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專(zhuān)題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問(wèn)題(全題型壓軸題)
目錄
①對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法......................................................1
②差值代換法........................................................3
③比值代換法........................................................4
④對(duì)數(shù)均值不等式法..................................................5
①對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法
1.(多選)(2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末)定義在R上的函數(shù)滿足/■'(力=d+/(力,且/(0)=1,
則下列說(shuō)法正確的是()
A.“X)在x=-2處取得極小值
B.有兩個(gè)零點(diǎn)
C.若Vx>0,/(力>左恒成立,則上<1
D.若玉「x2eR,x^x2,/(±)=/(々),則西+/<-4
2.(2023春?河北張家口?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(x)=xlnx.
⑴求函數(shù)/'(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若方程〃x)=2x-l的兩個(gè)解為毛、X%,求證:x,+x2>2e.
3.(2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=三手,aeR
⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間;
若為,演是方程八句=等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,證明:
(2)a=l,1X,+X2>2.
4.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃到=%-向仁尤卜。1以.=1為其極小值點(diǎn).
⑴求實(shí)數(shù)。的值;
⑵若存在AH%,使得/(%)=/(不),求證:x{+x2>2.
5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(尤-e-De'-gef+eZx.
⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)若/'(xj=/(x2)=/(x3)(xi<三),求證:工2'<e-l.
②差值代換法
1.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=e*-ax?-ox,h{x)=e'-2x-Inx.其中e為自然對(duì)數(shù)的底
數(shù).
(1)若/(x)j(M-g(x),討論了(無(wú))的單調(diào)性;
2
(2)已知。>0,函數(shù)g(尤)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)玉,巧,證明:x,+x2<ln(4a).
2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)"x)=;e2*-(a+l)(x-l)e,+gax3,〃x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).
⑴若/(無(wú))在(0,+8)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;
(2)若求證:方程/'(x)+(a+l)xe,=。在(0,+“)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根和七(為<々),且
3.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)1-加(meR).
⑴討論〃力的單調(diào)性;
⑵若〃尤)有兩個(gè)零點(diǎn)均和々,設(shè)毛=七巴,證明:/(x0)>0(尸⑴為的導(dǎo)函數(shù)).
③比值代換法
1.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x21nx-a(aeR).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)4、4,證明1<玉+工2<.
2.(2023?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)??既?己知函數(shù)/(x)="+(a-l)lnx+J,oeR.
⑴討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于%的方程〃龍)=祀,-111%+^有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根巧、々,
(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;
,一、4Te"e*2a
(ll)求證:1--->-----
X2菁%工2
3.(2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)己知函數(shù)〃x)=x(lnx—a),g(x)=^-+a-ax.
⑴當(dāng)時(shí),/(x)N-lnx-2恒成立,求a的取值范圍.
2
(2)若g(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為占,巧,求證:XjX2>e.
4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-4+l(aeR且4片0).
尤
(1)若函數(shù)AM的最小值為2,求。的值;
⑵在(1)的條件下,若關(guān)于X的方程/。)=機(jī)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根和馬,且芯<%,求證:X]+z>2.
④對(duì)數(shù)均值不等式法
1.(2023春?福建廈門(mén)?高二廈門(mén)雙十中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=a尤-4-lnx(a>0)
X
⑴已知了(無(wú))在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為y=x-l,求實(shí)數(shù)。的值;
⑵已知了(尤)在定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
⑶己知g(x)=〃x)+E有兩個(gè)零點(diǎn)看,巧,求實(shí)數(shù)。的取值范圍并證明為%>e?.
2.(2023春?福建莆田?高二校考期中)已知函數(shù)〃尤)=lnx-ar?.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性:
(2)若占,%是方程/(力=0的兩不等實(shí)根,求證:片+考>2e;
3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x-l)-"[2).
⑴若f^)>0對(duì)Vxe[2,y)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)已知方程的二D=上有兩個(gè)不同的根毛、巧,求證:%+%>6e+2,其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的
x-l3e
底數(shù).
4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x—sinx—tanx+alnx+b,xG^0,yj.
