2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：圓（全章知識梳理與題型分類講解）解析版

圓（5大考點(diǎn)知識梳理15類題型分類講解）

第一部分【知識點(diǎn)歸納】

【知識點(diǎn)一】垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.

垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

【知識點(diǎn)二】圓心角、弦、瓠、弦心距之間關(guān)系

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)

的其余各組量都分別相等.

【知識點(diǎn)三】圓周角定理及其推論

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

推論2：直徑所對的圓周角是直角；90。圓周角所對的弦是直徑.

推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.

【知識點(diǎn)四】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，d=一點(diǎn)在圓內(nèi)，dvr；

【知識點(diǎn)五】直線和圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系：（圓心到直線距離為d,圓的半徑為r）

相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)，d<r；

相切：直線與圓有一個公共點(diǎn)，d=r；

相離：直線與圓無公共點(diǎn)，d>r.

【知識點(diǎn)六】切線性質(zhì)定理與判定定理

切線定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線的判定方法

1

(1)直線與交點(diǎn)個數(shù)；

(2)直線到圓心的距離與半徑關(guān)系;

(3)切線的判定定理.

【知識點(diǎn)七】切線長定理

(1)切線長定理：過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線，這兩條切

線的夾角.

(2)弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.

【知識點(diǎn)八】確定圓的條件

(1)經(jīng)過兩點(diǎn)可作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.

(2)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

【知識點(diǎn)九】圓的外心與內(nèi)心

(1)外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形

各頂點(diǎn)的距離相等.

(2)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外

部。

(3)三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點(diǎn)與外心連線夾角的一半.NR4c=2/BOC

2

(4)內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距

離相等。

2

【知識點(diǎn)十】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊關(guān)系

(1)三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點(diǎn)與內(nèi)心連線夾角減去90。再乘以2.

ZBOC=90°+-ZBAC.

2

(2)三角形周長為/,面積為S,內(nèi)切圓半徑為尺,則5=,尺/.

2

(3)直角三角形兩直角邊分別是a,b,斜邊為c,內(nèi)切圓半徑為r,則r=g(a+6-c).

【知識點(diǎn)十一】正多邊形與圓、瓠長公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公積

(1)正〃變形的圓心角為國度.

n

(2)弧長計(jì)算公式：在半徑為R的圓中，〃。的圓心角所對的弧長計(jì)算公式為/=?.

180

(3)如果扇形的半徑為R,圓心角為“。，那么扇形面積的計(jì)算公式為/="長.

(4)如果扇形的半徑為R,弧長為/,那么扇形面積的計(jì)算公式為無=；》.

(5)圓錐的母線長為1,底面半徑為r,側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n。，則圓錐的側(cè)面積

Y)jrl

$扇=360=?’‘，圓錐的全面積：S全=5/側(cè)+5底=jrrl+7ir2.

知識點(diǎn)與題型目錄

【考點(diǎn)一】圓的有關(guān)性質(zhì)

【題型1】圓及相關(guān)概念.................................................................4

【題型2】垂徑定理及推論...............................................................7

【題型3】弧、弦、圓心角、弦心距關(guān)系................................................13

【題型4】圓周角........................................................................16

【題型5】圓的有關(guān)性質(zhì)綜合...........................................................20

【考點(diǎn)二】點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系

【題型6】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系...........................................................24

【題型7】直線和圓的位置關(guān)系.........................................................27

【題型8】切線的性質(zhì)與判定綜合.......................................................30

【題型9】切線長定理...................................................................34

【考點(diǎn)三】正多邊形和圓

3

【題型10］正多邊形和圓.....................................................38

【考點(diǎn)四】弧長與扇形面積

【題型11］利用弧長公式求值................................................41

【題型12】利用扇形公式求值................................................45

【題型13】求圓的不規(guī)則圖形面積............................................47

【考點(diǎn)五】直通中考與拓展延伸

【題型14］直通中考.........................................................51

【題型15］拓展延伸.........................................................55

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11圓及相關(guān)概念

【例1】如圖所示，48為。。的一條弦，點(diǎn)C為。。上一動點(diǎn)，且/8C4=30。，點(diǎn)E,尸分別是/C,BC

的中點(diǎn)，直線E尸與。。交于G,a兩點(diǎn)，若。。的半徑為7,求GE+尸"的最大值.

