天津市2023屆高三下學期模擬（二）數(shù)學試題（含答案解析）

天津市2022-2023高三年級模擬考試（二）數(shù)學試卷一、單選題(每題5分，共45分)1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，分別求得集合，結(jié)合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由，可得，則，又由，解得，因，所以，所以．故選：D．2.歐拉公式：將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號分析判斷【詳解】由題意可得：對應(yīng)的點為，∵，則，故位于第二象限.故選：B.3.若某函數(shù)在區(qū)間上的大致圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的正負性，范圍及零點情況排除選項.【詳解】A選項，設(shè)，則當時，，則，不符合圖像，排除A；C選項，設(shè)，當時，，且，，，所以．所以，不符合圖像，排除C；D選項，設(shè)，令，解得或，與圖像不符，排除D.故選：B．4.已知，，，比較a，b，c的大小為（）A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c【答案】D【解析】【分析】易得，.又，比較與0大小即可.【詳解】，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.，因，則.故，綜上有.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及比較對數(shù)值大小，難度較大.因，難以找到中間量，故結(jié)合換底公式做差，后再利用基本不等式比較大小.5.下面是追蹤調(diào)查200個某種電子元件壽命（單位：）頻率分布直方圖，如圖：其中300-400、400-500兩組數(shù)據(jù)丟失，下面三個說法中，只有一個是正確的，正確的是（）①壽命超過的頻率為0.3；②用頻率分布直方圖估計電子元件的平均壽命為：③壽命在400-500的矩形的面積可能是0.2A.① B.② C.③ D.以上均不正確【答案】C【解析】【分析】分別設(shè)其中一個正確，來推斷另外兩個說法，即可判斷選項.【詳解】若①正確，壽命超過的頻率為，那么壽命在400-500的頻率為0.15，這樣電子元件的平均壽命為，②正確，③錯誤，不滿足條件，故①正確不成立；若②正確，則①正確，③錯誤，故②正確不成立；若③正確，則壽命超過的頻率為0.35，①③都不正確，故③正確.故選：C6.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則下列說法錯誤的是（）A.該幾何體外接球的表面積為B.該幾何體外接球的體積為C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3D.該幾何體的表面積比原正方體的表面積小【答案】C【解析】【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對選項逐一判斷【詳解】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的表面積為，體積為，故A，B正確對于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為，故C錯誤，對于D，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，故D正確故選：C7.已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式得到齊次方程，解出即可.【詳解】直線方程為，即，由題意，變形為，∵，∴，．故選：C．8.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③在上有4個零點；④的值域是.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點、值域等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以是偶函數(shù)，①正確.當時，，令，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，開口向上，對稱軸為，故在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，②正確.，在區(qū)間上，，，所以在區(qū)間上，至少有個零點，根據(jù)對稱性可知，在區(qū)間上至少有個零點，所以③錯誤.由上述分析可知，所以④錯誤.綜上所述，正確的為①②.故選：A9.已知函數(shù)，函數(shù),則關(guān)于的實根個數(shù)取得最大值時，實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進而作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)的圖象確定的取值情況，再結(jié)合的圖象，確定解的情況，即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，得，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當時，取最大值為2，當時取最小值-2；由函數(shù)的圖象可知，當或時，；（1）當時，方程，則或，當時，有一個實根，當時，方程有三個實根，此時關(guān)于的方程共有4個實根;（2）當時，方程，則或，當時方程只有一個實根，當時，方程只有一個實根，此時關(guān)于的方程共有2個根；（3）當時，方程，則或，當時方程有三個實根，當時，方程有三個實根，此時關(guān)于的方程共有6個實數(shù)根；（4）當時，方程，有或，當時方程有三個實根，當時，方程有三個實根，此時關(guān)于的方程共有6個實數(shù)根；（4）當時，方程，有，方程有3個或2個或1個實根，綜上所述：關(guān)于x的方程的實根最多有6個，實數(shù)的取值范圍是,故選：A【點睛】本題考查了已知兩個函數(shù)研究某個函數(shù)復(fù)合形式構(gòu)成的方程的根的個數(shù)問題，首先要具備討論思想.解題時，首先畫出兩個函數(shù)的草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖象解題更為直觀；本題借助的圖象，根據(jù)，由的值反看的值或其取值范圍，然后借助的圖象，根據(jù)的值或范圍反看的值或的個數(shù).二、填空題(每題5分，共30分)10.已知的二項展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，若，則等于__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和公式求出，再利用展開式求.