數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)5.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念5.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)5.3非正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)5.4假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)

參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)主要內(nèi)容.在第三章和第四章已經(jīng)探討了關(guān)于參數(shù)估計(jì)的主要方法，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).

在現(xiàn)實(shí)中，除去估計(jì)問(wèn)題外，還有涉及到判斷假設(shè)是否正確的問(wèn)題.

假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題通過(guò)從有關(guān)總體中抽取一定量的樣本，利用樣本去檢驗(yàn)總體分布是否具有某種特征.

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，假設(shè)檢驗(yàn)主要分為以下兩類(lèi)：

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：總體的分布類(lèi)型已知，對(duì)總體分布中的未知參數(shù)提出某種假設(shè)，然后利用樣本(即數(shù)據(jù))對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，最后根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果對(duì)所提出的假設(shè)做出成立與否的判斷.

非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：總體的分布類(lèi)型未知，利用樣本對(duì)總體的分布、分布的特性或總體的數(shù)字特征提出假設(shè)，并進(jìn)行檢驗(yàn).5.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念為了說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，首先看幾個(gè)具體例子.例5.1.1某車(chē)間生產(chǎn)的鋼管直徑X服從正態(tài)分布N(μ,0.52)，其中μ未知.按照規(guī)定，為確保該批鋼管能夠與其它零件匹配，生產(chǎn)的鋼管平均直徑應(yīng)為100mm.現(xiàn)從一批鋼管中隨機(jī)抽取10根，測(cè)得其直徑的平均值為100.15mm

.目的：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果判斷鋼管的平均直徑是否為μ=100問(wèn)題：該批生產(chǎn)的鋼管是否符合規(guī)定?證據(jù)：鋼管直徑的平均值為100.15mm.

例5.1.2假設(shè)電視節(jié)目的收視服從伯努利分布.有人斷言某電視節(jié)目的收視率p

超過(guò)30%.為判斷該斷言正確與否，通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷的方式隨機(jī)調(diào)查了50人，調(diào)查結(jié)果顯示有10人觀看過(guò)該節(jié)目.目的：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果判斷電視節(jié)目的收視率p

超過(guò)30%.問(wèn)題：該斷言是否合適?證據(jù)：隨機(jī)調(diào)查了50人，調(diào)查結(jié)果顯示有10人觀看過(guò)該節(jié)目.例5.1.3根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某建筑材料的抗斷強(qiáng)度指標(biāo)X服從正態(tài)分布，現(xiàn)在改變了該材料的生產(chǎn)配方并進(jìn)行新的生產(chǎn)流程，從新材料中隨機(jī)抽取100件測(cè)其抗斷強(qiáng)度.目的：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果判斷新材料的抗斷強(qiáng)度指標(biāo)Y

是否仍服從正態(tài)分布？問(wèn)題：新材料的抗斷強(qiáng)度指標(biāo)Y

是否仍服從正態(tài)分布？證據(jù)：從新材料中隨機(jī)抽取100件測(cè)其抗斷強(qiáng)度..假設(shè)檢驗(yàn)的基本任務(wù)通過(guò)從有關(guān)總體中抽取一定數(shù)量的樣本，利用樣本對(duì)未知總體分布的某些方面(如總體均值、總體方差、總體分布本身等等)的假設(shè)作出合理的判斷.

例5.1.1和例5.1.2都是需要對(duì)總體分布的參數(shù)做出檢驗(yàn)，因此它們是參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).

例5.1.3是對(duì)總體分布的檢驗(yàn)，是非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).

結(jié)合這幾個(gè)例子，在本節(jié)中，我們將介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念，并給出求解假設(shè)檢驗(yàn)的步驟.5.1.1檢驗(yàn)問(wèn)題的提出例5.1.1某車(chē)間生產(chǎn)的鋼管直徑X服從正態(tài)分布N(μ,0.52)，其中μ未知.按照規(guī)定，為確保該批鋼管能夠與其它零件匹配，生產(chǎn)的鋼管平均直徑應(yīng)為100mm.現(xiàn)從一批鋼管中隨機(jī)抽取10根，測(cè)得其直徑的平均值為100.15mm

.根據(jù)題意：X~N(μ,0.52)，記μ0=100.由于這種假設(shè)是人為加上的，不一定成立.當(dāng)H0不成立時(shí)，另一種推斷為該批鋼管的均值已經(jīng)不再是100mm，記作H1

：μ

100H0

：μ=100因此鋼管是否符合要求是指平均直徑是μ

=μ0

還是μ

μ0

.若相等就表示符合要求，否則就要進(jìn)行停產(chǎn)檢查.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，我們可先假設(shè)該批鋼管符合要求，即μ

=100，記作第一步：我們提出一個(gè)假設(shè)它叫做原假設(shè)或零假設(shè).另一個(gè)可能是叫做備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè).該問(wèn)題化為接受H0，還是接受H1.在數(shù)學(xué)上我們記為H1

：μ

100H0

：μ=100H0

：μ=100；H1

：μ

100設(shè)有參數(shù)分布族，其中Θ為參數(shù)空間.設(shè)X1,X

2,…，Xn是從上述分布族中的某總體抽取的樣本.在參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，感興趣的是參數(shù)θ是否屬于參數(shù)空間Θ的某個(gè)非空真子集Θ0，則H0:θ∈Θ0稱為原假設(shè)或零假設(shè).確切含義是：檢驗(yàn)是否存在一個(gè)θ0∈Θ0使得X的分布為f(x,θ0)

.

記Θ1

Θ

-

Θ0，則命題H1:θ∈Θ1稱為H0的對(duì)立假設(shè)或備擇假設(shè).注意：這個(gè)提法中將原假設(shè)H0放在中心位置，H0和H1的地位不一樣，位置不可更換.原因：我們關(guān)心的是θ∈Θ0是否成立.在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，我們需要利用樣本提供的信息(即數(shù)據(jù))來(lái)檢驗(yàn)原假設(shè)H0成立還是備擇假設(shè)H1成立.原假設(shè)H0寫(xiě)在左邊，作為中心位置；備擇假設(shè)H1寫(xiě)在右邊，作為陪襯地位.例5.1.1中，Θ0

取為{100}，Θ1取為R-{100}，H0是簡(jiǎn)單假設(shè)，H1是復(fù)合假設(shè)；例5.1.2中，原假設(shè)中取Θ0

=[0.3,1]，

備擇假設(shè)中取Θ1=[0,0.3)，H0是復(fù)合假設(shè)，H1是復(fù)合假設(shè)；若Θ0或Θ1中只包含參數(shù)空間Θ中一個(gè)點(diǎn)，則稱為簡(jiǎn)單假設(shè)；否則稱為復(fù)合假設(shè).例如樣本抽自正態(tài)總體N(μ,σ2)，其中σ2已知.參數(shù)空間如果則H0為簡(jiǎn)單原假設(shè)，H1為復(fù)合備擇假設(shè)如果此時(shí)H0為復(fù)合原假設(shè)，H1為復(fù)合備擇假設(shè).說(shuō)明：原假設(shè)和備擇假設(shè)都是總體分布族的子分布族.5.1.2拒絕域、檢驗(yàn)函數(shù)和隨機(jī)化檢驗(yàn)繼續(xù)討論例5.1.1.例5.1.1

