《數(shù)列通項公式的求法探究》5600字（論文）

數(shù)列通項公式的求法研究TOC\o"1-3"\h\u10573前言 663681.數(shù)列的預備知識 683991.1數(shù)列的基本概念 6174731.1.1等差數(shù)列 6109131.1.2等比數(shù)列 7158851.1.3常見的特殊數(shù)列公式 7179401.2數(shù)列的相關性質 8259371.2.1等差數(shù)列 8100011.2.2等比數(shù)列 9294642.數(shù)列通項公式常見的求法分析 10194862.1公式法[5] 10304472.2變換法 10197772.2.1取倒變換法 1073372.2.2對數(shù)變換法 11295112.3換元法 12115492.3.1根號，對數(shù)，次冪換元 12250832.3.2三角換元 1225462.4待定系數(shù)法 14136432.5數(shù)學歸納法 1694012.6不動點法 17124042.7周期法 19132822.8因式分解法 19224412.9循環(huán)法 20154413.用遞推關系求數(shù)列通項公式及其在高考中的應用 20204333.1累加法 20318993.2累乘法 21320763.3遞推公式中既有，又有型 22284723.4無窮遞推數(shù)列型 23250654.小結 23807參考文獻： 25摘要：數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容和高考中的重點和難點，也是解決高考數(shù)列問題的重要依據(jù)。本文主要針對高中數(shù)學數(shù)列問題中通項公式的求法，進行了探究與總結，為高中數(shù)學數(shù)列問題的學習提供了參考與幫助。關鍵詞：數(shù)列；通項公式；等差數(shù)列；等比數(shù)列；遞推公式；前言在高中數(shù)學中，求解數(shù)列通項公式既是解決高中數(shù)列問題的難點也是歷年來高考考查的重點，同時也是解決所有數(shù)列問題的重要依據(jù)。這些數(shù)列問題很大一部分都是結合各種不等式、各類型的函數(shù)及數(shù)列的求和等問題進行全面的考核。此外，數(shù)列也是中學階段向大學階段過渡的重要數(shù)學知識，掌握求數(shù)列通項公式的方法是學好數(shù)列知識的核心所在。由于很多同學之前沒有接觸過數(shù)列的相關知識，在高中剛開始接觸數(shù)列相關的知識時，對求解數(shù)列的通項公式?jīng)]有更方便、快捷的學習方法，經(jīng)常會感覺束手無策，需要師生開拓創(chuàng)新、共同努力、積極思考，探究出一些更好的求解方法，提高自身的數(shù)學核心素養(yǎng)，并能舉一反三、融會貫通的運用到數(shù)學其他板塊的知識中去。因此，必須重視通項公式求解方法這方面的探索，養(yǎng)成提出問題、分析問題、探究問題、解決問題的好習慣，對培養(yǎng)學生的研究能力以及開拓創(chuàng)新能力有很大好處。1.數(shù)列的預備知識1.1數(shù)列的基本概念定義1[1]（數(shù)列）：數(shù)列是以（或它的）為的函數(shù)，是一列的數(shù)。數(shù)列中在的數(shù)稱為這個數(shù)列的,也叫做\t"/item/%E6%95%B0%E5%88%97/_blank"首項，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的，，排在的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項，一般。1.1.1等差數(shù)列定義2[2]（等差數(shù)列）：如果一個數(shù)列從，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做\t"/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示。(1)通項公式：(2)通項公式的推廣：的關系為(3)從等差數(shù)列的：(4)若，則有(5)若，且，(6)，則有(7)前項和公式為：1.1.2等比數(shù)列定義3[3]（等比數(shù)列）：如果一個數(shù)列從起，每一項與它的的等于同一個常數(shù)，且每一項都不為0，這個數(shù)列叫\(zhòng)t"/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"等比數(shù)列。\t"/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"常數(shù)是其\t"/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"公比用表示。通項公式：任意兩項的關系為從等比數(shù)列的定義、公式可以推出：等比中項：。等比數(shù)列之和：，在等比數(shù)列中，首項與的值都不為0。1.1.3常見的特殊數(shù)列公式(1)數(shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，...通項為(2)數(shù)列通項為(3)數(shù)列2，4，6，8，10，12，14，...通項為(4)數(shù)列1，3，5，7，9，11，13，15，...通項為=2n-1(5)數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，-1，1，...通項為(6)數(shù)列1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，1，...通項為(7)數(shù)列1，0，1，0，1，0，1，01，0，1，0，1，...通項為(8)數(shù)列1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，...通項為(9)數(shù)列9，99，999，9999，99999，...通項為(10)數(shù)列1，11，111，1111，11111，...通項為(11)數(shù)列1，4，9，16，25，36，49，...通項為(12)數(shù)列1，2，4，8，16，32，...通項為1.2數(shù)列的相關性質1.2.1等差數(shù)列1.