2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.直線x+y+1=0的傾斜角為(

)A.?45° B.45°2.若點a,0在圓x2+y2=1的內(nèi)部，則實數(shù)A.?1,1 B.?∞,1 C.0,1 D.1,+∞3.直線x?2y?2=0在y軸上的截距為(

)A.?2 B.2 C.?1 D.14.圓(x+1)2+(y?1)2=1A.(x+1)2+y2=1 B.(x?35.已知直線l的方程為x+2y+1=0，則過點A(1,3)且與l垂直的直線方程為(

)A.x+2y?7=0 B.2x?y+1=0 C.x+2y?5=0 D.2x?y?5=06.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，P是棱CC1A.1 B.?1 C.4 D.?47.如圖，過點P分別作平面α，β，γ截圓柱得到橢圓C1，C2，C3.其中，橢圓C1，C3所在的平面分別與上底面、下底面所成的銳二面角相等，設(shè)橢圓C1，C2，C3的離心率分別為e1A.e1>e2>e3 B.8.在平面直角坐標系xOy中，若點P(a,b)在直線ax+by+4a+3=0上，則當a，b變化時，直線OP的斜率的取值范圍是(

)A.?∞,?33∪33,+∞ 9.圓C:(x?1)2+y2=1上的點P到直線xcosθ+ysinθ=3(θ∈R)的距離為dA.1 B.2 C.3 D.410.某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成.若AB=60km，AE=CD=30km，現(xiàn)準備建一個電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點距離的平方和最小，圖中P1,P2,P3,A.P1處 B.P2處 C.P3處 二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.直線y=x與直線y=x?1之間的距離為

．12.已知橢圓x2m+y2=1的一個焦點為(1,0)，則13.如圖，空間四邊形OABC中，6條棱長都為a，且OM=2MA,BN=NC，則MN=

(用OA,OB14.橢圓x29+y22=1的焦點為F1,F2，點P在橢圓上，若P15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E,F①三棱錐B1?EFG②存在點G，使A1C⊥平面③存在點G，使平面EFG//平面AC④設(shè)直線FG與平面ADD1A1所成角為θ，則其中所有正確結(jié)論的序號為

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知點A?2,?1、B6,3(1)求線段AB的垂直平分線的直線方程；(2)若點A、B到直線l:ax+y+1=0的距離相等，求實數(shù)a的值．17.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E是棱B(1)求證：F是BB(2)求點D到平面AD118.已知圓C:(x?2)2+y(1)直接寫出圓心C的坐標及r的值；(2)直線l:3x?4y?1=0與圓C交于兩點A,B，求|AB|．19.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E,F分別為AB,PD的中點．

(1)求證：EF//平面PBC；(2)若AD=23,PD=4，再從條件①?條件②條件①：PB=PC；條件②：DE⊥PC．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．20.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(1)求橢圓的方程；(2)過右焦點F2的直線l交橢圓于A，B兩點.若y軸上一點M0,13滿足MA=MB21.已知集合P的元素個數(shù)為3nn∈N?且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓螾分成元素個數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A、B、C，即P=A∪B∪C，A∩B=?，A∩C=?，B∩C=?，其中A=a1,a2,?,an，B=b1,b2,?,b(1)若集合P=1,2,3，Q=1,2,3,4,5,6，判斷集合P和集合(2)已知集合P=1,x,3,4,5,6為“完美集合”，求正整數(shù)x(3)設(shè)集合P=x1≤x≤3n,n∈N?，證明：集合P為“完美集合”的一個必要條件是n=4k或參考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.B

6.C

7.C

8.B

9.A

10.A

11.212.2

13.?214.2；120°；

15.①②④

16.解：(1)線段AB的中點為C(2,1),k故線段AB的垂直平分線的方程為y?1=?2(x?2)，即2x+y?5=0，(2)由距離公式得：|?2a?1+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，

17.解：(1)證明：連接BC1，則BC1/?/AD1，BC1=AD1

因為平面ADD1A1//平面BCC1B1，平面AD1E∩平面ADD1A1=AD1

平面AD1E∩平面BCC1B1=EF，∴EF//AD1∴EF//BC1，

又因為E是棱B1C1的中點，所以F是BB1的中點．

(2)由(1)知A18.解：(1)圓C:(x?2)則圓心C(2,0)，因為圓C:(x?2)2+y2(2)由(1)知，圓C的方程為:(x?2)2+y2法一：設(shè)Ax聯(lián)立3x?4y?1=0x?22+Δ=(?70)則x1所以AB=法二：圓心C(2,0)到直線l:3x?4y?1=0的距離d=2×3?1則AB=2故AB=2

19.(1)證明：取PC中點M，連接FM,BM，在?PCD中，M,F分別為PC,PD的中點，所以MF//DC且MF=1在菱形ABCD中，因為AB//DC且BE=1所以BE//MF,BE=MF，所以四邊形BEFM為平行四邊形，所以EF//BM，又因為EF?平面PBC，BM?平面PBC，所以EF//平面PBC．

(2)解：選擇條件①：因為PD⊥平面ABCD，DB,DC,DE?平面ABCD，所以PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DE．連接BD，因為PB2=P所以BD=DC，在菱形ABCD中，AB=BD=AD，即?ADB為正三角形，又因為E為AB中點，所以DE⊥DC，以D為原點，DE,DC,DP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系D?xyz，如圖所示，

因為?ADB為正三角形且AD=23，所以則F0,0,2,E3,0,0由DE⊥平面FCD，可得平面FCD的一個法向量為n1設(shè)平面EFC的法向量為n2=取x=2，可得y=3,z=3所以cos?n1,n2=n1?n選擇條件②：因為PD⊥平面ABCD，且DE,DC?平面ABCD，所以PD⊥DE,PD⊥DC．又因為DE⊥PC,PD∩PC=P，且PD,PC?平面PCD，所以DE⊥平面PCD，因為DC?平面PCD，所以DE⊥DC，以D為原點，DE,DC,DP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系D?xyz，連接BD，因為AB//DC，所以DE⊥AB，又因為E為AB中點，所以AD=DB，所以?ADB為正三角形且AD=23，所以則F0,0,2,E3,0,0由DE⊥平面FCD，可得平面FCD的一個法向量為n1設(shè)平面EFC的法向量為n2=取x=2，可得y=3,z=3所以cos?n1,n2=n1?n

20.解：(Ⅰ)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由題意知|PF1|+|PF2|=2a=22，∴a=2，

∵e=ca=22，∴c=22×2=1，∴b2=a2?c2=2?1=1，

∴橢圓的標準方程為x22+y2=1．

(Ⅱ)已知F2(1,0)，當直線l的斜率不存在時不滿足題意，

設(shè)直線的方程為y=k(x?1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立直線與橢圓的方程y=k(x?1)x22+y21.(1)將P分為1、2、3滿足條件，則P是完美集合．將Q分成3個，每個中有兩個元素，則a1+bQ中所有元素之和為21，21÷2=10.5=c1+故Q不是“完美集合”；(2)若集合A=1,4，B=3,5，根據(jù)完美集合的概念知集合若集合A=1,