(人教A版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：隨機抽樣

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案（人教版A版）.

隨機抽樣

一.【課標要求】

i.能從現(xiàn)實星活或其他提出具有一定價值的統(tǒng)計問題；

2.結(jié)合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性；

3.在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過

對實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法；

4.能通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷毒方法收集數(shù)據(jù).

二.【命題走向】

統(tǒng)計是在初市數(shù)學(xué)統(tǒng)計初步的深化和擴展，本講的主要內(nèi)容是隨機抽樣的方法在總體中

抽取樣本。

預(yù)測2019年高考對本講的考察是：

（1）以基本題（中、低檔題為主），多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背

景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力；

（2）熱點是隨機抽樣方法中的分層抽樣、系統(tǒng)抽樣方法.

三.【要點精講】

三種常用抽癢方法：

1.簡單隨機抽樣：飯一個總體的個數(shù)為No如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣

本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單

隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法.

（1）抽簽法

制簽：先將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到N）,并把號碼寫在形狀、大小相

同的號簽上，號簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進

行均勻攪拌；

抽簽：抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續(xù)抽取〃次；

成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為〃的樣本。

抽簽法簡便易行，當總體的個體數(shù)不多時，適宜采用這種方法.

（2）隨機數(shù)表法

編號：對總體進行編號，保證位數(shù)一致；

數(shù)數(shù)：當隨機地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀敘的方向可以向右，也可以向左、向上、向下

等等。在讀數(shù)過程中，得到一串數(shù)字號碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號碼后，其

中依次出現(xiàn)的號碼可以看成是依次從總體中抽取的各個個體的號碼。

成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為〃的樣本.

結(jié)論：

①用簡串隨機抽樣，從含有N個個體的總體中抽取一個容量為〃的樣本時，每次抽取一

個個體時任一個體被抽到的概率為上；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為K；

NN

②基于此，簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性；

③簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進行抽??；它是一種等概率抽

樣。.

2.系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾人部分，然后按照預(yù)先

定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱

為機械抽樣）。

系統(tǒng)抽樣而步驟可概括為：

（1）將總體中的個體編號。采用隨機的方式將總體中的個體編號；_

N

（2）將整個的編號進行分段。為將整個的編號進行分段，要確定分段的間隔h當一是

n

NN

整數(shù)時，k=J當上不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數(shù)N'能被〃

nn

整除，這時k=LN，；

n

（3）確定起始的個體編號。在第1段用簡單隨機抽樣確定起始的個體邊弓/；

（4）抽取樣本。按照先確定的規(guī)則（常將/加上間隔Z）抽取需本：

1,1+k,l+2/k,,,*,Z+（n—V）k?

3.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按

照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

結(jié)論：

（1）芬層抽樣是等概率抽樣，它也是公平的。用分層抽樣從個體數(shù)為N的總體中抽取

一個容量為〃的樣本時，在整個拍樣過程中每個個體被抽到的概率相等，都等于工；

N-

（2）分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，曰于它充分利用了己知

信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實踐的應(yīng)用更為廣泛.

四.【典例解析】

題型1：統(tǒng)計概念及簡單隨機抽樣一

例1.為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年

齡，就這個問題來說，下列說法正確的是（）.

A.1000名運動員是總體B.每個運動員是個體一

C.抽取的100名運動員是樣本D.樣本容量是100

解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況，因此應(yīng)選D。_

答案：D

點評：鉉題屬于易錯題，一定要區(qū)分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。

例2.今用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本。問：①總

體中的某一個體。在第一次抽取時被抽到的概率是多少?②個體。不是在第1次未被抽到，

而是在第2次被抽到的概率是多少?③在整個抽樣過程中，個體。被抽到的概率是多少?_

解析：（1）—,（2）—>（3）—o

333-

點評：由問題（1）的解答，出示簡單隨機抽樣的定義，問題（2）是本講難點?；诖耍?/p>

簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性.

題型2：系統(tǒng)抽樣

例3.為了了解參加某種知識競賽的1003名學(xué)生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量

為50的樣本。.

解析：（1）隨機地將這1003個個體編號為1,2,3,…，1003.

