2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)對稱性、增減性、最值問題綜合練習(xí)

二次函數(shù)對稱性、增減性、最值問題綜合練習(xí)

考向1對稱軸確定求最值或取值

方法突破練

1.已知二次函數(shù)y=%2-4x+c,當(dāng)-14%43時,求y的取值范圍(用含c的代數(shù)式表示).

2.若P(m,n)和Q(5,b)為二次函數(shù)y=-4ax+式。<0)圖象上的兩點，且九>h，求m的取值范圍.

22

3.已知拋物線y=-2x+4nx-4n(n為常數(shù))，一元二次方程-2x+4nx-4n=一2的兩個根分別為xlfx2,S.

滿足以-物|=4-2九,，若P(a,b)為拋物線上一點，則當(dāng)-24a42時,求b的最大值.

4.已知二次函數(shù)y=-%2-4%+5,當(dāng)m<x<m+3時，求y的最小值（用含m的代數(shù)式表示）.

5.已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+55)0),當(dāng)(0<%<n時,5—4aVyW5,求n的取值范圍.

6.已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+a-2（a>0）,當(dāng)tW久Wt+2時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為2,求a

的取值范圍.

設(shè)問進階練

例在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2-4ax+3a-l（a豐0）.

（1）若a<。，當(dāng)mWxWm+22時，求y的最大值（用含a,m的代數(shù)式表示）；

⑵當(dāng)2<x<5時，y的最大值為5,求a的值；

⑶若a=1,當(dāng)tWxWt+1時，y的最大值是m,最小值是n,且爪-n=3,,求t的值.

綜合強化練

1.已知拋物線y=%2-(/c+l)x+/c2-2與直線y'-x+3k-2的一^交點A在y軸正半軸上.

⑴求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)mWxWrn+l時，求丫的最小值(用含m的式子表示)；

⑶若B(3n-4,g),C(5n+6,及)為拋物線上在對稱軸兩側(cè)的點，且人>W,求n的取值范圍.

答題區(qū)

備用困②

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax?+.+c（a豐0）.

（1）若該拋物線的對稱軸為直線x=-1,且c=a-2,求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

⑵在⑴的條件下，當(dāng)-2WxW2時，y的最小值為-4a,求a的值；

（3）創(chuàng)新題代數(shù)推理若（a+b+c=0,a>b>c,,拋物線經(jīng)過點（（p，—a）,當(dāng)x=p+4時，求證：ax2+bx+

c>0.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

考向2對稱軸不確定求最值或取值

-階方法突破練

1.已知拋物線y-x2-2mx+m2+2,當(dāng)-1WxW1時，求y的最小值（用含m的式子表示）.

2.已知拋物線y=-x2+bx+5（b>4）,當(dāng)0W久W4時，函數(shù)值y的最大值滿足.5<y<17,求b的取值范圍.

3.已知拋物線y=-4x2+4nx-4n-n2（n是常數(shù)），當(dāng)（0Wx<1時，函數(shù)y有最小值.一5,求n的值.

設(shè)問進階練

例在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2-2tx+1.

⑴力(3,%),B(7,治)是拋物線上的兩點，若%＞乃,求t的取值范圍；

(2)P0i，%),Q3，y2)是拋物線上的兩點，若對于-1＜心＜3且%2=3,都有yi＜y,求t的取值范圍；

(設(shè)問源自2022北京師大附中四模)

(3)將拋物線向右平移1個單位得到新拋物線，M(t+3%),N(2t-4，發(fā)))是新拋物線上的點，且均滿足以＞

、2,求t的最大值.

綜合強化練

1.已知二次函數(shù)y=(ax-1)(、-a)(a是常數(shù)，且(aH0).

⑴當(dāng)a=2時，試判斷點(-|，-5)是否在該函數(shù)圖象上；

(2)當(dāng)3-1＜xW三+1時，y隨x的增大而減小，求a的取值范圍；

-,

(3)若點P(%iyi),Q(x2y2)(^i＜久2)為該二次函數(shù)圖象上的兩點，且對于Xi+%2=4時，都有力＞外，求a

的取值范圍.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用困②

2.已知拋物線y=mx2-(2m-l)x+m(m豐0)始終過定點.

(1)求定點的坐標(biāo)；

(2)若當(dāng)2W%W5時，y的最大值為2,求m的值；

(3)創(chuàng)新題?代數(shù)推理材料閱讀：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)中，由求根公式可得:=

三/=土等也;則可得：與+盯=-巳/4=?.運用上述材料中的方法解決下面的問題：

拋物線y=mx2-(2m-l)x+根不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點((-3加m)，，若一元二次方程mx2-(2m-1)%

+m=0的兩根分別是a,b,求證.=18.

