"=tanx

cosx

7.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對稱性：

7T7T

(l)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2^--,2^+-AwZ,單調(diào)遞減區(qū)間為

22

jr\jrjr

2k7r+-,2k;r+—keZ,對稱軸為x=而+1■（丘Z）,對稱中心為（左1,0）

（keZ）.

（2）y=cos元的單調(diào)遞增區(qū)間為[2攵萬一%,2攵句ZcZ,單調(diào)遞減區(qū)間為

[2k7T,2k7i+"]A￡Z,

對稱軸為x=々4（攵EZ）,對稱中心為（上乃+三,0（%eZ）.

（3）y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為。萬一,&乃+事）ZEZ,對稱中心（券,0）

(ZEZ).

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

?sin(a±p)=sinacosp±cosasinp；cos(a±/3)=cosacos+sinasinp；

/,A、tana±tanZ7

tan(6z±/?)=--------------J.

1孑tanatanfi

②sin(a+/?)sin(a-/7)=sin2a-sin20；cos(a+P)cos(a-fl)=cos2a-sin2fl.

③asina+Z?cosa=Ja?+b?sin（a+＜）（其中，輔助角0所在象限由點(diǎn)（a,b）所在的象限

決定，tan—）.

9.二倍角公式：①sin"=2sinacosa.(sina±cosa)2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2a=cos2。一sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a(升基公式).

21+cos2a.1-cosla

cosa=-----------.sin2a=------------（降哥公式）.

22

10.正、余弦定理：

⑴正弦定理：一生=_2_=_^=2H（2R是A4/C外接圓直徑）

sinAsinBsinC

注：①〃：Z?:c=sinA:sin3:sinC：

②a=2RsinAb=2RsinB,c=2RsinC；③

a_b_c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

.222

⑵余弦定理：a2=b2+c2-2/?ccosA^H^；cos4=—十/一.等三個。

2bc

11.幾個公式：

⑴三角形面積公式：

①S=、a%=Lb%=Lcfi,(%、/馬、也.分別表示a、b、c邊上的高)；

222

②S=—absinC=—hcsinA=-casinB.

222

③SA…J麗I)?-(麗?礪尸

⑵內(nèi)切圓半徑r=2sMBC；外接圓直徑2R=——=——=——

a+b+csinAsinBsinC

第四部分立體幾何

1.三視圖與直觀圖：⑴畫三視圖要求：正視圖與俯視圖長對正；正視圖與側(cè)視圖高平齊；側(cè)

視圖與俯視圖寬相等。⑵斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領(lǐng)。

2.表（側(cè)）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=SM+2Sft；②側(cè)面積：SiM=2m72；③體積：V=Sfth

⑵錐體：①表面積：S=S信+S底；②側(cè)面積：S7wl；③體積：V二一S底h：

3

⑶臺體：①表面積：S=S"S上底+S下底;②側(cè)面積：S蝴二乃（，?+「）/；

③體積：V=1（S+7sF+S'）h；

3

4

⑷球體：①表面積：S=4成2；②體積：V=一成3.

3

3.位置關(guān)系的證明（主要方法）：

⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。

⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行=＞線面平行。

⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。

⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。

⑸平面與平面垂直：①定義一一兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。

注，以上理科還可用向量法V

4.求角：（步驟-----1.找或作角；n.求角）

⑴異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；②用向量法

⑵直線與平面所成的角：

①直接法（利用線面角定義）；②用向量法

5.結(jié)論：

⑴棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底似，截面

面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成

比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）：相應(yīng)小棱錐與

小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.

⑵長方體從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則體對角線長為〃？+從+。2,

全面積為2ab+2bc+2ca,體積V=abc0

⑶正方體的棱長為a,則體對角線長為缶，全面積為6/,體積V=〃3°

⑷球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是

正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

⑷正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為則正四面體的：

①高：h=a；②對棱間距離：---a；③內(nèi)切球半徑：--,tz；④外接球半徑:

3212

—a

4

第五部分直線與圓

1.斜率公式：左=正』，其中4（和乂）、2（匕,必）

x2-X,

直線的方向向量v=則直線的斜率為k=—（a=0）.

a

2.直線方程的五種形式：

（1）點(diǎn)斜式：y-y1=k（x-x1）（直線/過點(diǎn)[（%,必），且斜率為

（2）斜截式：y="+Z?（b為直線/在y軸上的截距）.

XX|

（3）兩點(diǎn)式：———=（^（xpA（王，必）司工超，,。為）.

外一,

（4）截距式：2+』二1（其中。、b分別為直線在x軸、y軸上的截距，且。工0/工0）.

ab

（5）一般式：Ar+3），+C=O（其中A、B不同時為0）.

