二項式定理復習總結(jié)

二項式定理1．二項式定理：，2．基本概念：項數(shù)：共項通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。3．注意關(guān)鍵點：①項數(shù)：展開式中總共有項。②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改。與是不同的。③指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項減到，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于.④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4．常用的結(jié)論：（令值法）令令5．性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，···②二項式系數(shù)和：令,則二項式系數(shù)的和為，變形式。③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：④各項的系數(shù)的和：.令x=1g（1）奇數(shù)項系數(shù)和：偶數(shù)項系數(shù)和：⑤二項式系數(shù)的最大項：如果是偶數(shù)時，則中間項（第）的二項式系數(shù)項取得最大值。如果是奇數(shù)時，則中間兩項（第.第項）系數(shù)項,同時取得最大值。⑥系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來。6．二項式定理的十種考題的解法：題型一：二項式定理的逆用；例：練：題型二：利用通項公式求的系數(shù)；例：在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？練：求展開式中的系數(shù)？。題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式的展開式中的常數(shù)項？練：求二項式的展開式中的常數(shù)項？練：若的二項展開式中第項為常數(shù)項，則題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式展開式中的有理項？題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為，求.練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為，求它的中間項。題型六：最大系數(shù)，最大項；（注意區(qū)分二項式系數(shù)和系數(shù)，項和項的系數(shù)）練：在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？練：在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？例：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？練：在的展開式中系數(shù)最大的項是多少？題型七：含有三項變兩項；例：求當?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù)？.題型八：兩個二項式相乘；例：練：練：題型九：賦值法；例：設二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，所有二項式系數(shù)的和為,若,則等于多少？練：若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為多少？例：練：題型十：變形整體法例：概率與統(tǒng)計常見題型解題思路及知識點總結(jié)一、解題思路（一）解題思路思維導圖（二）常見題型及解題思路1.正確讀取統(tǒng)計圖表的信息解題思路及步驟注意事項理解背景讀懂題目所給的背景，理解統(tǒng)計圖表各個量的意義對選項逐一判斷對選項逐一判斷，統(tǒng)計圖表是否能得出該選項的結(jié)論，錯誤選項一般是概念錯誤、計算錯誤、以偏概全的錯誤等典例1：（2017全國3卷理科3）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）.A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤，選A.2．古典概型概率問題解題思路及步驟注意事項求基本事件總數(shù)m每個基本事件要求等可能，若是條件概率問題，在有條件則基本事件總數(shù)相對減少求事件A包含基本事件個數(shù)n確定A包含基本事件個數(shù)時要不重不漏代入公式求概率，事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下在事件B發(fā)生概率典例2：（2018全國2卷理科8）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A.B.C.D.解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.典例3：(2014全國2卷理科5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45解：設某天空氣質(zhì)量優(yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則據(jù)條件概率公式得p=0.60.753．幾何概型問題(刪除)解題思路及步驟注意事項求試驗全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域長度（或面積或體積）明確表示實驗結(jié)果的是一個變量、兩個變量還是三個變量，它們分別用長度（或角度）、面積和體積來表示求構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（或面積或體積）確定構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（或面積或體積）代入公式求概率4．類似超幾何分布的離散型隨機變量分布列問題（古典概型求概率）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值明確隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率“從M個不同元素中不放回抽?。ɑ蛲瑫r抽?。﹏個元素”類型概率問題，用古典概型求概率寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數(shù)學期望若服從超幾何分布，則可帶入公式快速求出5．類似二項分布的離散型隨機變量分布列問題（頻率估計概率，相互獨立事件概率計算）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值明確隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率當有“把頻率當成概率或用頻率估計概率”條件時，“從M個不同元素中抽出n個元素”類型概率問題就變成相互獨立事件的問題寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數(shù)學期望若服從二項分布，則可帶入公式快速求出典例4（超幾何分布與二項分布辨析）：某工廠為檢驗其所生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量，從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取10件進行抽樣檢驗，檢測出有兩件次品.（1）從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，其中次品件數(shù)為X，求X分布列和期望；（2）用頻率估計概率，若所生產(chǎn)的產(chǎn)品按每箱100件裝箱，從一箱產(chǎn)品中隨機抽取3件，其中次品件數(shù)為Y，求Y分布列和期望;（3）用頻率估計概率，從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3件，其中次品件數(shù)為Z，求Z分布列和期望.以上分析用一個表歸納如下：抽取總體個數(shù)N總體中所含次品M個數(shù)隨機變量分布類型明確明確超幾何分布明確不明確二項分布不明確不明確二項分布從該例以看到，當保持不變，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率與相差越小，因此，當N很大時，超幾何分布可以近似看成二項分布。典例5：據(jù)報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點，一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3000人進行調(diào)查，就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調(diào)查統(tǒng)計，結(jié)果如下表：態(tài)度調(diào)查人群應該取消應該保留無所謂在校學生2100人120人y人社會人士500人x人z人已知在全體樣本中隨機抽取1人，抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.06．（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取300人進行問卷訪談，問應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？（2）在持“應該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進行深入交流，求第一組中在校學生人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．典例6（與函數(shù)結(jié)合）：（2018全國1卷理科20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？6．其他離散型隨機變量分布列問題（頻率估計概率，方案選擇，隨機變量取值意義，與其他知識結(jié)合）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值這類題重點考查是否理解隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率注意對隨機變量所取的值表示多種的情況，多數(shù)情況由頻率估計估計概率寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數(shù)學期望通過數(shù)學期望進行決策典例7（與函數(shù)結(jié)合）：（2107全國3卷理科18）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？典例8（與數(shù)列結(jié)合）：（2019全國1卷理科21）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．解：（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.7．連續(xù)型隨機變量分布問題——正態(tài)分布解題思路及步驟注意事項明確總體的均值和方差一般用樣本的均值和方差估計總體的均值和方差求隨機變量在某范圍概率利用正態(tài)密度曲線關(guān)于對稱性求概率典例9：（2107全國1卷理科19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（構(gòu)造函數(shù)）〖模型總結(jié)〗1、關(guān)系式為“加”型（1）若，則構(gòu)造（2）若，則構(gòu)造（3）若，則構(gòu)造(4)若，則構(gòu)造2、關(guān)系式為“減”型（1）若，構(gòu)造（2）若，構(gòu)造（3）若，則構(gòu)造（備注：本類型僅作了解）(4)若≥0，則構(gòu)造口訣：1.加減形式積商定