⑴求證:2xvsinx+tanx,
⑵若存在毛、且當(dāng)時(shí),使得/&)=/?)成立,求證:學(xué)<L
專(zhuān)題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問(wèn)題(全題型壓軸題)
目錄
①對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法......................................................1
②差值代換法........................................................3
③比值代換法........................................................4
④對(duì)數(shù)均值不等式法..................................................5
①對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法
1.(多選)(2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期末)定義在R上的函數(shù)滿足/■'(力=d+/(力,且/(0)=1,
則下列說(shuō)法正確的是()
A.“X)在x=-2處取得極小值
B.有兩個(gè)零點(diǎn)
C.若Vx>0,/(力>左恒成立,則%<1
D.若玉「x2eR,Xj^x2,/(±)=/(々),則西+/<-4
【答案】AD
【詳解】因?yàn)?'(x)=e,+/(x),所以、(x):/(x)=i,
e
令g(x)=勺,則g,(x)J7%,
所以設(shè)g(x)=里L(fēng)x+C,所以〃x)=(x+c)e)
又因?yàn)椤?)=c=l,所以/(x)=(x+l)eZ
對(duì)于A,因?yàn)椤▁)=(x+l)e"所以尸(x)=(x+2)e,\
令〃x)=(x+2)e*=。,得x=-2,
當(dāng)x<—2時(shí),f'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>-2時(shí),-(尤)>0,單調(diào)遞增,
所以“X)在尤=-2處取得極小值,故A正確;
對(duì)于B,令〃x)=(x+l戶=0,得x=-1,
所以/(X)有一個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)樵?0,+")單調(diào)遞增,所以x>0時(shí),/(x)>/(O)=l,
所以左W1,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)?(X)在(-哂-2)單調(diào)遞減,(-2,收)在單調(diào)遞增,
且“X)唯一零點(diǎn)為-1,當(dāng)X--8時(shí),/(%)<0且/(x)->0,
所以若叫,々eR,占*々,/(%)=/(切,
_
可以設(shè)2<x2<—1,
假設(shè)玉十工2<—4正確,下證明%1+入2<—4,即證演<一4一兀2,
因?yàn)橛?lt;-2,-3<-4-%2<-2,/(%)在(-(^,一2)單調(diào)遞減,
所以即證七),即證/(馬)>/^一4一々),
構(gòu)造/7(x)=〃x)-“T-x),Xe(-2,-1),
2x+4_1
則〃(x)=(X+2)+(-X-4+2)e*,=(x+2).—不一,
因?yàn)椤?<x<—1,所以x+2>0,e'+4>0?2x+4>0,貝Ue"""—1>0,
所以〃⑺在(-2,-1)上單調(diào)遞增,所以〃(x)>〃(一2)=/(-2)-/(-2)=0,
即石<-4-4得證,原式成立,故D正確.
故選:AD
2.(2023春?河北張家口?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(x)=xlnx.
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若方程〃x)=2x-l的兩個(gè)解為毛、演,求證:%+%>2e.
【答案】①減區(qū)間為增區(qū)間為1,+,!,極小值為了[:]=-:,無(wú)極大值;
⑵證明見(jiàn)解析
【詳解】⑴解:函數(shù)/(%)=如九的定義域?yàn)?0,+。),且尸(x)=lnx+l,
令「(同=??傻肵=g,列表如下:
1
X
e
—0+
“X)減極小值增
所以,函數(shù)“X)的減區(qū)間為1。,:),增區(qū)間為g,+。,極小值為無(wú)極大值.
(2)解:設(shè)Mx)=/(x)-2x+l=xlnx—2x+l,其中x>0,貝|〃'(x)=lnx-l,
令〃(x)<0,可得0<x<e,此時(shí),函數(shù)。力在(O,e)上單調(diào)遞減,
令〃(x)>0,可得X>e,此時(shí),函數(shù)力⑺在(e,+8)上單調(diào)遞增,
所以,%=e是函數(shù)九⑴的極小值點(diǎn),
因?yàn)楹瘮?shù)力(X)有兩個(gè)零點(diǎn)七、巧,設(shè)占</,則。<%<e<X2,
即且0<國(guó)<eV%,要證再+無(wú)2>2e,即證2>2e-±>e,
因?yàn)楹瘮?shù)九(外在(e,+oo)上單調(diào)遞增,
所以,只需證明:h(x2)>h(2e-xl),即證。(而)>/i(2e-西),
令p(x)=/z(x)—/z(2e—A:)=xlnx—(2e—x)ln(2e—X)—4x+4e,其中0<x<e,
貝!]"(x)=lnx+ln(2e-x)-2=ln(^2er-x2)-2,
因?yàn)?cx<e,則2ex-x2=-(x-e)2+e2e(0,e2),
所以,y(x)=ln(2ex-x2)-2<lne2-2=0,故函數(shù)p(x)在(0,e)上為減函數(shù),
又因?yàn)镻(e)=O,所以,p(x)>0對(duì)任意的xe(O,e)恒成立,
則〃(占)=/1(%)一/1(26-芯)>0,gp/z(jq)>/z(2e-x1),故26<%+%成立.
