2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】原卷版

平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】..........................................................5

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................6

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】....................................................7

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】.......................................................8

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】..................................................8

【題型8極化恒等式】.........................................................................9

【題型9矩形大法】..........................................................................10

【題型10等和（高）線定理】....................................................................11

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（1）“形化"，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題，即可得出結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|￡+斤+|3—斤=2（|不+,『）,

證明：不妨設(shè)4B=a,AD=石,貝!J/C=a+B,DB=a-b>

22

阿=宓=R+S）=同2+2a-b+|S|①,

阿=加=(￡一可=同一2鼠叼邛②,

①②兩式相加得:

\AC

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：a-b=--------極化恒等式

平行四邊形模式：?-ft=|[|^C|2-|￡)S|2].

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即就?於=

--------2--------2

AM—為的中點(diǎn))(如圖).

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.

【知識(shí)點(diǎn)3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對角線端點(diǎn)距離的平方和相等.

即：已知點(diǎn)。是矩形與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，可以得到：O^2+OC2=(9S2+OD2.

【知識(shí)點(diǎn)4等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若5?=2方+〃無%〃CR),

則%+〃=1,由△0/8與△(??夕相似,必存在一個(gè)常數(shù)依KR,使得蘇=kOP，則蘇=kOP=kXOA+k^tOB,

又OP=x。！+yOB(x,y€R),；.x+y=H+M=左；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個(gè)基底｛扇，無｝及任一向量蘇，OP'=XOA+f^OB^iER),若點(diǎn)P在直線N8上或在平

行于N2的直線上，貝〃+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線N3時(shí)，k1;

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線42之間時(shí)，?。?,1）；

③當(dāng)直線48在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，?。?,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值自，上2互為相反數(shù);

⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量耳索的夾角為爭則同一t（無一砌|（teR）的最小值

為（）

A.|B.亨C.1D.|

【變式1-1］（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點(diǎn)G是△48C的重心，過點(diǎn)G作直線分別與4B,"

兩邊交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)彳耘=久祐，AN=yAC,則久+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【變式1-2］（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若瓦？+赤+瓦=0,AM

=xAB,AN=yAC,MO=AON,貝Uxy的最小值為（）

124

A.-B.1C.~D.-

【變式1?3】（23-24高一下?上海?期末）已知向量2石2,滿足同=|同=1,a-h=—c=xa+yb

（%、yGKy>0）,則下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）.

①若久=1,則口的最小值為李

②若％=1,則存在唯一的y,使得2?工=0；

③若?=1,則久+y的最小值為一1；

④若?=1,則J五?之+之,刃的最小值為一支

A.1B.2C.3D.4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形4BCD中，已知分別是B&CD上的點(diǎn)，且滿足前=詼

,CF=2FD.若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，且2P="E+/MFNzeR）,則1+〃的取值范圍為（）

【變式2-1]（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形4BCD中，AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），AC=mDB+nAP,則zn+?i的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口/BCD中，點(diǎn)P在對角線/C上（不包括端點(diǎn)/,C）,

點(diǎn)。在對角線8。上（不包括端點(diǎn)8,D）,若方=%而+〃i近，AQ=A2XB+fi2BC,記2居一出的最小

12

值為〃,，詬+G的最小值為〃，貝I」（）

1919

n

m---n--m-----

82B.?42

A.cmn

1919

-----n-

-^4m--44-

oD.

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）己知。為△ABC的內(nèi)心，角/為銳角，sin&=浮，若刀=〃

O

AB+AAC,則〃+2的最大值為（）

A.-B.7C.-D.

Z456

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角△4BC中，斜邊48=4魚，點(diǎn)。在以8c為直徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，貝UI與+而|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【變式3-1]（2024?四川成都?三模）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,點(diǎn)E滿足2族=3而，在平面4BCD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足而?麗=0,則麗?前的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【變式3-2]（2024?湖南永州?三模）在△ABC中,〃CB=120°,|xc|=3,|BC|=4,~DCDB=0,則|日+而|

的最小值為（）

A.6y/3—2B.2419—4C.3V3—1D.V19—2

【變式3-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形4BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點(diǎn)、E,F.當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，麗?麗的取值范圍為（）

A.[1-2V2,-1]B.[1-2V2,-1]

C.[-1,1-72]D.[1-2V2,1-V2]

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)下為線段2C上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若赤=久南+2y

AC（x>0,y>0）,則:+：的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【變式4-1]（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在△4BC中，點(diǎn)。滿足麗=2瓦，過點(diǎn)。的直線分別交

射線力B,&C于不同的兩點(diǎn)跖N.設(shè)俞=5萬，麗=次，則爪2+幾的最小值是（）

323

A.3B,1C,-D.-

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△4BC中,已知同?標(biāo)=9,sinB=cosXsinC,SAABC=6,P

為線段4B上的一點(diǎn)，且而="等+湍，則§+；的最小值為（）

7,V35+V65V3n5+2前

ADC+D

A-n+TB-丁-u~-

【變式4-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)，

AG=2GM,過點(diǎn)G的直線分別交直線ZB,4C于P,Q兩點(diǎn).設(shè)方=%Q（x>0）,AC=yAQ（y>0）,則

C36

D.