2.系數(shù)不同冪來補

3.符號討論不能忘〖教學過程〗一、真題體驗真題體驗Ⅰ(2015年全國新課標卷二理科數(shù)學第12題）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當x>0時，，則使得函數(shù)成立的x的取值范圍是B．C．D．真題體驗Ⅱ（2017年淮北市第一次模擬理科數(shù)學第12題）已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f′（x），滿足：f（x）＞0且總成立，則下列不等式成立的是（）A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π） B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e） D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）二、考點分析通過這兩題及最近的模擬題我們發(fā)現(xiàn)：解決這類單調(diào)性問題需要借助構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來解決，那么怎樣合理的構(gòu)造新函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，今天我們一起系統(tǒng)的通過“兩大類型及它們蘊含的八大小類型”來探討一下如何構(gòu)造新函數(shù)解決這類問題。三、關(guān)系式為“加”型關(guān)系式為“加”型Ⅰ：若(≤0、<0、>0，下同)，則構(gòu)造例1、設是定義在R上的可導函數(shù)，且滿足，對于任意的正數(shù)，下面不等式恒成立的是（）A.B.C.D.試題分析：構(gòu)造函數(shù)，則，∴在R內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即：，∴.關(guān)系式為“加”型Ⅱ：若，則構(gòu)造例2、已知函數(shù)是定義在數(shù)集上的奇函數(shù)，且當時，成立，若,,,則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.試題分析：因為時，，所以當時，，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當時，，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上是減函數(shù)，又，所以是上的偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，因，所以，而，所以有，選A.關(guān)系式為“加”型Ⅲ：若，則構(gòu)造例3、設是上的可導函數(shù)，，，求不等式的解集變式1：設分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當時，，，求不等式的解集.關(guān)系式為“加”型Ⅳ：若，則構(gòu)造例4、（2016年合肥市第二次模擬理科數(shù)學第12題）定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若對任意的實數(shù)x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，則使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的實數(shù)x的取值范圍為（）{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）解：當x＞0時，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0設：g（x）=x2f（x）﹣x2則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1），即x＞1；當x＜0時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：x＜﹣1。綜上可知：實數(shù)x的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故選：B四、關(guān)系式為“減”型關(guān)系式為“減”型Ⅰ：若，則構(gòu)造例5、若定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為，且滿足，則與的大小關(guān)系為（）.A、<B、=C、>D、不能確定試題分析：構(gòu)造函數(shù)，則，因為，所以；即函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即.關(guān)系式為“減”型Ⅱ：若，則構(gòu)造例6、若函