【答案】GE+FH的最大值為；■.

【分析】由GE+切和￡尸組成。。的弦，在。。中，弦GH最長為直徑14,而E尸可求，所以GE+FH

的最大值可求.

解：連結(jié)NO,BO,

；NBCA=30°

:"BOA=60°

為等邊三角形，AB=7

???點(diǎn)￡，尸分別是4C,2c的中點(diǎn)

17

.-.EF=-AB=-,vG〃為。。的一條弦

721

??.GH最大值為直徑14GE+W的最大值為14-萬二萬.

【點(diǎn)撥】利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.

【變式1］（23-24九年級上?江蘇無錫?期中）以下命題：（1）等弧所對的弦相等；（2）相等的圓心角所

4

對的弧相等；（3）三點(diǎn)確定一個圓；（4）圓的對稱軸是直徑；（5）三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相

等.其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì).

解：（1）等弧所對的弦相等，正確，符合題意；

（2）同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；

（3）不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，故原命題錯誤，不符合題意；

（4）圓的對稱軸是直徑所在的直線，故原命題錯誤，不符合題意；

（5）三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等，正確，符合題意；

正確的命題有2個，故選：B..

【變式2］（24-25九年級上?福建福州?階段練習(xí)）如圖，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的"芒果已

知點(diǎn)/、B、C、。分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，N3是半圓的直徑，拋物線的解析式為＞=/+6,若

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，圓的知識，根據(jù)題意得,

B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,將B點(diǎn)坐標(biāo)（3,0）代入拋物線的解析式為丁=/+/,即可求得拋物線的解析式，令x=0,

即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可求出CD的長，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：,.?43=6,是半圓的直徑，

??.A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）,5點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

將5點(diǎn)坐標(biāo)（3,0）代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2+b,

得，32+6=0,

解得：b=-9,

5

???拋物線解析式為y=f-9,

當(dāng)x=0時，y=-9,

???。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-9）,

:.0D=9,

???OC=-AB=-x6=3

22

「.CQ=OC+OD=9+3=12,

故答案為：12.

【變式3］（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）在OO中，AB為直徑，=10,點(diǎn)/、點(diǎn)N均

在。。上，MV148,將點(diǎn)8沿直線MN翻折，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，若"1=2,則"D的長為.

【答案】2^/5萬或2小

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，連接。河，根據(jù)由折疊的性質(zhì)得出。3=8或12,

進(jìn)而求得。尸=1,由勾股定理求得尸河，然后根據(jù)勾股定理即可求得的長.

解：連接O",

???將點(diǎn)B沿直線翻折，MN1AB,

:.PD=PB=^BD,NMP/=90。，點(diǎn)。在直線48上，

為直徑，/8=10,

??.OA=OB=OM=5,

當(dāng)點(diǎn)。在線段/呂上時，如圖，

DB=AB-AD=8,DO=OA—AD=3,

：.PD=PB=-BD=4,

2

；.OP=DP-OD=\,

???Rt△尸（W中，PM2=OM2-OP2=52-l2=24,

6

???Rt△。尸“中，DM=yJPD2+PM2=V42+24=2屈，

當(dāng)點(diǎn)。在線段48外時，如圖,

???/3=10,AD=2,

.-.DB=AB+AD=n,DO=OA+AD=1,

.-.PD=PB=-BD=6,

2

；.OP=OD-DP=l,

Rt^POM中，PM1=0M--OP2=52-l2=24,

???RtADPM中，DM=ylPD2+PM2=，6>+24=2屏，

綜上所述，MD的長為2廂或2岳.

故答案為：2所或2后.

【題型2】垂徑定理及推論

【例2】（23-24九年級上?浙江杭州?期中）如圖，已知OO的半徑長為1,48、NC是。。的兩條弦，且

AB=AC,2。的延長線交/C于點(diǎn)。，連結(jié)。4,OC.

⑴求證：.OAB、OAC.

（2）當(dāng)胡=即時，求凝的度數(shù).

