高考數(shù)學二輪復習專項訓練：解三角形（含答案及解析）

2025二輪復習專項訓練14

解三角形

［考情分析］解三角形是高考考查的熱點，三角恒等變換單獨考查的題目較少，多以解三角

形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應用三角恒等變換進行化簡，綜合性較強，

難度中等.

【練前疑難講解】

一、正弦定理、余弦定理

1.正弦定理及其變形

cihC

在△ABC中，而^=而西=而^=2氏（氏為△A8C的外接圓半徑）.變形：〃=2RsinA,sinA

__a

=2Rfa'?b：c=sinA：sinB：sinC等.

2.余弦定理及其變形

在△ABC中，/=〃+/—2bccosA.

/十，一次

變形：b2+c2—a1=2bccosA,cosA=--------------.

二、解三角形在實際生活中的應用

求實際問題的注意事項

（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量己知，則直接解；

若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解.

（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理.

三、正弦定理、余弦定理的綜合應用

以三角恒等變換、正弦定理、余弦定理為解題工具，常與三角函數(shù)、向量、基本不等式、平

面幾何等交匯命題.

一、單選題

冗

1.（2024?全國?圖考真題）在VABC中，內角A,3,C所對的邊分別為。,b,c,若B=g,

b1=—ac,貝!|sinA+sinC=（）

4

A2aRA/39_V73屈

1313213

2.（2024?貴州遵義?三模）在VABC中，角A氏C的對邊分別為〃也c,2為AC的中點,

已知c=2,BD=^~,acosB+bcosA=-2ccosB,則VABC的面積為（）

2

A.2A/3B.立C.73D.巫

22

二、多選題

3.（2024?福建廈門?二模）如圖1,扇形ABC的弧長為12兀，半徑為60,線段上有一

動點弧BC上一點N是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以A為頂點的圓錐，使得AB

和AC重合，則在圖2的圓錐中（）

A.圓錐的體積為216兀

B.當〃為中點時，線段在底面的投影長為3e

C.存在M,使得

3回

D.MN*

2

4.（2024?浙江?三模）已知ABC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且

2,sin2A+C=/）.sinA）下列結論正確的是（）

A.B=-

3

B.若a=4,b=5,貝|ABC有兩解

C.當=時，ABC為直角三角形

3

D.若ABC為銳角三角形，則cosA+cosC的取值范圍是（當,1]

三、填空題

5.（2024高三?江蘇?專題練習）在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

已知c=2asinC-2ccosA,則sin2A=；若。=2,則VABC面積的最大值為

6.（2023?山東青島?一模）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖

所示的四邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園.已知/D4B=90。，ZDBA=45°,

ZBAC=30°,ZD3C=60。，AB=2a千米，則8=千米.

四、解答題

7.（2023?全國考真題）已知在VASC*中，A+B=3C,2sin（A—C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）設AB=5,求AB邊上的高.

8.（23-24高三上?山東棗莊?期末）在VA5C中，角A氏。所對的邊分別為〃若

2a+bcosA-c—Z?tanBsinA.

⑴求5;

⑵若VABC為銳角三角形，求但誓史的取值范圍.

sinC

【基礎保分訓練】

一、單選題

1.（2024?湖北黃石?三模）若VABC的三個內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,

「「一cm.isinA+sinB-sinC/、

，-------------------------------二（）

a+b-c

A.2百B.—C.-D.6

66

2.（2024?江西贛州?一模）在VABC中，AB=/l,AC=2,C=nO,貝UsinA=（）

A/21_5A/7n3A/21

A.—B.-----c.------u.-------

14141414

IT

3.（2024?湖北黃岡?一模）已知VA5c的內角AB,C所對的邊分別為。，4c,A=1/=3,

下面可使得VABC有兩組解的。的值為（）

A.—B.3C.4D.e

2

4.（2024?遼寧葫蘆島?一模）VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若土=B,

a3

B=gVABC的面積為G，則6=（）

o

A.2港B.4C.2D.娓

5.（2024?全國?模擬預測）如圖，已知四邊形ABC。是菱形，AB=BD^4,點E為A8的

中點，把VADE沿。E折起，使點A到達點尸的位置，且平面PDE,平面BCDE,則異面

直線PD與BC所成角的余弦值為（）

A.B.-C.y/2D.—

6.（23-24高一下?安徽宿州?期中）在VABC中，內角A,民C的對邊分別為a,6,c,若滿足

2acosB=c,則該三角形為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定

7.（2022?全國?模擬預測）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)

氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為"表"）和一把呈南北方向水平固定擺放的與

標竿垂直的長尺（稱為"圭"），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，

圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖乙是一個根

據(jù)某地的地理位置設計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即EABC）大約

為15。，夏至正午時太陽高度角（即0ADC）大約為60。，圭面上冬至線與夏至線之間的距

離（即。8的長）為a,則表高（即AC的長）為（注：sinl5°=歷史）（）

4

A.(2一回B.^-aC.與

8.（2024?山東聊城?二模）如圖，在平面四邊形A5CD中,

AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,記VABC與ACD的面積分別為岳,邑，則S?-，的值為

D

A.2B.6C.1D.—

2

二、多選題

9.（2023?河北秦皇島?二模）平面直角坐標系中，VABC的三個頂點的坐標分別是

4（0,2）,B（l,0）,C（4,l）,則（）

A.sinX<sinCB.VABC銳角三角形

7

C.VABC的面積為彳D.VA3C的外接圓半徑大于2

2

10.（2024?重慶?三模）在VABC中，角A5C的對邊為。力，。,若6=2右,c=2,C=工，則

6

VA5c的面積可以是（）

A.73B.3C.2后D.3A/3

11.（2024?廣西南寧?三模）銳角三角形ABC中，角A,B,C所對應的邊分別是。，b,

c,下列結論一定成立的有（）.

A.sin2A+sin2B<sin2CB.sin（A+B）=sinC

C.若A>_B,貝!JsinA>sin3D.若A=2,則工<8（工

442

三、填空題

12.（2024?山東泰安?一模）在VABC中，內角A,3,C的對邊分別為a,6,c,已知

2ccosB=2a-b,貝!IC=.

13.（2021?全國?高考真題）記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為百，

B=60°,a2+c2=3ac,貝l|6=.

14.（2024?江蘇揚州?模擬預測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學家劉徽所著的測量學著作，書

中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學打算用學到的解三角形知識測

量某建筑物上面一座信號塔的高度.把塔底與塔頂分別看作點C,D,CD與地面垂直，小

李先在地面上選取點A,B,測得43=20晶，在點A處測得點C,。的仰角分別為30°,

60°,在點8處測得點。的仰角為30°,則塔高。為m.

四、解答題

15.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，瓦c,已知

asinB=-JGbcosA,角A的平分線交邊2C于點￡),且AD=1.

(1)求角A的大小;

(2)若BC=2逐，求VABC的面積.

16.(2024?貴州黔東南?二模)在VA3C中，角A,民C的對邊分別為a,6,c,且

A+C

6sin（A+B）—csin=0.

2

⑴求B;

(2)若匕=5,a+c=8,求VABC的面積.

17.(2023?湖南?模擬預測)VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

acosB-2bcosA=b-\-c.

⑴求cosA；

(2)若〃=g，VABC的面積為20，求VABC的周長.

18.(2022?江蘇南京?模擬預測)記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

.5?？诙稩弘1口sinABADsinZCAD3

A=—,。是邊3C上的一點，且——-——+--------=—.

6bc2a

(1)證明：AD=^a；

(2)^CD=2BD,求cos/ADC.

19.(2022高一下?四川成都?競賽)如圖，在0ABe中，AC13BC.延長54到。，使得AO=

IT

2,>ZCDA=-.

(1)若AC=&，求ODBC的面積；

(2)當AC<AD時，求0AC。面積的取值范圍.

20.(21-22高二下?山西?期中)在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

bcosB=—acosC+—ccosA.

22

⑴求角5

⑵若6=6，c>b,求2c—a的取值范圍.

【能力提升訓練】

一、單選題

13

1.（2024?廣東韶關?二模）在VABC中,tanA=—,tanB=-.若VABC的最長邊的長為

45

后.則最短邊的長為（)

A.&B.后C.2

2.（2024?湖北?模擬預測）在VABC中,已知=BC=2近,eg若存在兩個這

樣的三角形ABC,則x的取值范圍是（)

A.12也+8C.(2,272)D.(72,2)

3.（2024?安徽?二模）已知VABC的內角A,B,C對邊分別為b,c,滿足

tzsinA+c(sinA+sinC)=2sinB,若b=2,則VABC面積的最大值為()

AA/3R6「石g

4632

4.（2024?湖北?一模）如圖，在.ABC中，/BAC=120,AB=2,AC=1,。是BC邊上靠近B

點的三等分點，E是8C邊上的動點，則AE.CZ）的取值范圍為（）

10幣741047

B.C.D.

