高考數(shù)學一輪專項復習知識清單-三角函數(shù)的概念與三角公式應用（含解析）

三角函數(shù)的概念與三角恒等變換

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構建?里里循0永紿

角的概念］--［象源角］

Y終邊相同的角）

Yo知識點一任意角與弧嬴避01終邊相同的角的旃

「「取度教公式）型02根一知角碓寒的范圉

遜03席的而鈿鰥;逾

翅04層隧瓠長與面畫用

K扇形面積公式1j

三角函數(shù)的定義

-±1、

三角函數(shù)在各象限符號

。知識點二任意角的三角函數(shù)三正切、四融型10

型02判皆三角函數(shù)的符號

正弦線

凝03三角函數(shù)哪應用

三角函數(shù)的概念三角函數(shù)線余弦愛

與三角公式應用線

p.平方關■:ska-C—0=1

同角三角函數(shù)基本關森一商級系sin-anasina,cosa.tan卸一

,知識點三同角三角函數(shù)基本關系式型02sina、cosa齊次式?為切

L基本關系式的幾瓶獲，i^^03sina=cosa,sinacosafiST^

°與誘導公式

霞04利用話導公式化簡求值

三角函數(shù)的誘導公式一（奇變偶根、符號舌象源

型01兩毓］"的三角公式正序臉用

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式型02二倍角公式號S隼應用

型03

。知識點四三角恒等變換公式二倍角^5：

整04三角恒飆臺情求值

埔助角型05三角恒融按給值求角

轆06三角恒敏蠟管化簡

口識盤點?叁幅訃與

知識點1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除

端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，

構成的角的集合是5=/磔==360。+如kb}.

2、弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

悶=4弧長用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

r

①1°=4-rad；②1rad=f兀）°

角度與弧度的換算

180

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式

知識點2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(x,y),那么

定義

y叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa“叫做a的正切,記作tana

X

I+++

II+一一

各象限符號

III一一+

IV一+一

小

斗(助(認N(L0)加味/斗(1,01

三角函數(shù)線

有向線段為正弦線有向線段。河為余弦線有向線段/T為正切線

知識點3同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式

1、同角三角函數(shù)基本關系式

(1)平方關系：sin2a+cos2a=l.

(3)商數(shù)關系：■『配‘0)

cosa

(3)基本關系式的幾種變形

@sin2oc=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sinoc)(l—sina).

②(sin?！纁osa)2=l±2sinacosa.

c/兀+匹，z]

(3)sina=tan(zcosal2J.

2、三角函數(shù)的誘導公式

公式--二三四五六

TC71?

角2E+a(《￡Z)兀+a~aTi-a—a一"va

22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana

口訣函數(shù)名改變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限

，，奇變偶不變，符號看象限，，中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識點4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a—份cos(a—￡)=cosacos￡+sin?sinP

C(a+份cos(a+￡)=cosacosyff-sinasin^

S(a-￡)sin(a—￡)=sinacos^—cosasin￡

S(a+￡)sin((z+4)=sinacosyff+cosasin夕

/小tana—tan￡

tan(a一夕)=----------；

T(a—⑶1+tanatan0

變形：tana—tanP=tan(a—￡)(1+tanatan￡)

/.c、tana+tan

tan(a+/7)=---------------；

T(a+仇1—tanatan0

變形：tanoc+tanS=tan(a+￡)(1—tanatan￡)

【注意】在公式T（a±⑶中a,P，a±￡都不等于E+：（左GZ）,即保證12110：,1211￡,1211（01士￡）都有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2oc-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2?；

C2a■w1+cos2a.1—cos2a

變71V形：cos?2a=-------------,smz9a=-------------

22

八2tana

T2atan2a=

1-tan2a

3、輔助角公式

一般地，函數(shù)/（a）=asina+bcosa（a,6為常數(shù)）可以化為｛a）=7戶PNsin（a+

或負a）=W^PPcos（a-9）］、中心11"

點突破?春分好?檢

重難點01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結構形式，統(tǒng)一為“切”的表達式，進行求值.常見的結構有：

（1）sina,cosa的二次齊次式（如asir^a+bsinacosa+ccos?。）的問題常采用“切”代換法求解；

（如asina+bcosa\

（2）sina,cos。的齊次分式［csina+dcosoj的問題常采用分式的基本性質進行變形.