談繆bl+3ab+a

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖①

備用圖②

3.創(chuàng)新題?閱讀理解題在y關(guān)于x的函數(shù)中，若（0W久W1時，函數(shù)y有最大值和最小值，分別記為ymax和y

2

min,且滿足0，則我們稱函數(shù)y為“最值函數(shù)”.已知二次函數(shù)y=%-2mx+c（m,c為常數(shù)）.

⑴當(dāng)m=l,c=3時，判斷該二次函數(shù)是否為“最值函數(shù)”，并說明理由；

⑵若爪=決寸，該二次函數(shù)為“最值函數(shù)”，求c的取值范圍；

⑶若c=l時，該二次函數(shù)為“最值函數(shù)1求m的取值范圍.

答題區(qū)

備用圖②

考向1對稱軸確定求最值或取值范圍

一階方法突破練

1.解:,「a=l>0,

，該二次函數(shù)的圖象開口向上，

二次函數(shù)的圖象開口向上，距離對稱軸越遠的點函數(shù)值越大.

如解圖,對稱軸為直線x=2,-1<2<3,對稱軸在區(qū)間內(nèi)，

，該二次函數(shù)在x=2處取得最小值，最小值為c-4,

.,.當(dāng)x=-l時二次函數(shù)取得最大值，最大值為c+5.第1題解圖

.,.c-4<y<c+5.

2.解：由題意得，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線久=-于=2；點Q(5,b)在對稱軸右側(cè),

.a<0，.二次函數(shù)的圖象開口向下，分兩種情況討論，如解圖，

①若點P在對稱軸右側(cè)(或為頂點)，即mN2,ra<0,，在對稱軸右側(cè)v隨著x的增大而減小，?.?n>b/.m<5,，24

(-l,b)m<5;

②若點P在對稱軸左側(cè)，即m<2,由對稱性可知

.n>b,且在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大,

綜上所述，m的取值范圍為

3.解:拋物線y=—2x2+4nx-4n,

拋物線的對稱軸為直線%=-并方=%且拋物線恒過(L-2),

一元二次方程-2—+4nx-4n=-2的兩根之和為-胃=2九,

一元二次方程的兩根分別為=lfx2=2n-1,

*/lx1-x2|=4-2n/.'.|l-2n+l|=4-2n,

:2-2n=4-2n(舍去)或2n-2=4-2n,「.n二|,

?二拋物線解析式為y=-2x2+6x-6,

???—2<0,:拋物線開口向下，

當(dāng))<|時，y隨x的增大而增大,

當(dāng)久〉用寸，y隨x的增大而減小，

??點P(a,b)在拋物線上，

.,.當(dāng)a=|時，b有最大值，最大值為-1.

4.解:；二次函數(shù)y=—x2—4%+5=—(%+2)2+9,

二二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-2(求出對稱軸)，

,當(dāng)m>-2時廁當(dāng)x=m+3時(區(qū)間在對稱軸右側(cè))，y有最小值為—g+3)2-4(m+3)+5=-m2-10m-l

當(dāng)m<-2<m+3時，即-5<m<-2時.

由于拋物線開口向下，當(dāng)對稱軸位于區(qū)間內(nèi)時，離對稱軸越遠的點，y值越小.

若m+3-(-2)N-2-m,即一(Wm<-2時，當(dāng)x=m+3時，y有最小值為一爪2_10m-16；

若m+3-(-2)<-2-m,|BP-5<m<一：時，當(dāng)x=m時,y有最小值為y=—m2—4m+5;

當(dāng)m+34-2,即m?-5時，當(dāng)x=m時(區(qū)間在對稱軸左側(cè))，y有最小值為y=-m2-4m+5；

綜上所述，當(dāng)m2時，y的最小值為-m2-10m-16;當(dāng)m時，y的最小值為-爪2_4nl+5.

5.解：由題意得二次函數(shù)y-ax2-4ax+5=a(x-2)2-4a+5(a>0),.,.如解圖，該二次函數(shù)圖象開口向

上,對稱軸是直線x=2,當(dāng)x=2時，該函數(shù)取得最小值-4a+5,

?.?當(dāng)0<x<n時,5-4a4y45,最小值在頂點處取得，即降2,當(dāng)x=0,y=5是最大值面對稱性可知x=4時,y=5,

即n<4,

.■n的取值范圍為2<n<4.

