2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：視圖與投影、尺規(guī)作圖、命題（講義）（解析版）

考點(diǎn)25.視圖與投影、尺規(guī)作圖、命題（精講）

【命題趨勢(shì)】

本專題以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖、尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年都會(huì)考查，是廣大考

生的得分點(diǎn)，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，視圖與投影和命題在選填題出現(xiàn)的可能

性較大，一般只考查基礎(chǔ)應(yīng)用，所以考生在復(fù)習(xí)時(shí)要多注重該考點(diǎn)的概念以及應(yīng)用.而尺規(guī)作圖的考查涉及

多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)

有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力。

【知識(shí)清單】

1：圖形的投影（☆☆）

1）投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)象叫

做投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面。

2）平行投影、中心投影、正投影

（1）中心投影：在點(diǎn)光源下形成的物體的投影叫做中心投影,點(diǎn)光源叫做投影中心。

（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影。

（3）正投影：投射線與投影面垂直時(shí)的平行投影,叫做正投影。

2：幾何體的三視圖（☆☆☆）

1）視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖。

2）三視圖：（1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖；（2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視

圖；（3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖。

3）三視圖的畫法

（1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長(zhǎng)度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度

相等.簡(jiǎn)記為“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，左俯寬相等”。

（2）注意實(shí)線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線。

4）常見幾何體的展開圖

幾何體立體圖形表面展開圖側(cè)面展開圖

正方體有11種展開圖，分為四類:

第一類，中間四連方，兩側(cè)各有一個(gè)，共6種，如下圖:

第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有1種，如圖10；

第四類，兩排各有三個(gè)，也只有1種，如圖11。

3：尺規(guī)作圖（☆☆☆）

1）尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖。

2）五種基本作圖

（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作一個(gè)角的平分線；（4）作一條線段的

垂直平分線；（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線。

3）根據(jù)基本作圖作三角形

（1）已知三角形的三邊，求作三角形；（2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；（3）已知三角

形的兩角及其夾邊，求作三角形；（4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形；（5）已知直

角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。

4）與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖

（1）過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內(nèi)切圓。

5）作圖題的一般步驟

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論。

其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡。

6）尺規(guī)作圖的關(guān)鍵：（1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；（2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾

種基本作圖方法解決問題。

7）根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，作圖依據(jù)是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如

作直角三角形就先作一個(gè)直角。

4：定義、命題、定理（☆☆）

1）定義:一般地，對(duì)某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的定義。

2）命題：判斷一件事情的語句叫做命題。

3）命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。

4）命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的

部分是結(jié)論。

5）真命題：正確的命題叫做真命題。反之，則為假命題。

注意：（1）要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推理、

證明）；（2）要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可。

6）逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題

的逆命題;每個(gè)命題都有逆命題,但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。

7）公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始

依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。

8）定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一

步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理。

注意：公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)。

9）推論：由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論。

10）如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真金題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理,其中一

個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理;任何一個(gè)命題都有逆命題,而一個(gè)定理并不一定有逆定理。

11）反證法定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所

作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

12）反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定

義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.圖形的投影

例1:（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）"光沿直線傳播“產(chǎn)生了影子，下面是在同一時(shí)刻的太陽光下兩棵樹產(chǎn)

生的影子，其中正確的是（）

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻陽光下的影子肯定為同側(cè)且平行的，且與物體相連，直接判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)同一時(shí)刻陽光下的影子肯定為同側(cè)且平行的，且與物體相連，只有D選項(xiàng)符合題意，故

選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵是根據(jù)投影的概念進(jìn)行解答即可.

變式1.（2023?廣西柳州?統(tǒng)考二模）房間窗戶的邊框形狀是矩形，在陽光的照射下邊框在房間地面上形成

了投影，則投影的形狀可能是（）

A.圓B.橢圓C.三角形D.平行四邊形

【答案】D

【分析】由于矩形邊框的對(duì)邊平行，則在陽光的照射下邊框在房間地面上形成了投影的對(duì)邊也平行或重

合，所以她的投影不可能為三角形、圓、橢圓.

【詳解】解：在陽光的照射下矩形邊框在房間地面上形成了投影的形狀可能是平行四邊形.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子

就是平行投影.平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的.