2、切化弦：利用公式tana=9,把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切的時候，采用此技巧.

cosa

【典例1］（23-24高三下?河南洛陽?模擬預測）已知tana=2,則：sina+cosa=（）

2sma-cos6Z

111一5

A.—B.—C.一D.2

333

【答案】B

?左力e、rc5sina+cosa5tana+15x2+111林、生

【解析】因為tana=2,所以丁---------=--------=cci,故選：B.

2sina-cosa2tana-12x2-13

【典例2］（23-24高三下?四川?模擬預測）已知tana=2,則siVa+cosZa=（）

A.-i111

B.-C.—D.一

2345

【答案】D

sin2cr+cos26z_cos2a_1_1痂法

【解析】因為si/a+cos2a=

si.n9a+cos7asi?n2a+cos7atan7a+15,

【典例3］（23-24高三下?廣東?月考）若tana=2,貝人M2。+吧也=（）

tana

6136

A.-B.C.--D.--

5355

【答案】A

.sin2a一：一2sinycosa.c2sida\-2co&a

sin2a-\------二2~,2

【解析】tan。sin?sirfCH-co§a-

COS6Z

sina則近a+2cos2atan2a+26工小4

因tana=-------,----------—=—j-----=-.故選：AA

cosasina+cosatana+\5

重難點02sina土cosa與sinacosa關系的應用

對于sina+cosa,sincosa,sinacosa這三個式子，矢口一可求二，

若令sina+cosa引一仍，也］）,則sinacosa='？1，sina—cosa=士也二注意根據(jù)a的范圍選取正、

負號），體現(xiàn)了方程思想的應用.

【典例1］（23-24高三下?吉林長春?三模）已知戊￡（0,兀），且sina+cosa=g,則sin2a=.

24

【答案】一

【解析】因為sina+cosa=（，

所匕匚以1、1（s'ma+cosa\2=—1nsi.n2a+cos2a+2ns,macosa=—1nc2.sinacosa=--2-4-=>si.nl。a=--2-4-.

I725252525

【典例2］（23-24高三上?山東?開學考試）若。e（0,$,sine-cos*正，則tan"（）

25

A.yB.2C.-D.3

23

【答案】B

Ro

【解析】由（sin。+cosOp+（sin。—cosOp=2,sin^-cos<9=——，得（sine+cos。）？=:，

55

而。e（o,$,即sin。>0,cose>0,解得Sin0+cos0=地，

25

因此sin6=述,cos8=啦，所以tan6=*=2.故選：B

55cos。

【典例3］（23-24高三下?湖南岳陽?二模）已知〃€2,$也（修+/］+<：051胃-4=；,則（）

.11「8「8

A.coscr+sincr=—B.cosa+sina=——C.sin2a=——D.sinzcr=—

3399

【答案】C

【解析】設kez

①〃=4左時，sin||+cos||=sinfai+acos（2k7^~a）=sinz+cosz=-,

②〃=4k+1時，sinf-^-+aj+cosf\=sin12kn+^+aj+cos2kji+^~aj=cosz+sinz=,

..rm）rni

③〃=4左+2時，sml—+<7l+cos—-一a=sin（2hr+7c+a+cos（"兀+7?-a）=-sinz-cosz=

止匕時cosa+sina=——

3

f〃兀

④〃=4左+3時，sinl—+?+cos---a=sin2E+—兀+a+cos2E+—兀-a=-sina-cosa=—,

[2[2[23

止匕時cosa+sina=

3

綜合①②③④，可以排除A、B,

1

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+sin2a=1+sin2a=§,

Q

所以sin%=.，故選：C.

重難點03三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則

【注意】化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降幕與升幕等.

【典例1】(23-24高三下?廣東?二模)tan7.5°-tan82.50+2tan15°=()

A.-2B.—4C.—2D.—4-\/^

【答案】D

【解析】tan7.5°-tan82.5°4-2tan15°=sin7.5——sin82.52tan15。

cos7.5°cos82.5°

_sin7.5。cos7.5°sin27.5°-COS27.5O。.

