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…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁,總=sectionpages22頁第=page11頁,總=sectionpages11頁2025年華東師大版高三數(shù)學下冊階段測試試卷28考試試卷考試范圍:全部知識點;考試時間:120分鐘學校:______姓名:______班級:______考號:______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題,共10分)1、設G是△ABC內(nèi)一點,且=2,∠BAC=30°,定義f(G)=(m,n,p)=m+n+p,其中m,n,p分別是△GBC,△GCA,△GAB的面積,當f(G)=(,x,y)時,的最小值是()A.8B.9C.16D.182、如圖,A、B是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點,點M在單位圓上,∠AOM=α(0<α<π),點C(-3,0),若BC⊥OM,則sin(2α-)=()A.B.C.D.3、皖西七校高三聯(lián)考中,理科學生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(98,100).已知參加本次考試的理科學生約9458人.某學生在這次考試中的數(shù)學成績是108分,那么他的數(shù)學成績大約排在前多少名左右?()A.1500B.1700C.4500D.80004、拋物線y2=ax(a≠0)的準線方程是()
A.x=-
B.x=
C.x=-
D.x=
5、已知集合M={x|≤2x≤4},N={x|x-k>0},若M∩N=?,則k的取值范圍是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1]評卷人得分二、填空題(共8題,共16分)6、已知不等式mx2+nx+3>0(m≠0)的解集是{x|-1<x<3},則不等式x2+mx+n<0的解集是____.7、不等式2-lnx≥0解集是____.8、已知θ∈R,則+的最大值是____.9、若函數(shù)f(x)=x3-x2+a在[-1,1]的最小值是1,則實數(shù)a,b的值是____.10、有如下幾個結(jié)論:
①若函數(shù)y=f(x)滿足:;則2為y=f(x)的一個周期;
②若函數(shù)y=f(x)滿足:f(2x)=f(2x+1),則為y=f(x)的一個周期;
③若函數(shù)y=f(x)滿足:f(x+1)=f(1-x);則y=f(x+1)為偶函數(shù);
④若函數(shù)y=f(x)滿足:f(x+3)+f(1-x)=2;則(3,1)為函數(shù)y=f(x-1)的圖象的對稱中心.
正確的結(jié)論為____(填上正確結(jié)論的序號)11、直線l1:(a+3)x+y-3=0與直線l2:5x+(a-3)y+4=0,若l1的方向向量是l2的法向量,則實數(shù)a=____.12、已知函數(shù)則=____.13、(理)設函數(shù)則將y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為____.評卷人得分三、判斷題(共6題,共12分)14、函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]是奇函數(shù).____(判斷對錯)15、已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過定點p,則點p的坐標是(1,5)____.(判斷對錯)16、判斷集合A是否為集合B的子集;若是打“√”,若不是打“×”.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}.____;
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}.____;
(3)A={0},B={x|x2+1=0}.____;
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.____.17、已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過定點p,則點p的坐標是(1,5)____.(判斷對錯)18、空集沒有子集.____.19、任一集合必有兩個或兩個以上子集.____.評卷人得分四、其他(共1題,共6分)20、定義:,若已知函數(shù)(a>0且a≠1)滿足f(1)=.
(1)解不等式:f(x)≤2;
(2)若f(2t)+mf(t)+4≥0對于任意正實數(shù)t恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.評卷人得分五、綜合題(共4題,共32分)21、如圖;在矩形ABCD中,OA=5,AB=4,點D為邊AB上一點,將△BCD沿直線CD折疊,使點B恰好落在OA上的點E處,分別以OC,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系.
(1)求OE的長及經(jīng)過O;D,C三點拋物線的解析式;
(2)一動點P從點C出發(fā);沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動,同時動點Q從E點出發(fā),沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動,當點P到達點B時,兩點同時停止運動,設運動時間為t秒,當t為何值時,DP=DQ;
(3)若點N在(1)中拋物線的對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出M點坐標;若不存在,請說明理由.22、已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓焦距為2,離心率為
(1)求橢圓的標準方程。
(2)若直線l過點(1,2)且傾斜角為45°且與橢圓相交于A,B兩點,求弦長|AB|.23、設有半徑為3km的圓形村落;A;B兩人同時從村落中心出發(fā).B一直向北直行;A先向東直行,出村后一段時間,改變前進方向,沿著與村落邊界相切的直線朝B所在的方向前進.