3.(2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/")=汨竺,aeR
⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若。=1,占,巧是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,證明:XI+X2>2.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(2-&,2+0),單調(diào)遞減區(qū)間為卜叫2-&),(2+應(yīng),+8)
⑵證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)由題可知的定義域?yàn)镽,
X?—4x+2
f'(x)
令力(力=/—以+2,貝U〃(x)=O的兩根分另I]為%=2—逝,々=2+0.
當(dāng)x<2-后或無(wú)>2+0時(shí),/'(“<0;
當(dāng)2-夜<x<2+應(yīng)時(shí),,勾>0;
所以“尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2-應(yīng),2+0),單調(diào)遞減區(qū)間為(f,2-夜),(2+0,+8).
(2)原方程可化為In%-%?+%+1=0,
設(shè)g(x)=lnx—%2+%+1,則g<x)_J__2x+]=_2.+丁+1,x>0.
xx
令g'(尤)=。,得%=1.???在(。,1)上,gz(x)>0,在(L+°o)上,g'(%)<0,
g("在(O,l)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
g(x)<g⑴=-1+1+1=1>0,且當(dāng)%>0,%趨向于0時(shí),g(x)趨向于華,
當(dāng)%趨向于+00時(shí),g(x)趨向于-8.
則g(%)在(。,1)和(I+00)上分別有一個(gè)零點(diǎn)七,演,
不妨設(shè)。<王〈1〈工2,0<<1,2-石>1,
設(shè)G(x)=g(x)-g(2-%),貝UG(x)=(1皿-%2+無(wú)+1)_[1口(2-%)-(2-%)2+(2一力+1]=\wc-ln(2-x)-2x+2,
12f—4x+2
Gr(x)=-+-2=
2—xx(2-x)
當(dāng)0v九v1時(shí),G(九)>0,
G(x)在(。,1)上單調(diào)遞增,而G⑴=0,
.,.當(dāng)0<x<l時(shí),G(x)<0,g(x)<g(2-x),即g(石)<g(2—玉).
8(々)=8(不),
g(9)<g(2-%).
g(無(wú))在(1,叱)上單調(diào)遞減,
>2—玉,即%+%>2.
4.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)"X)=x-sin[gxj-aInx,x=1為其極小值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)。的值;
⑵若存在工產(chǎn)馬,使得玉)=/。2),求證:X]+%>2.
【答案】⑴。=1
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)/⑺的定義域?yàn)椋?,+8),
TT(TV\(1
f\x)=1--cos—x,依題意得了⑴=1-〃=0,得4=1,
2v2/x
jr
止匕時(shí)/'(x)=1-5COS
、1/c—_L八兀兀八兀,兀、兀1,
當(dāng)Ovxvl時(shí),0<一%<一,0<—cos—x?->1故[(尤)<0,7⑴在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,
222y2J2x
當(dāng)l<x<2時(shí),上〈色尤〈兀,£cos(gx]<°,-<1>故/'(無(wú))>0,/⑺在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,
222\27x
故/(對(duì)在X=1處取得極小值,符合題意.
綜上所述:a=l.