353

5.（22-23高一下?福建廈門?期末）一個人騎自行車由A地出發(fā)向正東方向騎行了4km到達

8地，然后由8地向南偏東30。方向騎行了6km到達C地，再從C地向北偏東30。方向騎行

了16km到達。地，則A,。兩地的距離為（）

A.4MkmB.10V3kmC.2屈kmD.26km

6.（24-25高二上?安徽馬鞍山?階段練習）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標志性建筑之一.

某同學為測量鐘樓的高度"N,在鐘樓的正西方向找到一座建筑物A8,高為。米，在地面

上點C處（3,CN三點共線）測得建筑物頂部A,鐘樓頂部"的仰角分別為a和夕，在

A處測得鐘樓頂部”的仰角為/,則鐘樓的高度為（）米.

asin(a+')sin尸asin(a+夕)sin/3

?sinasin('—y)*sincrsin(y0-7)

asin(a+7)sin〃asin(a+/)sin/

?sincrsin(/?-7)*sin,sin(/7一/)

二、多選題

7.(23-24高一下?山東泰安?階段練習)在VABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,

c,下列命題正確的是()

A.若A=30。，b=4,a=3,則VA5C有兩解

B.若A=60。，a=2,則VA5C的面積最大值為2月

C.若a=4,b=5,c=6,貝IJVABC外接圓半徑為我

7

D.若acosA=6cos3,則VABC一定是等腰三角形

8.(2022?山東濟南?模擬預測)如圖所示，設單位圓與無軸的正半軸相交于點41,0),以尤

軸非負半軸為始邊作銳角a,B,a-p,它們的終邊分別與單位圓相交于點片，4，

A.用p的長度為

B.扇形。&P］的面積為

C.當4與尸重合時，\AP±\-2sin/?

JT1

D.當時，四邊形oa&Pi面積的最大值為萬

9.（2024?廣東?一模）喋吟是一種雜環(huán)有機化合物，它在能量的供應、代謝的調節(jié)等方面都

有十分重要的作用，它的化學結構式主要由一個正五邊形與一個正六邊形構成（設它們的

邊長均為1）,其平面圖形如圖所示，則（）

B.。到AC的距離是8s36。

C.。是VABC的內切圓的圓心D.tanNABC<tantan/C4B

三、填空題

10.（2024?全國,模擬預測）在ABC中，",b,c分別是角A,B,C的對邊，若

,2tanA-tanB

cr+b1=2024c2,貝I」----------------的值為

tanC(tanA+tanB)

JT

IL（2024?廣東東莞?模擬預測）在VABC中，A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若B=

b+c

c=2，=g，則的值為.

°ABCsinB+sinC

12.（23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習）如圖，在平面凸四邊形A5CD中，ZADB=90°,

CD=\,BC=2,AD=BD,/BCD為鈍角，則對角線AC的最大值為一

13.（2024?遼寧?一模）已知在VABC中，內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,其中

a=4,46cosC=y/3b-csinA.

⑴求A;

⑵已知直線AM為,BAC的平分線，且與BC交于點若4知=述，求VABC的周長.

3

14.（2024?貴州貴陽?一模）記VABC的內角A3,C的對邊分別為a,6,c,已知

asinC=yficcosA.

⑴求角A；

⑵若a=2,求VABC面積的最大值.

15.(2024?廣東梅州?二模)在VABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c

y/3acosB-bsinA=,c=2,

⑴求A的大?。?/p>

(2)點。在BC上，

(0)當ADJ.AB,且AD=1時，求AC的長;

(0)當BD=2DC,且AD=1時，求VABC的面積SABC

16.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)在VABC中，已知角A,B,C所對的邊分別為。，b,

3ab

asin2-+tein2-

222(a+/?+c)

⑴求角。的大小;

(2)若VABC為銳角三角形，求厘的取值范圍.

C

17.(2024?云南?二模)VABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,2是A與C的等

差中項.

(1)若==*,判斷VABC的形狀；

⑵若VABC是銳角三角形，求一誓的取值范圍.

tanA+tanC

18.(2024?廣東?模擬預測)在VABC中，角A3,C的對邊分別是a,6,c,且

(/?+c)cosA=a(cosB-cosC).

