2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.1集合1.1.1集合及其表示方法第2課時(shí)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

集合及其表示方法第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并駕馭集合的兩種表示方法,并針對(duì)詳細(xì)問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言來刻畫集合,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);2.理解并駕馭區(qū)間及其表示,為后續(xù)不等式解集的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).自主預(yù)習(xí)1.什么是列舉法?2.什么是特征性質(zhì)描述法?思索:如何選擇合適的方法去表示集合?3.區(qū)間及其表示(1)若a∈R,b∈R,且a<b,則有下表:集合簡(jiǎn)寫名稱數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半閉半開區(qū)間半開半閉區(qū)間(2)假如用“+∞”表示“正無窮大”,用“-∞”表示“負(fù)無窮大”,則實(shí)數(shù)集R可表示為區(qū)間(-∞,+∞).符號(hào)(a,+∞)(-∞,a)集合{x|x≥a}{x|x≤a}課堂探究1.列舉法【發(fā)覺問題】(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合;(2)方程x2=2x的全部實(shí)數(shù)解組成的集合;(3)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合;(4)由全部正整數(shù)構(gòu)成的集合.思索1:以上集合均是用自然語言描述的,能否用數(shù)學(xué)語言去簡(jiǎn)潔表示呢?【探究新知】①由兩個(gè)元素0,1組成的集合可用列舉法表示為;

②24的全部正因數(shù)1,2,3,4,6,8,12,24組成的集合可用列舉法表示為;

③中國(guó)古典長(zhǎng)篇小說四大名著組成的集合可以表示為;

④不大于100的自然數(shù)組成的集合可以表示為;

⑤自然數(shù)集N可用列舉法表示為.

思索2:{2,1}和{1,2}是同一個(gè)集合嗎?思索3:只含一個(gè)元素的集合{a}也是一個(gè)集合,{a}與a該如何理解?例1用列舉法表示下列集合:(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合;(2)方程x2=2x的全部實(shí)數(shù)解組成的集合;(3)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合;(4)由全部正整數(shù)組成的集合.跟蹤訓(xùn)練1用列舉法表示下列給定的集合:(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A;(2)方程x2-9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合B;(3)一次函數(shù)y=x+2與y=-2x+5的圖像的交點(diǎn)組成的集合D.2.描述法思索4:以下集合用列舉法表示便利嗎?假如不便利,該如何表示呢?①滿意x>3的全部數(shù)組成的集合A;②全部的兩個(gè)整數(shù)的商組成的集合B.例2用描述法表示下列集合:(1)正偶數(shù)集;(2)被3除余2的正整數(shù)集合;(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.跟蹤訓(xùn)練2下列三個(gè)集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它們是不是相同的集合?(2)它們各自的含義分別是什么?例3用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)方程x(x-1)=0的全部解組成的集合A;(2)平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)全部點(diǎn)組成的集合B.思索5:如何選用合適的方法來表示集合呢?跟蹤訓(xùn)練3用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)英語單詞mathematics(數(shù)學(xué))中的全部英文字母組成的集合;(2)方程x+2y=7的全部解組成的集合;(3)肯定值小于0的全部實(shí)數(shù)組成的集合.例4用區(qū)間表示不等式2x-12>x的全部解組成的集合跟蹤訓(xùn)練4用區(qū)間表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.例5已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)k的值組成的集合.延長(zhǎng)探究:1.若將“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)k的值組成的集合.2.若將“只有一個(gè)元素”改為“至少有一個(gè)元素”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.課堂練習(xí)1.用列舉法表示集合{x|x2-2x-3=0}為()A.{-1,3} B.{(-1,3)}C.{x=1} D.{x2-2x-3=0}2.一次函數(shù)y=x-3與y=-2x的圖像的交點(diǎn)組成的集合是()A.{1,-2} B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)} D.{(1,-2)}3.設(shè)A={x∈N|1≤x<6},則下列正確的是()A.6∈A B.0∈AC.3?A D.3.5?A4.設(shè)區(qū)間A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一個(gè)實(shí)數(shù)為.