設(shè)X1,X

2,…，Xn為從正態(tài)總體N(μ,σ2)中抽取的樣本，其中σ2已知.考慮檢驗(yàn)問(wèn)題其中μ0為給定的常數(shù).問(wèn)題：接受H0還是接受H1？求μ的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì):是μ的UMVUE.若較大，認(rèn)為樣本與原假設(shè)H0有差異，傾向于拒絕H0.若較小，認(rèn)為樣本與原假設(shè)H0相近，傾向于接受H0.具體的說(shuō)，確定一個(gè)常數(shù)，由X1,X

2,…，Xn算出樣本均值，若時(shí)，拒絕H0.若時(shí)，接受H0.統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它衡量數(shù)據(jù)(樣本)與原假設(shè)之間的差異程度，可以看成數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間的一種距離.第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量稱為否定域，或叫做拒絕域.拒絕域是由樣本空間χ

中一切使的那些樣本X1,X

2,…，Xn構(gòu)成.有了拒絕域，等價(jià)于將樣本空間χ分成不相交的兩部分D和.一旦有了樣本(X1,X

2,…，Xn

)，當(dāng)(X1,X

2,…，Xn

)∈D

時(shí)，拒絕H0；當(dāng)

時(shí)，接受H0；稱

為接受域.第三步：確定拒絕域的形式.T

給出了一種法則，一旦有了樣本，就可以在拒絕H0或接受H0這兩個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè).稱這樣一種法則T為檢驗(yàn)問(wèn)題一個(gè)檢驗(yàn).稱用于分割出D

和的數(shù)值為假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值.只要臨界值

定下來(lái)，拒絕域(即否定域)也就確定了.因此，此問(wèn)題中的檢驗(yàn)可視為如下一種法則為了數(shù)學(xué)處理方便.引入檢驗(yàn)函數(shù)

φ(x)的概念，φ(x)與檢驗(yàn)T

是一一對(duì)應(yīng)，在例5.1.1中由式給出的檢驗(yàn)函數(shù)

φ(x)是定義在樣本空間χ上，取值于[0,1]上的函數(shù).由定義可見(jiàn)，若φ(x)=1，則以概率1拒絕H0；若φ(x)=0，則以概率0拒絕H0.若φ(x)只取0和1這兩個(gè)值，稱這種檢驗(yàn)為非隨機(jī)化檢驗(yàn).拒絕域可用檢驗(yàn)函數(shù)表示如下若存在樣本點(diǎn)x，有0<φ(x)<1，則稱φ(x)為隨機(jī)化檢驗(yàn).隨機(jī)化檢驗(yàn)在可靠性統(tǒng)計(jì)中常涉及.在例5.1.1中，如果樣本正好落在拒絕域與接受域的邊界上，而買(mǎi)方以此為由拒絕購(gòu)買(mǎi)該批鋼管，此時(shí)廠方被拒絕的可能性大了，廠方覺(jué)得吃虧；如果廠方認(rèn)為該批鋼管沒(méi)有問(wèn)題，則買(mǎi)方收到不合格產(chǎn)品的可能性大了，買(mǎi)方覺(jué)得吃虧.以下討論假定φ(x)皆為非隨機(jī)化的檢驗(yàn)函數(shù)，

除非特別聲明，不認(rèn)為φ(x)為隨機(jī)化檢驗(yàn)函數(shù).此時(shí)，可以事先規(guī)定一個(gè)概率，使得該批鋼管以概率p0被接受.當(dāng)概率p0給定后，可以借助裝著小球的盒子或者不均勻的骰子等來(lái)確定是否接受該批產(chǎn)品.此時(shí)檢驗(yàn)函數(shù)為在確定拒絕域和檢驗(yàn)函數(shù)后，我們需要確定臨界值.臨界值的確定基于以下原則：第四步：確定臨界值.由于在未獲得外部信息的情況下，我們通常更愿意相信原假設(shè)繼續(xù)成立，即狀態(tài)并未發(fā)生變化.當(dāng)在原假設(shè)成立的情況下小概率事件頻繁出現(xiàn)時(shí)，我們才會(huì)傾向于相信原假設(shè)已經(jīng)不成立，狀態(tài)發(fā)生了改變.基本思想：實(shí)際推斷原理，也稱小概率原理.5.1.3兩類(lèi)錯(cuò)誤和功效函數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷是以樣本為依據(jù)，由于樣本的隨機(jī)性，不能保證統(tǒng)計(jì)推斷方法的絕對(duì)正確性，而只能以一定的概率去保證這種推斷的可靠性.在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中可能犯兩類(lèi)錯(cuò)誤.(1)當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)拒絕原假設(shè)，稱這類(lèi)錯(cuò)誤為第一類(lèi)錯(cuò)誤(或棄真錯(cuò)誤)，其發(fā)生的概率稱為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率(或棄真概率)；(2)原假設(shè)H0本來(lái)不正確，但卻接受了H0，稱這類(lèi)錯(cuò)誤為第二類(lèi)錯(cuò)誤(或取偽錯(cuò)誤)，其發(fā)生的概率稱為犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率(或取偽概率)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤真實(shí)情況所作判斷接受

H0拒絕

H0H0

為真H0

為假正確正確第一類(lèi)錯(cuò)誤

(棄真錯(cuò)誤)第二類(lèi)錯(cuò)誤

(取偽錯(cuò)誤)犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率=P{第一類(lèi)錯(cuò)誤}

=P{當(dāng)H0為真時(shí)拒絕

H0}犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率=P{第二類(lèi)錯(cuò)誤}

=P{當(dāng)H0不真時(shí)接受

H0

}在確定了兩類(lèi)錯(cuò)誤的概念后，我們希望進(jìn)一步用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)這兩種概率.為此，需要引進(jìn)功效函數(shù)的概念.設(shè)φ(x)是的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)，則函數(shù)稱為φ的功效函數(shù)，也稱為效函數(shù)或勢(shì)函數(shù).若檢驗(yàn)函數(shù)φ(x)為非隨機(jī)化檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镈，則此時(shí)功效函數(shù)表示當(dāng)參數(shù)為θ時(shí)，拒絕原假設(shè)H0的概率.定義5.1.1(功效函數(shù))利用功效函數(shù)計(jì)算兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率.以和分別表示犯第一和第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，則犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為說(shuō)明1.當(dāng)樣本容量確定后，犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)減少.2.假設(shè)檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想是控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α，然后，盡可能的減少第二類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生.這里就能看出假設(shè)檢驗(yàn)原假設(shè)與備擇假設(shè)地位是不可互換的.一個(gè)好的檢驗(yàn)φ(x)，犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都應(yīng)該較小.即：功效函數(shù)γφ(θ)