變式2.（2023?貴州義?統(tǒng)考三模）把一個(gè)正五棱柱如圖擺放，光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是

【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可.

【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同.

變式3.（2023?河北衡水?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是嘉淇在室外用手機(jī)拍下大樹的影子隨太陽轉(zhuǎn)動(dòng)情況的照

片（上午8時(shí)至下午5時(shí)之間），這五張照片拍攝的時(shí)間先后順序是（）

①②③④⑤

A.①②③??B.②④①③⑤C,⑤④①③②D.⑤③①④②

【答案】B

【分析】太陽的位置和高度決定了影子的方向和長(zhǎng)短.一天中，陽光下物體的影子變化規(guī)律是上午影子由

長(zhǎng)逐漸變短；下午影子由短逐漸變長(zhǎng).方向由西逐漸轉(zhuǎn)向東.

【詳解】解：一天中太陽位置的變化規(guī)律是：從東到西.太陽的高度變化規(guī)律是：低一高-低.影子位

置的變化規(guī)律是：從西到東，影子的長(zhǎng)短變化規(guī)律是：長(zhǎng)一短-長(zhǎng).根據(jù)影子變化的特點(diǎn)，按時(shí)間順序

給這五張照片排序是②④①③⑤.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，了解物體在陽光下影子的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。

例2：（2023?廣東深圳?校考一模）下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是

()

【答案】D

【分析】利用"在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽光下的影子的方向應(yīng)該一致，人與影子的比相等"對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判

斷.

【詳解】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的

影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影

子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

變式1.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┢び皯蚴且环N以獸皮或紙板做成的人物剪影，在燈光照射下用隔亮布

進(jìn)行表演的民間戲劇.表演者在幕后操縱剪影、演唱，或配以音樂，具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息."皮影戲”中的

皮影是（填寫"平行投影"或“中心投影"）

【答案】中心投影

【分析】根據(jù)平行投影和中心投影的定義解答即可.

【詳解】解："皮影戲”中的皮影是中心投影.故答案是中心投影.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，平行投影

是在一束平行光線照射下形成的投影.

變式2.（2023?北京?一模）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與

這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是

【答案】D

【分析】因?yàn)橹行耐队拔矬w的高和影長(zhǎng)成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項(xiàng)即可找到

符合題意的選項(xiàng)

【詳解】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線垂直地面，光源與對(duì)角線組成的平面垂直于地面，

則有影子的對(duì)角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長(zhǎng)影子會(huì)更長(zhǎng)一些，故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點(diǎn)，理解中心投影物體的高和影長(zhǎng)成比例

是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?河北邯鄲?校考三模）如圖，球在燈泡的照射下形成了影子，當(dāng)球豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，球的影

子的大小變化是（）

A.越來越小B.越來越大C.大小不變D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)求解.

【詳解】解：根據(jù)中心投影的性質(zhì)，當(dāng)球豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，球的影子會(huì)越來越小，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，掌握中心投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3：（2023?福建廈門?統(tǒng)考三模）如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻體或門.在點(diǎn)

A處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監(jiān)控，這部分無法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱

為監(jiān)控盲區(qū).（1）小紅同學(xué)進(jìn)入校史榮譽(yù)室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？

（2）為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請(qǐng)你幫助學(xué)校在墻體A3上重新設(shè)計(jì)攝像頭安裝的位置，畫

出示意圖，并說明理由.

3

【答案】（1）—（2）見詳解

【分析】（1）分別求出榮譽(yù)室面積和盲區(qū)面積，再利用概率公式，即可求解；

（2）把攝像頭安裝在42的中點(diǎn)處，計(jì)算出監(jiān)控盲區(qū)的面積，然后把攝像頭安裝在的其他位置，表達(dá)

出監(jiān)控盲區(qū)的面積，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,國(guó)榮譽(yù)室面積=2x2+2x2+2x6=20,盲區(qū)面積=2x2-3x2xl=3,

3

團(tuán)站在監(jiān)控盲區(qū)的概率=3+20=與；

（2）如圖所示：攝像頭安裝在的中點(diǎn)處，監(jiān)控盲區(qū)的面積最小，此時(shí)，監(jiān)控盲區(qū)面積=2x^xlx2=2,

若攝像頭不安裝在A2的中點(diǎn)處，則監(jiān)控盲區(qū)面積=?x（CM+2）x2>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，掌握概率公式和方格紙的面積的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?浙江?九年級(jí)期末）"白日依山盡，黃河入海流.欲窮千里目，更上一層樓.”這里主要是

