2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)訓(xùn)練：一元二次函數(shù)、方程和不等式（解析版）

高考仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練01一元二次函數(shù)、方程和不等式

一、選擇題

1.已知。，仇C為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是()

A.若,則

B.若,貝

C.若則a>Z?

22

D.若a>b,貝|—<一

ab

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解析】對(duì)于A,若a<b,當(dāng)c=。時(shí)，不滿足ac<A,即A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若a<b,貝1］。一。<人一。，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若4d>。忖，可知cwo,不等式兩邊同時(shí)除以M，即可得0>"即C正確;

22

對(duì)于D,若a>b,不妨取Q=1S=—1,則—=2>：=—2,可得D錯(cuò)誤;

ab

故選：C

2.如果Ovav/?,那么下列不等式正確的是()

[—ra+b7

A.yfab<°十°<a<bB.a<yjab<-----<b

22

C.y[ab<a<"+<bD.a<"+"<y[ab<b

2

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出府〈學(xué)，再結(jié)合0<。<6可得出結(jié)果.

【解析】由已知利用基本不等式得出J法〈學(xué)，

因?yàn)?<avb,貝a+b<2b,

所以Q<y[ab<b,—<b,

a+b

回a<\[ab<<b.

2

故選：B

3.——兀二次不等式ox?+bx+c>o的解為{%卜2<x<3},那么ox?一法+。>0的解集為（）

A.{布>3^lx<-2}B.{布>2或x<-3}

C.1x|-2<x<3|D.1x|—3<x<2j

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得出。、反。的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.

【解析】一元二次不等式加+陵+c>0的解為{力2<%<3},

所以依2+6x+c=0的解為再=-2,%=3,且°<0,

b1

%+%2=----二I

ab=-a

由韋達(dá)定理得n

C/c=f,代入得

玉?％2=—a=一6

ax2+ox—6tz>0=>x2+x—6<0^>—3<x<2,

故選：D.

4.^A=LeZ-|5|<oj,B={x|log5^<l},則的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分別確定集合AB,再求交集.

【解析】根據(jù)題意，可得集合4={彳€2|尤<2或x>8},

8={尤［0<*<5},

則AcB={1,2},所以AcB的元素個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C

19

5.若0<x<l,則上+『的最小值是（）

X1-x

A.1B.4C.2+2近D.3+2近

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式及"1”的妙用計(jì)算即可.

【解析】因?yàn)?<x<l,所以l-x>0,

貝|］，+2=（，+2］|\+（1—尤）］=3+心+豆23+2應(yīng)，

xl-x\x\-x）L」x1-x

1—V

當(dāng)且僅當(dāng)」即-時(shí)等號(hào)成立，取得最小值3+20,

X

故選：D.

絲240,若2e/,則用的取值范圍是（

6.已知A=x\

mx—\I

11111-1-I

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或相D.m<——或加2—

22222222

【答案】A

【分析】將x=2代入竺二■?（）,然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.

mx-\

+<0

【解析】因?yàn)?wA,所以，2H2+1等價(jià)于

2m—12m—1w0

11

解得-

22

故選：A

7.已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為加元和〃元（加工〃），甲、乙

兩人購(gòu)買該商品的方式不同，甲每周購(gòu)買100元的該商品，乙每周購(gòu)買20件該商品，若甲、乙兩次購(gòu)買平

均單價(jià)分別為％,%,則（）

A.。1=。2B.q<%C.%>。2D.%,%的大小無(wú)法確定

【答案】B

【分析】由題意求出的表達(dá)式，利用基本不等式，比較大小,即得答案.

2002mn

由題意得％=10010020(m+ri)_m+n

【解析】m+n，a2

----1----402

mn

ffl+"I--2mn2mnI—

因?yàn)闄C(jī)m故一-->yjmn,<一i==y/mn,

m+n2\Jmn

即a[<a2,

故選：B

8.已知正實(shí)數(shù)a,b,貝!J"a+2人V2"是"42+4/42”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式求解即可.

31Q1Q137

【解析】取〃=1/二上，滿足2b<2,但片+4〃==+4X±='+-!-=3>2,

2846441616

故〃a+2b<2〃推不出“/+4/w2〃,

因?yàn)椤?4從？2^1a2-4b2=2-2ab=4ab，當(dāng)且僅當(dāng)"。=功"時(shí)取等，

當(dāng)。2+4/42時(shí)，a2+4b2+4ab<2+4ab<2+a2+4b2<4,

所以02+462+44匕44,即（a+26）2V4,因?yàn)閍+2人>0,

所以0<a+26W2,所以標(biāo)+妙42能推出。+26V2.

故“a+2》W2"是""+4〃W2"的必要不充分條件.

故選：B.

