北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（共40分）1.若集合，，則等于（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C.y＝﹣x3 D.3.已知，則（）A. B. C.3 D.44.已知等比數(shù)列滿足，，則的公比為（）A.或 B.或C或 D.或5.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，，，則角（）A. B. C. D.6.已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.7.“”是“”的A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.在ΔABC中，若，則角A是A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.不能確定9.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形班徽（如圖），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A.； B.C. D.10.在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，私營(yíng)個(gè)體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對(duì)顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值的差距.設(shè)顧客第次的還價(jià)為，商家第次的討價(jià)為，有一種“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)的一半，即第一次還價(jià)，商家第一次的討價(jià)為與標(biāo)價(jià)的平均值，即；…，顧客第次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)的平均值，即，商家第次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客這一次的還價(jià)的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過次的“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”，與相差不到2元，則的最小值為（）A4 B.5 C.6 D.7二、填空題（共25分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.12.半徑為6，圓心角等于的扇形的面積是______．13.若將函數(shù)的函數(shù)圖象平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的最小值為________.14.點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.15.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①的單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，直線y=k與y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；③函數(shù)y=f（x）的圖象與的圖象沒有公共點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________三、解答題（共85分）16.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求.17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求圖象的對(duì)稱軸方程；（3）求在上的最大值和最小值．18.設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.19.在中，，.（1）求的大??；（2）是的中點(diǎn).從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積；注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)個(gè)解答計(jì)分.20.已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅲ）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21.在無窮數(shù)列an中，，對(duì)于任意，都有，．設(shè)，記使得成立的n的最大值為．（1）設(shè)數(shù)列an為，寫出，，，的值；（2）若an為等比數(shù)列，且，求的值．（3）設(shè)，，直接寫出的值．（用表示）北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（共40分）1.若集合，，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，所?，故選：A2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C.y＝﹣x3 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)逐一做出判斷，從而得出結(jié)論．【詳解】解：由于函數(shù)y＝x+1是非奇非偶函數(shù)，故排除A；由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調(diào)性，故排除B；由于y＝﹣x3是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)，故排除C；A，B，C都不對(duì)，對(duì)于D，y，數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)在R遞增且為奇函數(shù)；故選D．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，熟練掌握常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3.已知，則（）A. B. C.3 D.4【正確答案】A【分析】根據(jù)余弦兩角和公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?所以.故選：A4.已知等比數(shù)列滿足，，則的公比為（）A.或 B.或C.或 D.或【正確答案】D【分析】設(shè)出公比，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算列出方程，求出答案【詳解】設(shè)公比為，則，解得或.故選：D5.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，，，則角（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,，即，故選：D6.已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)判斷各數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，故選：D7.“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】解不等式，根據(jù)與其解集的關(guān)系即可求出.【詳解】由解得：或，當(dāng)時(shí)，能推出或成立，反之，不能由或推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選A.本題主要考查了二次不等式的解法，充分必要條件的判定，屬于中檔題.8.在ΔABC中，若，則角A是A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.不能確定【正確答案】C【分析】首先利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理確定∠A的大小即可.【詳解】由結(jié)合正弦定理可得：，則結(jié)合余弦定理有：，故∠C為鈍角，則角A是銳角.本題選擇C選項(xiàng).在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．9.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A； B.C. D.【正確答案】A【詳解】試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識(shí)得出四個(gè)等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點(diǎn)：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個(gè)三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長(zhǎng)的平方，進(jìn)而得到正方形的面積，最后得到答案.10.在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，私營(yíng)個(gè)體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對(duì)顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值的差距.