2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．7 三角函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用 2題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用 4題型三：數(shù)據(jù)擬合問題 6題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用 10題型五：幾何中的三角函數(shù)模型 18【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 22【高考真題】 37【題型歸納】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用1．（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s（單位:cm）和時(shí)間t（單位:s）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺擺動(dòng)的頻率為，第二次到達(dá)平衡位置O所需要的時(shí)間為s．

【答案】/0.5【解析】單擺擺動(dòng)的頻率當(dāng)時(shí)，，故第一次到達(dá)平衡位置O的所需要的時(shí)間為．所以第二次到達(dá)平衡位置O所需要的時(shí)間為故答案為：；.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變?質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

【答案】【解析】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因?yàn)?，所以，所以，由區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度為，即區(qū)間長(zhǎng)度為個(gè)周期，當(dāng)區(qū)間在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不妨設(shè)，可得則，因?yàn)?，可得，?dāng)或時(shí)，取最小值；當(dāng)區(qū)間在不同一個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不妨設(shè)，可得，此時(shí)函數(shù)在上先增后減，此時(shí)，不妨設(shè)，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.3．（2024·高一·云南昆明·期末）一個(gè)單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移-時(shí)間圖象如圖所示，S表示離開O的位移（單位：cm），t表示振動(dòng)的時(shí)間（單位：s），則該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為cm，振動(dòng)的最小正周期為s．【答案】64【解析】單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移-時(shí)間圖符合正弦型函數(shù)，由圖可知振幅為6，最小正周期為．故答案為：；4．（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時(shí)間t（單位：s）滿足.在一個(gè)周期內(nèi)，電壓的絕對(duì)值超過的時(shí)間為.（答案用分?jǐn)?shù)表示）.【答案】s【解析】由已知，，，.在區(qū)間內(nèi)，令，或，可得，；同理令，可得，.綜上，電壓的絕對(duì)值超過的時(shí)間為（s）.故答案為：s．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用5．（2024·高一·福建泉州·期中）某地新建了一處云頂觀景塔，引來廣大市民參觀，張同學(xué)在與塔底水平的處，利用無人機(jī)在距離地面的處觀測(cè)塔頂?shù)母┙菫?0°，在無人機(jī)正下方距離地面的處觀測(cè)塔頂仰角為60°，則該塔的高度為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，，所以，設(shè)塔頂為點(diǎn)，作于，如下圖所示：易知，所以，所以，同理，即塔高，所以該塔的高度為．故選：C．6．（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值.已知太陽(yáng)每年直射范圍在南北回歸線之間，即.北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯，若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米，則該天的太陽(yáng)直射緯度為（