（）

A.增大盲區(qū)B.減少盲區(qū)C.改變光點(diǎn)D.增加亮度

【答案】B

【分析】根據(jù)站的越高，人的視角就越大，對(duì)于圓形地球可視面就越大，盲區(qū)越小進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解回選項(xiàng)A,站的越高，人的視角就越大，不是增大盲區(qū)，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,減少盲區(qū)，正確；選項(xiàng)C,不可能改變光點(diǎn)，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,不是增加亮度，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了盲區(qū)的相關(guān)知識(shí)，正確理解盲區(qū)的概念是解決本題的關(guān)鍵，盲區(qū)是指視野盲區(qū)，視野

盲區(qū)就是指人的視線達(dá)不到的地方，站得高可以減少盲區(qū).

變式2.（2023?河北唐山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從點(diǎn)。觀測(cè)建筑物AC的視角是（）

D

AB

水平地面

A.NADCB.NDABC.ZDCAD.NDCE

【答案】A

【分析】根據(jù)視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角，即可判斷.

【詳解】如圖所示，根據(jù)視角的定義，建筑物AC兩端發(fā)出的光線在眼球內(nèi)交叉的角為-4OC,故選:

A.

【點(diǎn)睛】本題考查了視角的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉并掌握視角的定義.

例4：（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的.圖中小狗手影就

是我們小時(shí)候常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米.在

小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（）

A.減少53米B.增加|■3米C.減少|(zhì)5米D.增加5浮

【答案】A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。為光源，AB表示小明的手，8表示小狗手影，則過點(diǎn)。作

OELAB,延長(zhǎng)OE交。于則OP_LCD,

C

C

a--4,

EE

FO'<-F'

B

DB、、、

D'

團(tuán)AB〃CD,SAAOB^^COD,則號(hào)=等

EIE_F=1米，OE=2米，貝！尸=3米，E—設(shè)A3=2左，CD=3k

CDOF3

國(guó)在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖,

即AB=2左，Ciy=6k,砂'=1米，AAO'B^AC'O'D'

AHn'p'ii

0則OE—O'E'=2O'E'=EF',回O'E'=一米，

CD'O'F'32

13

回光源與小明的距離變化為：。片-。￡'=2-3=5米，故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了中心投影，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立

適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題.

變式1.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,3）是一個(gè)光源.木桿兩端的坐

標(biāo)分別為（-M）,（3,1）.則木桿AB在無軸上的投影長(zhǎng)為（）

A------------------B

Ox

A.26B.3亞C.5D.6

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)上4、P8分別交x軸于A、B',作尸E_Lx軸于E,交A2于。，證明APABSAPA^,得到

ABPD—即

福=而，即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)F4、PB分別交x軸于A、B',作PE_Lx軸于E,交A3于。，如圖，

?.,P(2,3),4(-1,1),B(3,l)..-.PD=2,PE=3,AB=4,

PD42

■,■AB//AB',:.ZXPABS/XPA'B',-^=—,BR—=-,:.A!B'=6,故選：D.

ABPEAB3

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時(shí)的投影

是放大（即位似變換）的關(guān)系.

變式2.（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為

4：7,且三角板的一邊長(zhǎng)為8cm.則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（）

A.20cmB.14cmC.8cmD.3.2cm

【答案】B

【分析】中心投影下的三角板與投影三角板一定是相似的，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，列

式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：三角板的一邊長(zhǎng)為8cm,則設(shè)投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為xcm,

???三角板與其投影的相似比為4:7,：.28=二4，.「=14,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=14是原方程的解，，投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為14cm.故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影與相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心投影的概念與相似三角形的性質(zhì)是

解答此題的關(guān)鍵.