二、多選題

9.已知命題P：關(guān)于x的不等式尤2-26-a>0的解集為R,那么命題。的一個(gè)必要不充分條件是（）

?12八

A.—1<。<—B.—VQ<0

23

C.—1<?<0D.a>—l

【答案】CD

【分析】求出命題p成立時(shí)。的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.

【解析】命題P：關(guān)于尤的不等式爐一26-。>0的解集為R,

貝必=4/+4。<0,解得-l<a<0

又（-1,0）[-1,0],（-1,0）[-1,心），

故選：CD.

10.已知正實(shí)數(shù)滿足必=a+6+3,則（）

A.。+6的最小值為6

B.而的最小值為3

C.▲+；的最小值為:

abJ

D.a+2A的最小值為8

【答案】AC

【分析】利用基本不等式，結(jié)合一元二次不等式解法判斷AB；由曲的范圍結(jié)合單調(diào)性判斷C；變形給定等

式，利用基本不等式求解判斷D.

【解析】正實(shí)數(shù)滿足。6=。+8+3,

對(duì)于A,a+6+3=a64（"；"）2,貝l]（a+b）2-4（a+6）-12N0,即（。+6-6）（。+6+2）20,

解得0+626,當(dāng)且僅當(dāng)o=人=3時(shí)取等號(hào)，所以a+b的最小值為6,A正確；

對(duì)于B,ab=a+b+3>lr-/ab+3,貝!J（疝-3）（而+1）20,解得疝23,即必29,

當(dāng)且僅當(dāng)。=方=3時(shí)取等號(hào)，所以必的最小值為9,B錯(cuò)誤;

FL-TC上3THej,11a+bab—33、〃32

于C,由項(xiàng)B知，abN9,—+——------------=1——N1————,

abababab93

所以當(dāng)，=b=3時(shí)，—1+17取得最小值?：，C正確；

ab3

b+3

對(duì)于D,由aZ?=a+b+3,得3—1)(6一1)=4,而〃=---->0,則

b-1

a+%=(a-l)+2S-1)+3之2j(a-1>2(沙-1)+3=4亞+3,當(dāng)且僅當(dāng)=2(8-1)時(shí)取等號(hào),

什1=2(6-1)

解得。=20+1力=0+1，所以當(dāng)。=20+1*=0+1時(shí)，。+26取得最小值4&+3,

D錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時(shí),要特別注意"拆"、"拼"、"湊"等技巧，使用其滿足基本不等式的

"一正"、"二定"、"三相等”的條件.

11.已知正實(shí)數(shù)。，b,c,且“>b>c,無(wú)，兀z為自然數(shù)，則滿足二7+4+上>。恒成立的尤，y,

a—bb-cc—a

Z可以是()

A.x=1,y=1,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x-2,y=2,z=7D.x-1,y=3,z=9

【答案】BC

依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

【解析】要滿足-7+4+上>0,只需滿足一\+9二>工

a-bb-cc-aa-bb-ca-c

其中正實(shí)數(shù)0，b,c,且a>b>c,x,y,z為正數(shù)，

無(wú)?0("b)+(6-c)(x

a-bb-ca-c[a-b

尤+(j)x+(a-b)y+上

a-c(a-b)(a-c)(a-c)僅-c)a-c

X+上+21(b-c)x

a-ca-cN(a_b)(a_c)

a-ca-ca-ca-c

當(dāng)且僅當(dāng)月%=占恐，即伍-c）』（T）〉時(shí)，等號(hào)成立,

觀察各選項(xiàng)，故只需（、6+6）〉z(mì)故只需（4+6）2>Z即可,

a-ca—c

A選項(xiàng)，x=l,y=l,z=4時(shí)，+=4,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，x=l,y=2,z=5時(shí)，(*+匈2=3+2血>5B正確;

C選項(xiàng)，x=2,y=2,z=7時(shí)，(血+可=8>7,C正確;

D選項(xiàng)，x=l,y=3,z=9時(shí)，(&+⑹-4+2/<9D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

x+1

12.已知集合4={*1x>a^,B=x>2,若Ac5w0且AUBwA,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一

x-1

【答案】。,3]

【分析】根據(jù)已知條件，利用分式不等式求解集合B,結(jié)合集合交集、并集的定義，即可求解.

【解析】由上^之2得：l<x<3,

x-1

所以2={x[l<xV3},

因?yàn)镠0且AUBNA,

所以

故答案為：（1,3].

13.已知函數(shù)/（x）=-爐+ax+伙〃*eR）的值域?yàn)椋?8,0],若關(guān)于尤的不等式Ax）>c-1的解集為

（加-4,機(jī)+1）,則實(shí)數(shù)c的值為.

