2025年春新北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)課件 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第4課時(shí) 完全平方公式的應(yīng)用

第4課時(shí)

完全平方公式的應(yīng)用北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2前面我們學(xué)習(xí)了完全平方公式：

復(fù)習(xí)導(dǎo)入口訣:首平方，尾平方，首尾乘積的2倍放中間。

(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404新課探究怎樣計(jì)算1022，1972更簡單呢?

(2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809你是怎樣做的?與同伴進(jìn)行交流。例6計(jì)算：（1）(x+3)2-x2；（2）(a+b+3)(a+b-3)；（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；（4）[(a+b)(a-b)]2。解：（1）(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9；

（2）(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9例6計(jì)算：（1）(x+3)2-x2；（2）(a+b+3)(a+b-3)；（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；（4）[(a+b)(a-b)]2。（4）[(a+b)(a-b)]2=(a2-

b2)2

=a4-2a2b2+b4。（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)=x2+10x+25-(x2-5x+6)=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19利用整式乘法公式計(jì)算：(1)962(2)(a-b-3)(a-b+3)解：962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216解：(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9

隨堂練習(xí)觀察下圖，你認(rèn)為(m+n)×(m+n)點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)與m×m點(diǎn)陣、n×n點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)之和一樣多嗎?請(qǐng)用所學(xué)的公式解釋自己的結(jié)論。觀察·思考…1×12×23×3解:m×m

點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù):m2；

n×n

點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù):n2；m×m

點(diǎn)陣、n×n

點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)之和:m2+n2；(m+n)×(m+n)點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù):(m+n)2。(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。所以(m+n)×(m+n)點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)與m×m

點(diǎn)陣、n×n

點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)之和不一樣多。…1×12×23×31.若m+n=3，則代數(shù)式2m2+4mn+2n2-6的值為（）A.12

B.3C.4D.0A隨堂演練2.若(a+b)2=49，ab=6，則a-b的值為（）A.-5B.±5C.5D.±4B3.已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，則多項(xiàng)式2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac的值為（）A.0

B.2

C.4D.6D4.計(jì)算：(1)(2x+y+1)(2x+y-1)解：(2x+y+1)(2x+y-1)=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1(2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)解：(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)=x2-4-(x2-2x-3)=2x-1(3)(ab+1)2-(ab-1)2解：(ab+1)2-(ab-1)2

=a2b2+2ab+1-(a2b2-2ab+1)=a2b2+2ab+1-a2b2+2ab-1=4ab(4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)解：(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2)=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=9y2-8xy5.對(duì)于依次排列的多項(xiàng)式x+a，x+b，x+c(a，b，c

是常數(shù))，當(dāng)它們滿足(x+b)2-

(x+a)(x+c)=M

，且M

為常數(shù)時(shí)，則稱a，b，c是一組完美數(shù)，M

是該組完美數(shù)的完美因子。例如:對(duì)于多項(xiàng)式x+1，x+3，x+5，因?yàn)?x+3)2-(x+1)(x+5)=4，所以1，3，5是一組完美數(shù)，4是該組完美數(shù)的完美因子。試問:當(dāng)a，b，c

之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們是一組完美數(shù)?并說明理由。解:當(dāng)2b-a-c=0時(shí)，它們是一組完美數(shù)。理由:假設(shè)a，b，c

是完美數(shù)，則(x+b)2-

(x+a)(x+c)的結(jié)果為常數(shù)。(x+b)2-

(x+a)(x+c)=x2+2bx+b2-

[x2+(a+c)x+ac]=(2b-a-c)x+b2-ac。因?yàn)榻Y(jié)果為常數(shù)