2024-2025學年高中數(shù)學周練卷3習題含解析新人教A版選修1-1

周練卷(三)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．已知橢圓的焦點為(－1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,4)＋x2＝12．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點F作傾斜角為eq\f(π,3)的弦AB，則弦AB的長為()A.eq\f(6,7) B.eq\f(16,7)C.eq\f(7,16) D.eq\f(7,6)4．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<10)的左、右焦點，P是橢圓上一點，若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面積為eq\f(64\r(3),3)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(9,25) D.eq\f(16,25)5．假如AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的隨意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則kAB·kOM的值為()A．e－1 B．1－eC．e2－1 D．1－e26．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，則這個橢圓的離心率是()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(2－\r(3),2)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)7．設P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|＝________.8．一個圓經過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為________．9．已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿意0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍為________．10．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，且滿意|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于________．三、解答題(本大題共3小題，共50分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)11．(15分)橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)(c>0)，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，焦點到橢圓上點的最短距離為2－eq\r(3)，求橢圓的方程．答案1．A2.D3．B橢圓方程化為標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以左焦點為F(－eq\r(2)，0)，又直線斜率k＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以弦AB所在直線方程為y＝eq\r(3)(x＋eq\r(2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋\r(2)，,x2＋2y2＝4))可得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1x2＝eq\f(8,7)，所以|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12\r(2),7)))2－4×\f(8,7))＝eq\f(16,7).故選B.4．A因為S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，所以|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3)，又|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝400，①由余弦定理知，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝4(100－b2)，②①－②得，3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以b2＝64，所以c2＝100－64＝36，所以c＝6，又a＝10，所以e＝eq\f(3,5).故選A.5．C設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，又eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②①－②并整理可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，又kOM＝eq\f(y0,x0)，所以kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，又e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，所以－eq\f(b2,a2)＝e2－1，即kAB·kOM＝e2－1.故選C.6．A依題意知，∠F1PF2＝90°，又∠PF1F2＝2∠PF2F1，所以∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝eq\r(3)c，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝(eq\r(3)＋1)c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故選A.7．108.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析：由題圓肯定過短軸兩個端點(0，±2)，設圓心(m,0)，若過右頂點，則4－m＝eq\r(m2＋4)得m＝eq\f(3,2)，即圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半徑為eq\f(5,2)，圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)，若過左頂點，同理得圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).9．[2,2eq\r(2))解析：因為點P(x0，y0)滿意0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，所以點P是橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1內部除原點外的一點，又a＝eq\r(2)，c＝1，所以|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a，即2≤|PF1|＋|PF2|<2eq\r(2).10．8eq\r(2)解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1知，a＝5，b＝4，則c＝3，即F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，故|PF2|＝|F1F2|＝6.又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝10，則|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·h＝eq\f(1,2)×4×eq\r(62－\f(4,2)2)＝8eq\r(2).11．解：∵焦點到橢圓上點的最短距離為2－eq\r(3)，∴a－c＝2－eq\r(3).①又已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，②由①②解得a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1.∴橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.————————————————————————————12.(15分)已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(16,5)eq\r(2)，求直線l的方程．13．(20分)已知，橢圓C過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，兩個焦點為(－1,0)，(1,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，假如直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．答案12.解：(1)設橢圓C的長半軸長為a(a>0)，短半軸長為b(b>0)，則2b＝4，由eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4，b＝2.因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)設直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(y2,16)＋\f(x2,4)＝1，))消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0，由題意，得Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，且x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－16,5)，因為|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋1)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(16,5)eq\r(2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))2－eq\f(4m2－16,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2，解得m＝±2，驗證知Δ>0成立，所以直線l的方程為x－y＋2＝0或x－y－2＝0.13．解：(1)由題意，c＝1，可設橢圓方程為eq\f(x2,1＋b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.因為A在橢圓上，所以eq\f(1,1＋b2)＋eq\f(\f(9,4),b2)＝1，解得b2＝3，b2＝－eq\f(3,4)(舍去)．所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設直線AE方程為y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)．因為點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在橢圓上，所以xE＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(