2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市旬邑縣高三8月階段性考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市旬邑縣高三8月階段性考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題：本小題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①終邊相同的角一定相等；②鈍角一定是第二象限角；③第一象限角可能是負(fù)角；④小于的角都是銳角．A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由象限角、任意角以及銳角的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，終邊相同的角可以相差360°的整數(shù)倍，不一定相等，①錯(cuò)誤；對于②，鈍角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正確；對于③，第一象限角可以是正角，也可以是負(fù)角，③正確；對于④，小于90°的角可以是銳角，也可以是負(fù)角，④錯(cuò)誤．綜上，正確的個(gè)數(shù)是2.故選：B．2.如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意，計(jì)算，則陰影部分面積為.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.3.在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】過作于，根據(jù)的長度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，過作于，如下圖示，則，可得時(shí)，三角形有兩解.當(dāng)，即時(shí)，三角形不存在；當(dāng)或時(shí)，△分別對應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，在射線方向上有一個(gè)△，而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形；故選：B4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【正確答案】B【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)間（x）＝cos（2x）=sin（2x）=sin（2x），故其圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，故選B．本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知，，且，，則（）A. B. C.或 D.或【正確答案】A【分析】利用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)縮小與的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式與倍角公式求得的正余弦值，從而利用正弦函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)樗詣t所以則，因?yàn)?，所以，又則，所以故因?yàn)樗詣t.故選：A.6.設(shè)是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若，有恒成立，下列四個(gè)命題正確的是（）A.若?x是奇函數(shù)，則也一定是奇函數(shù)B.若是偶函數(shù)，則?x也一定是偶函數(shù)C.若?x是周期函數(shù)，則也一定是周期函數(shù)D.若?x是R上的增函數(shù)，則在R上一定是減函數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，依據(jù)函數(shù)的奇偶性，通過反例，可判斷AB；根據(jù)周期性的定義可判斷C，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D【詳解】對于A，令，對可得；而此時(shí)不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于B，令，是偶函數(shù)，對可得，此時(shí)?x為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于C，設(shè)?x的周期為，若，有恒成立，令，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)y=gx對于D，設(shè)，?x是R上的增函數(shù)，所以，又即為即為，所以函數(shù)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：C7.在中，角所對邊分別是是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值是（）A.4 B.6 C.8 D.9【正確答案】C【分析】利用正弦定理及，表達(dá)出，再利用基本不等式求出最值.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，在Rt△ABD中，，即，因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為8.故選：C8.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】B【分析】就、、分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.【詳解】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在0,4上沒有零點(diǎn)，則在0,4上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以m的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在0,4上有1個(gè)零點(diǎn)，在0,4上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在0,4上有2個(gè)零點(diǎn)，故在0,4上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以的取值依次?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，，，分別為角、，的對邊，下列敘述正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則為銳角三角形D.若，則為鈍角三角形【正確答案】ABD【分析】應(yīng)用正弦定理判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系判斷B選項(xiàng)，結(jié)合余弦定理判斷C選項(xiàng)，根據(jù)二倍角公式余弦公式及余弦定理判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所?,所以,A選項(xiàng)正確；因?yàn)?所以同號，只能同時(shí)為正，,因?yàn)閱握{(diào)遞減，可得，所以,B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所?又由正弦定理得,又由余弦定理得,所以為鈍角，所以為鈍角三角形，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，所以，則，所以，故中必有一個(gè)是鈍角，所以為鈍角三角形，故D正確；故選：ABD.10.已知一組函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.恒成立C.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【正確答案】ABD【分析】對于項(xiàng)，利用不同的的取值，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換即可判斷；對于項(xiàng)，，可確定與，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換即可判斷；對于項(xiàng)，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，二倍角公式，周期性即可判斷；對于項(xiàng)，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，二倍角公式，周期性即可判斷.【詳解】對于項(xiàng)，，故項(xiàng)正確；對于項(xiàng)，因?yàn)?，故?xiàng)正確；對于項(xiàng)，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對于項(xiàng)，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞增，故正確．故選：11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱B.C.D.在區(qū)間上的極小值為【正確答案】ABD【分析】對于A，通過計(jì)算，比較與的關(guān)系進(jìn)行判斷，對于B，結(jié)合基本不等式分析判斷，對于C，舉例判斷，對于D，對函數(shù)求導(dǎo)后，求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，所以A正確，對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以B正確，對于C，因?yàn)椋訡錯(cuò)誤，對于D，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，所以的極小值為，所以D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)求導(dǎo)后，對其變形，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于較難題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)_________.