）A．北緯 B．北緯C．南緯 D．南緯【答案】C【解析】由題可知，天安門廣場(chǎng)的太陽(yáng)高度角，由華表的高和影長(zhǎng)相等可知，所以.所以該天太陽(yáng)直射緯度為南緯故選：C7．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖所示是一個(gè)主體高為的螺旋形旋轉(zhuǎn)滑梯.某游客從該滑梯頂端出發(fā)一直滑到底部，把其運(yùn)動(dòng)軌跡投影到滑梯的軸截面上，得到的曲線對(duì)應(yīng)的方程為（，）（，的單位：），若該游客整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中相位的變化量為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由旋轉(zhuǎn)滑梯高為知，投影到軸截面上后，游客對(duì)應(yīng)在橫軸上移動(dòng)的距離是，當(dāng)時(shí)，初相為，且游客一直滑到底部，則最后的相位為，故整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，相位的變化量為，.故選：D.題型三：數(shù)據(jù)擬合問題8．（2024·高一·四川涼山·期末）某地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是2024年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份1月份2月份3月份4月份收購(gòu)價(jià)格（元/斤）8987養(yǎng)殖成本（元/斤）55.5866.32現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系.(1)請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型解析式；(2)按照你選定的函數(shù)模型，分析今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在5，6，7，8月份分別是盈利還是虧損？【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收購(gòu)價(jià)格月份變化上下波動(dòng)，應(yīng)選模型①，由表中數(shù)據(jù)可知，養(yǎng)殖成本逐月遞增，應(yīng)選模型②，對(duì)于模型①，由點(diǎn)及，可得函數(shù)周期滿足，即，所以，又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對(duì)于模型②，圖象過點(diǎn)，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設(shè)，，若時(shí)則盈利，若則虧損；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；這說明第5，6，7月份可能盈利，8月份生豬養(yǎng)殖戶可能出現(xiàn)虧損．9．（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩(shī)展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，通過實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過多次測(cè)量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請(qǐng)你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．【解析】（1）畫出散點(diǎn)圖，連線如下圖所示：設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請(qǐng)?jiān)?：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的．10．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下表是某地某年月平均氣溫（華氏度）：月份123456789101112平均氣溫21.426.036.048.859.168.673.071.964.753.539.827.7以月份為x軸（月份），以平均氣溫為y軸.（1）用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；（2）估計(jì)這個(gè)正弦曲線的周期T和振幅A；（3）下面三個(gè)函數(shù)模型中，哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)？①；②；③.【解析】解析（1）如圖.（2）最低氣溫為1月份21.4，最高氣溫為7月份73.0，故，所以.因?yàn)?A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差，即，所以.（3）因?yàn)樵路?，所以不妨?代入①，得，故①不適合，代入②，得，故②不適合，代入③，得，所以③適合.所以③最適合這些數(shù)據(jù).11．（2024·高一·江西宜春·期末）某地農(nóng)業(yè)檢測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份1月份2月份3月份4月份收購(gòu)價(jià)格（元/斤）6765養(yǎng)殖成本（元/斤）344．65現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損？【解析】（1）對(duì)于模型①，由點(diǎn)及可得函數(shù)周期滿足，即，所以，又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對(duì)于模型②，圖象過點(diǎn)，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設(shè)，，若時(shí)則盈利，若則虧損；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；這說明第8，9，11，12這四個(gè)月收購(gòu)價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．所以今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有可能虧損．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用12．（2024·高一·四川綿陽(yáng)·期末）風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動(dòng)風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)，當(dāng)風(fēng)吹向葉片時(shí)驅(qū)動(dòng)風(fēng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，進(jìn)而來推動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電．如圖，風(fēng)機(jī)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)機(jī)，葉片旋轉(zhuǎn)軸離地面100米，葉片長(zhǎng)40米．葉片按照逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈．風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開始，轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后離地面的距離為h米，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，h關(guān)于t的函數(shù)解析式為（，，）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng)．【解析】（1）由題意，得風(fēng)機(jī)的角速度每秒，當(dāng)時(shí)．解得．（2）令，則，即，，解得，．當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng)為秒．13．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在自然條件下，對(duì)某種細(xì)菌在一天內(nèi)存活的時(shí)間進(jìn)行了一年的統(tǒng)計(jì)與測(cè)量，得到10次測(cè)量結(jié)果（時(shí)間近似到0.1小時(shí)），結(jié)果如表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號(hào)x15980117126172225263298355存活時(shí)間y小時(shí)5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)試選用一個(gè)形如的函數(shù)來近似描述一年（按365天計(jì)）中該細(xì)菌一天內(nèi)存活的時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)解析式；(2)用（1）中的結(jié)果估計(jì)該種細(xì)菌一年中大約有多少天的存活時(shí)間大于15.9小時(shí)．【解析】（1）設(shè)細(xì)菌存活時(shí)間與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)解析式滿足，由已知表可知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，∴，故，又，故，又，∴．當(dāng)時(shí)，，∴，∴．（2）由得，又，∴，可得，易知，∴這種細(xì)菌一年中大約有121天的存活時(shí)間大于15.9小時(shí)．14．（2024·高一·山東濟(jì)寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色。如圖1，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，游客甲在P處坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm，求轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)10min后距離地面的高度；(3)如圖2，若甲、乙兩人先后分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，在運(yùn)行一周的過程中，求經(jīng)過tmin后，乙距離地面的高度的函數(shù)解析式，并求出兩人距離地面高度相等的時(shí)刻t(精確到0.1).（參考公式：)【解析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P，因?yàn)檗D(zhuǎn)盤直徑為110m，所以，以O(shè)P為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，又摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，最低點(diǎn)距離地面高度為由題意可得.H關(guān)于t的函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知時(shí)，.所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)10min后距離地面的高度約為92.5m.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，則，經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點(diǎn)B相對(duì)于A始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為，兩人距離地面高度相等的時(shí)刻，方法一：甲、乙分別位于最高點(diǎn)的兩側(cè)，并且具有對(duì)稱性的時(shí)刻，兩人距離地面高度相等因?yàn)檗D(zhuǎn)一周大約需要30min，，所以甲從最低點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過，乙從最低點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過，此時(shí)時(shí)間為.所以，兩人距離地面高度相等的時(shí)刻t約為15.3方法二：即H1=H可得，解得.所以，兩人距離地面高度相等的時(shí)刻t約為15.3方法三：甲乙距離地面的高度差為，利用，可得：，當(dāng)時(shí)，，由題意可知：，解得.所以，兩人距離地面高度相等的時(shí)刻t約為15.3.15．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期中）筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設(shè)備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動(dòng)力，取水灌田.如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個(gè)盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個(gè)月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點(diǎn)到水面的距離為10米，每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置到水面的距離為7米.(1)盛水筒經(jīng)過秒后到水面的距離為米，求筒車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)為了把水引到高處，在筒車中心正上方距離水面8米處正中間設(shè)置一個(gè)寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長(zhǎng)時(shí)間能把水倒入盛水槽.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）以簡(jiǎn)車中心為原點(diǎn)，與水面平行的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題知，，又筒車半徑為6，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則，由題知，，解得，，故，；（2）如圖，作弦平行且等于盛水槽，則在中，，，，則，則距離水面的高度，盛水筒轉(zhuǎn)到盛水槽的正上方（即之間），能把水倒入盛水槽，即當(dāng)時(shí)符合題意，則，即，解得，因?yàn)?，所以盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，能把水倒入盛水槽的時(shí)間為秒.16．（2024·高二·湖北武漢·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，座艙距離地面的高度關(guān)于時(shí)間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個(gè)座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)甲位置對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，轉(zhuǎn)到乙位置時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.17．（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（

