數(shù)學實驗課件：線性代數(shù)實驗

線性代數(shù)實驗線性代數(shù)是代數(shù)學的一個分支，在數(shù)學、物理學、化學、醫(yī)學和生產(chǎn)管理中有著廣泛而重要的應(yīng)用.

線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學訓練，增益科學智能是非常有用的.隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具.線性代數(shù)的計算方法也是計算數(shù)學里一個很重要的內(nèi)容.本章主要通過利用MATLAB求解線性代數(shù)的相關(guān)問題，加深對線性代數(shù)基本概念、理論和方法的理解，并以簡單的線性代數(shù)案例來了解線性代數(shù)的應(yīng)用.6.1線性方程組6.1.1行列式的計算6.1.2矩陣階梯化6.1.3矩陣的秩6.1.4逆矩陣contents6.2線性方程組求解6.3矩陣的相似對角化6.3.1向量組的線性相關(guān)性6.3.2特征值6.3.3方陣的相似對角化

6.1線性方程組

設(shè)有

n個未知數(shù)m個方程的線性方程組可以寫成以向量x為未知元的向量方程

(6-1)

其中，

若b=0，則式（6.1）是齊次線性方程組；若b≠0，則式（6.1）是非齊次線性方程組.定理6.1

n元線性方程組（1）無解的充分必要條件是；（3）有無窮多解的充分必要條件是.

（2）有唯一解的充分必要條件是；

克拉默法則

若n元線性方程組

系數(shù)矩陣A是方陣，且

，則方程組有唯一解，且

,其中

是把系數(shù)矩陣A中第j列用方程組右端的常數(shù)項b代替后的矩陣.

在線性方程組求解的過程中，會用到行列式的介紹、方陣求逆、矩陣的秩和矩陣階梯化等問題.這些問題都可由MATLAB進行處理.6.1.1行列式的計算

在MATLAB中，det(A)可以計算方陣A的行列式.

例6.1

計算方陣

的行列式

.解>>clear

>>A=[31-1;-513;201];

>>det(A)

運行結(jié)果如下：

ans=

16可得

=16.

例6.2計算矩陣

的行列式

.解>>clear;>>symsabc>>A=[abc;aa+ba+b+c;a2*a+b3*a+2*b+c];>>det(A)ans=a^3可得

.6.1.2矩陣階梯化

在MATLAB中，rref(A)可以求矩陣A的行最簡形.例6.3已知矩陣

，求A的行最簡形．解>>formatrat>>A=[3102;1-12-1;13-44];>>rref(A)ans=101/21/401-3/25/40000可知矩陣A的行最簡形是6.1.3矩陣的秩

在MATLAB中，可以用rank(A)直接求矩陣A的秩，也可以用rref(A)間接求矩陣A的秩.例6.4求例6.3中A的秩.解

方法1利用rank法>>A=[3102;1-12-1;13-44];>>rank(A)ans=2

方法2利用rref法

已知例6.3中行最簡形B的非零行的行數(shù)是2，可知B的秩為2；因為A和B等價，可知A的秩也為2.6.1.4逆矩陣

在MATLAB中，可以用inv(A)直接求方陣A的逆矩陣，也可以用rref(A,E)求方陣A的逆矩陣，其中E是與A同階的單位矩陣.例6.5求例6.1的逆矩陣.解方法1利用inv法>>formatrat>>A=[31-1;-513;201];>>inv(A)ans=1/16-1/161/411/165/16-1/4-1/81/81/2方法2利用rref法>>B=[A,eye(3)];>>rref(B)>>ans=1001/16-1/161/401011/165/16-1/4001-1/81/81/2

可知矩陣A的逆矩陣存在，且謝謝

6.2線性方程組求解

線性方程組包括齊次線性方程組和非齊次線性方程組.非齊次線性方程組的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解.

在MATLAB中，可以用null(A)得到齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系；可以用inv、rank、null、左除(\)等命令求解非齊次線性方程組.例6.6

求解齊次線性方程組

.解方法1先求出系數(shù)矩陣A的行最簡形矩陣，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>formatrat>>B=rref(A)B=10-2-5/30124/30000即得與原方程組同解的方程組由此即得寫出向量形式，得到通解方法2先求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>null(A,'r')ans=25/3-2-4/31001即得方程組的基礎(chǔ)解系得到方程組的通解例6.7

求解方程組.解首先計算系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，判斷方程組解的結(jié)構(gòu)，>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>r1=rank(a)%系數(shù)矩陣的秩2>>r2=rank([a,b])

%增廣矩陣的秩2計算表明，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都為2，小于變量的個數(shù)4，說明原方程組有無窮組解.有幾種方法求原方程組的通解.方法1用rref命令化為行最簡形式求解.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>rref([a,b])ans=

1

-1

0

0

0

0

0

1

-1

1

0

0

0

0

0由上述行最簡形式得到方程組

，即可知原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).

方法2

由于非齊次方程的通解等于齊次方程的通解加非齊次方程的一個特解，可以用null命令求對應(yīng)的齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>x0=a\b

%非齊次方程的一個特解>>x1=null(a,’r’)

%齊次方程的通解結(jié)果為x0=

0

0

1

0x1=101001

01原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).例6.8

求解線性方程組

.