等差數(shù)列的判定方法(1)用定義[2]：對任意的n，都有為等差數(shù)列(2)為等差數(shù)列(3)(均是常數(shù)，且){}是等差數(shù)列(4)，(為常數(shù))（即為關于的的二次函數(shù)）{}。2.常用性質[4]性質1：若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列，()均是等差數(shù)列。性質2：對任何，在等差數(shù)列中，有，特別的，當m=1時，便得到等差數(shù)列的通項公式。另外可得公差性質3：若，則，特別的，當時，得性質4：如果是等差數(shù)列，公差為，那么也是等差數(shù)列，其公差為.性質5：若數(shù)列為等差數(shù)列，則記仍成等差數(shù)列，且公差為。1.2.2等比數(shù)列1.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法[3]：對任意的，都有為等比數(shù)列。(2)為等比數(shù)列(3)，()是等比數(shù)列。2.常用性質性質1：若數(shù)列，為等比數(shù)列，則數(shù)列()均為等比數(shù)列。性質2：對任意在等比數(shù)列中，有，當時，得等比數(shù)列的通項公式。性質3：若，則有，特別的，當時，得

性質4：如果是等比數(shù)列，公比為q，那么也是等比數(shù)列，其公比為.2.數(shù)列通項公式常見的求法分析2.1公式法[5]如果已知數(shù)列的與的關系，求數(shù)列，可以用下面的公式構造兩式作差進行求解。用以上公式時要注意先分為和＞1這兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。即把和＞1這兩種情況統(tǒng)一起來。因為對有些數(shù)列的公式來說，和的值不是同一個?！纠?】.已知：的首項=1，公比，設數(shù)列的通項為，求數(shù)列。解：由題意得：，又是等比數(shù)列，公比為q，，故數(shù)列是等比數(shù)列，，.2.2變換法2.2.1取倒變換法[7]就是利用倒數(shù)的變換來求解數(shù)列通項公式的一種普通方法，通常在的遞推公式中運用，且這時。通常有以下兩種不同類型：形如，()的遞推式：兩邊同時除以，轉化成的形式，化歸為型求出，最后求；形如，轉化成形式，化歸為型求出，最后求。注意：在取倒數(shù)時，要小心相應的遞推式進行變化后，分母不等于0。如果遇到了一些特殊的題目，就需要進行簡單說明?！纠?】.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，。2.2.2對數(shù)變換法“對數(shù)變換法”[8]就是當我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列關系式中有指數(shù)出現(xiàn)時，那么可以用對數(shù)變換法來去求解相應的數(shù)列公式。形如，(＞0，＞0)型的遞推式：在原有的遞推式兩邊取，令得：，轉化為型，求出之后最終得注意：在“取對數(shù)變換法”中，需要注意的是，要保證兩邊都是正數(shù)。因此在解題的時候，一般需要簡單說明一下，相應的數(shù)列遞推公式是大于0的。不過好在對高中階段的數(shù)列題目來說，大部分數(shù)列都是正數(shù)，因此就不用擔心正負的問題?！纠?】.設正項數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊取對數(shù)得：設所以是以2為公比的等比數(shù)列，所以。2.3換元法2.3.1根號，對數(shù)，次冪換元當題目給出的數(shù)列遞推公式中含有根號、對數(shù)、指數(shù)等時，一般是通過換元后，將相對應的數(shù)列遞推式轉化為簡單的數(shù)列形式來求解?！纠?】.已知：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令故，代入得，即因為則，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。2.3.2三角換元在求解數(shù)列通項公式的方法中，針對“換元法”[10]，有一種類型是三角換元。構造的數(shù)列題有著比較鮮明的特點，當我們用普通的方法求解不了相應的題目時，就可以考慮用三角換元的方式來進行求解。（1）三角換元通常用于以下數(shù)列遞推形式的求解中。①大部分含有平方項和根號。如；②提供的遞推方程中極少出現(xiàn)；③若第一問是求通項公式，第二問要求證明的等式/不等式中含有三角函數(shù)或者；④試著解出的中含有常見的三角函數(shù)值，這個時候，就可以考慮用三角換元法來求解。(注意熟記15°的三角函數(shù)值)（2）常用參照公式如下：當出現(xiàn)這些參照公式時，只需令其中一個為某一三角函數(shù)，解出形如或類似的遞推式，再用正常方法求解就可以了?！纠?】.已知數(shù)列滿足，求。解：※三角換元所需要注意的問題：①對于三角代換，首先要注意的范圍。當時—最好是(0，1)—我們可以做的代換。而要換成則沒多少限制，因為它的值域為R。②就是設的那個的范圍，要選取合適。如果，往往考慮；如果，可以考慮等等，當然，具體用什么三角函數(shù)需要根據(jù)遞推公式的形式來定。2.4待定系數(shù)法求解中，是最為常見的一種方法。以下是關于的求解公式中5種遞推式的情況：1.遞推式為型[6]一般通過分解公式中的常數(shù)，可轉化為特殊數(shù)列的形式來求解。解法：設與原式對比系數(shù)，得，即，從而得等比數(shù)列。【例6】.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由，而數(shù)列是以為公比。-1為首項的等比數(shù)列說明：通過對常數(shù)1的分解，進行適當組合，可得等比數(shù)列，從而達到解決問題的目的。2.遞推式為型可同除，得，從而化歸為型。【例7】.已知數(shù)列，滿足，求。解：將兩邊同除，得設.令條件可轉化成.數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.，因，。3.遞推式為方法：令，與已知遞推式進行比較，解出，從而轉化為是?！纠?】.設數(shù)列解：令，化簡得：所以，所以又因為所以數(shù)列是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而可得，所以。4.