6.解:?*>0,拋物線對稱軸為直線x=L

頂點坐標(biāo)為(L-2),

①當(dāng)t+2<l,gpt<-l時，當(dāng)x=t時,y的值最大，當(dāng)x=t+2時,y的值最小，

(at2-2at+CL-2)—[a(t+2)?—2a(t+2)+a—21=-4at=2,?1?a=——,t<一1,?1?a<—;第5題解圖

②當(dāng)t<l<t+2,且t+2-lwl-t,即-1<仁0時，當(dāng)x=t時，丫的值最大，頂點處y的值最小，

(at?-2at+ct—2)一(—2)=2,a=~—

1

-1Vt<0,3Va<2;

③當(dāng)t<l<t+2,且t+2-l>l-t,即0<t<l時當(dāng)x=t+2時，y的值最大，頂點處y的值最小,

ci(t+2)2_2,ct(t+2)+a_2—(—2)—2,ct—(七+]/，

1

/.0<t<1,A-<a<2;

2

④當(dāng)t>l時，當(dāng)x=t+2時,y的值最大，當(dāng)x=t時,y的值最小，

+2)2-2tz(t+2)+a-2-(at?-2at+a-2)=2,

a=t>1,a<-

???2t2

綜上所述，a的取值范圍為0<a<2.

二階設(shè)問進階練

例解：(1);拋物線y=ax2-4ax+3。一1,aV0,

??.拋物線開口向下，對稱軸為直線x=2,

:①當(dāng)m+2<2時，則x=m+2時,y取得最大值，最大值為y=a(m+2)2-4a(m+2)+3a-1=am2-a-1;

②當(dāng)m<2<m+2時廁x=2時,y取得最大值，最大值為y=4a-8a+3a-l=-a-l;

③當(dāng)m>2時，則x=m時，y取得最大值，最大值為y=am2-4am+3a-1;

(2)二?拋物線的對稱軸為直線x=2,

」?區(qū)間2<x<5在對稱軸的右側(cè)，分a>0和a<0兩種情況：

①當(dāng)a>0時，如解圖①，在2<x<5區(qū)間,y隨x增大而增大,

，此時y最大值在x=5時取到，即5=25a-20a+3a-l,解得a=：;

4

例題解圖

②當(dāng)a<0時，如解圖②，在2<x<5區(qū)間,y隨x增大而減小，，此時y最大值在x=2時取到，即5=4a-8a+3a-

L解得a=-6,

綜上所述，a的值為|或-6;

(3)；a=l,.,.拋物線y=x2-4x+2,

，拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=2,

①當(dāng)t+l<2即t<l時，區(qū)間t<x<t+l在對稱軸的左側(cè)，y隨x增大而減小，

??y的最大值是當(dāng)x=t時，即爪=t2-4t+2,

則y的最小值是當(dāng)x=t+l時，即71=Q+1)2-4(t+1)+2=t2-2t-1,

---Tn.—n—3,I?一4t+2—(t?一2t—1)-3,解得t=0；

②當(dāng)t<2,t+l>2,2-t>t+l-2,gp1Wt<|時，對稱軸在t<x<t+l區(qū)間內(nèi),

1?當(dāng)x=t時離對稱軸較遠，取得最大值，

■y的最大值是m=t2-4t+2,最小值是n=-2,

-.m-n=3,

生+2—2)=3,解得t=2±-(舍去);

③當(dāng)t42,t+lN2,2-t<t+l-2,即|<tW2時，對稱軸在t<x<t+l區(qū)間內(nèi)，

1?當(dāng)x=t+l時離對稱軸較遠，取得最大值.

-7的最大值是rn.=t2-2t-1,最小值是n=-2,m-n=t2-2t-1-(-2)=3,解得t=1±百(舍去)；

④當(dāng)t>2時，區(qū)間t<x<t+l在對稱軸的右側(cè),y隨x增大而增大，

.■.y的最大值是當(dāng)：x=t+l時，即.m=t2—2t-1,最小值是當(dāng)x=t時，即n=t2-4t+2,

=(H-4t+2)=3,解得t=3；綜上所述，t的值為0或3.