⑶當(dāng)A。。。是直角三角形時，求2、C兩點(diǎn)之間的距離.

【答案】⑴見解析;⑵108。；⑶百或0.

【分析】（1）根據(jù)SSS證明空AO/C即可;

7

(2)由(1)得：NOAB=NOAC=NOBA,貝l|N84D=2N4B。，又由可得

NBDA=NBAD=2NABD,在△43。中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得乙42。=36。，由此可得

乙408=108。，即標(biāo)的度數(shù)為108。.

(3)分兩種情況：①當(dāng)/ODC=90。時，可得△NBC是等邊三角形，則Rt^O4D中，。4=1,

ZOAD=30°,則可得OZ)=g,/。=與，則8C=/C=2/D=VL②當(dāng)/COO=90。時，可得

SC=V2.

解：(1)在△0/3和AO/C中，

OA=OA,AB=AC,OB=OC,

.1△0/8經(jīng)ACMC(SSS).

(2)由(1)得：NOAB=NOAC=NOBA,

ABAD=ZOAB+ZOAC=2/ABD,

BA=BD,

ABDA=Z.BAD=2NABD,

在△/皿中，ABDA+ABAD+ZABD=180°,

即5//5D=180°,

ZABD=36°,

.?.//OB=108°,

二標(biāo)的度數(shù)為108。.

(3)①當(dāng)/ODC=90。時，如圖：

BD1AC,OA=OC,

AD=DC,

BA=BC=AC,

;.A4BC是等邊三角形，

在Rtacuo中，OA=\,ZOAD=30°,

:.OD=-OA=~,

22

8

AD=yjo^-OD-=4,

BC—AC=2AD=y/3■

BC=C.

綜上，3c=G或/.

【變式1］（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,以C。為直

徑作O。.將矩形4BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊4〃與。。相切，切點(diǎn)為E,邊C。與。。

相交于點(diǎn)尸，則。尸的長為（）

A.6-72B.472C.5D.3亞

【答案】B

【分析】連接EO并延長交。尸于點(diǎn)H,可證四邊形是矩形，再根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可求得CF

的長.

解：如圖，連接EO并延長交C尸于點(diǎn)以，

?.?矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得矩形A'B'CD',

ZB'=ZB'CD'=90°,A'B'//CD',BC=B'C=4

9

?.?邊/E與。。相切，切點(diǎn)為E,

.-.OEYA'B',

四邊形EQC〃是矩形，

EH=B'C=4,OHLCF,

vAB=CD=6,8為。。的直徑，

.-.OE=OC=-AB=3,

2

:.OH=EH-OE=A-3=\,

在RMOC”中，根據(jù)勾股定理，得

CH=sloe2-OH2=732-12=2&,

■■CF=2CH=4V2.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).矩形的判定以及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，作出輔佐線,

利用垂徑定理求值是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（24-25九年級上?重慶江北?階段練習(xí)）如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C,。在圓上，且。。經(jīng)

過NC中點(diǎn)E,連接DC并延長，與的延長線相交于點(diǎn)P,若/C43=14。，則/3PC的度數(shù)為

A.14°B.24°C.32°D.37°

【答案】B

【分析】由題意易得。即/ZEO=90。，則有/4（M=76。，進(jìn)而可得//。。=；乙4。。=38。，然

后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)是可進(jìn)行求解.

本題主要考查垂徑定理的推論及圓周角定理，熟練掌握垂徑定理的推論及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

解：經(jīng)過/C中點(diǎn)

?.OD-

ZAEO=90°f

vZCAB=14°f

；,/AOD=76。，

io

.-.ZACD=-ZAOD=38°,

2

NBPC=ZACD-ZCAB=38°-14°=24°,

故選：B.

【變式3］（24-25九年級上?北京?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)。，交V軸，x

軸分別于點(diǎn)8C.若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,6）,AB=5,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（8,0）

【分析】本題考查了垂徑定理與勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)于圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)的

綜合，根據(jù)題意，如圖所示，連接/C,過點(diǎn)A作NELy軸于點(diǎn)E,作軸于點(diǎn)尸，可得四邊形OE/尸

是矩形，BE=OE=；OB=3/"4F=OE=BE=3,由勾股定理可得AE的值，再證RMBE咨RsCAF（HL）,

可得4E=CF,由此即可求解.