+2tanl5°=----------------F2tanl5°

cos7.5°sin7.5。sin7.5°cos7.5°

cos15°2sin15°2(sin2150-cos2150)4cos3。。_后

—sin150cosl50sinl5°cos15°sin3(F.故選：D

2

2cos650COQ15。

【典例2](23-24高三下?重慶?模擬預測)的值為()

tanl50cosl0o+sinl0°

A2+V3□1+V3「2+V3「1+V3

-ZY?_D??JLJ?

2244

【答案】A

*2

r2COS65°COS15°2cos65°cos15°sin25°x(l+cos30°)=]+叵="^,故選：.

【角軍析】---------------A

tan15°cos100+sin10°sinl50cosl0-+sinl00cosl5°sin25°22

sin80°+cos50°V-6

【典例3］（23-24高三下?河南焦作?月考）)

sin25°2tan25°

A.男V2

B.—D.

22~T

【答案】A

sin800+cos50°V6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)6cos250

【解析】

sin25°2tan25°sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°-sin30°sin20°V6cos25

sin25°2sin25°

V3cos200+sin20°+V3cos20°-sin20°V-6cos25°A/3COS20°指cos250

2sin25°2sin25°sin2502sin25°

_百cos(45O-25。)_Ccos25。G(cos45°cos250+sin45°sin25°)76cos25°

sin25°2sin25°sin25°2sin25°

A/6COS25°+V6sin25°V6cos25°逐"、生

-------=—.故選：AA.

2sin25°2sin2502

法技巧?逆襄學露

CL

一、確定角上5wN+）終邊所在象限的方法

n

ry

法1分類討論法：利用已知條件寫出a的范圍（用左表示），由此確定竺的范圍，在對左進行分類討論，從

n

而確定上ry所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為，等份，再從x軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標上一、二

rv

四……則a原來是第幾象限的角，標號為幾的區(qū)域即角-終邊所在的區(qū)域。

n

0

【典例1】（23?24高三下?四川綿陽?三模）已知sin/tane<0,且cos6?sin。<0,則一為（）

2

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

【答案】C

?2/□

【解析】由sine?tan8<0,——<0,貝！Jcos。<0且sin。w0,又cos8?sin。<0,

cos。

兀

因此cos。<0且sin?！?，。是第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀，左EZ,

2

則:+E<g<￡+E#eZ,當上為偶數(shù)時，鳥是第一象限角，當上為奇數(shù)時，鳥是第三象限角,

42222

n

所以W是第一或三象限角.故選：c

2

zy

【典例2]（23-24高三上?廣東廣州?二調）已知sin。>0,cosa<0,則《的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sina>0,cosa<0,

jr

所以。為第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀,左EZ,

2

7i2左兀a兀2ku,?

所以7+丁W+k，壯z，

63333

_.oc..,.v?，.?、t（7i7i]（5TLII3TT5兀、――，??m

則§的終邊所在象限為仁兀）J所在象限，

即1的終邊在第一、二、四象限.故選：D.

aCYa

【典例3]（23-24高三上?甘肅天水?月考）設。角屬于第二象限，且coS'M-coS],則￡角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】Q。為第二象限角，.?.90°+k360°<a<180°+k360°ReZ）,

zy

45°+—180°<—<90°+-180。（。4）；

當無=2M〃eZ）時，5為第一象限角；當上=2〃+1（〃?2）時，5為第三象限角；

.為第一或第三象限角；

??,cos1=-cosW，??.cos^vO,?為第三象限角.故選:C.

2222

二、扇形的弧長與面積應用

1、利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

2、求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題.

3、在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【典例1］（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?月考）已知扇形弧長為圓心角為2,則該扇形面積為（）

A.—B.—C.-D.1

18363

【答案】B

【解析】設扇形所在圓的半徑為,，

因為扇形弧長為：IT，圓心角為2,可得"=TT可得r=ITB，

336

由扇形的面積公式，可得S=Lb=1x亞故選：B.

223636

【典例2］（23-24高三上?江蘇徐州?月考）已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為（）

A.2B.4C.2也D.473

【答案】D

【解析】設扇形的弧長為/,半徑為「，

所以扇形的面積為1?//=3,所以〃=6,

又扇形的周長為7+2廠，所以7+2y=4百，

當且僅當（=2］即/=2'=2百時，取等號.故選：D.