5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.課后鞏固1.用列舉法表示集合{x|x2-2x+1=0}為()A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}2.假如A={x|x>-1},那么()A.-2∈A B.{0}∈AC.-3∈A D.0∈A3.下列集合中,不同于另外三個(gè)集合的是()A.{x|x=1} B.{x|x2=1}C.{1} D.{y|(y-1)2=0}4.下列命題中正確的是()A.集合{x∈R|x2=1}中有兩個(gè)元素B.集合{0}中沒有元素C.13∈{x|x<23}D.{1,2}與{2,1}是不同的集合5.設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},則M中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.66.已知A={1,2,3},B={2,4},定義集合A,B間的運(yùn)算A*B={x|x∈A且x?B},則集合A*B等于()A.{1,2,3} B.{2,4}C.{1,3} D.{2}7.能被2整除的正整數(shù)的集合,用描述法可表示為.

8.已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

9.若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中,則稱該數(shù)集為可倒數(shù)集,則集合A={-1,1,2}(填“是”或“不是”)可倒數(shù)集.試寫出一個(gè)含三個(gè)元素的可倒數(shù)集.(答案不唯一)

10.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)一年中有31天的月份的全體;(2)大于-3.5小于12.8的整數(shù)的全體;(3)梯形的全體構(gòu)成的集合;(4)全部能被3整除的數(shù)的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.核心素養(yǎng)專練1.設(shè)集合A={0,1,2},則集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是.

2.設(shè)集合B=x∈(1)試推斷元素1和2與集合B的關(guān)系;(2)用列舉法表示集合B.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究思索及探究新知:略例1解:(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思,所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為{0,2}.(3)將x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}.(4)正整數(shù)有1,2,3,…,所求集合為{1,2,3,…}.跟蹤訓(xùn)練1解:(1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.(2)方程x2-9=0的實(shí)數(shù)根為-3,3,所以B={-3,3}.(3)由y=x所以一次函數(shù)y=x+2與y=-2x+5的交點(diǎn)為(1,3),所以D={(1,3)}.例2解:(1)偶數(shù)可用式子x=2n,n∈Z表示,但此題要求為正偶數(shù),故限定n∈N+,所以正偶數(shù)集可表示為{x|x=2n,n∈N+}.(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3n+2,n∈Z,但元素為正整數(shù),故n∈N,所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x=3n+2,n∈N}.(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x,y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0,即xy=0,故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x,y)|xy=0}.跟蹤訓(xùn)練2解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R,可以認(rèn)為集合A表示函數(shù)y=x2+1中自變量的取值范圍.集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,滿意條件y=x2+1的y的取值范圍是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},可以認(rèn)為集合B表示函數(shù)y=x2+1中因變量的取值范圍.集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是滿意y=x2+1的數(shù)對(duì).可以認(rèn)為集合C是由坐標(biāo)平面內(nèi)滿意y=x2+1的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的.例3(1)A={0,1}(2)B={(x,y)|x>0,y>0}跟蹤訓(xùn)練3(1){m,a,t,h,e,i,c,s}(2){(x,y)|x+2y=7}(3)?例4A=1跟蹤訓(xùn)練(1)[-1,3](2)(0,1](3)[2,5)(4)(0,2)(5)(-∞,3)(6)[2,+∞)例5解:①當(dāng)k=0時(shí),方程kx2-8x+16=0變?yōu)?8x+16=0,解得x=2,滿意題意;②當(dāng)k≠0時(shí),要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一個(gè)元素,則方程kx2-8x+16=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此時(shí)集合A={4},滿意題意.綜上所述,k=0或k=1,故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}.延長(zhǎng)探究1.解:由題意可知,方程kx2-8x+16=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以實(shí)數(shù)k組成的集合為{k|k<1,且k≠0}.2.解:由題意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.①當(dāng)k=0時(shí),由-8x+16=0得x=2,符合題意;②當(dāng)k≠0時(shí),要使方程kx2-8x+16=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.綜合①②可知,實(shí)數(shù)k的取值集合為{k|k≤1}.課堂練習(xí)1.A2.D3.D4.2(答案不唯一)5.-1或-8課后鞏固1.B2.D3.B4.A5.B6.C7.{x|x=2n,n∈N+}8.(-∞,-2]9.不是110.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.核心素養(yǎng)專練1.答案:5解析:因?yàn)锳={0,1,2},又集合B中元素為x-y且x∈A,y∈A,所以x的可能取值為0,1,2,y的可能取值為0,1,2.當(dāng)x=0,y=0或1或2時(shí),對(duì)應(yīng)的x-y的值為0,-1,-2.當(dāng)x=1,y=0或1或2時(shí),對(duì)應(yīng)的x-y的值為1,0,-1.當(dāng)x=2,y=0或1或2時(shí),對(duì)應(yīng)的x-y的值為2,1,0.綜上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中的元素的個(gè)數(shù)為5.2.解:(1)當(dāng)x=1時(shí),62+1=2∈N;當(dāng)x=2時(shí),62+2=32?N,所以1∈B,(2)因?yàn)?2+x∈N,x∈N,所以2+x只能取2,3,6,所以x只能相應(yīng)取0,1,4,所以B={0,1,4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭集合的三種表示方法,并能進(jìn)行轉(zhuǎn)化;2.會(huì)選擇合適的方法表示集合;3.能正確表述和理解集合語言.自主預(yù)習(xí)一、列舉法列舉法:把集合中的元素出來(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔),并寫在內(nèi),這種表示集合的方法稱為列舉法.