解：如圖所示，連接/C,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,作4Flx軸于點(diǎn)尸，

.??四邊形OE4尸是矩形，則/E=OROE=AF,

??回0,6),

OB=6,

-AELOB,

/.BE=OE=—OB=—x6=3,貝I]AF=OE=BE=3,

22

在RMABE中,AE7AB2-BE?=正-3?=4,

11

AB,/C是圓的半徑，

；.4B=AC,

在RMABE,RMCAF中,

AB=CA

BE=AF

Rt"BE咨RMCAF(HL),

AE=CF=4,

■.OC=OF+CF=4+4=8,

??.C（8,0）,

故答案為：（8,0）

【變式4】（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，AB,CD是半徑為5的OO的兩條弦，/5=8,

CD=6,MV是直徑，ABLMN于點(diǎn)E,CDLMN于點(diǎn)、E,P為E尸上的任意一點(diǎn)，則E4+PC的最小值

為.

【答案】7&

【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，垂徑定理，勾股定理，熟知"兩點(diǎn)之間線段最短"是解答此題

的關(guān)鍵.由于/、8兩點(diǎn)關(guān)于對稱，因而尸N+PC=P8+PC,即當(dāng)3、C、尸在一條直線上時，PA+PC

的最小，即3C的值就是"+PC的最小值.

解：連接CAOB,OC,作垂直于48于

???/3=8,CD=6,ACV是直徑，AB1MN,CD1MN,

12

.,BE=^-AB=4,CF=gcD=3,四邊形C麻廠是矩形，

22

???OE=dOB2-BE?=)52-42=3,OF70c2一CF?=55?-3?=4,

：.CH=OE+OF=3+4=1,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在RtASCH中根據(jù)勾股定理得到BC=ylBH2+CH2=A/72+72=772，

即用+PC的最小值為7板.

故答案為：70.

【題型3】弧、弦、圓心角、弦心距關(guān)系

【例3】(23-24九年級上?江蘇南京?階段練習(xí))如圖，4B是。。的弦，半徑垂足為

H,BC±AB,交/。延長線于點(diǎn)C.

(1)求證：。是NC的中點(diǎn)；

(2)若/3=6,AC=2屈,求。。的半徑.

【分析】本題考查垂徑定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，勾股定理.掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

(1)垂徑定理，得到「方=而，進(jìn)而得到4。=8。，根據(jù)等邊對等角結(jié)合等角的余角相等，得到

NC=NDBC,進(jìn)而得到2。=CD,即可得到40=CD,即可；

(2)勾股定理求出OH,設(shè)OD=N=r,再利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

解：(1)證明：如圖，連接AD.

?.T8是。。的弦，半徑

.：。是標(biāo)的中點(diǎn).

13

/.AD=BD?

:.AD=BD.

，/BAD=ZABD.

?「BC1AB,

/ABC=90°.

/.ZBAD+ZC=90°,ZABD+ZDBC=90°.

ZC=ZDBC.

BD=CD.

，AD=CD.

即。為/C的中點(diǎn).

(2)如圖，連接CM.

?.,半徑00_L4B,垂足為4,AB=6,

：.AH=3.

???。是NC的中點(diǎn)，AC=25,

AD^yfl3.

:.DH=^AD2-AH2=2.

在RtACM”中，OH2+AH2=OA2.

^OD=OA=r,貝！]OH=r-2,

(r-2)2+32=r2.

1313

.?.r=V-即°。的半徑為”.

44

【變式1](24-25九年級上?北京?階段練習(xí))如圖，A,B,C,。是O。上的點(diǎn)，Zl=Z2,下列結(jié)論

中錯誤的是()

A.AB=CDB.AC=BDC.ZCOB=2Z1D.ACBD

14

【答案】C

【分析】本題考查了圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系逐項(xiàng)排除即可，熟練掌

握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

解：A、VZl=Z2,

A8=CD＞不符合題意；

B、???Zl=Z2,

.-.Z1+/COB=22+NCOB,

:.NAOC=NBOD,

.?.4C=BD,不符合題意；

C、不能保證/CO8=2/1,符合題意；

D、Zl=Z2,

■.Z1+ZCOB=Z2+ZCOB,

：.ZAOC=ZBOD,

■■AC=BD,

■■AC=Bb，不符合題意；

故選：c.