在Θ0中應(yīng)該盡可能的小，

功效函數(shù)γφ(θ)在Θ1中應(yīng)該盡可能的大.犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率完全由功效函數(shù)決定，因此如果兩個(gè)檢驗(yàn)有同一功效函數(shù)，則該檢驗(yàn)在性質(zhì)上也完全相同.Neyman—Pearson提出以下原則控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤概率的原則，即在保證犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率不超過(guò)指定數(shù)值α(

0<α<1，通常取較小的數(shù))的檢驗(yàn)中，尋找犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率盡可能小的檢驗(yàn).5.1.4顯著性檢驗(yàn)若記：Sα表示由所有犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率都不超過(guò)α的檢驗(yàn)函數(shù)構(gòu)成的類(lèi).只考慮Sα中的檢驗(yàn)，在Sα中挑選“犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率盡可能小的檢驗(yàn)”.這種法則稱為控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤概率的法則.關(guān)于原假設(shè)與備擇假設(shè)的選取根據(jù)Neyman—Pearson原則，在原假設(shè)H0為真時(shí)，作出錯(cuò)誤決定(即拒絕H0)的概率受到了控制.在控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率α的原則下，使得采取拒絕H0

的決策變得較慎重，即H0得到特別的保護(hù)，不輕易被拒絕.因而，通常把有把握的、有經(jīng)驗(yàn)、不能輕易否定的命題作為原假設(shè)，或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類(lèi)錯(cuò)誤.把沒(méi)把握的、不能輕易肯定的命題作為備擇假設(shè).原假設(shè)H0與H1地位不平等.既然我們不能同時(shí)控制一個(gè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤，那么我們不妨先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單些的問(wèn)題，僅僅去限制第一類(lèi)錯(cuò)誤：設(shè)φ(x)是檢驗(yàn)問(wèn)題的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)，而0≤α≤1.如果檢驗(yàn)φ(x)犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率總不超過(guò)α或者等價(jià)的：檢驗(yàn)φ滿足γφ(θ)≤α，一切θ∈Θ0.則稱α是檢驗(yàn)φ(x)的一個(gè)水平，而φ(x)稱為顯著性水平為α的檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱水平為α的檢驗(yàn).定義5.1.2(顯著性檢驗(yàn))：按照上述定義，檢驗(yàn)的水平不唯一.若α為檢驗(yàn)φ(x)的水平，而α<α’<1，則α’也是檢驗(yàn)φ(x)的水平.為避免這一問(wèn)題，有時(shí)稱一個(gè)檢驗(yàn)的最小水平為其真實(shí)水平，即檢驗(yàn)φ的真實(shí)水平.習(xí)慣上把水平α取得比較小且標(biāo)準(zhǔn)化如α=0.01,0.05,0.10等.標(biāo)準(zhǔn)化是為了查表方便.水平的選取，對(duì)檢驗(yàn)的性質(zhì)有很大影響.若水平選的低，那么容許犯第一類(lèi)錯(cuò)誤概率很小.而為了達(dá)到這一點(diǎn)勢(shì)必大大縮小拒絕域，使接受域擴(kuò)大，從而增加了犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率.反之，若水平選的高，那么容許犯第一類(lèi)錯(cuò)誤概率很大.而為了達(dá)到這一點(diǎn)勢(shì)必?cái)U(kuò)大拒絕域，使接受域縮小，從而犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率相應(yīng)降低.當(dāng)一個(gè)檢驗(yàn)涉及雙方利益時(shí)，水平的選定常常是雙方協(xié)

議的結(jié)果.2犯兩種錯(cuò)誤的后果一般在性質(zhì)上有很大不同.如果犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的后果在性質(zhì)上很?chē)?yán)重，就力求在合理的范圍內(nèi)盡量減少犯這種錯(cuò)誤的可能性，此時(shí)相應(yīng)的水平取得更低一些.一般來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)者在試驗(yàn)前對(duì)問(wèn)題的情況總不是一無(wú)所知.他對(duì)問(wèn)題的了解使他對(duì)原假設(shè)是否能成立就有了一定的看法，這種看法可能影響他對(duì)水平的選擇.若水平α很小，原假設(shè)H0不會(huì)輕易被否定，如果樣本落入拒絕域，作出“拒絕原假設(shè)”的結(jié)論比較可靠.反之，當(dāng)水平α很小時(shí)，如果樣本落入接受域，作出“接受原假設(shè)”的結(jié)論未必可靠.說(shuō)明：在所選定的水平下沒(méi)有充分根據(jù)拒絕H0，但是，絕不意味著有充分根據(jù)說(shuō)明它正確.(此時(shí)會(huì)犯第二類(lèi)錯(cuò)誤，其概率很大)說(shuō)明：1.顯著性檢驗(yàn)中拒絕原假設(shè)H0是在概率意義下進(jìn)行嚴(yán)格推理得到的結(jié)論，因此拒絕原假設(shè)意味著有充分的證據(jù)表明原假設(shè)H0不成立；2.接受原假設(shè)H0并不意味著H0充分成立，只能說(shuō)明在當(dāng)前的樣本下沒(méi)有充分的證據(jù)拒絕H0的成立.當(dāng)原假設(shè)

H0

成立時(shí)，回到例5.1.1：確定C.拒絕域?yàn)樵僭O(shè)H0

：μ=100；備擇假設(shè)H1

：μ

100進(jìn)一步，有對(duì)于給定顯著性水平α，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的定義，有即當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，是概率為α的小概率事件，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.若在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)了，則有充分的證據(jù)表明“原假設(shè)H0成立”是錯(cuò)誤的，因而拒絕H0；反之，若在一次抽樣中，有，就沒(méi)有充分的理由拒絕原假設(shè)H0，從而承認(rèn)H0成立.借助顯著性水平的概念，由樣本觀察值計(jì)算得的觀察值時(shí)，可以將判斷準(zhǔn)則T