解該方程組的系數(shù)矩陣A是方陣，可以先計算|A|，>>A=[1-1-1;2-1-3;32-5]；>>D=det(A)D=3.0000

可得系數(shù)行列式|A|=3，由克拉默法則可知方程組由唯一解；也可利用逆矩陣求解.方法1克拉默法則法>>formatrat>>b=[2;1;1];>>A1=[b,A(:,[23])];%b代替A中第1列>>A2=[A(:,1),b,A(:,3)];%b代替A中第2列>>A3=[A(:,[12]),b];%b代替A中第3列>>x1=det(A1)/Dx1=17/3>>x2=det(A2)/Dx2=1/3>>x3=det(A3)/Dx3=10/3方法2逆矩陣法>>x=inv(A)*bx=17/31/310/3可知方程組的解為.6.3矩陣的相似對角化定義設(shè)A為n階矩陣，如果存在n階可逆矩陣P，使得P-1AP=D為對角矩陣，則稱A可以相似對角化.6.3.1向量組的線性相關(guān)性

在MATLAB中，可以利用rank(A)判斷線性相關(guān)性，利用rref(A)求一個極大無關(guān)組.例6.9設(shè)向量組

，（1）求向量組的秩，判斷向量組的線性相關(guān)性；（2）求向量組的一個極大無關(guān)組，將向量組中其余向量用極大無關(guān)組線性表示.

解先將向量組構(gòu)造出一個矩陣（1）>>A=[11221;0215-1;203-13;1104-1]

>>rank(A)

ans=

3因為向量組的秩=矩陣A的秩=3<5，所以向量組線性相關(guān)；（2）>>[B,j]=rref(A)B=100100103-1001-1100000j=123由

j

可知A中的第1、2和3列是一個極大無關(guān)組，即向量

是一個極大無關(guān)組.由B可知

，

.6.3.2特征值

工程技術(shù)中的一些問題，如振動問題和穩(wěn)定性問題，?？蓺w結(jié)為求一個方陣的特征值和特征向量的問題.

在MATLAB中，eig(A)可以計算方陣A的特征值.例6.10求

的特征值和特征向量.解>>A=[73-2;34-1;-2-13]A=73-234-1-2-13>>[V,D]=eig(A)V=0.5774-0.0988-0.8105-0.57740.6525-0.49080.57740.75130.3197D=2.00000002.39440009.6056可知A的特征值是λ1=2，λ2=2.3944，λ3=9.6056.對應(yīng)于λ1,λ2,λ3的特征向量分別是:6.3.3方陣的相似對角化

定理6.2

n

階矩陣

A

能相似對角化的充分必要條件時

A

有

n

個線性無關(guān)的特征向量.

推論

如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A能對角化.

根據(jù)定理和推論，判斷方陣A是否可以相似對角化可以由A的特征向量來判斷，在MATLAB中可以利用rank(A)和eig(A)進行判斷.例6.11判斷下列矩陣A是否可以相似對角化，若可以相似對角化，求出可逆矩陣P和對角矩陣D，使得P-1AP=D.解（1）>>A=[2-20;-21-2;0-20]

>>[V,D]=eig(A)

V=

-0.33330.6667-0.6667

-0.66670.33330.6667

-0.6667-0.6667-0.3333

D=

-2.000000

01.00000

004.0000

可知A有三個特征值互不相等，所以A能夠相似對角化.

矩陣V可逆，取P=V，使得P-1AP=D.（2）>>A=[-110;-430;102]

>>[V,D]=eig(A)

V=

00.40820.4082

00.81650.8165

1.0000-0.4082-0.4082

D=

200

010

001

>>rank(V)

ans=

2得到V的秩為2，可知3階矩陣A只有2個線性無關(guān)的特征向量，所以A不能相似對角化.

例6.12城市道路網(wǎng)中每條道路、每個交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ).根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案，必要時設(shè)置單行線，以免大量車輛長時間擁堵.圖6-1單行道4節(jié)點交通圖圖6-1是某城市的交通圖.每一條道路都是單行道，圖中數(shù)字表示某一個時段的機動車流量（單位：輛）.針對每一個十字路口，進入和離開的車輛數(shù)相等.（1）建立確定每條道路流量的線性方程；（2）為了唯一確定未知流量，還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計？（3）當x4=150時，確定x1、x2、x3的值；請計算每兩個相鄰十字路口間路段上的交通流解根據(jù)已知條件，得到各節(jié)點的流通方程A：x1+360=x2+260B:x2+220=x3+292C:x3+320=x4+357D:x4+260=x1+251（1）整理得方程組為（2）在命令行窗口輸入：>>A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];>>b=[-100;72;37;-9];>>B=rref([A,b])B=100-19010-1109001-13700000得到方程組得解為：為了唯一確定未知流量，只要增加x4統(tǒng)計的值即可.（3）當x4=150時，確定x1=159，x2=259、x3=187.

例6.13（人口遷徙問題）假設(shè)一個城市的總?cè)丝跀?shù)固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有15%的郊區(qū)居民搬到市區(qū).若開始有700000人口居住在市區(qū)，300000人口居住在郊區(qū).請分析：（1）10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)的原因.解令人口變量其中xn為市區(qū)人口，yn為郊區(qū)人口.在第n+1年的人口分布狀態(tài)為：用矩陣乘法表示為：其中

可以得到n年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：（1）10