【變式2］（24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，。。的直徑/8=4,半徑點(diǎn)。在弧8C

上，DELOC,DF工AB,垂足分別為E、F,若點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，弧。。的度數(shù)為.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，弧與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定；連接。G,交E尸于點(diǎn)

G,進(jìn)而得出四邊形。瓦＞尸是矩形，結(jié)合已知條件證明△OEG是等邊三角形，即可求解.

解：如圖所示，連接。G,交E尸于點(diǎn)G,

15

二四邊形。皮中是矩形，

OG=GD=GF

???點(diǎn)E為。C的中點(diǎn)，

DF=OE=-OC=-OD=GO

22

OE=OG=EG

.?.△OEG是等邊三角形，

二/C。。=60。，即弧CZ）的度數(shù)為60。

故答案為：60°.

【題型4】圓周角

【例4】（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，AD是。。的直徑，為=石，點(diǎn)C是半圓上一動

點(diǎn)，且與點(diǎn)A分別在3。的兩側(cè).

⑴如圖1,若麗=5前，求/4DC的度數(shù)；

⑵求證：CD+BC=4iAC-

【答案】（1）60。（2）見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條

件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

（1）連接CO,利用直徑所對的圓周角是直角求出N24D=90。，從而可得乙4DB=N4BD=45。,再根據(jù)

已知而=5病，求出Z8OC=30。，進(jìn)而求出答案；

（2）過點(diǎn)A作E4DC,交CD的延長線于點(diǎn)尸，利用手拉手模型-旋轉(zhuǎn)性全等，證明△A8C空

從而可得=/尸，BC=DF,進(jìn)而得到△工?是等腰直角三角形，即可解答.

16

解：（1）連接co,

??,BD是。。的直徑，

/BAD=90°,

AB=AD

AB=AD,

??.ZADB=/ABD=45。,

CD=5BC，

：.ABOC=-ACOD,

5

??.NBOC=-ZBOD=180°x—=30°,

66

/.ZBDC=-ZBOC=15°,

2

：.ZADC=/ADB+ZBDC=60°,

(2)證明：過點(diǎn)A作出INC,交CO的延長線于點(diǎn)尸，

???ABAD=90°,

/BAD-ACAD=/CAF-ACAD,

???/BAC=/DAF,

???四邊形45CQ是圓內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZADC=1SO°,

ZADC+ZADF=1SO°,

17

/ADF=/ABC,

AB=AD,

/\ABC^/\ADF(ASA),

/.AC=AF,BC=DF,

△/CF是等腰直角三角形，

■■CF=y[2AC<

；.CD+DF=gc，

■■CD+BC=^2AC.

【變式1]（2024九年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，AB,DE是O。的直徑，弦CD||48,連結(jié)8C,

BE,若NBCD=a,則NCDE的度數(shù)為（）

A.2aB.3aC.90°-aD.900-2a

【答案】A

【分析】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是利用圓周角定理得出N8CD=/E解答.根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZABC,進(jìn)而利用圓周角定理解答即可.

解：?.?弦81|43,

NABC=ZBCD=a,

由圓周角可知，NBCD=NE=a,

???OE=OB,

ZE=ZABE=a,

ACBE=/ABC+/ABE=2a,

NCDE=ZCBE=2a,

故選：A

【變式2】（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，已知。。的半徑是4,C,。是直徑N8同側(cè)圓周

上的兩點(diǎn)，440c=96。，/BOD=36。,動點(diǎn)尸在48上，則尸C+PD的最小值為.

18

c

D

【答案】4A/3

【分析】本題主要考查了圓周角定理，軸對稱-最短路線問題，解決線路最短問題的方法是：作出其中某一

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的線段即為最近距離.依據(jù)是利用垂直平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段,

利用兩點(diǎn)之間線段最短求最近距離.首先要確定點(diǎn)尸的位置，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)尸，連接CF,交AB

于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn).且此時PC+PD的最小值為。尸，由直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可求

得最小值.