例5：（2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小宇、小輝一起測(cè)量學(xué)校升旗臺(tái)上旗桿A3的高

度，如圖，旗桿A3立在水平的升旗臺(tái)上，小宇測(cè)得旗桿底端8到升旗臺(tái)邊沿C的距離為2m,升旗臺(tái)的臺(tái)

階所在的斜坡CD長(zhǎng)為2m,坡角為30。，小輝測(cè)得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面MN上的部分DE

的長(zhǎng)為7m,同一時(shí)刻，小宇測(cè)得直立于水平地面上長(zhǎng)1.8m的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為1.2m,請(qǐng)你幫他們求出旗桿

A3的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：61.732）

C'、

\E

【答案】15.1m

【分析】延長(zhǎng)AB交于點(diǎn)過C做CGLMN于G,根據(jù)矩形的性質(zhì)及含有30。角的直角三角形的性

質(zhì)得到CG=lm,DG=y/3m,最后根據(jù)同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比即可解答.

【詳解】解：延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)過C做CGLMV于G,

回四邊形3HGC是矩形，^HG=BC=2m,ZCGD=90°,BH=CG,

ElZCDG=30°,CD=2m,0CG=1cr>=lm,DG=V3m,

^HE=HG+GD+DE=2+y/3+l=（9+y/3^m,

團(tuán)同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成正比，國(guó)笠，國(guó)'n號(hào)=7^，回AH="+3>m,

HE1.29+。31.22

BAB=AH-BH=21+3^-}=25+3^答：旗桿AB的高度.為15.1m.

A

標(biāo)桿

L

MHGN

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形一坡度坡角的問題，平行投影，掌握同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比是解題

的關(guān)鍵.

變式1.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）如圖，A3和DE是直立在地面上的兩根立柱，A3=5米，某一時(shí)刻

A3在陽光下的投影3c=3米，在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽光下的投影長(zhǎng)為6米，則DE的

長(zhǎng)為—,

【答案】10m/10米

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)和影長(zhǎng)成比例求解即可.

【詳解】解：因?yàn)锳B=5米，某一時(shí)刻AB在陽光下的投影BC=3米，在測(cè)量A3的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出

OE在陽光下的投影長(zhǎng)為6米,，根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)和影長(zhǎng)成比例得，

鼻？,0DE=lO（m）,故答案為：10m.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行投影，準(zhǔn)確掌握同一時(shí)刻，物長(zhǎng)和影長(zhǎng)成比例是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?陜西?統(tǒng)考三模）某小組的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)內(nèi)容是測(cè)量某棵古樹的高度AB,如圖，在陽光

下，某一時(shí)刻，古樹A2的影子落在了地上和圍墻上，落在地上的長(zhǎng)度班＞=21米，落在墻上的長(zhǎng)度DE=1

米，在古樹的附近有一棵小樹同一時(shí)刻，小樹的影長(zhǎng)PN=1.8米，小樹的高M(jìn)N=1.2米.已知點(diǎn)

N,P,B,。在一條水平線上，MNA.ND,AB±ND,EDLND,請(qǐng)求出該古樹的高度AB.

A

【答案】該古樹的高度AB=15米

【分析】作E7UAB于點(diǎn)憶如圖，可得班'=DE=1米，CF=BD=21米,然后根據(jù)同一時(shí)刻的物高與

其影長(zhǎng)成比例求出AF,再加上的即得答案.

【詳解】解：作EF_LAB于點(diǎn)尸，如圖，

0AB±A?,ED1ND,回四邊形助9EF是矩形，回班'=。￡=1米，。/=%>=21米，

MNAFAF

根據(jù)同一時(shí)刻的物高與其影長(zhǎng)成比例可得：喘=三,即12==黑，解得：蕭=14米，

Nr卜七1.021

^AB=AF+FB=14+\=15（米）；答：該古樹的高度AB=15米.

A

NPBD

【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)2.幾何體的三視圖

例6：（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)衢州瑩白瓷的直口杯，它的主

視圖是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)視圖的意義，從正面看所得到的圖形即可.

【詳解】解：該直口杯的主視圖為故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提.

變式1.（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）由六塊相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯

正面

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】觀察圖形可知，該幾何體的俯視圖如下:.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

變式2.（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是

【答案】D

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案.

【詳解】解：團(tuán)主視圖和左視圖是長(zhǎng)方形，團(tuán)幾何體是柱體，

團(tuán)俯視圖是圓，國(guó)該幾何體是圓柱，故D正確.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力.