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?陜西渭南?二模）已知菱形4BCD的邊長為LcosNBAD=［。為菱形的中心，E是線段力B上的

動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的最小值為（）

i.

ABc1D.

-I-I6

【變式5-1］（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，圓。內(nèi)接邊長為1的正方形ABC。尸是?。òǘ它c(diǎn)）上一

C.[1,陰D.降1]

【變式5-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當(dāng)點(diǎn)E在對角線4C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，麗?麗的最小值為（）

AB

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2,對稱中心為0,以。為圓心

作半徑為1的圓，點(diǎn)M為圓。上任意一點(diǎn)，則而?而的取值范圍為（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[_8,0]D.[—6A/3^,0]

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知平面向量大b,不滿足同=1,國=逐，a-b=~l，

（花一林一3=30。，則團(tuán)的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【變式6-1]（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形力BCD中，4C=2BD=4,點(diǎn)P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，貝UI刀仔+|而仔+|而『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式6-2]（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△ABC中，已知4B=2,AC=3,乙4=120。，E,F分

另IJ是AB,4C邊上的點(diǎn)，SAE=xAB,AF=yAC,且2x+y=l,若線段EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則|而

|的最小值為（）

【變式6-31（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量五，b,e,且同=1,同=2.已知向量至與3所成

的角為60。，且另一謝N防一用對任意實(shí)數(shù)t恒成立，則辰+可+2五一目的最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

[例7]（23-24高一下,甘肅隴南,期末）已知平面向量五，立滿足⑷=\b\=4,|c|=2,a-b——8,若"=Aa.+〃

M（4GR,“eR）,貝U24+”的取值范圍是（）

A.[—宇竽]B.[—等，苧]C.[—亨，亨]D.[-276,276]

【變式7-1]（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△28C中，28=6/C=8/B4C=去/是NB4C的平

分線上一點(diǎn)，且R=若△4BC內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)。滿足而=X荏+冠，則實(shí)數(shù)x的取值范圍

是（）

A-（4目B.（V）C.D,

【變式7-2]（23-24高一下?四川成都?期末）在直角梯形4BCD中，AB12。,=DC=l/B=2,E,F

分別為A8/C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以2為圓心，4。為半徑的圓弧DE上運(yùn)動(dòng)（如圖所示）.若而=4前+“而，

其中乙〃€/?,則22—〃的取值范圍是（）

A.[—2,1]B.[-U]

C.[-1,2]D.[-2,2]

【變式7-3]（23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖扇形力。B所在圓的圓心角大小為g,P是扇形內(nèi)部（包

括邊界）任意一點(diǎn)，^OP=xOA+yOB,那么2（*+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【題型8極化恒等式】

[例8]（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知△048的面積為1/B=2,動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段A8上滑動(dòng)，且|PQ|=1,

則麗?麗的最小值為.

【變式8-1］（2024?山東?模擬預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方

形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，兩?西的取值范圍是.

【變式8-2］（2024?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測）如圖直角梯形N2CD中，斯是CD邊上長為6的可

移動(dòng)的線段，AD=4,AB=8V3,BC=12,則麗?麗的取值范圍為.

【變式8-3］（23-24高一下?廣東潮州?階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①7+書:=*+2|

——272_>_>2_>2_2_->_-*2

-b+b；②（3―6）=彥―23.6+b,由①-②得@+6）-（a-b'）=4G?boG?b=（。+。）叫，我們

把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.

如圖所示的四邊形ABC。中，BD=8,而?前=48,￡"為BD中點(diǎn).

（1）若C0SNB4D=石，求△4BD的面積；

⑵若2荏=詼，求而.麗的值；

（3）若P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求而-（PS+而）的最小值.