解:如圖，作點(diǎn)。關(guān)于48的對稱點(diǎn)尸，連接。尸，與48交于點(diǎn)尸，連接DP.

C

I\

_______

E

：.DP=FP,

;.FP+PC=DP+CP,

:.CF的值就是尸C+PQ的最小值.

延長CO,與圓0交于點(diǎn)E,連接FE.

ZAOC=96°f

/.ZBOC=84°f

???弧3C的度數(shù)為：84°,

/BOD=36。,

.??弧50的度數(shù)為36。，

???弧班的度數(shù)為36。，

???弧C尸的度數(shù)為：84°+36°=120°,

??.ZCEF=60°,

又???CE是直徑，

??.NCFE=90。,

19

的半徑為4,

；.CE=8,

在RtZ\CE尸中，EF=gcE=4,

???CF=782-42=4A/3，

即PC+PD的最小值為.

故答案是：4g.

【題型5】圓的有關(guān)性質(zhì)綜合

【例5】(23-24九年級上?陜西榆林?期末)【定義新知】

如圖1,C,。是O。上兩點(diǎn)，且在直徑48的上方，若直徑48上存在一點(diǎn)尸，連接CP,DP,滿足

APC=ZBPD,貝I」稱NCPD是CD的"幸運(yùn)角

【問題探究】

(1)如圖2,AB是。。的直徑，弦CE，AB,。是前上的一點(diǎn)，連接。E交48于點(diǎn)尸，連接CP.

①NCPD是無的“幸運(yùn)角"嗎？請說明理由；

②設(shè)也所對的圓心角為〃，請用含”的式子表示團(tuán)的“幸運(yùn)角”的度數(shù)；

【拓展延伸】

(2)如圖3,在(1)的條件下，若直徑48=10,①的“幸運(yùn)角”為90。，DE=8,求CE的長.

【答案】(1)①/CPD是麗的"幸運(yùn)角"，理由見解析；②麗的"幸運(yùn)角"度數(shù)為〃；(2)CE=6或

7亞

【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，等腰直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

(1)①根據(jù)48是。。的直徑，弦CE工AB,可得CT=所，從而得到CP=EP結(jié)合等腰三角形底邊上三

線合一即可得到答案；

②根據(jù)圓周角定理可得，NCED=g,結(jié)合CP=￡尸可得/CEO="CP=3結(jié)合內(nèi)外交關(guān)系即可得到答

案;

20

(2)連接連接CO,DO,由(1)可得/COD=90。，ZCED=45°,ZCPD=90°,即可得到CO、

EP=CP,設(shè)PE=x,則有=根據(jù)"幸運(yùn)角”為90。結(jié)合勾股定理即可得到答案.

解：(1)①/CPD是無的"幸運(yùn)角"，理由如下：

???/B是。。的直徑，弦CE，AB,

：.CF=EF,

:.CP=EP,

vCELAB,

/./CPA=ZEPA,

???ADPB=ZEPA,

/.ZCPA=/DPB,

.?./c尸。是無的〃幸運(yùn)角〃；

②,??①所對的圓心角為〃，

ZCED=-

2f

???CP=EP,

n

ZCED=ZECP=-

2f

ZCPD=ZCED+/ECP=n,

CD的〃幸運(yùn)角”度數(shù)為n；

(2)如圖，連接CO,DO,

?.?麗的“幸運(yùn)角〃為90。,

/.ZCOD=90°,NCED=45。,ZCPD=90°,

/./CED=/ECP=45。,

EP=CP,

?「AB=\0,

21

OC=OD=5,

:.CD=，52+52=572，

設(shè)尸￡=x,則有尸D=8-x,

.-.x2+（8-x）2=50,

解得：%=1,x2=7,

:.CE=#+l2=6或CE=々+72=7V2?