【答案】-231

4

【解析】由題意得公=0,/+46=0，〃回=一（%-22,由/（x）>c-l得

c<1,（無(wú)一q）2<1—cn4—Jl—c<無(wú)v'+Jl-c,因止匕

--A/1—c=m—4,—+y/l—c=m+12-J\-c=5,c=--

224

14.某希望小學(xué)的操場(chǎng)空地的形狀是一個(gè)扇形AOB,計(jì)劃在空地上挖一個(gè)內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所

示），有如下兩個(gè)方案可供選擇.經(jīng)測(cè)量，NAOB=60。，Q4=2.在方案1中，若設(shè)OE=x,EF=y,則x,

》滿足的關(guān)系式為,比較兩種方案，沙坑面積最大值為.

【答案】4/+2q+尸一4=0（其中xe（O,l）,ye（O,2））,或y=（xe（O,l））平/沙

【分析】（1）連接OC,在RSOCF中應(yīng)用勾股定理找到關(guān)系式，注意取值范圍；

2

（2）由（1）及基本不等式求得xy<1,結(jié)合三角形面積公式求方案一的最大值；再連接加，OC,設(shè)OE=m,

EF=n,在Rt^OCM中應(yīng)用勾股定理得病+6〃W7+“2=4,結(jié)合基本不等式、三角形面積公式求方案二最

大值，比較大小即可.

【解析】連接OC,由OE=無(wú)，EF=y,ZAOB=60°,。4=2,得DE=&,

在RtAOCF中，（x+y>+（屈了=4,由OD=2x<2,得0<彳<1,

顯然y=在（。，1）上單調(diào)遞減，。<><2

所以x，y滿足的關(guān)系式為4/+2盯+/-4=0(xe(。/)，yw(0,2))或y=J"3為-x，(xe(0,l))；

方案1：設(shè)游泳池。甌的面積為航,

212

由(1)^4=4x2+2xy+y2>2xy+4xy=6xy,解得孫W],當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即耳，>=為時(shí)取等號(hào)，

所以H=y/3xy<~~~；

方案2：設(shè)游泳池。耳C的面積為邑，取C廠的中點(diǎn)M,

連接ON,OC,設(shè)OE=7然，EF=n,在RtZXOCM中，學(xué)+(理"丫=4,

貝1」4=疝+百加〃+〃2>(2+^)mn,解得wzV4(2-石),當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=6一點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

52=mn<4(2—\/3),

而逋-4(2-a="一24=屈一標(biāo)

333

所以選擇第一種方案，此時(shí)游泳池面積的最大值為2叵.

3

故答案為：4x2+2xy+y2-4=0(xe(0,l),ye(0,2)),或〉=?3套一無(wú)，心(°，1))；半

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出與圖形面積相關(guān)的兩個(gè)變形，借助勾股定理建立關(guān)系，利用基本不等式求解最

值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

四、解答題

15.已知集合4=卜|9一4x—12V0},集合8={x||x-lba}.

(1)當(dāng)。=4時(shí)，求Ac3；

(2)若"xeA"是的充分條件，求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴[-2,5]

(2)a>5

【分析】(1)先解一元二次不等式，求出集合A,再將。=4代入求出集合8,求Ac3即可;

(2)由"xeA"是"xeB”的充分條件，可得集合A是集合B的子集，即可求得。的取值范圍

【解析】⑴解一元二次不等式得：A={x|X2-4X-12<0}=[-2,6]

當(dāng)a=4時(shí)，集合3={%"-1|<4}=|-3,5],

所以AcB=[-2,5],

(2)由已知"xeA"是的充分條件，可得集合A是集合8的子集，

a>0,B={%||-v-l|<a}=[l-a,l+a],

而4=[-2,6],且集合A是集合B的子集,

\l+a>6

所以1/C，解得/5；

\1-a<-2

綜上a25.

16.已知關(guān)于X不等式4元2一3x+2>0的解集為{x|尤<1或x>8}.

⑴求a,b值；

（1h

（2）當(dāng)x>0,>>0,且滿足---+---7=1時(shí)，求2x+y+3的最小值.

x+1y+\

【答案】⑴°=L》=2

(2)8

【分析】（1）根據(jù)題意，得到1和匕是方程依2-3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理列出方程組，即可求

解；

(2)由(1)得到------=1,化簡(jiǎn)2x+y+3=[2(x+l)+(y+l)]?(-H----------),結(jié)合基本不等式，即可

x+iy+1x+1y+1

求解.

【解析】（1）解：因?yàn)椴坏仁揭?-3尤+2>0的解集為{x|x<l或x>6},

可得1和6是方程中2一3彳+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且。>0,

解得。=1,6=2.