(1)若A在距離中心5km的地方改變方向;建立適當坐標系,求:A改變方向后前進路徑所在直線的方程
(2)設A、B兩人速度一定,其速度比為3:1,且后來A恰與B相遇.問兩人在何處相遇?(以村落中心為參照,說明方位和距離)24、已知拋物線C1:y2=4x,圓C2:(x-1)2+y2=1,過拋物線焦點F的直線l交C1于A,D兩點(點A在x軸上方),直線l交C2于B;C兩點(點B在x軸上方).
(Ⅰ)求|AB|?|CD|的值;
(Ⅱ)設直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q,且滿足m+n+p+q=3,并且|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,求出所有滿足條件的直線l的方程.參考答案一、選擇題(共5題,共10分)1、D【分析】【分析】由向量的數(shù)量積公式得|?||cos∠BAC=2,即有||?||=4,由題意得,x+y=1-=.+=2(5++)≥2(5+2),即可得答案.【解析】【解答】解:∵=2;∠BAC=30°;
所以由向量的數(shù)量積公式得|?||cos∠BAC=2;
∴||?||=4;
∵S△ABC=||?||sin∠BAC==1;
由題意得,x+y=1-=;
則+=2(x+y)(+)
=2(5++)≥2(5+2)=2×9=18;
等號在x=,y=取到;所以最小值為18.
故選D.2、A【分析】【分析】由BC坐標,求出直線BC的斜率,進而根據(jù)BC⊥OM,可得OM的斜率,即α的正切值,進而利用同角三角函數(shù)基本關系式,求出sinα,cosα,進而利用倍角公式和差角公式,可得答案.【解析】【解答】解:由圖知B(0;1),C(-3,0);
所以;
而∠AOM=α(0<α<π)且BC⊥OM;
從而kOM=tanα=-3;
則;
;
;
故選A;3、A【分析】【分析】將正態(tài)總體向標準正態(tài)總體的轉(zhuǎn)化,求出概率,即可得到結(jié)論.【解析】【解答】解:∵考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(98;100).∵μ=98,σ=10;
∴P(ξ≥108)=1-P(ξ<108)=1-Φ()=1-Φ(1)≈0.1587;
即數(shù)學成績優(yōu)秀高于108分的學生占總?cè)藬?shù)的15.87%.
∴9458×15.87%≈1500
故選A.4、A【分析】
(1)當a>0時;
焦點在x軸上;且2p=a;
∴
∴拋物線的準線方程是
(2)同理;當a<0時,也有相同的結(jié)論.
故選A.
【解析】【答案】利用拋物線的標準方程;求得2p,從而可求拋物線的準線方程.
5、B【分析】解:M={x|≤2x≤4}={x|-1≤x≤2};N={x|x-k>0}={x|x>k};
結(jié)合圖象
∵M∩N=?;
∴k值所對應的點必須要在2的右側(cè)或與2重合;即k≥2
故選B.
化簡集合M;N,要使M∩N=?,可借助于數(shù)軸解決.
本題主要考查了集合運算中參數(shù)的取值問題,借助于數(shù)軸形象,直觀,容易得到正確的結(jié)果.此類題目易錯點在于端點值是否取到.須特別注意.【解析】【答案】B二、填空題(共8題,共16分)6、略
【分析】【分析】先根據(jù)韋達定理求出m,n的值,再解不等式即可.【解析】【解答】解:∵不等式mx2+nx+3>0(m≠0)的解集是{x|-1<x<3};
∴m<0,且-1+3=-,-1×3=;
解得m=-1;n=2;
∴不等式x2+mx+n<0化為x2-x+2<0;
∵△=1-8<0;
∴不等式x2-x+2<0的解集為?.
故答案為:?7、略
【分析】【分析】直接由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對數(shù)不等式得答案.【解析】【解答】解:由2-lnx≥0;得lnx≤2;
解得:0<x≤e2.
∴不等式2-lnx≥0的解集是(0,e2].