改寫(xiě)為第五步:根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.例5.1.1中，根據(jù)題目條件得到由于0.95<1.96，因此不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為該批生產(chǎn)的鋼管符合要求.且有對(duì)于給定顯著性水平α=0.05，查表得到在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)是處于被保護(hù)的地位.這種保護(hù)是符合實(shí)際需求的.這是因?yàn)闄z查鋼管直徑是否符合要求將會(huì)產(chǎn)生多余的成本.如果沒(méi)有充分的理由來(lái)支持鋼管直徑不符合要求，我們傾向于認(rèn)為這批鋼管是符合要求的.鑒于原假設(shè)H0的特殊地位，在建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)，我們通常選擇有把握的、不能輕易改變的或存在已久的狀態(tài)作為原假設(shè).除去該準(zhǔn)則外，另一個(gè)選取原假設(shè)H0的準(zhǔn)則是選取違反該條件后將產(chǎn)生嚴(yán)重后果的準(zhǔn)則作為原假設(shè)，從而可以將出現(xiàn)重大錯(cuò)誤的可能性控制在較小的范圍內(nèi).在實(shí)際問(wèn)題中，情況將更為復(fù)雜.因此，關(guān)于如何選取原假設(shè)和備擇假設(shè)沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，只能在實(shí)踐工作中積累經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際情況去判斷如何選取.第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題5.1.5假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求和已知信息提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1例5.1.1中：H0：μ=100；H1：μ

100第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量設(shè)密度函數(shù)f(x,

)的表達(dá)式已知，通常是基于參數(shù)

的極大似然估計(jì)構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=T(X1,X2,

…,Xn)，并在原假設(shè)H0成立下，確定

T的精確分布或漸近分布.例5.1.1中：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為第三步：確定拒絕域的形式根據(jù)原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1的形式，分析并提出拒絕域的形式，以及待定的臨界值k.例5.1.1中：拒絕域的形式為其中k為臨界值，是一個(gè)待定的值.第四步：給定顯著性水平α

的值，確定臨界值k.例5.1.1中：臨界值為k=uα/2

，因此拒絕域?yàn)槔脵z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，由P{當(dāng)H0為真時(shí)拒絕H0}

=

或≤

出發(fā)確定臨界值，從而確定拒絕域.若樣本觀察值(x1,x2,

…,xn)落入拒絕域，即(x1,x2,

…,xn)

D，則拒絕H0；否則無(wú)法拒絕H0.第五步:根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.判斷的基本原理是：實(shí)際推斷原理即小概率原理.小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.提出假設(shè)抽取樣本檢驗(yàn)假設(shè)作出決策顯著性水平α根據(jù)統(tǒng)計(jì)調(diào)查的目的，提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1.拒絕還是不能拒絕H0

作業(yè)：習(xí)題5.1：5，7，8正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最常用的分布，關(guān)于它的兩個(gè)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際中經(jīng)常遇到.例如：要考察某食品包裝生產(chǎn)線工作是否正常時(shí)，需要檢查包裝食品的平均重量是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求，同時(shí)也要檢查生產(chǎn)食品的生產(chǎn)線工作狀態(tài)是否穩(wěn)定.前者是均值的檢驗(yàn)問(wèn)題，而后者是方差的檢驗(yàn)問(wèn)題.5.2正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)設(shè)X1,X

2,…，Xn

是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，給定顯著性水平α，求下列三類(lèi)檢驗(yàn)問(wèn)題：(1)(2)(3)檢驗(yàn)問(wèn)題(1)稱為雙邊檢驗(yàn)檢驗(yàn)問(wèn)題(2)和(3)稱為單邊檢驗(yàn)其中μ0

為已知常數(shù).5.2.1單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)一單個(gè)正態(tài)總體方差已知，均值的假設(shè)檢驗(yàn)首先：討論檢驗(yàn)問(wèn)題(1)（例5.1.1已經(jīng)討論）

第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：

=

0

H1：

≠

0第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第三步：確定拒絕域的形式.第四步：確定臨界值.利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，由P{當(dāng)H0為真時(shí)拒絕H0}

=

或≤

出發(fā)確定臨界值A(chǔ)，從而確定拒絕域.例5.1.1中：臨界值為k=uα/2

，拒絕域?yàn)閡

/2?u

/2第五步:根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.若樣本觀察值(x1,x2,

…,xn)落入拒絕域，即(x1,x2,

…,xn)

D，則拒絕H0；否則無(wú)法拒絕H0.判斷的基本原理是：實(shí)際推斷原理即小概率原理.小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.其中A

為常數(shù)，待定.由于是μ

的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)原假設(shè)H0為真，并考慮備擇假設(shè)H1，檢驗(yàn)的拒絕域可取為如下形式討論檢驗(yàn)問(wèn)題(2)第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：

≤

0

H1：

>

0取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.檢驗(yàn)拒絕域的形式可取為其中k

為常數(shù)，待定.第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第三步：確定拒絕域的形式.得到由于在原假設(shè)H0：

≤

0成立下，有第四步：確定臨界值.在原假設(shè)H0：

≤

0成立下，是一個(gè)小概率事件(概率不超過(guò)α)，所以得到檢驗(yàn)問(wèn)題II的拒絕域?yàn)橐虼说谖宀?根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.若，則拒絕原假設(shè)H0；若，則不拒絕原假設(shè)H0

.u

α右邊檢驗(yàn)類(lèi)似檢驗(yàn)問(wèn)題(2)的討論可得到檢驗(yàn)問(wèn)題(3)的拒絕域?yàn)橛懻摍z驗(yàn)問(wèn)題(3)H0：

≥

0

H1：

<

0單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)方差已知時(shí)，無(wú)論是雙邊檢驗(yàn)還是單邊檢驗(yàn)，所選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布都與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有關(guān)，上述假設(shè)檢驗(yàn)方法稱為U

檢驗(yàn)法.左邊檢驗(yàn)?u

α檢驗(yàn)參數(shù)條件原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域μ方差已知μ=μ0μ≠

μ0|U|≥

uα/2μ≥μ0μ<

μ0U≤

-uαμ≤μ0μ>

μ0U≥

uα注意：拒絕域{U≤-u

α}的不等號(hào)“≤”的方向和備擇假設(shè)“H1:μ<

μ0”的不等號(hào)“<”的方向一致；拒絕域{U≥

uα}的不等號(hào)“≥”的方向和備擇假設(shè)“H1:μ>

μ0”的不等號(hào)“>”的方向一致.正態(tài)總體方差已知，關(guān)于總體均值的檢驗(yàn)例5.2.1一臺(tái)方差是0.8克2的自動(dòng)包裝機(jī)在流水線上包裝袋裝白糖,假定包裝機(jī)包裝的袋裝白糖的重量X~N(

2).按規(guī)定袋裝白糖重量的均值應(yīng)為500克.隨機(jī)抽取了9袋，測(cè)得平均凈重為499.41克.在顯著性水平α=0.05下，問(wèn)包裝機(jī)包裝的袋裝白糖是否符合規(guī)定？將包裝機(jī)包裝的袋裝白糖的重量視為總體X，則X~N(μ,σ2)，其中σ2=0.8已知，μ