）（，）．A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m【答案】B【解析】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離與時(shí)間滿足：；因?yàn)橥厕D(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，故；又；，解得，則；又當(dāng)時(shí)，，則，，則；故當(dāng)時(shí)，.故選：B.18．（2024·高一·四川南充·期中）閬中熊貓樂園承載著許多人的回憶，將樂園的摩天輪圖（1）所示抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點(diǎn)距地面45米，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點(diǎn)處開始轉(zhuǎn)動(dòng)，則與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)8分鐘后，求點(diǎn)距離地面的高度（

）A．50米 B．60米 C．65米 D．75米【答案】C【解析】由題意知：摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米）與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．所以由圖可知，，，于是，由于點(diǎn)是從摩天輪的最低點(diǎn)處開始按逆時(shí)針開始轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)時(shí)，，代入點(diǎn)得，，又，解得，又由函數(shù)的周期，解得，則，當(dāng)（分鐘）時(shí)，（米）.故選：C題型五：幾何中的三角函數(shù)模型19．（2024·高一·江蘇常州·期末）王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩(shī)句不僅刻畫了祖國(guó)的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)"的哲理，因此成為千古名句，我們從數(shù)學(xué)角度來思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km，如圖，設(shè)O為地球球心，人的初始位置為點(diǎn)M，點(diǎn)N是人登高后的位置(人的高度忽略不計(jì))，按每層樓高3m計(jì)算，“欲窮千里目”即弧的長(zhǎng)度為500km，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．7000【答案】C【解析】O為地球球心，人的初始位置為點(diǎn)M，點(diǎn)N是人登高后的位置，的長(zhǎng)度為km，令，則，∵，，，∴，又，所以按每層樓高m計(jì)算，需要登上6600層樓.故選：C.20．（2024·高一·廣東廣州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個(gè)“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長(zhǎng)各幾何？”其意思為“今有水池丈見方（即尺），蘆葦生長(zhǎng)在水的中央，長(zhǎng)出水面的部分為尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）．試問水深、蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？”設(shè)，現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論為（