(2)由(1)知,/(x)=x-sin(l-lnx,
不妨設(shè)。<再</,
當(dāng)1V占<三時(shí),不等式尤1+%>2顯然成立;
當(dāng)。<尤1<1,922時(shí),不等式玉+%>2顯然成立;
當(dāng)。<芯<1,0<々<2時(shí),由(1)知/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,因?yàn)榇嬖跓o(wú)I#尤2,使得/(%)=/(々),所
以1v々v2,
要證%+%>2,只要證石>2—9,
因?yàn)?<々<2,所以0<2-%2<1,又/(九)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,
所以只要證/(%)</(2-々),又/&)=/(%),所以只要證/(%)</(2-%),
設(shè)尸(x)=/(x)-f(2-x)(l<x<2),
則尸《I一凈2X)
c/11、兀/(兀)/兀、、
=2-(―+----)-—(cos—X+COS(7l--x))
x2-x2k2J2
=2c-(/一+-]--)、-—兀/(cos—兀x-cos(/—兀x)、)、
x2-x212J2
=2一d+J),
x2-x
令g(無(wú))=2_(工+;^—)(l<x<2),14-4x
x2-x(2-x)2X2(2-X)2
因?yàn)?cx<2,所以g'(x)<0,g(尤)在(1,2)上為減函數(shù),所以g(x)<g⑴=0,
即F'(x)<0,
所以廠(無(wú))在(1,2)上為減函數(shù),
所以尸(x)〈歹(1)=0,即/(無(wú)2)</(2-々).
綜上所述:工+%>2.
5.(2023■全國(guó)■模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x-e-l)e*-gex2+e2x.
⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)若/(占)=/(工2)=/(%)(%<%<三),求證:與2網(wǎng)<e—l.
【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1)和(e,+向,單調(diào)遞減區(qū)間為(Le);極大值為-ge,極小值為Y+;e3
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】⑴定義域?yàn)镽,7,(x)=(x-e)ex-ex+e2=(%-e)(ex-e),
令/'(尤)=0,解得:x=e或*=1,
.,.當(dāng)xe(F,l)U(e,+8)時(shí),>0;當(dāng)xe(l,e)時(shí),尸(“<0;
\/(a)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,l)和(e,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,e);
的極大值為"1)=-1e,極小值為〃e)=+1e3.
(2)由(1)知:Xj<1,1<x2<e,x3>e.
^>F(x)=/(x)-/(2-x),l<x<e,
A2-xeCJ:1
貝UF'{x)=/'(%)-[/(2-x)]=(x-e)(e-e)+(2-x-e)(e-e)=x,[(x-e)e-+x+e—2];
令G(x)=(x-e)e'-1+x+e-2,則G'(x)=(x-e+l)e'i+1;
令H(x)=G(x),則ZT(x)=(x_e+2)ei,
H'(x)>0在(l,e)上恒成立,:.H(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,
.-.H(x)>H(l)=3-e>0,
.?.G'(x)>0在(l,e)上恒成立,,G(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,.?.G(x)>G(l)=0,
???尸'(x)>0在(l,e)上恒成立,.?.尸(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,.?.P(x)>—l)=0,
■〃2-x)對(duì)任意xe(l,e)恒成立.
.?./(X2)>/(2-X2),又〃%)=〃馬),-以,
,."(X)在(-8,1)上單調(diào)遞增,x(,2-%2e(^?,l),:.xt>2-x2,即/+芍>2;
令zn(x)=/(x)-/(2e-x),l<x<e,
則=/,(x)+[〃2e-x)]=(x-e)(e*—e)+(2e-x-e)(e2eT-e)-(^-e)(e'-e'e'T);
2exexee
...>=e'-e-在(1,e)上單調(diào)遞增,:,e-^-<e-e=0,
加(尤)>0在(l,e)上恒成立,在(l,e)上單調(diào)遞增,
m(x)<m(e)=0,/(x)</(2e-x)對(duì)任意xe(1,e)恒成立.
??,x,e(l,e),.?./(x2)</(2e-^).又/(蒼)=〃玉),.?.〃w)</(2e-*),
;在(e,+oo)上單調(diào)遞增,且毛,2e-9e(e,+<x>),x3<2e-x2,x2+x3<2e;
由西+工2>2得:_%_迎<_2,-x,+%,)+(-%[-x2)<2e-2,—~~—<e-l.
②差值代換法
1.(2023,全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=e*-ax2-or,h(x)=ex-2x-lnx.其中e為自然對(duì)數(shù)的底
數(shù).
(1)若"x)=〃(x)—g(x),討論〃尤)的單調(diào)性;
2
(2)已知。>0,函數(shù)g(尤)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)與,巧,證明:%1+x2<ln(4(7).
【答案】(1)當(dāng)aWO時(shí),函數(shù)AM在(0,+⑹上單調(diào)遞減;當(dāng)。>0時(shí),函數(shù)/*)在(o,:]上單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增;(2)證明見(jiàn)解析.
