高等數(shù)學(xué)Ⅰ第二節(jié)課件：換元積分法

問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類(lèi)換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理第一類(lèi)換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5

求解例6

求解例7

求解例8

求解例9

求原式例10

求解例11

求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.例12

求解例13

求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）類(lèi)似地可推出解例14

設(shè)求.令例15

求解問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類(lèi)換元法證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類(lèi)積分換元公式例16

求解令例17

求解令例18

求解令說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令可令可令說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(3)例19

求（三角代換很繁瑣）令解例20

求解令說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例21

求令解例22

求解令（分母的階較高）例23解(倒代換)說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例24

求解令基本積分表

例25解例26解三、小結(jié)兩類(lèi)積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)思考題求積分思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3

求積分解令例4

求積分解總結(jié)

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.例5

求積分解例6

求積分解注意循環(huán)形式例7

求積分解令解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)思考題

在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，應(yīng)注意什么？思考題解答注意前后幾次所選的應(yīng)為同類(lèi)型函數(shù).例第一次時(shí)若選第二次時(shí)仍應(yīng)選練習(xí)題練習(xí)題答案有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)之.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分解例5

求積分解例6

求積分解令說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類(lèi)情況：多項(xiàng)式；討論積分令則記這三類(lèi)積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬(wàn)能置換公式）例7

求積分解由萬(wàn)能置換公式例8

求積分解（一）解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.例9

求積分解討論類(lèi)型解決方法作代換去掉根號(hào).例10

求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分例11

求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例12

求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？思考題解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.例13解練習(xí)題練習(xí)題答案（1）常用積分公式匯集成的表稱(chēng)為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類(lèi)型來(lái)排列的.（4）積分表見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》（四版）上冊(cè)（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編）第452頁(yè)．（3）求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類(lèi)型直接或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說(shuō)明例1

求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題例2

求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類(lèi)公式有兩個(gè)選公式（105）將代入得例3

求表中不能直接查出,需先進(jìn)行變量代換.令被積函數(shù)中含有在積分表（六）中查得公式（37）將代入得例4

求在積分表（十一）中查得公