未知.提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域?yàn)榻猓罕纠?，如果取?0.05

.查表得計(jì)算得即抽樣數(shù)據(jù)落入了拒絕域中，于是拒絕原假設(shè)H0.即認(rèn)為包裝機(jī)包裝的袋裝白糖不符合規(guī)定.在本例中，如果取顯著性水平α=0.04，則uα/2=2.054，這時(shí)|u|=1.98<2.054，說(shuō)明樣本觀測(cè)值沒(méi)有落入拒絕域，因此，不能拒絕H0.這說(shuō)明在不同的檢驗(yàn)水平下可以得到不同的檢驗(yàn)結(jié)果.這是因?yàn)榻档头傅谝活?lèi)錯(cuò)誤的概率，就會(huì)使得拒絕域減小，從而拒絕H0的機(jī)會(huì)變小，接受H0的機(jī)會(huì)變大.例5.2.2某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測(cè)得均值為21.55公斤.假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布N(

,

2)，且已知

=1.2公斤.問(wèn)在顯著性水平

=0.01下，新生產(chǎn)織物比過(guò)去的織物強(qiáng)力是否有提高?解：因?yàn)?1.55>21，我們懷疑新生產(chǎn)織物比過(guò)去的織物強(qiáng)力提高，即μ>21的正確性，希望通過(guò)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行嚴(yán)格推理證實(shí)，因此對(duì)織物強(qiáng)力提出假設(shè)提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域?yàn)橛蓸颖局涤?jì)算表明，樣本觀測(cè)值落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)H0.即，認(rèn)為新生產(chǎn)織物比過(guò)去的織物強(qiáng)力有提高.例5.2.3設(shè)某種元件的壽命X服從正態(tài)分布N(

,1002)，要求該種元件的平均壽命不得低于1000小時(shí).生產(chǎn)者從一批該種元件中隨機(jī)抽取25件，測(cè)得平均壽命為950小時(shí).在顯著性水平

=0.05下，判斷這批元件是否合格？解：因?yàn)?50<1000，利用數(shù)據(jù)信息進(jìn)行推理提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域?yàn)橛蓸颖局涤?jì)算由于2.5<1.645，因此拒絕原假設(shè)，在顯著性水平

=0.05下，判斷這批元件不合格.實(shí)際問(wèn)題中，方差

2已知的情形比較少見(jiàn)，一般只知X~N(μ,

2)，而其中

2未知.當(dāng)

2未知時(shí)，對(duì)給定的顯著性水平α，關(guān)于正態(tài)總體均值

的常見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題仍提出如下三種.(3)H0：

≥

0

H1：

<

0

(1)

H0:

=

0

H1:≠0

(2)H0：

≤

0

H1：

>

0雙邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)其中C

為常數(shù)，待定.由于是μ

的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)原假設(shè)H0為真，并考慮備擇假設(shè)H1，檢驗(yàn)的拒絕域可取為如下形式討論檢驗(yàn)問(wèn)題(3)第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：

≥

0

H1：

<

0此時(shí)不能作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因?yàn)?/p>

σ2未知，上面拒絕域確定的檢驗(yàn)，其犯第一類(lèi)的概率不能被控制.自然的想法是用樣本方差S2代替總體方差σ2取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.由于檢驗(yàn)拒絕域的形式可取為其中k

為常數(shù)，待定.第三步：確定拒絕域的形式.得到由于在原假設(shè)H0：

≥

0成立下，有第四步：確定臨界值.在原假設(shè)H0：

≥

0成立下，是一個(gè)小概率事件(概率不超過(guò)α

)，所以得到檢驗(yàn)問(wèn)題III的拒絕域?yàn)橐虼说谖宀?根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.若，則拒絕原假設(shè)H0；若，則不拒絕原假設(shè)H0

.左邊檢驗(yàn)?t

α檢驗(yàn)參數(shù)條件原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域μ方差未知μ=μ0μ≠

μ0μ≤μ0μ>

μ0μ≥μ0μ<

μ0正態(tài)總體方差未知，關(guān)于總體均值的檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)方差未知時(shí)，無(wú)論是雙邊檢驗(yàn)還是單邊檢驗(yàn)，所選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布都與t分布有關(guān)，上述假設(shè)檢驗(yàn)方法稱為t

檢驗(yàn)法.例5.2.4某工廠生產(chǎn)的一種螺絲釘?shù)拈L(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(

,

2)，

2未知，規(guī)定其長(zhǎng)度的均值是32.5毫米.現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件，得平均長(zhǎng)度為31.13毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為1.12毫米.在顯著性水平α=0.01，問(wèn)該工廠生產(chǎn)的這批螺絲釘?shù)拈L(zhǎng)度是否合格？解：(1)

提出假設(shè)H0：

=32.5

H1：

≠32.5(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為(4)查表得計(jì)算得(5)故不能拒絕原假設(shè)H0,認(rèn)為工廠生產(chǎn)的這批螺絲釘?shù)拈L(zhǎng)度合格.(3)拒絕域?yàn)槔?.2.5設(shè)某車(chē)間生產(chǎn)的鋼管直徑X服從正態(tài)分布N(

,

2)，現(xiàn)從一批鋼管中隨機(jī)抽取10根，測(cè)得其平均直徑為100.15毫米，方差為0.5783毫米2.給定顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)假設(shè)

H0：

=100

H1：

>100解:

(1)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為(3)查表得計(jì)算得(4)故不能拒絕原假設(shè)H0,認(rèn)為H0：

=100成立.(2)拒絕域?yàn)槔?.2.6.某廠生產(chǎn)小型馬達(dá)，其說(shuō)明書(shū)上寫(xiě)著：這種小型馬達(dá)在正常負(fù)載下平均消耗電流不會(huì)超過(guò)0.8安培.現(xiàn)隨機(jī)抽取16臺(tái)馬達(dá)試驗(yàn)，算得平均消耗電流為0.92安培，消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培.假設(shè)馬達(dá)所消耗的電流服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，σ2未知，在顯著性水平α=0.05下，對(duì)下面的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)H0:平均電流不超過(guò)0.8H1:平均電流超過(guò)0.8(2)H0:平均電流不低于0.8H1:平均電流低于0.8解：(1)

假設(shè)H0:μ≤

μ0=0.8H1:μ>μ0=0.8檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕域?yàn)橐虼瞬荒芫芙^原假設(shè)，即不能否定廠方斷言，認(rèn)為平均電流不超過(guò)0.8安培.查表得

tα(n?1)=t0.05(15)=1.7531拒絕域?yàn)橛?jì)算得(2)H0:

0.8H1:

<0.8

因此不能拒絕原假設(shè)，即否定廠方斷言，認(rèn)為平均電流不低于0.8安培.查表得?tα

(n-1)=?