設(shè)顧客第次的還價(jià)為，商家第次的討價(jià)為，有一種“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)的一半，即第一次還價(jià)，商家第一次的討價(jià)為與標(biāo)價(jià)的平均值，即；…，顧客第次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)的平均值，即，商家第次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客這一次的還價(jià)的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過次的“對(duì)半討價(jià)還價(jià)”，與相差不到2元，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】B【分析】判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此列不等式，從而求得的最小值.【詳解】依題意可知，，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，由得，其中，解得，因此的最小值為.故選：B.二、填空題（共25分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域?yàn)?故12.半徑為6，圓心角等于的扇形的面積是______．【正確答案】【分析】由扇形面積公式即可直接計(jì)算求解.【詳解】由題得扇形的面積是.故答案為.13.若將函數(shù)的函數(shù)圖象平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的最小值為________.【正確答案】【分析】分兩種情況討論，先求出的值，再比較即得解的最小值.【詳解】若將函數(shù)的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，根據(jù)所得圖象為一個(gè)偶函數(shù)圖象，故，，此時(shí)，；若將函數(shù)的函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，根據(jù)所得圖象為一個(gè)偶函數(shù)的圖象，故，，此時(shí)，；綜上可得，的最小值為，故．本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律及正弦函數(shù)的奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．14.點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【正確答案】【分析】由題意先求出的正弦值、余弦值，再根據(jù)條件得到，再根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式求出的正弦值、余弦值，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)在單位圓上，∴，，∵點(diǎn)沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，∴點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了，則，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故．本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和的正余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①的單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，直線y=k與y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；③函數(shù)y=f（x）的圖象與的圖象沒有公共點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________【正確答案】①③【分析】①先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，解出即可判斷；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，通過圖象讀出即可；③求出f（x）的最大值小于y＝x2+1的最小值，從而得到答案；④利用對(duì)勾函數(shù)即可作出判斷．【詳解】解：①f′（x），令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）遞減，故①正確；②∵f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，∴f（x）max＝f（1），x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，f（x）→0，畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：，∴當(dāng)k∈（﹣∞，0）時(shí)，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有1個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)k∈（0，）時(shí)，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；③函數(shù)f（x），而y＝x2+1≥1，∴函數(shù)y＝f（x）的圖象與y＝x2+1的圖象沒有公共點(diǎn)，故③正確；④當(dāng)時(shí)，令t=，在上單調(diào)遞減，∴，最小值不等于2，故④錯(cuò)誤.故答案為①③．本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．三、解答題（共85分）16.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)列出方程組求出首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求圖象的對(duì)稱軸方程；（3）求在上的最大值和最小值．【正確答案】（1）（2）（3），.【分析】（1）利用輔助角公式可將化簡(jiǎn)，從而求得其最小周期；（2）利用整體代入法求得圖象對(duì)稱軸方程，從而得解；（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體法即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為：；【小?詳解】令，得，所以圖象的對(duì)稱軸方程為；【小問3詳解】因?yàn)?，所以，注意到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，，所以，.18.設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求取值范圍.【正確答案】（1），.（2）（3）【分析】(1)把代入求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式解集即可；(2)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上恒小于等于0即可出a的范圍；(3)根據(jù)給定條件可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)極值一正一負(fù)，再列出不等式求解即得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，.【小問2詳解】函數(shù)，則，因函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，成立，即，，顯然在上單調(diào)遞減，即，，則，所以a的取值范圍是.【小問3詳解】由(2)知，，因函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等根，，即有，解得，且有，不妨令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極大值，在取得極小值，顯然，，由兩邊平方得，而，即，整理得：，把代入上述不等式并整理得：，解得，綜上得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.含有多個(gè)變量的處理方法是減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量方法有：（1）若這些變量之間有關(guān)系可以用它們之間的關(guān)系消元，如在本題中不等式含有三個(gè)變量，可以通過韋達(dá)定理代入的辦法消去，，只剩下關(guān)系的不等式.（2）若這些變量之間沒有關(guān)系可以通過構(gòu)造比值或差值消元，如證明不等式時(shí)可變形為后構(gòu)造消元，只剩下關(guān)于的不等式；證明不等式時(shí)可變形為后構(gòu)造消元，只剩下關(guān)于的不等式.19.在中，，.（1）求的大小；（2）是的中點(diǎn).從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積；注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）由正弦定理化角為邊可得，結(jié)合余弦定理證明，由此可求，再結(jié)合內(nèi)角和公式求；（2）對(duì)于①：在，利用余弦定理求得，進(jìn)而可得面積；對(duì)于②：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析可得，進(jìn)而可得面積；對(duì)于③：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析判斷；【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，由余弦定理可得，即，則，所以.【小問2詳解】對(duì)于①：邊上的中線長(zhǎng)為，在，由余弦定理得即，解得，則，所以的面積為；對(duì)于②：因?yàn)?，解得，則，所以的面積為；對(duì)于③：若，這與相矛盾，不合題意；20.已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅲ）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最