3.兩條直線的位置關(guān)系：

?

（1）若4:y=匕％+4,/2:>=k2x+b2,Mil：

①I、〃I?ok、=k2,b、手b?；②4_L4=-1,

（2）若4:—x+B{y+C{=0,/2:4x+82V+C2=0,則：

①z,ni<=>=0且2G工o；②4

2A,B2-A2B1AXC2—A_L[OA]A2+BXB2=O.

4.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

5.兩個公式：

⑴點(diǎn)P（Xo.yo）到直線Ax+By+C=0的距離：”|%+3空。：

y/A2+B2

⑵兩條平行線Ax+By+C.=0與Ax-By+C2=0的距離d=?V

J-2+-2

6.圓的方程:

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①+（y-b）2=產(chǎn)；②/+,2=產(chǎn)。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓<=>A=CWO且B=0且D2+E2—4AF>0

7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法。

8.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）

⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（d表示點(diǎn)到圓心的距離）

①^/二氏一點(diǎn)在圓上；②d<Ro點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓外。

⑵直線與圓的位置關(guān)系：（d表示圓心到直線的距離）

①^二氏?相切；②dvR=相交；③相離。

⑶圓與圓的位置關(guān)系：（d表示圓心距，RJ表示兩圓半徑，且/?>〃）

①d>R+〃。相離；②“二尺十廠。外切；③R—〃vdvR+廣。相交；

@d=R-ro內(nèi)切；⑤Ovd<R-ro內(nèi)含。

9.直線與圓相交所得弦長|48|=2>/力一解

第六部分圓錐曲線

1.定義：⑴橢圓：|班|+|"尼|=2兄（2。>|月苞|）；

⑵雙曲線：||MF,\-\MF2||=2a,（2。<|F]F2|）；

⑶拋物線：|MF|=d

2.結(jié)論：

⑴直線與圓錐曲線相交的弦長公式:若弦端點(diǎn)為A（x，y）3（々,必），

222

則=7（^-%2）+（^-^2），或Mq=歸_X2\yl\+k,或I=帆―%|J1+十.

注：①拋物線：|AB|=X|+X2+P；

2b2

②通徑（最短弦）：i）橢圓、雙曲線：—；ii）拋物線：2p.

a

⑵過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：〃猶2+〃y2=l

（加，〃同時大于0時表示橢圓；〃仞<0時表示雙曲線）；

當(dāng)點(diǎn)尸與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時ZF,PF2最大；

⑶雙曲線中的結(jié)論：

①雙曲線=1（a>O,b>O）的漸近線：￡_￡=（）；

a?b?b?

②共漸進(jìn)線y=±&x的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為為參數(shù)，4#0）；

cn2L2

③雙曲線為等軸雙曲線=漸近線互相垂直;

⑷焦點(diǎn)三角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。

3.直線與圓錐曲線問題解法：

⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。

注意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“工”還是關(guān)于“y”的一元二次方程?

②直線斜率不存在時考慮了嗎？

③判別式驗(yàn)證了嗎？

⑵設(shè)而不求（點(diǎn)差法——代點(diǎn)作差法）：-------處理弦中點(diǎn)問題

步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A（x「yj、B（X2,ya）；②作差得38=——.......;③解決問

題。

4.求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)轉(zhuǎn)移

法）；

（4）待定系數(shù)法；（5）消參法；（6）交軌法；（7）幾何法。

第七部分平面向量

1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式：或8=>/（%2一%1）2+（%一乂）2，其中A（X|,y）,B（X2,J2）.

2.向量的平行與垂直：設(shè)）=（%,%）,5=（々,%），且「工6,則：

①<=>^=Xa<=>x[y2-x2yK=0；

②（QH6）O〃?3=0=占工2+=o.

3.a?b=abIcos<a,b>=Xjx2+yiy2；

注：①|(zhì)acos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|bcos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a?b的幾何意義：8?1）等于|8|與b在a方向上的投影|bcos〈a,b>的乘積。

ab

4.cos<a,b>=———；

\a\\b\

5.三點(diǎn)共線的充要條件：P,A,B三點(diǎn)共線o麗=x35+y礪且x+y=L

第八部分?jǐn)?shù)列

1.定義：

⑴等差數(shù)列{〃"}<=>4+1-41=d（d為常數(shù),fteN*）oa”-4_]=d（〃之2）

2

<=>2art=an+l+an_t（n>2,neN*）<=>an=kn+b<^>Sn=An+Bn

⑵等比數(shù)列=?n-i?all+i(nN2,n￡N*)

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì):

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式%=4+(〃_l)d4=4小

Lg=1時，Sn=nax\

〃(6+凡)n(n-l)

!