【正確答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，易求得時(shí)的函數(shù)解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則有，因函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，故得.故答案為.13.南方由于雨水較多，三角形斜屋頂建筑在江浙一帶隨處可見．如圖是一三角形木屋的建筑示意圖．三角形斜屋頂在地面的投影為，且，．在M點(diǎn)測得N點(diǎn)的仰角為，在N點(diǎn)測得P點(diǎn)的仰角為，M點(diǎn)到地面的距離為3m，N點(diǎn)到地面的距離為4m，則P點(diǎn)到地面的距離為____________m．【正確答案】【分析】作于，作于E，利用正弦定理及銳角三角函數(shù)解三角形計(jì)算即可.【詳解】作于，作于E，由題意易知，，易知，，所以，在中，由題意可知，根據(jù)正弦定理有，所以.故答案為.14.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即，根據(jù)角的范圍可得，，，故.由正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，換元，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得，故，即，因?yàn)?所以，因?yàn)?，所以或，即或，即?若，則，則無意義，故.又，所以，即.因?yàn)?，所?，，所以，解得，故.由正弦定理可得，令，則.設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，所以，即.故答案為:.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要得文字說明、證明過程或演算步驟.15.在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇.學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為1∶1，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計(jì)100（1）將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)；（2）該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會(huì)從①號、②號兩個(gè)套餐中隨機(jī)選擇一個(gè)套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為；若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為，求甲同學(xué)星期四選擇②號套餐的概率.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】（1）答案見詳解（2）【分析】（1）補(bǔ)充完善列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.（2）利用條件概率公式結(jié)合全概率公式求解即可.【小問1詳解】喜歡食堂就餐的人數(shù)為，則不喜歡的人數(shù)為人，則不喜歡食堂就餐的女生為人，因?yàn)槟信藬?shù)比為1∶1，則男女生各50人，則喜歡堂食就餐的女生為人，喜歡堂食就餐的男生為人，則列聯(lián)表見圖，

男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計(jì)5050100零假設(shè):假設(shè)食堂就餐與性別無關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān).【小問2詳解】記事件：小林同學(xué)星期二選擇了①號套餐，事件：小林同學(xué)星期四選擇了②號套餐,由全概率公式可得16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）和（2）【分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形結(jié)合周期可求出，再由結(jié)合可求得結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，則方程轉(zhuǎn)化為，令，則，再變形后，利用換元法可求出答案.【小問1詳解】，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，得，所以，由，得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為和；【小問2詳解】將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，得到，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得，所以，方程，即為方程，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以原方程化為，所以，令，則，，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查求余弦函數(shù)的值域，第（2）問解題的關(guān)鍵是復(fù)利用多次換元將問題轉(zhuǎn)化為求對勾函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，考查計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.17.烏龍江濕地公園擁有良好的生態(tài)環(huán)境和多樣化的景觀資源，為了吸引游客，計(jì)劃在該公園內(nèi)搭建一個(gè)形狀為平面凸四邊形的旅游休閑及科普宣教平臺(tái)（如圖所示），其中百米，百米，為正三角形，建成后，將作為人們旅游休閑的區(qū)域，其余部分作為科普宜教平臺(tái)．（1）當(dāng)時(shí)，求旅游休閑區(qū)域的面積；（2）設(shè)，求旅游休閑區(qū)域的面積的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）在中，由余弦定理求出.由正弦定理求出，即可得到，利用直角三角形的面積公式即可求得.（2）設(shè)，在中，由余弦定理得到，再用正弦定理得到，把三角形面積表示為整理為的函數(shù)，利用三角函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】在中，由余弦定理知，解得．由正弦定理，得．所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．所以．【小?詳解】設(shè)，在中，由余弦定理知，，所以．由正弦定理知，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的面積的最大值為．18.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的面積為.（1）求的值；（2）為橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求的最大值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，再根據(jù)橢圓定義和三角形面積可求得，，的值，即可求得；（2）由題可知點(diǎn)，直線的斜率不為0，設(shè)其方程，并和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及相關(guān)知識，可確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)棰?，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?即，又，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以②，又③，由①②③，解得，所?【小問2詳解】由（1）可知橢圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，易得，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)?，所以，解得所以?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對稱性不妨設(shè)，直線的傾斜角分別為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，，所以的最大值為.19.已知，函數(shù)，．（1）若函數(shù)的最小值是0，求實(shí)數(shù)m的值；（2）已知曲線在點(diǎn)處切線的縱截距為正數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）證明：．【正確答案】（1）（2）（?。┳C明見詳解；（ⅱ）證明見詳解【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)分析可知的最小值為，結(jié)合題意列式求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.（?。┣蟮茫Y(jié)合導(dǎo)數(shù)