




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
三角函數(shù)的概念與三角恒等變換
(思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯)
維構(gòu)建?里里循0永紿
角的概念]--[象源角]
Y終邊相同的角)
Yo知識點一任意角與弧嬴避01終邊相同的角的旃
「「取度教公式)型02根一知角碓寒的范圉
遜03席的而鈿鰥;逾
翅04層隧瓠長與面畫用
K扇形面積公式1j
三角函數(shù)的定義
-±1、
三角函數(shù)在各象限符號
。知識點二任意角的三角函數(shù)三正切、四融型10
型02判皆三角函數(shù)的符號
正弦線
凝03三角函數(shù)哪應(yīng)用
三角函數(shù)的概念三角函數(shù)線余弦愛
與三角公式應(yīng)用線
p.平方關(guān)■:ska-C—0=1
同角三角函數(shù)基本關(guān)森一商級系sin-anasina,cosa.tan卸一
,知識點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式型02sina、cosa齊次式?為切
L基本關(guān)系式的幾瓶獲,i^^03sina=cosa,sinacosafiST^
°與誘導(dǎo)公式
霞04利用話導(dǎo)公式化簡求值
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一(奇變偶根、符號舌象源
型01兩毓]"的三角公式正序臉用
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式型02二倍角公式號S隼應(yīng)用
型03
。知識點四三角恒等變換公式二倍角^5:
整04三角恒飆臺情求值
埔助角型05三角恒融按給值求角
轆06三角恒敏蠟管化簡
口識盤點?叁幅訃與
知識點1任意角與弧度制
1、角的概念
(1)任意角:①定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形;②
分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.
(2)象限角:以角的頂點為坐標(biāo)原點,角的始邊為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系.這樣,角的終邊(除
端點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個
象限.
(3)終邊相同的角:所有與角a終邊相同的角,連同角a在內(nèi),
構(gòu)成的角的集合是5=/磔==360。+如kb}.
2、弧度制
定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad
悶=4弧長用/表示)
角a的弧度數(shù)公式
r
①1°=4-rad;②1rad=f兀)°
角度與弧度的換算
180
弧長公式弧長l=\a\r
扇形面積公式
知識點2任意角的三角函數(shù)
三角函數(shù)正弦余弦正切
設(shè)a是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點尸(x,y),那么
定義
y叫做a的正弦,記作sinax叫做a的余弦,記作cosa“叫做a的正切,記作tana
X
I+++
II+一一
各象限符號
III一一+
IV一+一
小
斗(助(認(rèn)N(L0)加味/斗(1,01
三角函數(shù)線
有向線段為正弦線有向線段。河為余弦線有向線段/T為正切線
知識點3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式
1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=l.
(3)商數(shù)關(guān)系:■『配‘0)
cosa
(3)基本關(guān)系式的幾種變形
@sin2oc=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa);cos2a=1-sin2a=(1+sinoc)(l—sina).
②(sin?!纁osa)2=l±2sinacosa.
c/兀+匹,z]
(3)sina=tan(zcosal2J.
2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式--二三四五六
TC71?
角2E+a(《£Z)兀+a~aTi-a—a一"va
22
正弦sina—sina—sinasinacosacosa
余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina
正切tanatana—tana-tana
口訣函數(shù)名改變,符號看象限函數(shù)名不變,符號看象限
,,奇變偶不變,符號看象限,,中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變指函數(shù)名稱的變化。
知識點4三角恒等變換公式
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
C(a—份cos(a—£)=cosacos£+sin?sinP
C(a+份cos(a+£)=cosacosyff-sinasin^
S(a-£)sin(a—£)=sinacos^—cosasin£
S(a+£)sin((z+4)=sinacosyff+cosasin夕
/小tana—tan£
tan(a一夕)=----------;
T(a—⑶1+tanatan0
變形:tana—tanP=tan(a—£)(1+tanatan£)
/.c、tana+tan
tan(a+/7)=---------------;
T(a+仇1—tanatan0
變形:tanoc+tanS=tan(a+£)(1—tanatan£)
【注意】在公式T(a±⑶中a,P,a±£都不等于E+:(左GZ),即保證12110:,1211£,1211(01士£)都有意義.