三階綜合強化練

1.解：(1),.拋物線y=x2-(k+1)%+k2-2與直線

/=x+3k-2的一個交點在y軸正半軸上,

二當(dāng)x=0時,y—k2—2,y—3k—2,令k2—2=3k—2,

解得k=3或k=0(不合題意，舍去)，

，拋物線的解析式為y-X2-4%+7;

(2)由(1)得，拋物線的對稱軸為直線x=2(求出對稱軸)，

當(dāng)m+l<2,即m<l時(對稱軸在區(qū)間右側(cè))，當(dāng)x=m+l時，y取得最小值，最小值為y=(m+1產(chǎn)-4(相

+1)+7=m2—2m+4;

當(dāng)m<2<m+l,BPl<m<2時(對稱軸在區(qū)間內(nèi)),此時，當(dāng)x=2時，y取得最小值，最小值為y=22-8+7

=3;

當(dāng)m>2時，此時，當(dāng)x=m時(對稱軸在區(qū)間左側(cè))，y取得最小值，最小值為y=m^-4m+7；

(3)【思路點撥】分點B在對稱軸左側(cè)，點C在對稱軸右側(cè)和點B在對稱軸右側(cè)，點C在對稱軸左側(cè)兩種情

況討論.

如解圖①，若點B在對稱軸的左側(cè)，點C在對稱軸的右側(cè)時，由題意得之;瓣得Y<n<2,

；yi>y2,，2-(3n-4)>5n+6-2,解得n<^,

，n的取值范圍為一

如解圖②，若點C在對稱軸的左側(cè)，點B在對稱軸的右側(cè)時，由題意得7京該不等式組無解.

綜上所述，n的取值范圍為-<n<；.

54

2.⑴解:?.拋物線的對稱軸為直線x=-l,

---2-a-=—1,b=2.CL,

,.,c=a-2,.,.拋物線的解析式為y=ax2+2ax+a-2=a(x+1)?-2(a力0),

，拋物線的頂點坐標(biāo)為(-L-2);

(2)解：當(dāng)a>0時，拋物線開口向上,

由(1)知，拋物線的對稱軸為直線x=-l,

二當(dāng)x=-l時,y取得最小值，

，a-2a+a-2=-4a,解得a=*

當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，拋物線開口向下，離對稱軸越遠的點，y值越小.

.?.當(dāng)x=2時,y取得最小值，

」.4a+4a+a-2=-4a,解得a=卷舍去);(綜上所述，a的值為-1

⑶證明：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(p,-a),

.-.ap2+bp+c+a=0.p為方程ax2+bx+c+a=。的根,

A=b2-4a(a+c)>0,

?.a+b+c=0,/.b=-a-c,

A=b2—4a(—6)=b(b+4a)=b(3a—c)>0

.?a>b>c,/.a>0,c<0,.,.3a-c>0,..b>0,

?P為方程ax2+bx+c+a=0的根,a+c=-b,

-b->Jb2+4ab.-b+>Jb2+4ab

...n=---------------:或

L2ap=2a

22

當(dāng)x=p+4時,y=a(p+4)+b(p+4)+c=(ap+bp+c+a)+8ap+15a+4b=8ap+15a+4b,

-b-y/b2+4ab

若P=2a

2

-b-y/b+4ab,.-,.,.-.;~~:~r

貝!]y=8a?)2

------2-a-------F15a+4b=15a—4vZ+4ab.

a>b>0,Z)2+4ab<a2+4a-a=5a2,

即7b2+4ab<V5a,—Zb2+4ab>—4V5a,

???y>15a-4V5a=(15—4^5)a>0;

22

士上-b+y/b+4abm.ic-b+y/b+4ab

右P二—五—，則y=8a—五—+15a+46=15a+47b2+4ab>0.

綜上,滿足題設(shè)條件時ax2+bx+c>0.

考向2對稱軸不確定求最值或取值范圍

一階方法突破練

1.解：由題意得，拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-￡=犯(求出對稱軸的表達式)

將區(qū)間以對稱軸為臨界，

如解圖中九當(dāng)m<-l時，在-14X41范圍內(nèi)v隨x的增大而增大，\\I，/”,

如解圖中yz,當(dāng)時，對稱軸處于區(qū)間內(nèi)，\\w/

二當(dāng)x=m時,y取得最小值，即y殮=2；

如解圖中丫3,當(dāng)m>l時，在-14X41范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，屋窯圖)

二當(dāng)x=l時，y取得最小值，即y次=機2—2m+3.

綜上所述，當(dāng)m<-l時,v的最小值為而+2m+3；當(dāng)時,y的最小值為2;當(dāng)m>l時,y的最小值為

m2—2m+3.