t0.05(15)=?1.7531選用統(tǒng)計(jì)量拒絕域?yàn)橛?jì)算得第二種原假設(shè)的設(shè)置方法是不輕易相信廠方的結(jié)論，屬于把廠方的斷言反過(guò)來(lái)設(shè)為原假設(shè)，屬于從消費(fèi)者的角度即把平均電流不小于0.8設(shè)為原假設(shè)，此時(shí)廠方說(shuō)的是假的而被拒絕的概率很小(不超過(guò)0.05).第一種原假設(shè)的設(shè)置方法是不輕易否定廠方的結(jié)論，屬于從廠方角度即把平均電流不超過(guò)0.8設(shè)為原假設(shè)，此時(shí)廠方說(shuō)的是真的被拒絕這種錯(cuò)誤的概率很小(不超過(guò)0.05)；對(duì)問(wèn)題的提法不同(把哪個(gè)假設(shè)作為原假設(shè))，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果也會(huì)不同.由于假設(shè)檢驗(yàn)是控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率，因此拒絕原假設(shè)H0的決策是有道理的.而接受原假設(shè)H0只是因?yàn)闆](méi)有找到矛盾，根據(jù)目前的數(shù)據(jù)沒(méi)有理由拒絕原假設(shè)，只能接受原假設(shè).例5.2.4，例5.2.5和例5.2.6都沒(méi)有拒絕原假設(shè)，用當(dāng)前的數(shù)據(jù)信息無(wú)法證實(shí)我們的懷疑，但這時(shí)仍不能輕易接受，因?yàn)榉傅诙?lèi)錯(cuò)誤的概率會(huì)很大.通常在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要通過(guò)增加樣本容量的方法繼續(xù)收集數(shù)據(jù)信息來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)，此時(shí)犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率會(huì)減小.設(shè)X1,X

2,…，Xn

為從正態(tài)總體N(μ,σ2)中抽取的樣本，給定檢驗(yàn)水平α，求下列三類(lèi)檢驗(yàn)問(wèn)題：(1)(2)(3)雙邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)其中為已知常數(shù).5.2.2單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值未知時(shí)的檢驗(yàn)問(wèn)題要比均值已知情況更常見(jiàn)，首先討論均值未知情形下，方差的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均值μ未知，樣本方差是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)且具有良好性質(zhì)(是UMVUE).分析：S2的觀察值s2應(yīng)該與

2比較接近.因此，當(dāng)H0成立時(shí)，s2/

02的值應(yīng)該在1附近擺動(dòng).s2/

2的值應(yīng)該在1附近擺動(dòng).s2/

02過(guò)分小于1或過(guò)分大于1都是相差較大.當(dāng)H0成立時(shí)，s2/

02與1相差較大是小概率事件.拒絕域的形式為：當(dāng)原假設(shè)H0：σ2=σ02成立時(shí)，有故取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)拒絕域的形式為其中k1，k2

為常數(shù)，待定.第三步：確定拒絕域的形式.第四步：確定臨界值.對(duì)于給定顯著性水平α，有為方便，取因此有于是，拒絕域?yàn)榈谖宀?根據(jù)樣本觀察值作出是否拒絕H0的判斷.若，則拒絕原假設(shè)H0；若，則不拒絕原假設(shè)H0

.假設(shè)檢驗(yàn)中選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從χ2分布的檢驗(yàn)方法稱為χ2檢驗(yàn)法.考慮均值未知情形下，方差的單邊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.第一步：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題第二步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由于均值μ未知，樣本方差是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)且具有良好性質(zhì)(是UMVUE).當(dāng)H0成立時(shí)并考慮到備擇假設(shè)，S2的觀察值s2與σ02的比值s2/σ02應(yīng)當(dāng)偏大.于是，檢驗(yàn)拒絕域的形式為其中k

為常數(shù)，待定.取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.第三步：確定拒絕域的形式.其中k

為常數(shù)，待定.注：

并不服從卡方分布，但是第一類(lèi)錯(cuò)誤仍可以被控制所以當(dāng)H0：σ2≤σ02成立時(shí)故第四步：確定臨界值k故而要使只要由抽樣分布定理知所以，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)榈谖宀剑焊鶕?jù)樣本觀察值x1,x2,···,xn，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值，并與比較，作出判斷.若，則拒絕原假設(shè)；若，則不拒絕(接受)原假設(shè).這是單邊χ2

檢驗(yàn).單邊檢驗(yàn)(左邊檢驗(yàn))拒絕域?yàn)檎龖B(tài)總體均值未知，關(guān)于總體方差σ2

的檢驗(yàn)原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域(μ未知)假設(shè)檢驗(yàn)中選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布都與χ2分布有關(guān)，上述假設(shè)檢驗(yàn)方法稱為稱為χ2檢驗(yàn)法.例5.2.7某紡織車(chē)間生產(chǎn)的細(xì)紗支數(shù)服從正態(tài)分布，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)差是1.2.從某日生產(chǎn)的細(xì)紗中隨機(jī)抽取16根，測(cè)量其支數(shù)，得其標(biāo)準(zhǔn)差為2.1.給定顯著性水平

=0.05，問(wèn)細(xì)紗的均勻度是否符合規(guī)定?解：提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定拒絕域：查表得拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算得由于45.94>27.488，因此在顯著性水平

=0.05下拒絕原假設(shè)，認(rèn)為細(xì)紗的均勻度不符合規(guī)定.例5.2.8某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，按規(guī)定其方差不得超過(guò)0.016.現(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取25件測(cè)量其長(zhǎng)度，得樣本方差為0.025.問(wèn)能否由此判斷這批零件合格?(取顯著性水平

=0.01，

=0.05)解：提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定拒絕域：查表得拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算得由于37.5<42.98，因此在顯著性水平

=0.01下,不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為這批零件合格.當(dāng)

=0.05時(shí)，查表得拒絕域?yàn)橛捎?7.5>36.415，因此在顯著性水平

=0.05下拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批零件不合格.例5.2.8說(shuō)明:對(duì)原假設(shè)作出的判斷，在不同的顯著性水平下可以得到不同的檢驗(yàn)結(jié)果.這是因?yàn)榻档头傅谝活?lèi)錯(cuò)誤的概率，就會(huì)使得拒絕域減小，從而拒絕H0的機(jī)會(huì)變小，接受H0的機(jī)會(huì)變大.因此對(duì)原假設(shè)H0所作的判斷，與所取顯著性水平

的大小有關(guān)，

越小越不容易拒絕原假設(shè)H0.例5.2.9

某汽車(chē)配件廠在新工藝下對(duì)加工好的25個(gè)活塞的直徑進(jìn)行測(cè)量，得樣本方差S2=0.00066.已知老工藝生產(chǎn)的活塞直徑的方差為0.00040.問(wèn)進(jìn)一步改革的方向應(yīng)如何?解：一般進(jìn)行工藝改革時(shí)，若指標(biāo)的方差顯著增大，則改革需朝相反方向進(jìn)行以減少方差；若方差變化不顯著，則需試行別的改革方案.設(shè)測(cè)量值X~