前n項(xiàng)和5?=---------=na.+--------a時，§

〃2122q*winq?°w)

「q

?_《tq

二j

性質(zhì)nn

?an=a1+(n—m)d,?an=anq;

時

②m+n=p+q時a>+a產(chǎn)ap+為②m+n=p+qanan=aPa<)

③及，S?k-Sk、S3k—S2k)>1，?成AP③SKS#—SR,S3als2/…成GP

④4,4+〃,，4+2,“，…成明"=那④4，4+巾，4+2小，…成GP,q'=qm

3.常見數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴定義法（利用AP,GP的定義）；⑵累加法型）；⑶公式法：卜】（n=l）

n

[Sn—Sn-i（n22）

⑷累乘法（4旦二%型）；⑸待定系數(shù)法=k%+b型）轉(zhuǎn)化為

4.

（6）間接法（例如：ani-an=4a/“,n'———=4）；（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納

an%

法。

4.前〃項(xiàng)和的求法：⑴分組求和法；⑵錯位相減法；⑶裂項(xiàng)法。

5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：

a>0f??..,（aW0、

⑴S“最大值4n〃八或S〃最小值《”n八；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

1以〃+1工久口用？。）

第九部分不等式

1.均值不等式：（a,b>0）

.2,2

2+

注意：①一正二定三相等；②變形：ab<（―）（a9be/?）.

22

2.極值定理：已知都是正數(shù)，則有：

(1)如果積町，是定值p,那么當(dāng)x=y時和x+y有最小值RI；

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x=y時積孫有最大值

3.解一元二次不等式公2+加+C＞0(或＜0)：若a＞0,則對于解集不是全集或空集時,對應(yīng)

的解集為“大兩邊，小中間”.

如:當(dāng)X]<x2,(X-X]Xx-)<0O再<x<x2；

(X-芭Xx-工2)>0O%>工2或^<X?

4.含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時，有：0|A|<a<^>x2<a2<^>-a<x<a；

②國或xv—a.

5.分式不等式：

⑴舄＞00'0"3＞。；/(x)

(2)8荷<0<=>/(x)^(x)<0；

/(x)g(R)N°

(3)膽N0o(4)疝一1g(+。

g(x)工0

6.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

/?>0

(D當(dāng)a>1時，〃“*)>agM<=>/(x)>g(x)；logJ(x)>log。g(x)o-g(x)>0

f(x)>gM

⑵當(dāng)0vav1時，af{x}>a8(x)of(x)<g(x)；

7?>o

logfl/(x)>log“g(x)o-g(x)>0

f(X)<g[X)

7.不等式的性質(zhì)：

(l)a>b<^>b<a；(2)a>b,b>c=>a>c；

(3)a>Z?oa+c>Z?+c；a>b.c>d=a+c>b+d；

(4)a>b,c>0=ac>bd；a>b,c<0=>ac<be；a>b>0,c>d>0

=ac>bd;

(5)a>b>0na">bn>0(〃eJV4)；

⑹a>Z?>0ny[a.>'4b(neN*)

第十部分復(fù)數(shù)

1.概念：

⑴/飛+匕i丘RJ>b=0(a,bR)<_>z=z<->z2A0;出2=&+加是虛數(shù)<_>bK

0(a,bGR)；

閉2=2+加是純虛數(shù)。a=0且bH0(a,b￡R)oz+[=0(z#0)<=>z2<0；

⑷a+bi=c+diOa=c且c=d(a,b,c,d￡R)：

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),則：

(1)z)±Z2Z1.Z+b)±(c+d)i；(2)z1.Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+

(ad+bc)i；(3)五=望+皿i')=ac+bd+bc-ad.⑵#0);

2222

z2(c+di)(c-di)c+dc+d

3.幾個重要的結(jié)論：

2

?(1±O=±2/;==

1-/\+i

③i性質(zhì)：T=4；產(chǎn)=U4"+1=j,嚴(yán)+2=T,產(chǎn)+3=T.泮+j4Z+產(chǎn)2+嚴(yán)+3=0;

4.模的性質(zhì)：（l）|zp|=|Z|||z,|：（2）|a|=學(xué)；（3）|z〃|=|z|"。

Z2IZ?I

5.實(shí)系數(shù)一元二次方程依2+bx+c=0的解：

①若△=加-4ac>0,則百2="±b—；②若△=/-4ac=0,則%%=一~—；

2a2a

③若△=從_4℃<0,它在實(shí)數(shù)集H內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根;在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個共挽復(fù)數(shù)