2.解：?.拋物線的對稱軸為直線x=-雙匕=p

，當(dāng)b>4時,對稱軸%=1>2,

當(dāng)24時，即44b48,

?--1<0,拋物線開口向下，此時對稱軸在24X44

內(nèi),.?.當(dāng)％=軟寸，y取得最大值，

???y“=-匹+好+5=犬+5,即53廿+5W17,

'R水4244

解得0WbW4V3,4<b<4V3;

當(dāng)對稱軸x=1>4時，即b>8,

此時在0<x<4時，y隨x增大而增大，

，當(dāng)x=4時,y有最大值，

.-y最大=-16+4b+5=4b-ll,

即544b-11417,解得44b47,

,；b28〃,不合題意,舍去.

綜上所述，b的取值范圍為4<b<4V3.

3.解：由題可得，拋物線開口向下，對稱軸為直線X=今

分以下情況討論：①當(dāng)對稱軸x=l<0,即n<0時在0<x<l范圍內(nèi),y隨x增大而減小，當(dāng)x=l時,y取最小

值，

—4+4n—4n—n2=-5.

解得ri!=-l,n2=1（不合題意，舍去）；

②當(dāng)即04n42時，

當(dāng)對稱軸靠近左端點時，即］<1-,0<兀<1,

當(dāng)x=l時,y取最小值，

—4+4n—4n—n2=—5,

解得n3=-1（不合題意，舍去），n4=1（不合題意，舍去）；

當(dāng)對稱軸靠近右端點時，即三>1-條1<nW2,當(dāng)x=0時,y取得最小值，

—4n—n2——5,

解得715=-5（不合題意，舍去），皿=1（不合題意，舍去）；

當(dāng)對稱軸位于區(qū)間中間時，即］=1-表幾=1,

當(dāng)x=0或1時，取得最小值，

—4+4n—4n-n2=一5或—4n—n2=-5,解得n=l；

③當(dāng)對稱軸%=^>1,即n>2時在04X41范圍內(nèi)，y隨x增大而增大，

，當(dāng)x=0時,y取最小值，

—4n—n2=—5,

解得n,=-5（不合題意，舍去），…1（不合題意，舍去）；

綜上所述，n的值為1或-1.

二階設(shè)問進階練

例解：（1）1.拋物線解析式為y=%2-2tx+1,

拋物線的對稱軸為直線X=t.

?.?a=l>0,A(3,yi),B(7,y2)在拋物線上,yi>y?拋物線開口向上，距離拋物線對稱軸越遠的點，y值越大.

①當(dāng)點A,B在對稱軸兩側(cè)時，即3<t<70^,-.yi>y2,--t-3>7-t,.-.5<t<7;

②當(dāng)點A,B在對稱軸同側(cè)時，

?,3<7,y1>y2,y隨x增大而減小，

綜上所述，t的取值范圍為t>5;

(2)1?拋物線開口向上，對稱軸為直線xx=t,-14Xi<3,且X2=3,

，點Q為區(qū)間的右端點,

,如解圖,當(dāng)t<-l時，結(jié)合函數(shù)圖象可得，對于-1<Xi<3且M=3,都有月<y2;

當(dāng)時，要使對于-1<Xi<3且x2=3,都有yi<y2,

，對稱軸直線X=t靠近區(qū)間左端點P,解得tW芳=1,

,當(dāng)時，對于-1<X!<3且=3,都有yi<y2;

當(dāng)也3時，不符合題意.

綜上所述，t的取值范圍為t<l；

(3)1?原拋物線開口向上，且對稱軸為直線x=t,

，平移后拋物線開口向上，對稱軸為直線x=t+l,

二點M位于對稱軸的右側(cè).

-yi>刃,如解圖,

①當(dāng)點Ni在對稱軸右側(cè)，且在點M左側(cè)(包括點M)時，滿足條件"NtYX+L且2t-44+3,解得5<t47;

②當(dāng)點N2在對稱軸左側(cè)，且距對稱軸的距離小于或等于點M到對稱軸的距離時，滿足條件，

.,.2t-4<t+l,

且t+L(2t-4)4t+3-(t+l),解得3<t<5,

③當(dāng)點N3在拋物線頂點處時,力>yz恒成立，此時,2t-4=t+L：t=5.

綜上所述，t的取值范圍為3<t<7.

..t的最大值為7.