2、二倍角公式
sin2a=2sinacosa;
S2a
變形:1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2
cos2a=cos2oc-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2?;
C2a■w1+cos2a.1—cos2a
變71V形:cos?2a=-------------,smz9a=-------------
22
八2tana
T2atan2a=
1-tan2a
3、輔助角公式
一般地,函數(shù)/(a)=asina+bcosa(a,6為常數(shù))可以化為{a)=7戶PNsin(a+
或負(fù)a)=W^PPcos(a-9)]、中心11"
點突破?春分好?檢
重難點01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切:把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式,統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式,進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)有:
(1)sina,cosa的二次齊次式(如asir^a+bsinacosa+ccos?。)的問題常采用“切”代換法求解;
(如asina+bcosa\
(2)sina,cos。的齊次分式[csina+dcosoj的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.
2、切化弦:利用公式tana=9,把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切的時候,采用此技巧.
cosa
【典例1](23-24高三下?河南洛陽?模擬預(yù)測)已知tana=2,則:sina+cosa=()
2sma-cos6Z
111一5
A.—B.—C.一D.2
333
【答案】B
?左力e、rc5sina+cosa5tana+15x2+111林、生
【解析】因為tana=2,所以丁---------=--------=cci,故選:B.
2sina-cosa2tana-12x2-13
【典例2](23-24高三下?四川?模擬預(yù)測)已知tana=2,則siVa+cosZa=()
A.-i111
B.-C.—D.一
2345
【答案】D
sin2cr+cos26z_cos2a_1_1痂法
【解析】因為si/a+cos2a=
si.n9a+cos7asi?n2a+cos7atan7a+15,
【典例3](23-24高三下?廣東?月考)若tana=2,貝人M2。+吧也=()
tana
6136
A.-B.C.--D.--
5355
【答案】A
.sin2a一:一2sinycosa.c2sida\-2co&a
sin2a-\------二2~,2
【解析】tan。sin?sirfCH-co§a-
COS6Z
sina則近a+2cos2atan2a+26工小4
因tana=-------,----------—=—j-----=-.故選:AA
cosasina+cosatana+\5
重難點02sina土cosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用
對于sina+cosa,sincosa,sinacosa這三個式子,矢口一可求二,
若令sina+cosa引一仍,也]),則sinacosa='?1,sina—cosa=士也二注意根據(jù)a的范圍選取正、
負(fù)號),體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.
【典例1](23-24高三下?吉林長春?三模)已知戊£(0,兀),且sina+cosa=g,則sin2a=.
24
【答案】一
【解析】因為sina+cosa=(,
所匕匚以1、1(s'ma+cosa\2=—1nsi.n2a+cos2a+2ns,macosa=—1nc2.sinacosa=--2-4-=>si.nl。a=--2-4-.
I725252525
【典例2](23-24高三上?山東?開學(xué)考試)若。e(0,$,sine-cos*正,則tan"()
25
A.yB.2C.-D.3
23
【答案】B
Ro
【解析】由(sin。+cosOp+(sin?!猚osOp=2,sin^-cos<9=——,得(sine+cos。)?=:,
55
而。e(o,$,即sin。>0,cose>0,解得Sin0+cos0=地,
25
因此sin6=述,cos8=啦,所以tan6=*=2.故選:B
55cos。
【典例3](23-24高三下?湖南岳陽?二模)已知〃€2,$也(修+/]+<:051胃-4=;,則()
.11「8「8
A.coscr+sincr=—B.cosa+sina=——C.sin2a=——D.sinzcr=—
3399
【答案】C
【解析】設(shè)kez
①〃=4左時,sin||+cos||=sinfai+acos(2k7^~a)=sinz+cosz=-,
②〃=4k+1時,sinf-^-+aj+cosf\=sin12kn+^+aj+cos2kji+^~aj=cosz+sinz=,
..rm)rni
③〃=4左+2時,sml—+<7l+cos—-一a=sin(2hr+7c+a+cos("兀+7?-a)=-sinz-cosz=
止匕時cosa+sina=——
3
f〃兀
④〃=4左+3時,sinl—+?+cos---a=sin2E+—兀+a+cos2E+—兀-a=-sina-cosa=—,
[2[2[23
止匕時cosa+sina=
3
綜合①②③④,可以排除A、B,
1
(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+sin2a=1+sin2a=§,
Q
所以sin%=.,故選:C.
重難點03三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則
【注意】化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化,異名化同名,異角化同角,降幕與升幕等.
【典例1】(23-24高三下?廣東?二模)tan7.5°-tan82.50+2tan15°=()
A.-2B.—4C.—2D.—4-\/^
【答案】D
【解析】tan7.5°-tan82.5°4-2tan15°=sin7.5——sin82.52tan15。
cos7.5°cos82.5°
_sin7.5。cos7.5°sin27.5°-COS27.5O。.