故答案為:(0,e2].8、略
【分析】【分析】設y=+,平方由三角函數(shù)的最可得.【解析】【解答】解:設y=+;
平方可得y2=1+sin2θ+1+cos2θ+2
=3+2=3+2
=3+2;
∴當sin2θ=±1時;上式取到最大值6;
∴y=+有最大值
故答案為:9、略
【分析】【分析】3次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題,一般利用導數(shù)法求最值,原函數(shù)求導,得到f′(x)=3x2-2x,再令導數(shù)為0,然后求出極小值,再與端點值作比較,取最小的那個,便是這個函數(shù)的最小值.【解析】【解答】解:f′(x)=3x2-2x=x(3x-2)=0,解得x=0,或x=x∈(0,)時,f′(x)<0,x∈(,1)時,f′(x)>0,所以f()=a-;
又f(-1)=a-2,顯然a-2<a-;
所以a-2=1;所以a=3;
故答案為:3.10、略
【分析】【分析】根據(jù)已知分析函數(shù)的周期性,可判斷①②;分析函數(shù)的奇偶性,可判斷③;分析函數(shù)的對稱性,可判斷④.【解析】【解答】解:①;
∴f(x+1)=-;
∴f(x)=f(x+2);則2為y=f(x)的一個周期,故正確;
②f(2x)=f(2x+1);
令t=2x;
∴f(t)=f(t+1);
∴f(x)=f(x+1);則1為y=f(x)的一個周期,故錯誤;
③y=f(x+1)為偶函數(shù);
∴f(-x+1)=f(x+1);故正確;
④若函數(shù)y=f(x)滿足:f(x+3)+f(1-x)=2;
令t=x+3;則x=t-3,1-x=4-t;
即f(t)+f(4-x)=2;
即函數(shù)y=f(x)的圖象關于(2;1)點對稱;
則函數(shù)y=f(x-1)的圖象的對稱中心為(0;0),故錯誤;
故正確的結(jié)論為:①③
故答案為:①③11、略
【分析】【分析】先分別求出兩直線的方向向量,然后根據(jù)l1的方向向量是l2的法向量,則兩直線的方向向量垂直,最后根據(jù)互相垂直的向量的數(shù)量積為0,從而求出所求.【解析】【解答】解:∵直線l1:(a+3)x+y-3=0與直線l2:5x+(a-3)y+4=0;
∴直線l1的方向向量為=(1;-(a+3));
直線l2的方向向量為=(1,);
∵l1的方向向量是l2的法向量;
∴兩直線的方向向量垂直,即?=1×1+(-a-3)×=0;解得a=-2;
∴實數(shù)a=-2.
故答案為:-2.12、略
【分析】
∵數(shù)∴f()=>>-1,且f()<0;
∴f(f())====
故答案為.
【解析】【答案】先求出t=f()的值,并判斷t的范圍,寫出f(f())=f(t)的解析式;應用對數(shù)的運算公式求出f(t)的值.
13、略
【分析】
由題意可知函數(shù)則將y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體。
是由一個半球與一個圓錐組成;球的半徑為:1,圓錐的底面半徑為1,高為1;
所以所求幾何體的體積為:=π.
故答案為:π
【解析】【答案】根據(jù)題意;這旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是由一個半球與一個圓錐組成,求出半球的體積與圓錐的體積即可得到結(jié)果.
三、判斷題(共6題,共12分)14、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案.【解析】【解答】解:∵x∈[0;2π],定義域不關于原點對稱;
故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù);
故答案為:×15、√【分析】【分析】已知函數(shù)f(x)=ax-1+4,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求出其過的定點.【解析】【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ax-1+4;其中a>0,a≠1;
令x-1=0,可得x=1,ax-1=1;
∴f(x)=1+4=5;
∴點P的坐標為(1;5);
故答案為:√16、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念,判斷A的所有元素是否為B的元素,是便說明A是B的子集,否則A不是B的子集.【解析】【解答】解:(1)1;3,5∈B,∴集合A是集合B的子集;
(2)5∈A;而5?B,∴A不是B的子集;
(3)B=?;∴A不是B的子集;
(4)A;B兩集合的元素相同,A=B,∴A是B的子集.
故答案為:√,×,×,√.17、√【分析】【分析】已知函數(shù)f(x)=ax-1+4,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求出其過的定點.【解析】【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ax-1+4;其中a>0,a≠1;
令x-1=0,可得x=1,ax-1=1;
∴f(x)=1+4=5;
∴點P的坐標為(1;5);
故答案為:√18、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質(zhì),分析可得空集是其本身的子集,即可得答案.【解析】【解答】解:根據(jù)題意;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
即空集是其本身的子集;則原命題錯誤;
故答案為:×.19、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集,故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤.【解析】【解答】解:?表示不含任何元素;?只有本身一個子集,故錯誤.