(1)證明：A=2B.

h

(2)若VABC是銳角三角形，求士的取值范圍.

a

19.(2024?河北衡水?一模)在VABC中，內角A,3,C所對的邊分別是a,b,c,三角形面積

為S,若。為AC邊上一點，滿足且叵s+McosC.

3

⑴求角B；

21

⑵求而十而的取值范圍.

20.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)已知VABC的內角ABC的對邊分別為。也“3。的面

積為ga(csinC+Z7sinB-QsinA).

⑴求A；

(2)若。=2,且VABC的周長為5,設。為邊8c中點，求AD

21.(2024?山西?一模)VABC中角A3,C所對的邊分別為a,b,c,其面積為S,且

4S=b2+c2-a2.

(1)求A；

(2)已知“=2應，求S的取值范圍.

22.(2024?北京三模)已知函數(shù)/(x)=ZA/^sinoxcosox+Zcos?o尤,(o>0)的最小正周期為

兀.

⑴求。的值；

⑵在銳角VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.c為f(x)在卜，本上的最大值，

再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，求。-匕的取值范圍.條件

①：acos5+bcosA=2ccosC；條件②：2〃sinAcosB+bsin2A；條件③：NABC

的面積為S,且s=>W+」c)注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.

4

2025二輪復習專項訓練14

解三角形

［考情分析］解三角形是高考考查的熱點，三角恒等變換單獨考查的題目較少，多以解三角

形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應用三角恒等變換進行化簡，綜合性較強，

難度中等.

【練前疑難講解】

一、正弦定理、余弦定理

1.正弦定理及其變形

cihC

在△ABC中，而^=而西=而^=2氏（氏為△A8C的外接圓半徑）.變形：〃=2RsinA,sinA

__a

=2Rfa'?b：c=sinA：sinB：sinC等.

2.余弦定理及其變形

在△ABC中，/=〃+/—2bccosA.

/十，一次

變形：b2+c2—a1=2bccosA,cosA=--------------.

二、解三角形在實際生活中的應用

求實際問題的注意事項

（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量己知，則直接解；

若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解.

（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理.

三、正弦定理、余弦定理的綜合應用

以三角恒等變換、正弦定理、余弦定理為解題工具，常與三角函數(shù)、向量、基本不等式、平

面幾何等交匯命題.

一、單選題

冗

1.（2024?全國?圖考真題）在VABC中，內角A,3,C所對的邊分別為。,b,c,若B=g,

b1=—ac,貝!|sinA+sinC=（）

4

A2aRA/39_V73屈

1313213

2.（2024?貴州遵義?三模）在VABC中，角A氏C的對邊分別為〃也c,2為AC的中點,

已知c=2,BD=^~,acosB+bcosA=-2ccosB,則VABC的面積為（）

2

A.2A/3B.立C.73D.巫

22

二、多選題

3.（2024?福建廈門?二模）如圖1,扇形ABC的弧長為12兀，半徑為60,線段上有一

動點弧BC上一點N是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以A為頂點的圓錐，使得AB

和AC重合，則在圖2的圓錐中（）

A.圓錐的體積為216兀

B.當〃為中點時，線段在底面的投影長為3e

C.存在M,使得

3回

D.MN*

2

4.（2024?浙江?三模）已知ABC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且

2,sin2A+C=/）.sinA）下列結論正確的是（）

A.B=-

3

B.若a=4,b=5,貝|ABC有兩解

C.當=時，ABC為直角三角形

3

D.若ABC為銳角三角形，則cosA+cosC的取值范圍是（當,1]

三、填空題

5.（2024高三?江蘇?專題練習）在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

已知c=2asinC-2ccosA,則sin2A=；若。=2,則VABC面積的最大值為

6.（2023?山東青島?一模）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖

所示的四邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園.已知/D4B=90。，ZDBA=45°,

ZBAC=30°,ZD3C=60。，AB=2a千米，則CD=千米.

四、解答題

7.(2023?全國考真題)已知在VASC*中，A+B=3C,2sin(A—C)=sinB.

⑴求sinA；

(2)設AB=5,求AB邊上的高.

8.(23-24高三上?山東棗莊?期末)在VA5C中，角A氏。所對的邊分別為〃若

2a+bcosA—c=Z?tanBsinA.

⑴求5;

⑵若VABC為銳角三角形，求但誓史的取值范圍.

sinC

參考答案:

題號1234

答案cDBCDACD

1.C

11Q

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=7,再利用余弦定理有/+，=公，由正弦定理得

34

到sidA+siY。的值，最后代入計算即可.