【詳角軍】角麻(1)/(x)=h(x)—g(x)=ex-2x-Inx—ex+ax2+ax=ax2+(a-2)x-lnx(x>0),
.zc、12a/+(〃一2)%一1(2%+l)(ox-l)/
/'(X)=2QX+(Q—2)——=------------——=-----------(x>0),
XXX
(i)當(dāng)?!?時(shí),r(x)<0,函數(shù)/3在(0,+8)上遞減;
(〃?)當(dāng)。>0時(shí),令((無(wú))>0,解得x>2;令/'(x)<0,解得0<%<!,
aa
;?函數(shù)在(。,「遞減,在[,+[(遞增;
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)/(九)在(。,+8)上單調(diào)遞減;
當(dāng)4>0時(shí),函數(shù)/(x)在(o,:)上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
一{eX}—2ax[—a=G
(2)證明:g\x)=ex-2ax-a,依題意,不妨設(shè)玉<馬,貝叫刀。八,
2
\e-2ax2-a=0
兩式相減得,2“=上之,
石~X2
因?yàn)椤?gt;0,要證玉+x,<ln(4°2),即證三土三<in2a,即證e華〈空二e,
\)2石_尤2
X\-X2
兩邊同除以即證(%]_/)6丁
令/=石-%(%<0),即證痙一一+1>0,
令%?)=._d+l(/<0),則"⑺=-e2e2_1;+l],
令°?)=?2-,+1],則e2-1,
)2<)
當(dāng)1<0時(shí),p'(f)<0,所以p(f)在(-℃,。)上遞減,
p(f)>p(0)=0/?,(/)<0,h(t)在(-8,0)上遞減,
二版/)>飄0)=0,即招:_/+]>0,
故X]+x?<ln(4a2).
2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=ge2,-(a+l)(x—l)e,+gox3,的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).
(1)若/(%)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
⑵若求證:方程/'(x)+(a+l)%e“=0在(0,+。)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根石,X2(西<馬),且
°3—e
3%-x<----.
2e-1
【答案】⑴(—8,e]
⑵證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)=e2x-(6?+l)xex+ox2=(e,一依)[芯一]),
^g(x)=ex-x(x>0),則g'(x)=e,一1>0,
所以g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>0,
所以令廣⑺之。,得e="之0(%>0),即〃(F(x〉0).
設(shè)〃(x)=S(x>0),則/⑺=白一了,
XX
當(dāng)xe(O,l)時(shí),//(x)<0,/?(%)單調(diào)遞減,
當(dāng)xe(l,+co)時(shí),//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增,
所以/z(x)2/z(l)=e,所以aVe,此時(shí)廣(x)N0,〃x)在(0,+功上單調(diào)遞增,
故a的取值范圍是(-00,e].
(2)要證尸(x)+(a+l)xe'=。在(0,+s)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根和%.
即證方程e2,=-依2在僅,+⑹上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根占
即證方程f=G在(。,+e)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為,三,
X
由(1)知>0)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+°°)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x—>0+時(shí),"(x)'+oo,
時(shí),/2(%)—+8,
又fi(l)=e,a<-16,
所以方程J=G在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根毛,巧,且0<%<1.
X
因?yàn)閍<-16,所以J工>4,
2
又可2)=5e<4,所以々>2,(點(diǎn)撥:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到巧的范圍)
2
易知e為=yj—aXy,e^=y[—ax2,
兩式分別相加、相減得e*+e9=/^(%+工2),e電-e',
得%+%=(々rJ(e巧+爐)二(了一芯乂心-+1)=%?2(々-%).
1X2x,21-x,
2e-ee巧e^-1
設(shè)/=%2—X,則力>1,x2+Xj=t----,
?/
所以3芯-毛=(毛+%)-2(工2-司)="—j'一—(換元,將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題)
,/、2-2
、幾/、2t
設(shè)根(。二7二一/(f>l),則7"⑺=(t'2-l<0,
e—1(eT)
9Q_
所以根⑺在(L+8)上單調(diào)遞減,所以〃?(。<告-1=一e,得證.
e—1e—1
3.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/⑴=的-廿一鞏加^^.
⑴討論八力的單調(diào)性;
⑵若〃無(wú))有兩個(gè)零點(diǎn)々和巧,設(shè)毛=七三,證明:/(^)>0(尸(X)為〃x)的導(dǎo)函數(shù)).