+2tanl5°=----------------F2tanl5°
cos7.5°sin7.5。sin7.5°cos7.5°
cos15°2sin15°2(sin2150-cos2150)4cos3。。_后
—sin150cosl50sinl5°cos15°sin3(F.故選:D
2
2cos650COQ15。
【典例2](23-24高三下?重慶?模擬預(yù)測)的值為()
tanl50cosl0o+sinl0°
A2+V3□1+V3「2+V3「1+V3
-ZY?_D??JLJ?
2244
【答案】A
*2
r2COS65°COS15°2cos65°cos15°sin25°x(l+cos30°)=]+叵="^,故選:.
【角軍析】---------------A
tan15°cos100+sin10°sinl50cosl0-+sinl00cosl5°sin25°22
sin80°+cos50°V-6
【典例3](23-24高三下?河南焦作?月考))
sin25°2tan25°
A.男V2
B.—D.
22~T
【答案】A
sin800+cos50°V6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)6cos250
【解析】
sin25°2tan25°sin25°2sin25°
sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°-sin30°sin20°V6cos25
sin25°2sin25°
V3cos200+sin20°+V3cos20°-sin20°V-6cos25°A/3COS20°指cos250
2sin25°2sin25°sin2502sin25°
_百cos(45O-25。)_Ccos25。G(cos45°cos250+sin45°sin25°)76cos25°
sin25°2sin25°sin25°2sin25°
A/6COS25°+V6sin25°V6cos25°逐"、生
-------=—.故選:AA.
2sin25°2sin2502
法技巧?逆襄學(xué)露
CL
一、確定角上5wN+)終邊所在象限的方法
n
ry
法1分類討論法:利用已知條件寫出a的范圍(用左表示),由此確定竺的范圍,在對左進(jìn)行分類討論,從
n
而確定上ry所在象限。
n
法2幾何法:先把各象限分為,等份,再從x軸的正方向的上方起,逆時針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二
rv
四……則a原來是第幾象限的角,標(biāo)號為幾的區(qū)域即角-終邊所在的區(qū)域。
n
0
【典例1】(23?24高三下?四川綿陽?三模)已知sin/tane<0,且cos6?sin。<0,則一為()
2
A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角
【答案】C
?2/□
【解析】由sine?tan8<0,——<0,貝!Jcos。<0且sin。w0,又cos8?sin。<0,
cos。
兀
因此cos。<0且sin?!?,。是第二象限角,即一+2左兀<。<兀+2左兀,左EZ,
2
則:+E<g<£+E#eZ,當(dāng)上為偶數(shù)時,鳥是第一象限角,當(dāng)上為奇數(shù)時,鳥是第三象限角,
42222
n
所以W是第一或三象限角.故選:c
2
zy
【典例2](23-24高三上?廣東廣州?二調(diào))已知sin。>0,cosa<0,則《的終邊在()
A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因為sina>0,cosa<0,
jr
所以。為第二象限角,即一+2左兀<。<兀+2左兀,左EZ,
2
7i2左兀a兀2ku,?
所以7+丁W+k,壯z,
63333
_.oc..,.v?,.?、t(7i7i](5TLII3TT5兀、――,??m
則§的終邊所在象限為仁兀)J所在象限,
即1的終邊在第一、二、四象限.故選:D.
aCYa
【典例3](23-24高三上?甘肅天水?月考)設(shè)。角屬于第二象限,且coS'M-coS],則£角屬于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】C
【解析】Q。為第二象限角,.?.90°+k360°<a<180°+k360°ReZ),
zy
45°+—180°<—<90°+-180。(。4);
當(dāng)無=2M〃eZ)時,5為第一象限角;當(dāng)上=2〃+1(〃?2)時,5為第三象限角;
.為第一或第三象限角;
??,cos1=-cosW,??.cos^vO,?為第三象限角.故選:C.
2222
二、扇形的弧長與面積應(yīng)用
1、利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度.
2、求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
3、在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.
【典例1](23-24高三上?黑龍江哈爾濱?月考)已知扇形弧長為圓心角為2,則該扇形面積為()
A.—B.—C.-D.1
18363
【答案】B
【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為,,
因為扇形弧長為:IT,圓心角為2,可得"=TT可得r=ITB,
336
由扇形的面積公式,可得S=Lb=1x亞故選:B.