N(μ,σ2)需考察改革后活塞直徑的方差是否不大于改革前的方差?故待檢驗(yàn)假設(shè)可設(shè)為：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域D：落在D內(nèi)，故拒絕H0.即改革后的方差顯著大于改革前的方差，因此下一步的改革應(yīng)朝相反方向進(jìn)行.當(dāng)

未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為該統(tǒng)計(jì)量服從χ2(n)分布，在

=

0已知下關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)見(jiàn)表.當(dāng)

=

0已知時(shí)，

自然用

0替換

得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量正態(tài)總體均值已知，關(guān)于總體方差σ2

的檢驗(yàn)原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域(μ已知)5.2.3兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)設(shè)X1,X

2,…，Xm是來(lái)自正態(tài)總體N(μ1,σ12)的樣本，

Y1,Y

2,…，Yn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ2,σ22)的樣本，且樣本X1,X

2,…，Xm

和Y1,Y

2,…，Yn相互獨(dú)立，分別表示兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差(1)(2)(3)雙邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)給定顯著性水平α，討論下列三類(lèi)檢驗(yàn)問(wèn)題：分幾種情況討論一

方差已知條件下，兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)首先考慮雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題(1)因分別為μ1,μ2的無(wú)偏估計(jì)，又由的獨(dú)立性及得的無(wú)偏估計(jì)(UMVUE)

.檢驗(yàn)的拒絕域可取為如下形式其中C

為常數(shù)，待定.且當(dāng)成立時(shí)因此取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.檢驗(yàn)拒絕域的等價(jià)形式可取為其中k

為常數(shù)，待定.給定顯著性水平為α，有得到.

因此檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)橐虼耍诮o定顯著性水平α下，檢驗(yàn)問(wèn)題I的檢驗(yàn)為若，則拒絕原假設(shè)；若，則不拒絕(接受)原假設(shè).兩樣本U

檢驗(yàn)原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域(σ12，σ22已知)兩正態(tài)總體方差均已知，關(guān)于總體均值差的檢驗(yàn)其中因此取T作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.兩樣本t

檢驗(yàn)原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域(σ12=σ22未知)兩正態(tài)總體方差均未知但相等，關(guān)于均值差的檢驗(yàn)例5.2.10

設(shè)甲乙兩廠生產(chǎn)同樣的燈泡，其壽命分別服從正態(tài)分布N(μ1,902)與N(μ2,962)，現(xiàn)從兩廠生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)的各取60只，測(cè)得平均壽命甲廠為1150小時(shí)，乙廠為1100小時(shí)，在顯著性水平

=0.05下，能否認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命無(wú)顯著差異？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為解：提出假設(shè)H0:μ1=μ2

H1:μ1

≠μ2

一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)正態(tài)總體均值差的顯著性檢驗(yàn)，其實(shí)際意義是一種選優(yōu)的統(tǒng)計(jì)方法.拒絕域?yàn)椴楸淼糜?jì)算得由于2.94>1.96，因此拒絕原假設(shè)，即在顯著性水平α=0.05下，認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命有顯著差異.例5.2.11

為研究正常成年男女血液紅細(xì)胞平均數(shù)的差別，檢驗(yàn)?zāi)车卣３赡昴凶?56人，女子74人，計(jì)算男女紅細(xì)胞的平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為男：女：假定正常成年男女紅細(xì)胞數(shù)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ2)與N(μ2,

σ2)，且相互獨(dú)立，在顯著性水平α=0.01下，檢驗(yàn)正常成年人紅細(xì)胞數(shù)是否與性別有關(guān).解：檢驗(yàn)問(wèn)題為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槠渲胁楸淼糜?jì)算得到因此拒絕H0，即在顯著性水平α=0.01下，認(rèn)為正常成年人的紅細(xì)胞數(shù)與性別有關(guān).例5.2.12某物質(zhì)在處理前和處理后分別抽樣分析其含脂率如下：處理前：(X)0.19,0.18,0.21,0.30,0.41,0.12,0.27處理后：(Y)0.15,0.13,0.07,0.24,0.19,0.06,0.08,0.12假定處理前后的含脂率都服從正態(tài)分布，且方差相同，相互獨(dú)立，在顯著性水平α=0.05下，處理前后的含脂率的平均值是否有顯著變化?.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為代入T中，得T的觀測(cè)值t為故在顯著水平0.05下拒絕H0，即認(rèn)為處理前后含脂率的平均值有顯著變化.解：檢驗(yàn)問(wèn)題為記，則且Z1,Z

2,…，Zn獨(dú)立同分布，因此Z1,Z

2,…，Zn可視為從總體抽取的樣本，且于是對(duì)于如下配對(duì)的問(wèn)題，換個(gè)角度思考：三

方差均未知，但樣本容量m=n時(shí)，總體均值差的檢驗(yàn)因此可以利用單個(gè)正態(tài)總體均值的t

檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)問(wèn)題為用于配對(duì)試驗(yàn)??！檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槌蓪?duì)比較問(wèn)題原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域(σ12

，σ22未知，m=n)兩正態(tài)總體方差均未知，但m=n，關(guān)于均值差的檢驗(yàn)一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)正態(tài)總體均值差的顯著性檢驗(yàn)，其實(shí)際意義是一種選優(yōu)的統(tǒng)計(jì)方法，至于多個(gè)正態(tài)總體均值之間差異的顯著性檢驗(yàn)，在方差分析以及正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)內(nèi)容中會(huì)進(jìn)一步介紹.5.2.4兩個(gè)正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn)設(shè)X1,X

2,…，Xm

是來(lái)自正態(tài)總體N(μ1,σ12)的樣本，

Y1,Y

2,…，Yn

是來(lái)自正態(tài)總體N(μ2,σ22)的樣本，且樣本X1,X

2,…，Xm

和Y1,Y

2,…，Yn獨(dú)立，分別表示兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差給定顯著性水平α，討論下列三類(lèi)檢驗(yàn)問(wèn)題：(1)(2)(3)雙邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)首先考慮雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題(1)主要討論μ1,μ2未知時(shí)，方差比的檢驗(yàn).由于和

分別是和的無(wú)偏估計(jì)，并具有優(yōu)良性質(zhì)(UMVUE).接近1(H0下)檢驗(yàn)的拒絕域可取為如下形式其中c1

和

c2

為常數(shù)，待定.在成立條件下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)樵僭O(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域F

≥

Fα/2(m-1,n-1)或F

≤

F1-α/2(m-1,n-1)

F

≤

F1-α

(m-1,n-1)