）A．水深為尺 B．蘆葦長(zhǎng)為尺C． D．【答案】B【解析】設(shè)尺，則尺，尺，，，AC=13尺.，由，解得（負(fù)根舍去）．，故ACD正確，錯(cuò)誤的結(jié)論為B．故選：B.21．（2024·四川成都·三模）為迎接大運(yùn)會(huì)的到來，學(xué)校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一平行四邊形觀賽場(chǎng)地，如圖所示.則觀賽場(chǎng)地的面積最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示：．連接，設(shè)，作，，垂足分別為．根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，，，．∴，．故四邊形的面積也為四邊形的面積，即有，其中．所以當(dāng)即時(shí)，．故選：D．22．（2024·高一·上海·期中）一塊長(zhǎng)方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE，EF，OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且．

(1)設(shè)，試將的周長(zhǎng)l表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；(2)經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元，試問如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低并求出最低總費(fèi)用．【解析】（1）在Rt中，，，所以，在Rt中，，即，又，所以，所以的周長(zhǎng)，即;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，角最小，此時(shí);當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，角最大，此時(shí);故此函數(shù)的定義域是（2）由題意可知，只需求出的周長(zhǎng)的最小值即可設(shè)，則，則原函數(shù)可化簡(jiǎn)為，因?yàn)?，所以，，則，則從而則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；即當(dāng)米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元.23．（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形.記.(1)用分別表示的長(zhǎng)度：(2)當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.【解析】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）設(shè)矩形的面積為，所以，因?yàn)?，所以所以?dāng)，即時(shí)，【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·海南·期中）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天【答案】A【解析】由題意及函數(shù)的圖象知，，可得，由，所以，故，A正確；圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，故，但，故不是對(duì)稱軸，又，故φ可以取，所以，BC錯(cuò)誤；這一天的函數(shù)關(guān)系式只適用于當(dāng)天，第二天這個(gè)關(guān)系式不一定適用，D錯(cuò)誤．故選：A2．（2024·高二·湖北武漢·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，座艙距離地面的高度關(guān)于時(shí)間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個(gè)座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)甲位置對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，轉(zhuǎn)到乙位置時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.3．（2024·高一·陜西渭南·期末）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖．若該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，且，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，，則，令，得，解得，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時(shí)間為：，故選：D4．（2024·高一·四川達(dá)州·期末）已知甲船在小島B正東方向4海里的C處，乙船在小島B正南方向3海里的A處．甲船沿北偏西方向直線航行．若乙船要與甲船會(huì)合，則乙船航行的最短里程為（

）．A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】B【解析】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，由題意可知，即為乙船航行的最短距離.因?yàn)樵谥?，，所以，所以，所以，所以在中，，即乙船航行的最短里程為海?故選：B.5．（2024·高一·江西宜春·期中）某賣場(chǎng)去年1至12月份銷售某款飲品的數(shù)量（單位：萬件）與月份x近似滿足函數(shù)，已知在上單調(diào)，且對(duì)任意的，都有，若，則該賣場(chǎng)去年銷售該款飲品的月銷量不低于65萬件的月份有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【解析】由題意可得，，又在上單調(diào)，且對(duì)任意的，都有，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，即?個(gè)月，故選：B.6．（2024·高一·四川·期中）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針方向做一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知筒車的軸心O到水面的距離為，且該筒車均勻分布有8個(gè)盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)），以筒車上的某個(gè)盛水筒P剛浮出水面開始計(jì)時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：），則下列說法正確的是（

）

①時(shí)，盛水筒P到水面的距離為；②與時(shí)，盛水筒P到水面的距離相等；③經(jīng)過，盛水筒P共8次經(jīng)過筒車最高點(diǎn)；④記與盛水筒P相鄰的盛水筒為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】依題意作圖如下：以水車的軸心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，由題可知水車旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為4min，當(dāng)剛露出水面時(shí)，與軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到水面的距離為，所以①正確；②當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了周，即，此時(shí)的位置是點(diǎn)，與軸正半軸的夾角是，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，即點(diǎn)，與軸正半軸的夾角也是，點(diǎn)與點(diǎn)到水面的距離相等，所以②正確；③經(jīng)過，則水車轉(zhuǎn)過了個(gè)周期，所以盛水桶共9次經(jīng)過最高點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④設(shè)在的上方，與軸負(fù)方向的夾角為，，則與軸負(fù)方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當(dāng)時(shí)取最大值為，故④錯(cuò)誤；故選：A．7．（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值.已知太陽(yáng)每年直射范圍在南北回歸線之間，即.北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯，若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米，則該天的太陽(yáng)直射緯度為（