■TJQ41

【詳解】因為5=彳,〃=QC,則由正弦定理得sinAsinC=xsin25=；.

3493

9

由余弦定理可得:匕?="+c2-ac=—ac,

4

131313

BP：a2+c2=—ac根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

4f412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因為A,C為三角形內角，IjjljsinA+sinC>0,貝！JsinA+sinC=Y^.

2

故選：C.

2.D

【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角5,在向量化求出邊〃，再根據(jù)三角形的面積公

式即可得解.

【詳解】因為acos3+8cosA=—2ccos5,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=—2sinCcosB,

即sin(A+B)=sinC=-2sinCeosB,

又sinC>0,所以cosB=—,

2

又所以2=q,

在VABC中，。為AC的中點，貝|2。=3（姑+2。）,

貝W=-（BA+BC）=-jBA+BC+2BABCJ,

即7=w（4+/—2Q）,解得〃=3（a=_］舍去），

所以S“Bc=gx2x3x#=￥.

故選：D.

3.BCD

【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設/在底面上的投影

為X,利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質定理可判斷C；結合

AB1M.N,可求得的長，即可判斷D.

【詳解】對于A,設圓錐的底面半徑為R,高為心由題意知2位=12私.5=6,

圓錐的母線長為6近，故%=46@2一62=6,

故圓錐體積為v=gx?iR2X%=；x71x36x6=7271,A錯誤；

對于B,當M為AB中點時，設M在底面上的投影為則〃為03的中點，

則HV為線段在底面的投影，

0H=3,而NNOH=T2Q,ON=6,在VOH2V中,

HN2=OH-+ON2-2OH-ON-cosZ120°=9+36-2x3x6x63,

即HN=3用，即線段建V在底面的投影長為34，B正確;

N

對于C,作NT_LO3于T,作力氏_L42于M],連接M",

設圓錐底面直徑為BE,由于AB=AE=6&,BE=12,

BPAB2+AE2=BE2,ABLAE,則7M1〃AE,

ZNOE=60,貝h.ONE為正三角形，故T為OE的中點，

33

則27=72后，即為AB的四等分點，

44

由于平面ABE_L底面BNE,平面底面aVE=3E,NTu底面BNE,

NT1BE,故NT_L平面ABu平面ABE,故NT_LAB,

又力77W,NT=T,TM、,NTu平面NTMi,故AB,平面NnW一

M]Nu平面NZM],故A8_LAf]N,

故當M與重合時，MN1AB,C正確;

對于D,由C的分析知，AB-N,而TN=6巧=3日

故MNmm=M、N=JTM+(TMi)2=J(3g『+[：x6后]=考^,D正確,

故選：BCD

4.ACD

【分析】通過正弦定理、誘導公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理

即可判斷B；通過余弦定理及〃-0=且?？傻谩?2c或c=2〃，即可判斷C；通過求A的取

3

值范圍'〈Av',并將cosA+cosC=sin(A+3即可判斷D.

626

【詳解】對于A,因為含.sin241c*sinA,

297i—B

所以由A+B+C=TI及正弦定理得，sinA-sin--^―=sinB.sinA,

2,B

由誘導公式得，-T^sinA-cos-y=sinB-sinA,

2c°d=2sidB

因為人￡（0,兀），故sinAwO,所以國cos—,

222

ttiWMcos—(V3sin--cos—)=0,即cos—sin(---)=0,

222226

所以cos《=0或sing—*=O,即5=兀（舍）或5=］，故A正確;

對于B,由余弦定理得"2="+/—2〃CCOS5,即25=16+(?_8xcxg,得。2一4°一9=0,

由△=(-守-4x(—9)=52>0,所以c=2+而(負值舍)，即VABC有一解，故B錯誤；

對于C,因為〃—0=1〃，兩邊平方得〃2—2〃°+，=/，

33

由余弦定理得b2=a2+c2-2〃ccosB=a2+c2-ac

由兩式消〃得，2〃一5敬+2c2=0,解得a=2c或c=2〃，

由B=°=2c,6=&解得ZA=],

由3=1,c=2a,b=6a解得NC=];

故VABC為直角三角形，故C正確；

對于D,因為VA3C為銳角三角形，且8=]，

0<A<-[o<A<-

」兀/兀

所LL以｛2°2n￡<A<7，

八〃兀?Z71.71O2

0<C<—0<--------A<—

I2132

即cosA+cosC=cosA+cos(--A)=—cosA+sinA=sin(A+—),

3226

所以A+所以sin(A+少e(9,1],故D正確.

o3362

故選：ACD.