二、描述法1.特征性質(zhì):一般地,假如屬于集合A的元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都這特性質(zhì),則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個(gè)特征性質(zhì).

2.描述法:用特征性質(zhì)p(x)表示為的形式.這種表示集合的方法,稱為特征性質(zhì)描述法,簡(jiǎn)稱描述法.

思索:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?三、區(qū)間及其表示1.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),且a<b,則有下表:集合簡(jiǎn)寫名稱數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}

閉區(qū)間{x|a<x<b}(a,b)開區(qū)間

[a,b)半閉半開區(qū)間{x|a<x≤b}(a,b]

2.實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為,“∞”讀作“無窮大”.如:

符號(hào)

(a,+∞)

(-∞,a)集合{x|x≥a}

{x|x≤a}課堂探究一、列舉法表示集合例1用列舉法表示下列集合:(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合;(2)方程x2=2x的全部實(shí)數(shù)解組成的集合;(3)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合;(4)由全部正整數(shù)構(gòu)成的集合.跟蹤訓(xùn)練1用列舉法表示下列給定的集合:(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A;(2)方程x2-9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合B;(3)一次函數(shù)y=x+2與y=-2x+5的圖像的交點(diǎn)組成的集合D.二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)正偶數(shù)集;(2)被3除余2的正整數(shù)集合;(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.跟蹤訓(xùn)練2下列三個(gè)集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它們是不是相同的集合?(2)它們各自的含義分別是什么?三、集合的表示方法例3用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?能用區(qū)間表示的用區(qū)間表示):(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;(2)在自然數(shù)集內(nèi),小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合;(3)不等式x-2>6的解的集合;(4)大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合.跟蹤訓(xùn)練3下列集合中,不同于另外三個(gè)集合的是()A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0}C.{x=1} D.{1}核心素養(yǎng)專練1.集合{x∈N+|x-3<2}的另一種表示方法是()A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}2.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}3.方程組x+y=1,A.(1,0,2) B.{1,0,2}C.{(1,0,2)} D.{(x,y,z)|1,2,3}4.集合{y|y=x+1}與集合{y|y=x2+1}的公共元素是()A.{(1,2),(0,1)} B.{y|y=x2+1}C.? D.{y|y≥1}5.假如集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一個(gè)元素,則a的值是()A.0 B.0或1C.1 D.不能確定6.若集合M={1,2},滿意集合P={x|x∈M}的P有.

參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究一、列舉法表示集合例1解:(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思,所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為{0,2}.(3)將x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}.(4)正整數(shù)有1,2,3,…,所求集合為{1,2,3,…}.跟蹤訓(xùn)練1解:(1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,