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)解:因?yàn)?(x)=〃ix—e,-機(jī),貝ijr(x)=〃Le”,
若〃k0,對(duì)任意的xeR,則/'(x)<0,函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(F,y);
若機(jī)>0,令/''(x)=〃z-e*=0,得x=ln7〃,
當(dāng)x<ln〃?時(shí),/,x)>0,當(dāng)x>ln/"時(shí),/'(尤)<0.
所以/(X)的增區(qū)間為(-co,ln;"),減區(qū)間為(In%,”).
綜上所述,當(dāng)加40時(shí),函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+8);
當(dāng)7">0時(shí),函數(shù)“X)的增區(qū)間為(-a>,ln〃7),減區(qū)間為(ln〃?,+co).
(2)證明:不妨令士>馬,由題設(shè)可得<,八,
2
mx2-e-m=0
e%1-%2
兩式相減整理可得m=------e---.
l~X2
為+」9不_x2
所以/(%)=/1與三e
=m—e2---------------e2,
玉-x2
_X2畫(huà)+為2__
要證/(飛)>0,即證匚二一一eM>0,即證-彳,
%一%212
令/=正/>0,即證e'_e->>2r,其中7>0,
構(gòu)造函數(shù)g(。=1一1-2『,其中r〉0,
則g,?)=e,+片,一2>2次-2=0,所以,函數(shù)g⑺在(0,+“)上單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)/>0時(shí),g(r)>g(O)=O,即e'—eT>2f,故原不等式得證.
③比值代換法
1.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=無(wú)21n尤-a(aeR).
(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;
/、2
⑵若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X]、巧,證明1<%+%<.
,單調(diào)增區(qū)間為(j,+8
【答案】⑴單調(diào)減區(qū)間為0,
⑵證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)解:因?yàn)?(x)=flnx—l("R)的定義域?yàn)?0,+。),
貝!J/qX)=2xlnx+x=x^21nx+l),
令廣")>0,解得x>5,令解得0<x<[,
所以“X)的單調(diào)減區(qū)間為0,,單調(diào)增區(qū)間為,+8.
(2)證明:不妨設(shè)玉<工2,由(1)知:必有。<百<7=<兀2.
要證占+犬2<卡,即證了2<宗一網(wǎng),即證/(%)</1[-玉]
又/(9)=/(周),即證/(占)一一占]<0.
令g(無(wú))="x)-/
貝!Jg'(%)=x(21nx+l)
令g)=g'(x),則〃(x)=2(lnx+l)+l_21n院-x]+l-1=21叱
所以網(wǎng)力在0,上單調(diào)遞減,即g'(x)在0,上單調(diào)遞減,所以g'(x)>g'=0,
所以g(x)在|0,上單調(diào)遞增,所以g&)<g=0,
2
—j=—X]j<0,所以玉+々<
即7T
接下來(lái)證明玉+々>1,
令三=f,則>1,又/(石)=/(%2),即Win±=%ln無(wú)2,所以皿玉二色]
1—t
要證1<玉+工2,即證1<玉+處,有(7+1)再>1,
不等式?+1)石>1兩邊取對(duì)數(shù),即證ln%+ln(,+l)>0,
即證?^+ln(t+l)>0,即證(z+l)ln(/+l)tint
------------------>------,
t~l
(lnx+l)(x-l)-xlnx_x-lnx-1
令〃(力=型,,XG(1,-HO),則/(%)=
(5'
X-1(1)2
1r_1
令p(尤)=x-ln九一1,其中XG(1,+GO),貝ijp'(x)=l——=--->0,
所以,p(x)在。,+8)上單調(diào)遞增,則當(dāng)X£(l,內(nèi))時(shí),P(X)>M1)=。,
x-lnx-1八
故當(dāng)xe(Ly)時(shí),“'(x)-------5—
(尤-1)一
可得函數(shù)"(X)單調(diào)遞增,可得+即、+l)ln(r+l)>號(hào),所以為+電>1,
91<玉+工2<?
2.(2023,廣東茂名?茂名市第一中學(xué)??既?已知函數(shù)/(x)=ax+(a-l)lnx+:,aeR.