32+V7

□.----------

43

【分析】先由正弦定理化邊為角整理得到sinA-cosA=g,兩邊平方即得sin2A的值；再

利用同角的三角函數(shù)基本關系式求得sinAcosA的值，利用余弦定理和基本不等式求得兒

的最大值，從而得到VABC面積的最大值.

【詳解】因為c=2QsinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因為。sinCwO,則有sinA-cosA--,

ii33

所以（sinA-cosA）?=—,得l-2sinAcosA=—,即2sinAcosA=—,故sin2A=—；

4444

3（）,故

因2sinAcosA=a,AG0,7TAe|o,g可得sinA>0,cosA〉0,

..1+幣

.4A1sinA=--------「

sinA-cosA=——r）曰.人

由<2,解得vr4-，倚c3=—1Oc,smA=—x--------be,

幣-1ABC224

sin2A+cos2A=1cosA=--------

4

由余弦定理得，cosA=——=,所以/+。2=4+^^—”c,

2bc42

由82+。2=4+——^bc>2bc當且僅當Z?=c時等號成立，可得be<7j==—(5+y/7),

25-J79

SABC<-xi±^x-(5+V7)=^^,即VABC面積的最大值為巨史.

ABC24933

故答案為：I;2也.

43

6.273

【分析】在1154c中由正弦定理可得AC,在△ZMC中由余弦定理可得CD.

ABAC

【詳解】在三角形5AC中由正弦定理得

sinZACBsinNABC

所以---------述------=—————

sin(180-30-45-60)sin(45+60)

即WL=___"___,

sin45sin45cos60+cos45sin60

4=A。

所以#+0,

4

所以AC=#+也，

又/D4B=90。，ZDBA=45°,所以△ABO為等腰直角三角形，所以A￡>=AB=2旨,

在△ZMC中由余弦定理得

CD=ylAC2+AD2-2ACADcosZDAC

=+何?+僅0『_2（?+0）X20COS（9O-30）=2若，

所以0=26.

故答案為：26.

7.（i）2^2

10

（2）6

【分析】（1）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求sin瓦再由正弦定理求出

b,根據(jù)等面積法求解即可.

【詳解】（1）A+B=3C,

jr

二兀一C=3C,即。=—,

4

又2sin(A—C)=sinB=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

JT

即tanA=3,所以0<A<一,

2

;.sin-=題

Mio

(2)由(1)知，cosA=j—=,

Mio

275

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—+

<275

5x------

b

由正弦定理,,可得6—^-=2>/io,

sinCsinB

V

:.-ABh=-ABACsmA,

22

h=b-sinA=2\/10x=g.

10

71

8.(1)5=§;、

(2),2+g.

7

【分析】（1）利用邊化角及三角恒等變換公式整理計算即可;

sinA+sinB=叵11

+

（2）通過角的轉化，借助三角恒等變換公式，得到sinC一丁C2，利用

tan—

2

C的范圍，即可求出結果.

【詳解】（1）因為2。+灰:osA-c=6tanBsinA,整理得

2a-c八一sinBsinA-cosAcosBcos(A+B)cosC

--------=tanBsinA-cosA=-----------------------------

bcosBcosBcosB

所以2acosB-ccosB=bcosC,

由正弦定理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

1JT

因為0<A<7l,0<5<7l所以sinAwO,cos2=—,所以B=—.

23

(2)因為,ABC為銳角三角形,2=會所以。＜C或且。苫，

所以Ce

._,,sinCH—+sin—/—

解法］.sinA+sinB_13)3_<3cosC+11

sinCsinC2sinC2

Q

02cos2—1

_V32.1

——■-----------廠---------■-\—

2。2,

tfan—

2

C

因為Cw，所以萬c、,tanw(2-1j,

坦1

所以C+Ie,2+V3

tan——7

2

口口sinA+si113A如/士^r1(若+1。3

即一——1的4取值范圍是一^，2+。3.

sinCI2J

..71

解法2,sinA+sinB_13)3_v3cosC+11

sinCsinC2sinC2

2

(cosC+1)11_>/3I2111

l-cos2C22Vl-cosC2

2

因為Ce所以COS。G，得

1-cosC

所以學2

-l+-e,2+百

1-cosC