金科大聯(lián)考2025屆高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁金科大聯(lián)考2025屆高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A=(x|x≤1},B={x|lnx<1}，則(?A.(0,1) B.(1,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞)2.已知z+2z=3?i，則z(z+i)=(

)A.1+3i B.1?3i C.?1+3i D.?1?3i3.已知橢圓x2m+y2m+1=1A.3 B.2 C.1 D.04.已知平面向量a=(1,1)，b=(3,t)，若b在a方向上的投影向量為2a，則t=A.2 B.?1 C.0 D.15.已知a=log32，b=log2aA.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a6.若函數(shù)f(x)=(x?a)2(x?1)的極小值點(diǎn)為12，則A.1 B.?1 C.12 D.7.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若TnA.4049 B.4048 C.2025 D.20248.從正十邊形的各頂點(diǎn)中任選3個(gè)，則選中的3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形的概率為(

)A.14 B.13 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其中x1<x2<x3<A.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等10.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，且f(x)≤|f(A.a=3b B.f(π3?x)是奇函數(shù)

C.f(x)的圖象關(guān)于(5π11.已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，空間內(nèi)的動點(diǎn)P滿足AP=xAB+yAD+zAA1，其中xA.當(dāng)z=1時(shí)，P的軌跡長度為π2

B.當(dāng)x=12時(shí)，四面體CBC1P的體積為定值

C.存在點(diǎn)P，使得AP=π4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α為第一象限角，若sinα=255，則13.若實(shí)數(shù)a，b滿足2a?1=4b，則a?b的最小值為14.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上位于第一象限的一點(diǎn)，∠F1PF2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2+b2(1)求△ABC的面積;(2)設(shè)D在邊BC上，AD平分∠BAC，若AB=22BD，求16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，△SCD為等邊三角形，平面SCD⊥平面SAD，CD=2．

(1)證明：平面SCD⊥平面ABCD;(2)設(shè)點(diǎn)E為棱SC的中點(diǎn)，求二面角S?BD?E的余弦值．17.(本小題12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ln(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x∈(0,e]時(shí)，f(x)≤4e3，求a18.(本小題12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(0,1)，且截x軸所得的弦長為2．(1)求動圓圓心的軌跡方程C;(2)B，D為曲線C上的兩個(gè)動點(diǎn)，過B，D中點(diǎn)M且與y軸平行的直線交曲線C于點(diǎn)N，曲線C在點(diǎn)N處的切線交y軸于點(diǎn)P．(ⅰ)證明：BD//NP;(ⅱ)若點(diǎn)M在直線y=x上，求△BNP面積的最大值．19.(本小題12分)設(shè)n(n≥2)為正整數(shù)，集合U={1,2,3,?,n}，集合A={t1,t2,?,tm(1)若n=2，q=3，求S(A)的取值的集合;(2)證明：S(A)的所有可能取值個(gè)數(shù)為2(3)是否存在q，使得S(A)的所有可能取值從小到大排列成等差數(shù)列，若存在，求q;若不存在，說明理由．

參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.313.1

14.315.解：(1)由條件及余弦定理得，cosC=a2+b2?c22ab=22，C∈(0,π)，故C=π4．

由條件及正弦定理得，a2b=a，故ab=1．

∴△ABC的面積為S=12absin16.(1)證明：取SD的中點(diǎn)M，連接CM，則

因?yàn)椤鱏CD為等邊三角形，所以CM⊥SD，

因?yàn)槠矫鍿CD⊥平面SAD，平面SCD∩平面SAD=SD，

所以CM⊥平面SAD，

因?yàn)锳D?平面SAD，

所以CM⊥AD，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，AD⊥CD，CM，CD是平面SCD內(nèi)兩條相交直線，

所以AD⊥平面SCD，

又AD?平面平面ABCD，

所以平面SCD⊥平面ABCD;

(2)解：取CD中點(diǎn)O，由(1)可知平面SCD⊥平面ABCD，

則SO⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，

則S(0,0,3)，B(2,1,0)，D(0,?1,0)，E(0,12,32)，

則SB=(2,1,?3),BD=(?2,?2,0),DE=(0,32,32)，

設(shè)平面SBD的法向量為m=(a,b,c)，則2a+b?3c=0?2a?2b=0，取a=117.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x(lnx?2)2，f′(x)=lnx(lnx?2)，

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,e2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(e2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)在區(qū)間(1,e2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)和(e2,+∞)上單調(diào)遞增;

(2)?f′(x)=(lnx?a)?(lnx?a+2)，

令f′(x)=0，解得x=ea?2或x=ea，

∴當(dāng)x∈(0,ea?2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(ea?2,ea)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(ea,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)在x=ea?218.解：(1)設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為(x,y)，

∵動圓過定點(diǎn)A(0,1)，截x軸所得弦長為2，

∴x2+(y?1)2=|y|2+1，

整理得x2=2y，即動圓圓心的軌跡方程C:x2=2y;

(2)(i)不妨設(shè)B(x1,y1)，D(x2,y2)，M(m,y0)，

由題滿足x12=2y1x22=2y2，兩式作差得(x1+x2)(x1?x2)=2(y1?y2)，

∴x1+x22=y1?y2x1?x2，即m=kBD，

∵過點(diǎn)M與y軸平行的直線交曲線C于點(diǎn)N，∴N(m,m22)，

∵C:x2=2y，即y=x22，∴y′=x，

∴kNP=m=kBD，即BD//NP;

(ii)∵M(jìn)在直線y=x上，∴M(m,m)，

∵M(jìn)為B，D中點(diǎn)，∴M在曲線C內(nèi)部，19.解：(1)當(dāng)n=2時(shí)，A={1}或A={2}，A={1,2}，

∴31=3，32=9，31+32=12，S(A)的可能取值為3，9，12，

∴S(A)的取值集合為{3