高等數學Ⅰ第二節(jié)課件：換元積分法

問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換元法在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為觀察重點不同，所得結論不同.定理1例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5

求解例6

求解例7

求解例8

求解例9

求原式例10

求解例11

求解說明當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分.例12

求解例13

求解（一）（使用了三角函數恒等變形）解（二）類似地可推出解例14

設求.令例15

求解問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法證設為的原函數,令則則有換元公式定理2第二類積分換元公式例16

求解令例17

求解令例18

求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數中含有可令可令可令可令可令說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定.說明(3)例19

求（三角代換很繁瑣）令解例20

求解令說明(4)當分母的階較高時,可采用倒代換例21

求令解例22

求解令（分母的階較高）例23解(倒代換)說明(5)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數的最小公倍數）例24

求解令基本積分表

例25解例26解三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)思考題求積分思考題解答練習題練習題答案問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分公式一、基本內容例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當，積分更難進行.解（二）令例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結

若被積函數是冪函數和正(余)弦函數或冪函數和指數函數的乘積,就考慮設冪函數為,使其降冪一次(假定冪指數是正整數)例3

求積分解令例4

求積分解總結

若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就考慮設對數函數或反三角函數為.例5

求積分解例6

求積分解注意循環(huán)形式例7

求積分解令解兩邊同時對求導,得合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結思考題

在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次時若選第二次時仍應選練習題練習題答案有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之.一、有理函數的積分假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數是真分式；這有理函數是假分式；

利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數化為部分分式之和.（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數法例1代入特殊值來確定系數取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分解例5

求積分解例6

求積分解令說明將有理函數化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令則記這三類積分均可積出,且原函數都是初等函數.結論有理函數的原函數都是初等函數.三角有理式的定義：

由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數稱之．一般記為二、三角函數有理式的積分令（萬能置換公式）例7

求積分解由萬能置換公式例8

求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令解（三）可以不用萬能置換公式.結論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.例9

求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號.例10

求積分解令三、簡單無理函數的積分例11

求積分解令說明無理函數去根號時,取根指數的最小公倍數.例12

求積分解先對分母進行有理化原式簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.例13解練習題練習題答案（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數的類型來排列的.（4）積分表見《高等數學》（四版）上冊（同濟大學數學教研室主編）第452頁．（3）求積分時，可根據被積函數的類型直接或經過簡單變形后，查得所需結果.一、關于積分表的說明例1

求被積函數中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題例2

求被積函數中含有三角函數在積分表（十一）中查得此類公式有兩個選公式（105）將代入得例3

求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數中含有在積分表（六）中查得公式（37）將代入得例4

求在積分表（十一）中查得公