三階綜合強化練

1.解:⑴點(一?-5)不在該函數(shù)圖象上，理由如下：當(dāng)a=2時,二次函數(shù)的解析式為y=(2x-l)(x-2),當(dāng)%=

后時,y=[2x(_A1](_?2)=5不-5,

?,點(-段-5)不在該函數(shù)圖象上；

(2)【思路點撥】求出二次函數(shù)對稱軸，分a>0,a<0兩種情況，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可.

令y=0,解得=i,x2=a,

二二次函數(shù)y=(ax-l)(x-a)的圖象與x軸交于(扣),(a,0)兩點

，對稱軸為直線久=空，

2a

當(dāng)a>0時，函數(shù)圖象開口向上，

??當(dāng)與-1wXq+1時，y隨X的增大而減小,

■-.對稱軸在區(qū)間右側(cè)，

—>-+1,.-.a0<a<i;

2a222

當(dāng)a<0時，函數(shù)圖象開口向下，

?.?當(dāng)合1w%V+1時，y隨x的增大而減小,

二對稱軸在區(qū)間左側(cè)，

a2+la.、11,一八

1,.-.a>a<0;

綜上所述，a的取值范圍為一/a<0或0<a號；

(3)【思路點撥】臨界情況為P,Q在對稱軸兩側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向和大小及y的大小關(guān)系判斷

點P,Q離對稱軸的遠近求解即可.

由(2)得二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線X=小，

當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，如解圖①，

若點P1,Q'位于對稱軸兩側(cè)，且點P'在點Q'的左側(cè)，當(dāng)月="時，

a2+l%i+%2仁

--2-a-=---2--=2,

1?,Xi+x2=4時,都有y2>y2,

二點Q'距對稱軸的距離小于點P'距對稱軸的距離，，若>2,

a>2+g或0<a<2—V3;

若點P",Q"都位于對稱軸同側(cè)，

,?1Xi+x2=4時，者B有yr>y2,

??.P",Q"兩點都在對稱軸的左側(cè)，

—>2,

2a

第1題解圖

當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，如解圖②，

若點P1,Q'位于對稱軸兩側(cè)，當(dāng)力=yz時,警=弩=2.

Xi+x2=4時，都有yi>y2,

，點P'距對稱軸的距離小于點Q'距對稱軸的距離，，生<2,a<0;

若點P",Q"都位于對稱軸同側(cè)，

???Xi+x2=4時，都有Yi>y2,.〔P",Q"兩點都在對稱軸右側(cè)，甯<2,a<0,

綜上所述，a的取值范圍為(a>2+遮或0<a<2-百或a<0.

2.(1)解:1,拋物線y=mx2—(2m—l)x+m=mx2—2mx+x+m=m(x?—2x+1)+x,

若拋物線始終經(jīng)過定點，則此時與m的取值無關(guān)，.??久2-2x+1=0解得X]=X2=1,.當(dāng)X=1時,y=l,..?定點

的坐標(biāo)為Q,l)；

(2)解:...拋物線y=mx2—(2m—l)x+m(mW0),

2m-l

，拋物線的對稱軸為直線%=--(2m-l)_

2m2m

?:對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系不確定，

，分情況討論：①當(dāng)喋W2時，

(i)當(dāng)m>0時，拋物線開口向上，區(qū)間在對稱軸右側(cè),此時在x=5時,y取得最大值，即2=25m-5(2m-l)+m,解

得m=一看舍去)；

(ii)當(dāng)m<0時，拋物線開口向下，區(qū)間在對稱軸右側(cè)，

此時當(dāng)x=2時,y取得最大值即2=4m-2(2m-l)+m,解得m=0(舍去)；

②當(dāng)2<乎w5時，即-2<爪W-去拋物線開口向下，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，此時在對稱軸處取得最大值，即

2m28

*也H=2,解得巾=白

③當(dāng)學(xué)〉5時，即-?<爪<0,拋物線開口向下，區(qū)間在對稱軸左側(cè)，此時在x=5時，y取得最大值，即

Z771o

2=25m-5(2m-l)+m,解得m=—盤(舍去》綜上所述，m的值為V；

lo4

(3)證明：,拋物線y=mx2-(2m-l)x+7n不經(jīng)過第

二象限且經(jīng)過定點(1,1),

??拋物線開口向下，m<0z

把(-3m,m)代入y=mx2—(2m—l)x+m,

m

解得rnr=-l,m2=](舍去),3=。(舍去)

一元二次方程為——+3%-1=0,整理得X2—3x+1=0.

.