F

≥

Fα/

(m-1,n-1)兩正態(tài)總體均值未知，關(guān)于總體方差比的檢驗(yàn)(μ1

μ2未知)假設(shè)檢驗(yàn)中選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布都與F分布有關(guān)，這種檢驗(yàn)方法稱為F

檢驗(yàn)法.原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域F*≥

Fα/2(m,n)或F*≤

F1-α/2(m,n)

F*≤

F1-α

(m,n)

F*≥

Fα/

(m,n)兩正態(tài)總體均值已知，關(guān)于總體方差比的檢驗(yàn)(μ1

μ2已知)例5.2.14甲乙兩臺(tái)機(jī)器加工同種零件，分別從兩臺(tái)機(jī)器加工的零件中隨機(jī)抽取8個(gè)和9個(gè)測(cè)量其直徑，得樣本均值分別為,樣本方差分別為

假定零件直徑分別服從正態(tài)分布

，（1）在顯著性水平

=0.1下，問(wèn)方差是否相等？（2）在顯著性水平

=0.1下，問(wèn)均值是否相等？解：(1)提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為由于0.27<0.92<3.50查表得計(jì)算得拒絕域?yàn)橐虼瞬荒芫芙^原假設(shè)，在顯著性水平α=0.1下，可以認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件直徑的方差相等。(2)提出假設(shè)

H0:μ1=μ2H1:μ1≠μ2

根據(jù)(1)得到兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件直徑的方差相等，故取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)椴楸淼糜?jì)算得由于1.71<1.7531因此不能拒絕原假設(shè)，在顯著性水平α=0.1下，可以認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件直徑的均值相等.例5.2.15分別用國(guó)產(chǎn)測(cè)量?jī)x器和進(jìn)口同類(lèi)測(cè)量?jī)x器測(cè)量某物體11次，分別得11個(gè)數(shù)據(jù).計(jì)算得兩組數(shù)據(jù)的樣本方差分別為

，假定國(guó)產(chǎn)和進(jìn)口測(cè)量?jī)x器的測(cè)量值分別服從正態(tài)分布

.在顯著性水平

=0.05下，問(wèn)國(guó)產(chǎn)測(cè)量?jī)x器是否比進(jìn)口的同類(lèi)測(cè)量?jī)x器好?解：提出假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕域?yàn)椴楸淼糜?jì)算得由于0.295<0.336拒絕域?yàn)橐虼司芙^原假設(shè)，即在顯著性水平α=0.05下，認(rèn)為國(guó)產(chǎn)測(cè)量?jī)x器比進(jìn)口的同類(lèi)測(cè)量?jī)x器好.作業(yè)：習(xí)題5.2：5，7，9，12，15，

17，21

在上一節(jié)中，我們已經(jīng)介紹了正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的有關(guān)方法.然而，現(xiàn)實(shí)中許多分布并非正態(tài)分布，因此需要借助其它分布下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行判斷.

本節(jié)我們將講解非正態(tài)總體分布的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.5.3非正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為5.3.1小樣本方法一指數(shù)分布參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)其中，λ>0為未知參數(shù)，X1,X2,···,Xn是來(lái)自總體X的樣本.其中λ0

為已知常數(shù).對(duì)參數(shù)λ提出如下幾種假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.(1)(2)(3)雙邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)由于是1/λ的無(wú)偏估計(jì)，因此應(yīng)當(dāng)接近1當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，接近1,既不太大也不太小，于是檢驗(yàn)拒絕域的形式為首先：討論檢驗(yàn)問(wèn)題(1)其中A1為適當(dāng)小的正數(shù)，A2為適當(dāng)大的正數(shù)，且A1<A2，均由顯著性水平α

確定.拒絕域的等價(jià)形式為其中C1

和

C2

為常數(shù)，待定.由于，因此當(dāng)成立時(shí)對(duì)于給定的顯著性水平α通常取由此有因此檢驗(yàn)問(wèn)題I的拒絕域?yàn)橛谑牵瑱z驗(yàn)問(wèn)題(1)的檢驗(yàn)法為若,則拒絕原假設(shè)H0；若,則不拒絕原假設(shè)H0

.由于是1/λ的無(wú)偏估計(jì)，因此應(yīng)當(dāng)接近1當(dāng)原假設(shè)成立并考慮備擇假設(shè)，偏大于是檢驗(yàn)拒絕域的形式為拒絕域的等價(jià)形式為其中C

為常數(shù)，由顯著性水平α

確定.討論檢驗(yàn)問(wèn)題(2)且由此有因此檢驗(yàn)問(wèn)題(2)的拒絕域?yàn)楫?dāng)H0

：λ

≤

λ0

成立時(shí)檢驗(yàn)問(wèn)題(2)的拒絕域?yàn)闄z驗(yàn)問(wèn)題(3)的拒絕域?yàn)榍懊嬗懻摰男颖厩闆r下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，利用有關(guān)分布的特性構(gòu)造了各種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并利用與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有關(guān)隨機(jī)變量的精確分布，求出了具有指定水平的檢驗(yàn).然而，檢驗(yàn)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的精確分布，通常很難找到或者很復(fù)雜不便于使用.此時(shí)，往往借助于樣本容量n

充分大時(shí)統(tǒng)計(jì)量的極限分布對(duì)總體參數(shù)做近似檢驗(yàn)，而這種檢驗(yàn)所用的樣本必須是大樣本.但是沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可用來(lái)決定樣本容量多大就算是大樣本，因?yàn)檫@與所采用的統(tǒng)計(jì)量趨于它的極限分布的速度快慢有關(guān)，沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的答案.一般的，n越大近似檢驗(yàn)就越好，而且使用上至少要求n不小于30最好大于50或者100.本章開(kāi)始曾以電視節(jié)目收視率的問(wèn)題引入了假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念.事實(shí)上此類(lèi)問(wèn)題是關(guān)于兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布中參數(shù)p的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.當(dāng)樣本容量增大時(shí)，可以通過(guò)極限分布來(lái)對(duì)樣本進(jìn)行檢驗(yàn).在本節(jié)中我們以二項(xiàng)分布為例來(lái)介紹大樣本情況下利用中心極限定理進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法.5.3.2大樣本方法設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布，即X~

B(1,p)，0<p<1，

X1,X

2,…，Xn

是來(lái)自總體X的樣本，對(duì)給定的顯著性水平α，檢驗(yàn)假設(shè)(1)(2)(3)其中p0是已知常數(shù)，且0<p0<1.(1)由于，根據(jù)中心極限定理當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，即當(dāng)n趨于∞時(shí)于是當(dāng)H0

成立且n

充分大時(shí)，有若，則拒絕原假設(shè)；若，則不拒絕(接受)原假設(shè).(2)(3)若，則拒絕原假設(shè)；若，則不拒絕(接受)原假設(shè).若，則拒絕原假設(shè)；若，則不拒絕(接受)原假設(shè).例5.3.1