【題型9矩形大法】

【例9】（2024?浙江紹興一模）已知向量b,及滿足同=歷|=不"=2,0—2）?@—2工）=0,則加一引

的最小值為

【變式9-1]（23-24高三下?四川成都?階段練習(xí)）已知單位向量扇加滿足|23一同=2,若存在向量入使得

（工—2五）?（2―勵(lì)=0,則同的取值范圍是（）

A?內(nèi)當(dāng)+1]B.博-1,當(dāng)C.悸—1,苧+1]D.[V6-1,V6+1]

【變式9-2]（23-24高三上?四川資陽?階段練習(xí)）已知。為單位向量，向量&滿足：①一3）?①—53）=0,

則只+砰的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式9-3]（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知平面向量巨，b,c,滿足|可=|臼=五==2,且

（a—2c）?（b—c）=0,則|五一磯的最小值為（）

A.-B.^3c.立D.五

2222

【題型10等和（高）線定理】

【例10】（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）在平行四邊形A8CD中，E為CD的中點(diǎn)，~BF=^BC,4尸與BE交于

點(diǎn)G,過點(diǎn)G的直線分別與射線B4BC交于點(diǎn)M,N,JM=ABA,BN=[iBC,則4+2〃的最小值為（）

A.1B.1C.|D.|

【變式10-1]（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）對稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對稱，中心對

稱都能給人以美感，在菱形2BCD中，AABC=120°,以菱形ABC。的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這

四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若加=4方+〃皮，貝/+4的最大值為（）

35

A.5B.3C.-D.-

【變式10-2]⑵-24高一下?四川綿陽?期中）在扇形。/8中，匕AOB=60。，C為弧48上的一動(dòng)點(diǎn)，若發(fā)=%

OA+yOB,貝!）3%+y的取值范圍是.

【變式10-3]（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）正六邊形45CDE尸中，P是ACDE內(nèi)（包括邊界）的

動(dòng)點(diǎn)，設(shè)方=mAB+nAF,（m,neR）,則租+九的取值范圍是.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中力=45。/8=1/D=VL^AP=AB+%AD（xe/?）,

則|麗|的最小值為（）

A.|B.￥C.1D.V2

2.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）在△力BC中，BD=2DC,過點(diǎn)。的直線分別交直線ZB、2C于點(diǎn)E、F,且

AE=mAB,AF-nAC,其中zn>0,n>0,則zn+2n的最小值為（）

A.2B.V2C.3D.|

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）已知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)48,C滿足=2,備一備21,則|通+而|

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024?天津河北?二模）△ABC是等腰直角三角形，其中4B1AC,|而|=1,P是△ABC所在平面內(nèi)的一

點(diǎn)，若麗=沅2+〃萬（220420且2+2〃=2）,則刀在次上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.（0,同B.熔1]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024?安徽蕪湖?三模）已知。。*2+必—10%+9=0與直線1交于48兩點(diǎn)，且OC被，截得兩段圓弧

的長度之比為1:3,若。為。C上一點(diǎn)，則瓦T麗的最大值為（）

A.18vl+12B.16立+16C.12夜+20D.10V2+24

6.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊aABC中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若前=2荏+〃菰，貝）+〃的最大值為（）

A.|B.苧C.1D.|

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）向量心瞞足〈?！?也的=初，且VtCR,不等式區(qū)+助2歷一向恒成立.

函數(shù)f（%）=I口一可+卜石一9kxeR）的最小值為（）

A.1B.1C.V3D.V5

8.（2024?四川成都?三模）已知正方形ABCD的邊長為1,M,N分別是邊AB,AD上的點(diǎn)（均不與端

點(diǎn)重合），記△AMN,△CMN的面積分別為Si，S2.若Si=|奇?荏|?|麗?麗|,則S2的取值范

圍是（）

A-[p1）B.[魚—1,C,[i,|）D.[V2-1,|）

二、多選題

9.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量標(biāo)2滿足同=l,\b\=l,|c|=3且3?工=B?京貝U（）

A.忖+9+耳的最小值為2

B.B+B+H的最大值為5

C.辰一3+工|的最小值為2

D.|3一B+M的最大值為

10.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）在△ABC中，。為邊4C上一點(diǎn)且滿足而=9反，若P為邊BD上一點(diǎn),且

滿足而=4荏+〃而，九〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.川的最小值為1B.川的最大值為5

C.；+5的最大值為12D.3+5的最小值為4

A.DRA.D林

11.（2024?山東濰坊?二模）已知向量五b,m為平面向量，同=1,同=2,社1=0,\c-a\=1,貝U

（）

A.1<|c|<|B.G—花）?白一B）的最大值為"管

C.—1<fa,c<1D.若c=4a+〃6,貝!+〃的最小值為1—第

4

三、填空題

12.（2024?四川宜賓