【詳解】的二項展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和為64，，即，則的通項公式為，令，則，所以.故答案為：.11.已知直線與圓交于A，B兩點，直線垂直平分弦，則弦的長為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線過圓心，求出，進而求出，再利用垂徑定理求出結(jié)果.【詳解】圓可以化為，圓心，半徑，由垂徑定理可得直線過圓心，則，所以，因為直線與直線垂直，所以，則，圓心到直線的距離，則，故答案為：.12.從裝有大小完全相同的個白球，個紅球和3個黑球共6個球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取3次，記摸取的白球個數(shù)為，若，則______，______．【答案】①.1②.【解析】【分析】根據(jù)二項分布概率模型求數(shù)學期望和概率即可求解.【詳解】由題可得服從二項分布，即，因為，所以，所以.故答案為:1;.13.數(shù)列的前項和，則數(shù)列中的最大項為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可得到，進而求出，，通過求解，解出正整數(shù)，即可求得數(shù)列中的最大為.【詳解】當時，，當時，由已知，，，則，當時，，滿足，所以，設(shè)，則，設(shè)數(shù)列bn中的第項最大，則應(yīng)滿足，即，整理得，解得，又，所以，又，所以數(shù)列中的最大項為.故答案為：.14.已知關(guān)于的不等式的解集為空集，的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當且僅當取等號.所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】本題主要考查均值不等式,關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運用不等式的性質(zhì)降低元的個數(shù)，運用均值不等式，屬于中檔題.15.在中，，，其中，均為邊上的點，分別滿足：，，則下列說法正確的是__________．①為定值3②面積的最大值為③的取值范圍是④若為中點，則不可能等于【答案】①②④【解析】【分析】對于①:利用和數(shù)量積的計算公式可求；對于②：利用面積公式和基本不等式即可判斷；對于③：先判斷出，結(jié)合的范圍即可判斷；對于④：利用求出范圍，即可判斷.詳解】設(shè).對于①:因為，所以D為BC的中點.因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.故①正確；對于②：，又，當且僅當“"時,取“=”此時，所以.故②正確；對于③：因為，所以，所以.當時，D、E重合，取得最大值3.可知為銳角，當最大銳角時，最大，但無法取到.故③錯誤；對于④：若為中點，則.故④正確.故答案為：①②④.三、解答題（共75分）16.已知在中，三個內(nèi)角的對邊分別為，若，.（1）求角的大?。唬?）若點為上一點，滿足，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)降冪公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，通過解一元二次方程，結(jié)合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進行求解即可；（2）由（1），可以得知為等腰三角形，頂角，由的面積建立等式關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】解：由得，即，解得或因為，所以，.根據(jù)正弦定理知，代入得，因為，，所以，故，因此或（舍去），故.【小問2詳解】解：由（1）知為等腰三角形，頂角.設(shè)，由，即，整理得，解得，故.17.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G坐標，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).18.設(shè)橢圓的方程為，點為坐標原點,點的坐標為，點的坐標為，點在線段上，滿足，直線的斜率為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)點的坐標為，為線段的中點，點關(guān)于直線的對稱點的縱坐標為，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件確定M坐標，結(jié)合離心率的定義求解；（2）由題設(shè)條件設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，進而確定線段的中點的坐標，結(jié)合點在直線上及建立方程組求解.【小問1詳解】由題設(shè)，知點的坐標為，由，整理得，而，所以橢圓的離心率為.【小問2詳解】由（1）知，則直線的方程為，由，得，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為，因為點在直線上，且，則有，解得，故，所以橢圓的方程為.19.在數(shù)列中，，其中．（1）證明數(shù)列{b（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求；（3）已知當且時，，其中，求滿足等式的所有n的值之和．【答案】（1）證明見解析（2）（3）5【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明，（2）由（1）可求出，從而可求得，然后利用錯位相減法求和，（3）先將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合及等比數(shù)列求和公式得出時無解，驗證前5項可得結(jié)果【小問1詳解】證明：因為，所以，所以數(shù)列{b【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以小問3詳解】由（1）將化為，即，所以，因為當且時，，所以，，……，，所以，所以當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以滿足的所有和3，其和為520.已知函數(shù)，的最大值為．求實數(shù)b的值；當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當時，令，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1);(2)a=2時，在單調(diào)增；時,在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】【詳解】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當時，取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，進而可得結(jié)果.詳解：(1)由題意得，令，解得，