1x6=2

a

12

(2)解：由(1)知a=l,〃=2,可得----+----=1,

x+1y+1

因?yàn)椋?gt;0,y>0,所以2%+y+3=2(x+1)+(y+1)=[2(x+1)+(y+1)]?(-----H-------)

x+1y+1

=4+2±l+4(￡±l)^4+2Iy^l4(^l)=8)

x+1y+1yx+1y+1

當(dāng)且僅當(dāng)營(yíng)二爭(zhēng)時(shí),即尤=1，尸3時(shí)，等號(hào)成立,

所以2元+y+3的最小值為8.

17.已知二次函數(shù)>=依2+/）尤+2（a,。為實(shí)數(shù)）

⑴若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）,對(duì)VxeR,y>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),對(duì)-2,7],y＞。恒成立，求實(shí)數(shù)》的取值范圍;

【答案】⑴(3-20,3+20)

(1-V171+a)

【分析】(1)由已知可得匕=-1-。，由VxeR,，＞。恒成立列出不等式求解即得.

(2)由(d-x)a-x+2＞0對(duì)2,-日恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.

【解析】(1)依題意，a+b+2=l,即6=一1-a,

a>0

由VxcR,y＞0恒成立，得

A=Z?2—8a<0

Q>0

/—6a+1<0

解得3-20<a<3+20.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(3-2&,3+2?).

(2)由(1)知，b——1—6Z,

由y>0,cu^—(l+a)x+2>0,即(爐―〃—％+2>0,

依題意，(爐-1)〃-％+2>。對(duì)Va￡[-2,-f|恒成立，

令g(a)=1—x^a—x+2,

「..g(—2)=—2兀2+x+2〉0

則對(duì)Va?-2,-1,g⑷>。恒成立，于是120c

L」口(-1)=一/+2>0

解得匕叵＜彳＜見(jiàn)何

所以實(shí)數(shù)尤的取值范圍是

18.某服裝廠擬在2022年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)機(jī)萬(wàn)件與年

促銷費(fèi)用無(wú)(04410)萬(wàn)元滿足m=3-一I.已知2022年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件

該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的促銷價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2倍(產(chǎn)品成本包括固

定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用).

⑴將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y元表示為年促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);

(2)該服裝廠2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大？

【答案】⑴y=56-2-x(xe[0Q0])；

x+1

(2)投入3萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大.

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合已知條件，列出函數(shù)關(guān)系即可;

(2)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行配湊，運(yùn)用基本不等式，即可求得利潤(rùn)的最大值.

【解析】(1)由題意知：每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為2x紅也，

m

八8+16m小“、0

/.y=m-2x------------(8+16m+x)=8+lom-x

m

=8+16|3---\-x

Ix+lj

=56一一—x,即y=56—一—x(xe[0,10])；

x+1x+1

(2)由y=56-生-x=57-生+(x+l)457-21里.(x+1)=49,

X+1\_x+lJVx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+1,即x=3時(shí)取等號(hào).

x+1

故該服裝廠2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大.

19.對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若:，那么稱點(diǎn)(。,6)是點(diǎn)(c,〃)的"上位點(diǎn)"，

ba

同時(shí)點(diǎn)(C,d)是點(diǎn)(a,6)的“下位點(diǎn)〃.

⑴試寫(xiě)出點(diǎn)(1,2)的一個(gè)"上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)嚇位點(diǎn)”坐標(biāo)；

⑵已知點(diǎn)(。力)是點(diǎn)(c,d)的"上位點(diǎn)"，判斷點(diǎn)(專,是否是點(diǎn)(°力)的"下位點(diǎn)"，證明你的結(jié)論；

⑶設(shè)正整數(shù)〃滿足以下條件：對(duì)集合卜|0</<2022,/€2｝內(nèi)的任意元素加，總存在正整數(shù)％=27”+1,使得

點(diǎn)5㈤既是點(diǎn)(2022,相)的"下位點(diǎn)"，又是點(diǎn)(2023,m+1)的“上位點(diǎn)”，求滿足要求的一個(gè)正整數(shù)〃的值，并

說(shuō)明理由

【答案】⑴"上位點(diǎn)”(3,5),"下位點(diǎn)”(1,4)(答案不唯一)

(2廣下位點(diǎn)"，證明見(jiàn)解析

(3)/7=4045,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由定義即可得所求點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)先由點(diǎn)是點(diǎn)(c,d)的"上位點(diǎn)"得作差化簡(jiǎn)得4-6c>0,結(jié)合所得結(jié)論、定義，利用作差

ba

法即可判斷出點(diǎn)是否是點(diǎn)(〃/)的"下位點(diǎn)”.

2023

n>4046---------

2023n2022m+1

(3)依題意可得-------<-------〈--翌-，從而得