【變式1】（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）中國的車輪制造，自古就有完備的標(biāo)準(zhǔn)體系.《周禮?考工記》記

載："……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸，乘車之輪六尺有六寸……”如圖，某學(xué)習(xí)小組通過

以下方式探究某個殘缺車輪的半徑：在車輪上取48兩點(diǎn)，設(shè)標(biāo)所在圓的圓心為O,經(jīng)測量：弦

^5=120cm,過弦48的中點(diǎn)。作。。1/8交圓弧于點(diǎn)D,且C￡>=30cm,則該車輪的半徑等于（）

A.90cmB.76cmC.30V5cmD.75cm

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識，正確做出輔助線是解題關(guān)鍵.連接。C,設(shè)。。的

半徑為7?cm,根據(jù)垂徑定理可得O,c,。三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得。C=（7?-3O）cm,=SC=60（cm）,在

RM/OC中，由勾股定理得解得R的值，即可獲得答案.

解：如圖，連接。C,設(shè)。。的半徑為7?cm,

???C為48的中點(diǎn)且CD1/5,

三點(diǎn)共線,

OC=OD-CD=（A-30）cm,AC=BC=^AB==60（cm）,

在RtA/。。中，由勾股定理得O/2=NC2+OC2,

22

即上=6（）2+（R-30）2,解得R=75,

即該車輪的半徑等于75cm.

故選：D.

【變式2］（2024?廣東中山?三模）如圖，量筒的液面4-C-8呈凹形，近似看成圓弧，讀數(shù)時視線要與液

面相切于最低點(diǎn)C（即弧中點(diǎn)）.小溫想探究仰視、俯視對讀數(shù)的影響，當(dāng)他俯視點(diǎn)。時，記錄量筒上點(diǎn)

。的高度為37mm；仰視點(diǎn)C（點(diǎn)E、C、8在同一直線），記錄量筒上點(diǎn)￡的高度為23mm,若點(diǎn)。在

液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm,則平視點(diǎn)C,點(diǎn)C的高度為mm.

俯

'T

平視A------B

,1飛

仰視耳7

【答案】30-276/-276+30

【分析】作出圖形，證明8。是。。的直徑，由垂徑定理得/G=8G,求得O。的直徑為14,再根據(jù)三角

形中位線定理結(jié)合勾股定理即可求解.

解：如圖，連接8。、04OB、OC,0c交48于點(diǎn)G,

ZDAB=90°,

.?.8。是。。的直徑，

由垂徑定理得/G=BG,

??.OG是的中位線,

OC//DE,

23

BCBO\

.,拓―茄—5'

BC=CE,

OC=1D￡'=1(37-23)=7,

.??。。的直徑為14,

???48=10,

?■-AD=V142-102=V%=476，

■-AE=14-A46,

vCF//AB,

EFEC\

"AE~EB~2'

：.EF=7-2A/6(mm),

.??點(diǎn)F的高度即點(diǎn)C的高度為7-2#+23=30-2指(mm),

故答案為：30-276.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理和勾股定理.垂徑定理等知識，作出圖形是解題的關(guān)

鍵.

【題型6】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

【例6】(24-25九年級上?浙江杭州,階段練習(xí))如圖，在三角形/3C中，ABAC=90°,AB=3,NC=4,

是高線，/E是中線.

(1)以點(diǎn)/為圓心，3為半徑作圓/,則點(diǎn)8,D,C與圓N的位置關(guān)系如何？

⑵若以點(diǎn)/為圓心作圓/，使3,D,C三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，求圓/的半徑

【答案】⑴點(diǎn)8在圓/上，點(diǎn)￡＞在圓/內(nèi)，C在圓/外；⑵丁々＜4

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，掌握通過圓心與點(diǎn)的距離和半徑的大小關(guān)系判斷點(diǎn)與

圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵；

24

（1）先利用勾股定理計(jì)算出BC=5,再利用等面積法求出然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷

即可；

12

（2）使8,D,C三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，根據(jù)/8=3,ZC=4,NO=不可知，

C必定在圓外，。必定在圓內(nèi)，據(jù)此求出半徑范圍即可.

解：（1）VZBAC=90°,AB=3,AC=4,

:.BC=^AB-+AC2=5,

：

■S.KC=-2A2D-BC=-AB-AC,

???半徑r=3,

/.AB=r,AD<r,AC>r,

，點(diǎn)8在圓/上，點(diǎn)。在圓/內(nèi)，C在圓/外；

12

（2）?.?使3,D,C三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，AB=3,AC=4,AD=-j,

12

AD<r<AC,即y<r<4,

12

???圓A的半徑廠的取值范圍為《<廠<4.