（2）利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體（可利用隨機藪表），剩下的個體數(shù)

1000能被樣本容量50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進行.一

點評：總體中的每個個體被剔除的概率相等（上］,也就是每個個體不被剔除的概率

相等（照］.采用系統(tǒng)抽樣時每個個體被抽取的概率都是（當_〕，所以在整個抽樣過程

11003）［1000J

中每個個體被抽取的概率仍然相等，都是磔乂也=也。

100310001003_

例4.1（2008年湖南理，15）|

.對有n（n24）個元素的總體｛1,2,???,〃｝進行抽樣，先將總體分成兩個子總體一

｛1,2,…，加｝和｛m+1,m+2,…（m是給定的正整數(shù)，且2Wm〈n-2）,再從一

每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用今表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣_

本中的概率，則匕-:所有4（lWiVjW，）的和等于..

4

【答案】6

【解析］k瓷土就霍就言寸嬴片第二空可分:

C2

①當。jW{1,2,…,加}吐Pjj=-77=1；

Cm

②當{租+1,m+2,…，九}時,=1

③當i￡{l,2,…,加},e{m+1,機+2,???,〃}時

4

Pg-m(n-m)x=4;

m(n-m)

所以尾=l+l+4=6.

點評：當總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用

甲班乙班

系統(tǒng)抽樣。采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進

行.2181

（20。9年廣東卷文）（本小題滿分13分）

隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身99101703689

高（單位:cm）,獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖

如圖7.883216258

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；

（2）計算甲班的樣本方差8159

（3）現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于

173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.圖7

解析（1）由莖葉圖可知：甲班身高集中于160:179

之間，而乙班身高集中于170:180之間。因此乙班平均身高高于甲班;

,158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

X=------------------------------------------------------------------=1/U

10

甲班的樣本方差為《[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170『+(168-170)2

+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57

(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A；

從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181,173)(181,176)

(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,173)

(178,176)(176,173)共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件；

題型3：分層抽樣

例5.（2009全國卷II文）（本小題滿分12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人;

乙組有10名工人，其中有6名女工人?，F(xiàn)采用分層抽樣（層內(nèi)采用不放回簡單隨即抽樣）

從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術(shù)考核.

（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

（2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.

解析本題考查概率統(tǒng)計知識，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事

件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得

出概率，第三問關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求

概率.

解(1)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽

取4名工人進行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人.

(2)記A表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則P(A)=-^=a

2

rVIO125

(3)A,表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，Z=0,1,2

用表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0,1,2

5表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

A,.與烏獨立，z,y=0,1,2,且8=4居+44+42綜

故P(B)=P(4?邑+A?>+4?Bo)

=P(&)?尸(4)+P(A)?尸(耳)+P(4).P(Bo)

「202「'「I「2「2

5.55-6..%.%

Jo5o5o55o5o

點評：本小題主要考杳分層抽樣的概念和運算，以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。

例6.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)

生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分

別抽取學(xué)生()

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

解析：B；

點評：根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù)。

題型4：綜合問題

例7.(1)某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷

售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，

記這項調(diào)查為①：在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售

后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是

A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

分析：此題為抽樣方法的選取問題.當總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當總體中的

個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣.

依據(jù)題意，第①項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機抽樣法.故選B.

答案：B

(2)某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽

樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，

使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…，270；

使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號1,2,…，270,并將整個編號依次分為10段.如果

抽得號碼有下列四種情況：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,145,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；

關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()

A.②、③都不能為系統(tǒng)抽樣B.②、④都不能為分層抽樣

C.①、④都可能為系統(tǒng)抽樣D.①、③都可能為分層抽樣

解析：Do

點評：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定。

五.【思維總結(jié)】

常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別:

類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍

總體中的

簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取個數(shù)比較

少

抽樣過程

將總體均勻分成幾個在起始部分抽總體中的

中每個個

系統(tǒng)抽樣部分，按照事先確定樣時采用簡單個數(shù)比較

體被抽取

的規(guī)則在各部分抽取隨機抽樣多

的概率是

體

差

總