根二上包三七一…）

2a

第十一部分概率

1.事件的關(guān)系：

⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作Aq3；

⑵事件A與事件B相等：若則事件A與B相等，記作A=B；

⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作AD3（或

A+4）；

⑷并（積）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作Ac8（或

AB）；

⑸事件A與事件B互斥：若AcB為不可能事件（Ac3=。），則事件A與互斥;

⑹對立事件：AcB為不可能事件，AuB為必然事件，則A與B互為對立事件。

2.概率公式：

⑴互斥事件（有一個發(fā)生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；

A包含的基本事件的個數(shù)

⑵古典概型：P（A）=

基本事件的總數(shù)

概j二構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積等）

、兒何慨里：，一試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積等）；

第十二部分統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

1.抽樣方法:

⑴簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個數(shù)為N,通過逐個不放回的方法從中抽取一個容

量

為n的樣本，且每個個體被抽到的機(jī)會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。

注：①每個個體被抽到的概率為本

②常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法。

⑵系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)

貝IJ,從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。

注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機(jī)抽樣方法確定起始的個體編號；

④按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。

⑶分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情

況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

注：每個部分所抽取的樣本個體數(shù):該部分個體數(shù)X已

N

注：以上三種抽樣的共同特點(diǎn)是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等

2.頻率分布直方圖與莖葉圖：⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率

分布直方圖。⑵當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效

數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊

像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。

3.總體特征數(shù)的估計：

⑴樣本平均數(shù)亍=1（2+々+-+￡）=，1>/

⑵樣本方差無產(chǎn)+（勺—?+…+（乙_幻x）2

§2=1[（X1_2]=_!_￡?_；

⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=l-[（x,-x）22（x-x）2]=2

+（x2-X）+■?+nJ-y-x）

3.相關(guān)系數(shù)（判定兩個變量線性相關(guān)性）：

力（D（%-y）次（D（y「y）

一一z--/=i

\后（斗一無）吃（丫一方/（1>：一〃鏟）（￡必22）

Vr=l/=1V1=11=1

注：⑴廠>0時，變量正相關(guān)；，?<0時，變量羽y負(fù)相關(guān)；

⑵當(dāng)|川越接近于1,兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);

當(dāng)|川越接近于。時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系C

4.回歸直線方程

￡（七一可（y一y）Z%%一〃/丁

產(chǎn)"灰，其中?"一￡（3可2一g葉—而2

f-li-l

a=y-bx

第十三部分算法初步

1.程序框圖：

⑴身形符號:

①一終端框（起止框）；②//輸入、輸出框;

@?--------_

處理框（執(zhí)行框）；判斷框；⑤一流程線；

⑵程序框圖分類：

②條件結(jié)構(gòu)：③循環(huán)結(jié)構(gòu)：<

<□>_A求n除以i的余數(shù)

是_____

/n不是質(zhì)數(shù)卜是質(zhì)戮i=i+l

是

注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：I.當(dāng)型（while型）一一先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；

II.直到型（until型）一一先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件。

2.基本算法語包_______________________________________________

⑴輸入語句INPUT”提示內(nèi)容”；變量；輸出語句:一而NT”提示內(nèi)容”；表達(dá)式

賦值語句：變量;表達(dá)式

⑵條件語句：①②

IF條件THENIF條件THEN

語句體語句體1

ENDIFELSE

語句體2

ENDIF

⑶循環(huán)語句：①當(dāng)型：②直到型：

WHILE條件DO

循環(huán)體循環(huán)體

WENDLOOPUNTIL條件

第十四部分常用邏輯用語與推理證明

1.充要條件的判斷：

(1)定義法一一正、反方向推理

注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件(甲=＞乙)”與“甲的充分條件是乙(乙=甲)”

(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若則A是B的充分條件或B是A的必要

條件；若后B,則A是B的充要條件。

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞:

⑴且(and)：命題形式pAq；PqPAqpvq「P

⑵或(or)：命題形式pvq：真真真真假

⑶非(not)：命題形式—1p.真假假真假

假真假真真

假假假假真

3.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題

若P則透r若q則P

互---------

互為互

否\否

逆

否______________

否命題~.逆否命題

若非P貝1|非q懿若非q則非P

4。四種

⑴原若p則q；⑵逆若q則p；

⑶否若「p則「q：⑷逆否若「q則-1P

注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。

5.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用W表示；

全稱命題p：VxeA/,p(x)；全稱命題p的否定-ip：3xeA/，r?(x)。

⑵存在量詞--------“存在一個”、“至