）A．北緯 B．北緯C．南緯 D．南緯【答案】C【解析】由題可知，天安門廣場(chǎng)的太陽(yáng)高度角，由華表的高和影長(zhǎng)相等可知，所以.所以該天太陽(yáng)直射緯度為南緯故選：C8．（多選題）（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）動(dòng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)與軸正方向夾角為，則時(shí)，的坐標(biāo)是，則，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，故，令，解得，令可得，當(dāng)，可得，故動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于都是單調(diào)遞增的，故選：AD.9．（多選題）（2024·高一·廣東肇慶·期中）如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心距離水面的高度為2.5m.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水面下時(shí)，為負(fù)數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系為（，，），則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，振幅A即為半徑，，A正確；對(duì)于B，筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由，d＝0，得，則，D錯(cuò)誤.故選：AC10．（多選題）（2024·高一·湖北·期中）如圖，摩天輪的半徑為50米，摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，下列結(jié)論正確的是（

）

A．經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)B．第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高C．從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低D．摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，單位為分鐘，則.對(duì)于A選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，因?yàn)?，則，令，解得，所以經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，即，所以?6分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，根據(jù)A選項(xiàng)可知，經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，其中，即，則或，解得或，故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的值域是，若，則的最小值為．【答案】1【解析】先證下面的結(jié)論：若在上的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，有最小值，顯然，記，兩邊平方得：，則，當(dāng)，即，，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)有最小值，且，得證，要取最小值，則周期要最大，要最小，又，故，，當(dāng)時(shí)，相減得，當(dāng)時(shí)，相減得，故的最小值是1．故答案為：.12．（2024·高一·山東·階段練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪直徑為40米，觀覽車中心O到地面的距離為22米，觀覽車每45分鐘沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)1圈.若是從距地面12米時(shí)開始計(jì)算時(shí)間時(shí)的初始位置（位置如圖所示），以觀覽車的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間為t（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).求當(dāng)時(shí)，（單位：米）.

【答案】【解析】觀覽車的角速度為，設(shè)，其中，則，故，故，故，所以，其中，故答案為：.13．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻03691215182124水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時(shí)刻的關(guān)系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為m．【答案】4【解析】由題意得函數(shù)（其中）的周期為，所以，得，由表中數(shù)據(jù)可知最大值為7，最小值為3，則，解得，所以，所以該港口在11:00的水深為．故答案為：4.14．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒的初始位置為點(diǎn)（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí)，分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為，則.【答案】3【解析】由題意得，又，故，且，解得，故，當(dāng)時(shí)，，即，，又，解得，故，所以.故答案為：315．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，某大風(fēng)車的半徑為，按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)從最低點(diǎn)開始，運(yùn)動(dòng)后與地面的距離為.(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的大致圖象.【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，連接.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.設(shè)，則，所以.又，即，所以，則.（2）函數(shù)的大致圖象如圖所示.16．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲（如圖所示），已知某噪聲聲波曲線，其振幅為2，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求該噪聲聲波曲線f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪聲波曲線g（x）的解析式；(2)證明：為定值.【解析】（1）由振幅為2，，可得，，由噪聲聲波曲線經(jīng)過點(diǎn)，得，而，，則，則，又降噪聲波曲線與噪聲聲波曲線的振幅相同、相位相反，所以.（2）由（1），則，即為定值0.17．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(，單位：小時(shí))呈周期性變化，每天各時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如表：t/時(shí)03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.0(1)從，，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(2)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．【解析】（1）把表格中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出，如下，由所描點(diǎn)知：應(yīng)選擇，令，，，依題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，周期為，則，，，于是，代入點(diǎn)，得，即，則，又，因此，所以該模型的解析式為：.（2）令，得，則，解得，而，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，因此或或，依題意，應(yīng)在白天11點(diǎn)到19點(diǎn)之間訓(xùn)練較恰當(dāng).18．（2024·高三·山東濟(jì)寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1～48號(hào)的48個(gè)座艙．開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