故答案為:×.四、其他(共1題,共6分)20、略
【分析】【分析】(1)根據(jù)f(1)=;可求a的值,根據(jù)所給定義,分類討論化簡函數(shù),分別解不等式,即可得到結(jié)論;
(2)表示出相應函數(shù),將不等式等價變形,利用換元法,再分離參數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,即可求得實數(shù)m的取值范圍.【解析】【解答】解:(1)由題意,f(1)=a-=,∴a=2或-(舍);(1分)
當x>0時,f(x)=≤2,∴0<x≤;(3分)
當x=0時,f(0)=20-=1≤2;∴x=0,(4分)
當x<0時,f(x)=2x-=2x+1≤2;∴x≤0;
因為x<0;所以x<0,(6分)
綜上所述,不等式的解集為(-∞,].(7分)
(2)因為t>0,所以f(t)=2t+,f(2t)=22t+;
∴f(2t)+mf(t)+4=22t++m(2t+)+4≥0恒成立;(8分)
令u=2t+(t>0)∈[0;+∞),(9分)
則22t++m(2t+)+4=u2-2+mu+4=u2+mu+2≥0恒成立;
∴m≥-(u+)(u∈[0;+∞))恒成立;
∴m≥[-(u+)]max(u∈[0;+∞)),(11分)
∵[-(u+)]max(u∈[0,+∞))=-2;(13分)
綜上所述,m≥-2.(14分)五、綜合題(共4題,共32分)21、略
【分析】【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可求得CE;CO;在Rt△COE中,由勾股定理可求得OE,設AD=m,在Rt△ADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D點坐標,結(jié)合C、O兩點,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)用t表示出CP;BP的長;可證明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;
(3)可設出N點坐標,分三種情況①EN為對角線,②EM為對角線,③EC為對角線,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點橫坐標,從而可求得M點的橫坐標,再代入拋物線解析式可求得M點的坐標.【解析】【解答】解:(1)∵CE=CB=5;CO=AB=4;
∴在Rt△COE中;OE=3;
設AD=m;則DE=BD=4-m;
∵OE=3;
∴AE=5-3=2;
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4-m)2,解得m=;
∴D(-;-5);
∵C(-4;0),O(0,0);
∴設過O;D、C三點的拋物線為y=ax(x+4);
∴-5=-a(-+4),解得a=;
∴拋物線解析式為y=x(x+4)=x2+x;
(2)∵CP=2t;
∴BP=5-2t;
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,;
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL);
∴BP=EQ;
∴5-2t=t;
∴t=;
(3)∵拋物線的對稱為直線x=-2;
∴設N(-2;n);
又由題意可知C(-4;0),E(0,-3);
設M(m;y);
①當EN為對角線;即四邊形ECNM是平行四邊形時;
則線段EN的中點橫坐標為=-1,線段CM中點橫坐標為;
∵EN;CM互相平分;
∴=-1;解得m=2;
又M點在拋物線上;
∴y=×22+×2=16;
∴M(2;16);
②當EM為對角線;即四邊形ECMN是平行四邊形時;
則線段EM的中點橫坐標為,線段CN中點橫坐標為=-3;
∵EN;CM互相平分;
∴=-3;解得m=-6;
又∵M點在拋物線上;
∴y=×(-6)2+×(-6)=16;
∴M(-6;16);
③當CE為對角線;即四邊形EMCN是平行四邊形時;
則M為拋物線的頂點,即M(-2,-).
綜上可知,存在滿足條件的點M,其坐標為(2,16)或(-6,16)或(-2,-).22、略
【分析】【分析】(1)根據(jù)焦點在x軸上的橢圓焦距為2,離心率為,可得c=1,=;求出幾何量,可得橢圓的標準方程;
(2)直線l的方程為y=x+1,代入橢圓方程,消去y可得7x2+8x-8=0,利用弦長公式可得結(jié)論.【解析】【解答】解:(1)∵焦點在x軸上的橢圓焦距為2,離心率為;
∴c=1,=;
∴a=2;
∴b2=a2-c2=3;
∴所求橢圓方程為;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2);則。
∵直線l過點(1;2)且傾斜角為45°;
∴直線l的方程為y=x+1;
代入橢圓方程,消去y可得7x2+8x-8=0;
∴x1+x2=-,x1x2=-
∴|x1-x2|==
因此,|AB|=?|x1-x2|=.23、略
【分析】【分析】(1)建立坐標系;設出直線方程,利用圓心到直線的距離等于5,即可求得直線方程;
(2)先確定PQ的斜率,設出直線方程,利用PQ與圓O相切,直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置,即可求得結(jié)論.【解析】【解答】解:(1)建立如圖坐標系;則P(5,0);
設直線方程為y=k(x-5)(k<0),由圓心到直線的距離等于5,可得
∴k=±,∵k<0,∴k=-
∴A改變方向后前進路徑所在直線的方程為;
(2)由題意可設A;B兩人速度分別為3v千米/小時
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