【變式1】（24-25九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）已知△N3C是圓內(nèi)接等腰三角形，它的底邊長是8,若

圓的半徑是5,則△N5C的面積是（）

A.32或16B.32或8C.8或16D.24或32

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，分類討論是解答

本題的關(guān)鍵；已知A/BC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，若過/作底邊BC的垂線/D,則ND所

在直線必過圓心。；在中，由勾股定理可求出的長，進(jìn)而可求出△/BC的面積，需注意本題

的△N8C分銳角和鈍角三角形兩種情況.

解：如圖①，過工作4D22C于。，則必過點(diǎn)O,連接

25

A

①

在RtzXOB。中，OB=5,BD=4,

由勾股定理得：OD=yjOB--BD2=3?貝lj4D=O/+OD=8,

■.S^ABC=^BC-AD=32.

如圖②，

綜上，△48C的面積是32或8,

故選：B.

【變式2】（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，E是△48C的外心，P,0分別是48,NC的中

點(diǎn)，連接EP,EQ,交BC于F,。兩點(diǎn).若BF=5,DF=3,CD=4,則的周長為.

【答案】12

【分析】本題考查三角形的外心，垂直平分線的性質(zhì)，三線合一，先根據(jù)已知條件證明EP垂直平分

石。垂直平分/C,進(jìn)而得出8尸=/尸，CD=AD,等量代換即可求解.

26

解：如圖，連接E4,DA,

???￡是ANBC的外心，

EA=EB=EC,

-P,0分別是48，NC的中點(diǎn),

EP±AB,EQVAC,

尸垂直平分48,￡。垂直平分4C,

BF=AF,CD=AD,

：.AFAD的周長=。尸++尸+2尸+CD=3+5+4=12,

故答案為：12.

【題型7】直線和圓的位置關(guān)系

【例7】（23-24九年級下?全國?課后作業(yè)）已知RtAlSC的斜邊48=6,直角邊/C=3,以點(diǎn)C為圓心

作。C.

⑴當(dāng)半徑/為時，直線N8與OC相切；

（2）當(dāng)0c與線段42只有一個公共點(diǎn)時，半徑廠的取值范圍為；

⑶當(dāng)OC與線段沒有公共點(diǎn)時，半徑〃的取值范圍為.

【答案】⑴豆|；（2）=封1或3</W3G；⑶0<『<￥或"36.

222

【分析】（1）如圖作于求出紡的值即可判斷；

（2）當(dāng)OC與線段只有一個公共點(diǎn)時，半徑r的取值范圍為廠=九3或3<r43C；

2

（3）當(dāng)。C與線段N8沒有公共點(diǎn)時，半徑廠的取值范圍為0</<孚或「>36，

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，等面積法，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

解：（1）如圖作于

27

c

在RtZ\Z8C中，AB=6,AC=3,ZACB=90°,

???由勾股定理得3c=dAB?-AC。=373，

■.-S^c=^AC-BC=^AB-CH,

AC-BC3x3指3A/3

Crz=-------=------=----,

AB62

???當(dāng)半徑尸=地時，直線45與OC相切，

2

故答案為：尸二36；

2

(2)觀察圖形可知，

當(dāng)。。與線段只有一個公共點(diǎn)時，半徑一的取值范圍為〃=地或3<F<3A/3,

2

故答案為：r=或3<TV3G;

2

(3)觀察圖形可知，

當(dāng)。。與線段43沒有公共點(diǎn)時，半徑〃的取值范圍為0</<?或廠>36，故答案為：0<<竽或

r>3V3.

【變式1】(23-24九年級上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2夜,0卜

以。/為直徑在x軸上方作半圓，直線/的解析式為V=x+《f>0),若直線/與半圓只有一個公共點(diǎn)，貝心

【答案】2-V2/-V2+2

【分析】本題考查圓的切線，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線/與x軸的夾角為45。，與半圓相切時，與半

圓只有一個公