⑴討論函數(shù)的單調(diào)性;
⑵若關(guān)于x的方程/(x)=xe,-Inx+g有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根4、々,
(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;
,一、卡、市爐e*2。
(||)求證:一+—>---.
x2X{XxX2
【答案】⑴答案見(jiàn)解析
(2)(i)(e,+8);(ii)證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)解:因?yàn)?(%)=ax+(Q—l)ln%+,,
x
所以尸(x)=a+^二=加+("「)1=(川)(廣一1),其中尤>0.
XXXX
①當(dāng)aWO時(shí),所以函數(shù)〃x)的減區(qū)間為(。,+e),無(wú)增區(qū)間;
②當(dāng)a>0時(shí),由丁4勾>0得x>[,由r(x)<0可得0<x<:
所以函數(shù)〃x)的增區(qū)間為&,+1!,減區(qū)間為1J.
綜上:當(dāng)aWO時(shí),函數(shù)〃尤)的減區(qū)間為(。,+“),無(wú)增區(qū)間;
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)〃尤)的增區(qū)間為,,+j,減區(qū)間為(0,£|.
(2)解:⑴方程"x)=xe*-lnx+:可化為雙工=ox+alnx,BPer+lnv=?(x+lnx).
令t(x)=x+lnx,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,
易知函數(shù)"x)=x+lnx的值域?yàn)镽,
結(jié)合題意,關(guān)于1的方程e'=S(*)有兩個(gè)不等的實(shí)根.
又因?yàn)閒=0不是方程(*)的實(shí)根,所以方程(*)可化為m=。.
t
令g?)=更,其中評(píng)0,則g,⑺
由g'?)<0可得/<0或0</<1,由g'?)>0可得/>1,
所以,函數(shù)g⑺在(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.
所以,函數(shù)g⑺的極小值為g(l)=e,
>r
且當(dāng)r<0時(shí),g(t)=Ye<0;當(dāng)f>0時(shí),則g(f)=?e>0.
由圖可知,當(dāng)”>e時(shí),函數(shù)y與g(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
所以,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(e,+8).
exie為2Q
(ii)要證---1----->------,只需證西9+%2。吃>2〃,即證e"+e'2>2a.
X2玉玉々
因?yàn)?=成,所以只需證。+"2.
由(i)知,不妨設(shè)
[t,=\na+\nt,,
因?yàn)閑'=成,所以/=lna+ln%,即{1,作差可得,2-。二1口;.
[t2=InQ+In芍A
?+1>2:+1
所以只需證片J,即只需證^—>-r-
t^-1Ing
%%
令P=?”>1),只需證lnp>2(P:l).
令/z(p)=lnp_2(0J),其中p>i,貝=_(,J、?>0,
所以〃(p)在(L”)上單調(diào)遞增,故〃(〃)>//⑴=0,即〃(p)>。在(1,+s)上恒成立.
所以原不等式得證.
3.(2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃x)=x(lnx-a),g(x)=#+a-冰.
⑴當(dāng)時(shí),/(x)N-lnx-2恒成立,求a的取值范圍.
(2)若g(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為公,巧,求證:xix2>e2?
【答案]⑴(f2]
⑵證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,(力。一小左一2恒成立,
即當(dāng)時(shí),(尤+l)lnx-ar+220恒成立,
設(shè)77(x)=(x+l)lnx—6LX+2,
所以尸(l)=2—aN0,即°?2,
F'=InXHF1—CL,
設(shè)r(x)=ln%+—+l-a,
niit(\11x—1
則r(x)=----r=—1,
尤xx
所以,當(dāng)時(shí),/(x)>0,即r(元)在[1,+8)上單調(diào)遞增,
所以r(x),r(l)=2-a^0,
所以當(dāng)時(shí),F(xiàn)(x)=r(x)>0,即尸(無(wú))在[1,+8)上單調(diào)遞增,
所以尸(x)Z尸(1)=2—a,
若/(%)20恒成立,貝i|a<2.
所以時(shí),/(x)>-lnx-2恒成立,a的取值范圍為(—,2].