變式3.（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）一個(gè)正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左

【答案】D

【分析】運(yùn)用三種視圖的空間方位進(jìn)行解題.

【詳解】解：A、選項(xiàng)不符合三種視圖，不符合題意；B、選項(xiàng)是主視圖，不符合題意;

C、選項(xiàng)是右視圖，不符合題意；D、選項(xiàng)是左視圖，符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的思考能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力.

例7：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖和

俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小立方塊最多有個(gè).

【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖可得第一列最多2個(gè)，第二列最多1個(gè)小正方形，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)主視圖和俯視圖可得第一列最多2個(gè)，第二列最多1個(gè)小正方形，如圖所示,

團(tuán)搭成這個(gè)幾何體的小立方塊最多有2+2+1+1=6,故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（四川省雅安市2020年中考數(shù)學(xué)試題）一個(gè)幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖

和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】在"俯視打地基"的前提下，結(jié)合左視圖知俯視圖上一行三個(gè)小正方體的上方（第2層）至少還有

1個(gè)正方體，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個(gè)數(shù)最少分布情況如下圖所示：

俯視圖

所以組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為5,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握口訣"俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違

章”.

變式2.（2023?黑龍江齊齊哈爾??？家荒＃┮粋€(gè)幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成，其主視圖和左

視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有。個(gè)，最多有萬個(gè)，b-a=（）

主視圖左視圖

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】從主視圖可判斷有上下兩層，結(jié)合左視圖，下層最少有3個(gè)，最多有6個(gè)；上層僅有1個(gè).

【詳解】解：以主視圖結(jié)合左視圖，下層最少有3個(gè)，最多有6個(gè)；上層僅有1個(gè).故

a=4,b=7;b-a=3；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，注意兩者的結(jié)合，需具備必要的空間想象能力.

變式3.（2023?黑龍江佳木斯?統(tǒng)考三模）由幾個(gè)大小相同的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖

如圖所示，則搭建這個(gè)幾何體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)可能為（）

主視圖俯視圖

A.5個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)或6個(gè)D.6個(gè)或7個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖確定層數(shù)及每層的數(shù)量即可.

【詳解】解：結(jié)合主視圖和俯視圖可知，這個(gè)幾何體共2層，底層有3個(gè)小正方體，第2層至少有2個(gè)小

正方體，最多有3個(gè)小正方體，因此需要5個(gè)或6個(gè)小正方體，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了小正方體組成的幾何體的三視圖確定小正方體的數(shù)量，正確理解幾何體的三視圖是解

題的關(guān)鍵.

例8：（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）一個(gè)幾何體的三視圖如下，則這個(gè)幾何體的表面積是（）

A.39兀B.45兀C.48兀D.54兀

【答案】B

【分析】先根據(jù)三視圖還原出幾何體，再利用圓錐的側(cè)面積公式和圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體上面是底面直徑為6,母線為4的圓錐，下面是底面直徑為6,高為4

的圓柱，該幾何體的表面積為：5=TIX—x6x4+6?ix4+7ixf-x6^=12%+24無+9兀=45兀.故選B.

2【2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖以及圓錐的側(cè)面積公式和圓柱的側(cè)面積公式，根據(jù)三視圖還

原出幾何體是解決問題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?安徽淮北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.12573B.10073C.756D.3073

【答案】C

【分析】由三視圖可知，幾何體為底面為邊長(zhǎng)是5,高為2的正六棱柱，利用體積等于底面積乘以高進(jìn)行

計(jì)算即可.

【詳解】解：由圖可知：幾何體為底面為邊長(zhǎng)是5,高為2的正六棱柱，

如圖：設(shè)正六邊形的中心為。，AB=5,OC±AB,貝hOA^OB,ZAOB=60°,

0OA=(9S=AB=5,AC=|AB=|,0OC=VoA2-AC2=1^3-

回底面面積為：6X-LX5X-V3=^^,團(tuán)該幾何體的體積為：§若x2=75括；故選C.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查由幾何體的三視圖，求幾何體的體積.解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，還原幾何體.

變式2.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考三模）如圖1,某游樂園門口需要修建一個(gè)由正方體和圓柱組合面成的立體圖

形，已知正方體的棱長(zhǎng)與圓柱的底面直徑及高相等，都是2m.

左

視

圖

看

從正面

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