/r=6

【典例3］（23-24高三下?湖南?一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻

勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計）,

3

測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：ABx8cm,AD~2cm,AO~5cm，若sin37°a二,71a13.14,則璜身（即曲邊四邊形48cD）

面積近似為（）

圖1圖2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【答案】C

【解析】顯然“03為等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,

則c上3

4,sinN045=—

5

OA5

又sin37°e|,所以/O/B°37°，于是=180°—2義37°=106°=答，

所以璜身的面積近似為3//。鞏。1-。。2）=9警（52-乎卜14.8（cm?）.故選：C

三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點尸的坐標，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點尸到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。

2、已知角a的一個三角函數(shù)值和終邊上一點尸的橫坐標或縱坐標，求與角a有關的三角函數(shù)值

方法：先求出點尸到原點的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未

知數(shù)，從而求解問題。

3、已知角的終邊所在的直線方程（）=右,左力0）,求角的三角函數(shù)值

方法：先設出終邊上一點尸伍,左a）,a#0,求出點尸到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意

。的符號，對a進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角。的三角函數(shù)值。

【典例1］（23-24高三下?江西?二模）已知角二的終邊經(jīng)過點河（行,1）,則cosa=（）

A.—B.—C.V2D.—

332

【答案】A

【解析】根據(jù)題意廠=|OM|="拒『+a=J5,

由三角函數(shù)的定義得cosa='=嗎=逅.故選：A.

rV33

【典例2］（23-24高三下?北京朝陽?二模）在平面直角坐標系xQy中，銳角夕以O為頂點，Ox為始邊.將。的

終邊繞O逆時針旋轉;后與單位圓交于點P（x/）,若cosc=①，則了=（）

410

43_34

A.—B.——C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】如圖，

由cosa----,0<cr<—,得sina=Jl-cos2a=-------,

10210

所以y=sin(a+^)=^-(sina+cosa)==.故選：D

【典例3】（23?24高三下?河南?一模）以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊的角。，其終邊落在直線〉二%

上，則有（）

A.sina=------B.cos=—C.sina+cosa—±V2D.tana=±1

22

【答案】C

【解析】因角a的終邊落在直線V=x上，a=-+2knsga=—+2kn,keZ.

44

對于A,當a=2+2E,左eZ時，sina=—,故A項錯誤；

42

對于B,當二=孚+2左兀,左￡2時，cosa=_—1故B項錯誤；

42

對于C,當a=］+2左兀，左eZ時，sina+cosa=75，

5兀

當。=7~+2左兀,左￡Z時，sina+cosa=-逝，故B項正確;

7T

對于D項，當a=—+2E,左eZ時,sina=—,cosa=—,則tana=l；

422

當［=學+2左兀,左￡2時，sincr=，cosa=——則tana=1.故D項錯誤.故選：C.

422

四、對sina,cosd,tana的知一求二問題

1、知弦求弦：利用誘導公式及平方關系sin2a+cos2a=l求解

2>知弦求切：常通過平方關系，與對稱式sina土cosa,sinorcosa建立聯(lián)系，注意tana=""的靈活應用

cos

3、知切求弦：先利用商數(shù)關系得出sina=tanGrcosa或cosa=^4,然后利用平方關系求解

tana

【典例1］（23-24高三上?河北邢臺?期末）若sina=-4,且。為第三象限角，則tana=（)

4

V39

A.

~L3~

【答案】B

【解析】因為sinc=-3,且a為第三象限角，所以cosa=-

4

sina

故tana-a故選：B

cosaIF

3

【典例2］（23-24高三上?上海松江?期中）已知cos6=不，且sin6<0,貝UtanS的值為（）

【答案】A

_______4

【解析】由題意得si"=-Jl-cos2e=-J,貝==￡=-g，故選:

'⑸5cos?！?

5

371

【典例3］（23-24高三上?內蒙古赤峰?期中）已知tana=3,兀<a<——貝Ucosa—sina=

2

【答案】平

3兀

【解析】Qtana=3,兀<a<—,

2

3廂

cosa=理-

a1010

Vio3V10Vio

則cosi-sina=--1---二—

10105

五、利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)的步驟

任意負角任意正角0?2n的

利用誘導公式利用誘導公式一利用誘導公式二銳角三

的三角函的三角函角的三角

角函數(shù)

數(shù)二或~■*數(shù)函數(shù)或四或五

也就是：“負化