(2)由題意知,g(x)=lnx-ax,
In(不々)=a(%+々)
In玉=axx/曰
不妨設(shè)玉>尤2>°,由
In-=<7(Xj-x,),
Inx2=ax2
A+1
ln(玉%2)_%+%2_%2
則
lnA玉fA-i
令一,
則喀)=*即:gM詈叱
要證>e,
只需證In(玉%)>2,
只需證—~In/〉2,
t-1
即證In/〉生二
t+1l)
即證In/-亞R〉0(r>1),
t+1
令機(jī)(7)=ln/-^^——(?>1),
v7t+1
,/\(I)
因?yàn)閃f)=5-9>0,
(+1)
所以m(r)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,
當(dāng),£(l,+oo)時(shí),m(^)>m(l)=0,
所以In―型二D>0成立,
t+1
故>巳?.
4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=lnx-@+1(acR且〃。0).
x
⑴若函數(shù)A?的最小值為2,求"的值;
⑵在(1)的條件下,若關(guān)于X的方程/(%)=根有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根芭,W,且石<%,求證:玉+%>2.
【答案】⑴。=—1
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】(1)解:因?yàn)?(%)=lnx—3+l,x>0,
x
所以廣3」+彳=卓,x>0.
XXX
當(dāng)?!?時(shí),有尸(%)>。,所以函數(shù)/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)A幻不存在最小值;
所以?!?不合題意,故a<0.
當(dāng)時(shí),令尸(0=注=0,得x=-a.
X
當(dāng)X£(0,—a)時(shí),r(x)<0,函數(shù)在(0,-。)上單調(diào)遞減;
當(dāng)工£(-4,例)時(shí),ff(x)>0,函數(shù)/(%)在(-。,+00)上單調(diào)遞增.
所以/(X)向n=/(尤)極小值=f(一。)=In(一。)一W+1=2,解得a=—1.
-Q
所以,a的值為-1.
(2)解:方法一:
由(1)知,f(無(wú))=ln尤H--1-1,%>0.
因?yàn)檎?三為方程/(x)=機(jī)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
所以lnXi+'+l=/n(J);lnx2+—+l=m(2),
%yx2
①一②得:---—j=0,即ln±=一----—|=――-
(石X2JX2\X1X2)X\X2
_Xx-X2
所以*
玉_x?t_1
令f=a(o<t<i),有玉羽比五一gf,
X2
所以,-7,從而得x+x一一7.
Ao--------A.-rX~.—-----
tIntIn?
令力(,)=/_]_21n/(0v.v1),貝ij%?)=]+,_2=[1—1]>0,
所以函數(shù)h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,即V,$(0,1),h(t)<h(l)=0,
BP21nZ,又In/v0,
1
所以Vfe(0,l),'一恒成立,即無(wú)|+%>2,得證.
---->Z
In/
方法二:
由(1)知,/(x)=lnx+—+1,x>0.
x
因?yàn)?1,%2為方程/(%)=相的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
所以lnx+'+l=機(jī),即方程lnx+,=機(jī)-1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%,%2.
XX
令G(x)=InxH—,%>0,貝!JG\x)-........-,x>0.
xxx
令G<x)=l-3=0,得%=1.
XX
當(dāng)xw(0,l)時(shí),G(x)<0,所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)%£(1,+8)時(shí),G(x)>0,所以G(x)在(1,位)上單調(diào)遞增.
因?yàn)镚Cx)_G(2_x)=lnx+L_ln(2_%)―――,
x2—x
所以0<大<1〈九2.
令0(%)=ln%+'-ln(2-1)-----,%£(0,1),
x2-x
m〃、1111-22X2-4X+4-4(1)2
則夕'(x)=--------------------------=----------------;---------=——'f<n0.
xrx1x-2(x-2)27x(x-2)x'(x-2)2x~(x-2)~
所以。(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以。(尤)>。⑴=0,即G(x)-G(2-x)>0.
所以G(x)>G(2-x),所以G(%)=G&)>G(2—M).
又G(尤)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,所以尤2>2-尤1.即尤1+尤2>2,得證.
④對(duì)數(shù)均值不等式法
1.(2023春?福建廈門(mén)?高二廈門(mén)雙十中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)十)=依-2-1門(mén)(。>0)
(1)已知/(尤)在點(diǎn)(Lf(1))處的切線方程為y=x-i,求實(shí)數(shù)。的值;
(2)已知/(尤)在定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
⑶己知g(x)=〃x)+£有兩個(gè)零點(diǎn)七,巧,求實(shí)數(shù)。的取值范圍并證明占W>e2.
【答案】⑴。=1
⑵/
(3)0<?<-,證明見(jiàn)解析
e
【詳解】⑴因?yàn)樾?=依
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