遞推式為方法：令，與己知的遞推式進行比較，解出從而轉化為是。【例9】.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設，比較系數(shù)得，所以由則，故數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.遞推式為，(其中均為常數(shù))解：先把原遞推公式轉化為，其中滿足【例10】.已知：數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。解：設，比較系數(shù)得，不妨取則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以。R總結：在使用待定系數(shù)法時，要注意在求解完相應的數(shù)列題目以后，一般情況下，要驗證數(shù)列的第一項是否符合求解出來的數(shù)列公式，這樣更完備一下。2.5數(shù)學歸納法“數(shù)學歸納法”[9]就是通過和首項求出數(shù)列的前項，進一步數(shù)列的，再用檢驗。“數(shù)學歸納法”利用的是數(shù)列的這個特性，即已知和給出的數(shù)列各項的關系，得唯一確定數(shù)列，最后只需要將猜測的公式帶入檢驗。如果，則該數(shù)列的通項就是正確結果?！纠?1】.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由，得由此可猜測，下面用數(shù)學歸納法證明這個結論。假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。綜上，等式對任何都成立。R總結：運用數(shù)學歸納法來解題的時候，關鍵點是要想辦法把“”這個步驟的證明給寫好，在這個步驟往往會出現(xiàn)一些比較麻煩的轉化或化簡過程，需要我們耐心分析，仔細比對，找出最合適的化簡方法即可。2.6不動點法定義[10]：函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的或稱為函數(shù)的不動點?！纠?2】.求函數(shù)的不動點。解：令，解出，即4是函數(shù)的一個不動點。方法：由求出不動點，在遞推公式兩邊同時減去，最后變形求解。關于運用“不動點法”求解數(shù)列通項公式的方法，有：形如【例13】.已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，兩邊都減去不動點一1，得，所以可以得到，設，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，故所以。R總結：①定理1:若函數(shù)是函數(shù)的一個不動點，即，如果數(shù)列滿足遞推關系，n＞1，則。②定理2:設，數(shù)列滿足遞推關系，n＞1，且初始值，如果函數(shù)有兩個相異的不動點，則，這里，也就是說數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；如果函數(shù)只有唯一的不動點P，則，這里，即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列。2.7周期法該數(shù)列中有一部分數(shù)列屬于周期數(shù)列，其求解方法是：由遞推式計算出數(shù)列的前幾項是什么，再尋找其周期，最后求出數(shù)列的通項公式?！纠?5】.已知數(shù)列滿足，求。解：，從而；即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.又，所以。2.8因式分解法如果題目中給出的數(shù)列關系式比較復雜，可以考慮將其分解因式或者約分化為較簡單的形式，再用其它更簡便的方法求得數(shù)列的通項公式。【例16】.已知，數(shù)列滿足，且有條件，求，。解：由，得：，即對故.合并同類項得：，再由待定系數(shù)法得：。2.9循環(huán)法數(shù)列有形如，如果不能構成數(shù)列的關系或者數(shù)列的關系，可考慮，進而求出。【例17】.在數(shù)列中，。解：由條件，即，即每間隔6項循環(huán)一次.。3.用遞推關系求數(shù)列通項公式及其在高考中的應用3.1累加法對遞推為型數(shù)列，依據(jù)遞推公式，寫出取時所有的，然后將這些分別對應相加，即可得到所求的。形如型的遞推數(shù)列[6]（其中是關于n的函數(shù)）可構造：將以上個式子兩邊分別相加，得：其中可以是關于的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)等。①若是關于，后可轉化為等差數(shù)列求和；②若是關于，后可轉化為等比數(shù)列求和；③若是關于，后可分組求和；④若是關于，后可裂項求和；【例18】.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得，則所以數(shù)列的通項公式為.【例19】.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：由得則所以.3.2累乘法形如型的遞推數(shù)列[8]（其中是關于n的函數(shù)）可構造：將上述n-1個式子兩邊分別相乘，可得：。【例20】.在數(shù)列中，，求通項。解：由已知所以【例21】.設是首項為1的正項數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式。解：已知等式可化為：3.3遞推公式中既有，又有型把已知關系通過轉化為數(shù)列或的遞推關系，然后采用相應的方法求解?！纠?2】.已知數(shù)列中，＞0，且，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。3.4無窮遞推數(shù)列型針對無窮遞推數(shù)列來說，可以采用階差法（逐項相減法或兩式相減法）來求解相應的通項公式。利用兩式相減法有兩點好處：(1)可以把相同項給減掉，特別是一些常數(shù)項；(2)兩式相減以后，很多時候可以進行因式分解，進而對相減的式子進行整理化簡。同時，當有平方項的時候，還可以利用平方差公式。因此，針對一些數(shù)列公式的求解方法，可以試試兩式相減法來進行求解?！纠?3】.已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為①所以②用②式-①式得則，故所以