223636
【典例2](23-24高三上?江蘇徐州?月考)已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為()
A.2B.4C.2也D.473
【答案】D
【解析】設(shè)扇形的弧長為/,半徑為「,
所以扇形的面積為1?//=3,所以〃=6,
又扇形的周長為7+2廠,所以7+2y=4百,
當(dāng)且僅當(dāng)(=2]即/=2'=2百時,取等號.故選:D.
/r=6
【典例3](23-24高三下?湖南?一模)出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”(圖1)的璜身滿刻
勾云紋,體扁平,呈扇面狀,黃身外樓空雕飾“S”型雙龍,造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積(厚度忽略不計),
3
測得各項數(shù)據(jù)(圖2):ABx8cm,AD~2cm,AO~5cm,若sin37°a二,71a13.14,則璜身(即曲邊四邊形48cD)
面積近似為()
圖1圖2
A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2
【答案】C
【解析】顯然“03為等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,
則c上3
4,sinN045=—
5
OA5
又sin37°e|,所以/O/B°37°,于是=180°—2義37°=106°=答,
所以璜身的面積近似為3//。鞏。1-。。2)=9警(52-乎卜14.8(cm?).故選:C
三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法
1、已知角a的終邊上一點尸的坐標(biāo),求角a的三角函數(shù)值
方法:先求出點尸到原點的距離,再利用三角函數(shù)的定義求解。
2、已知角a的一個三角函數(shù)值和終邊上一點尸的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值
方法:先求出點尸到原點的距離(帶參數(shù)),根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程,求出未
知數(shù),從而求解問題。
3、已知角的終邊所在的直線方程()=右,左力0),求角的三角函數(shù)值
方法:先設(shè)出終邊上一點尸伍,左a),a#0,求出點尸到原點的距離,再利用三角函數(shù)的定義求解,注意
。的符號,對a進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角。的三角函數(shù)值。
【典例1](23-24高三下?江西?二模)已知角二的終邊經(jīng)過點河(行,1),則cosa=()
A.—B.—C.V2D.—
332
【答案】A
【解析】根據(jù)題意廠=|OM|="拒『+a=J5,
由三角函數(shù)的定義得cosa='=嗎=逅.故選:A.
rV33
【典例2](23-24高三下?北京朝陽?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中,銳角夕以O(shè)為頂點,Ox為始邊.將。的
終邊繞O逆時針旋轉(zhuǎn);后與單位圓交于點P(x/),若cosc=①,則了=()
410
43_34
A.—B.——C.-D.一
5555
【答案】D
【解析】如圖,
由cosa----,0<cr<—,得sina=Jl-cos2a=-------,
10210
所以y=sin(a+^)=^-(sina+cosa)==.故選:D
【典例3】(23?24高三下?河南?一模)以坐標(biāo)原點為頂點,x軸非負(fù)半軸為始邊的角。,其終邊落在直線〉二%
上,則有()
A.sina=------B.cos=—C.sina+cosa—±V2D.tana=±1
22
【答案】C
【解析】因角a的終邊落在直線V=x上,a=-+2knsga=—+2kn,keZ.
44
對于A,當(dāng)a=2+2E,左eZ時,sina=—,故A項錯誤;
42
對于B,當(dāng)二=孚+2左兀,左£2時,cosa=_—1故B項錯誤;
42
對于C,當(dāng)a=]+2左兀,左eZ時,sina+cosa=75,
5兀
當(dāng)。=7~+2左兀,左£Z時,sina+cosa=-逝,故B項正確;
7T
對于D項,當(dāng)a=—+2E,左eZ時,sina=—,cosa=—,則tana=l;
422
當(dāng)[=學(xué)+2左兀,左£2時,sincr=,cosa=——則tana=1.故D項錯誤.故選:C.
422
四、對sina,cosd,tana的知一求二問題
1、知弦求弦:利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2a+cos2a=l求解
2>知弦求切:常通過平方關(guān)系,與對稱式sina土cosa,sinorcosa建立聯(lián)系,注意tana=""的靈活應(yīng)用
cos
3、知切求弦:先利用商數(shù)關(guān)系得出sina=tanGrcosa或cosa=^4,然后利用平方關(guān)系求解
tana
【典例1](23-24高三上?河北邢臺?期末)若sina=-4,且。為第三象限角,則tana=()
4
V39
A.
~L3~
【答案】B
【解析】因為sinc=-3,且a為第三象限角,所以cosa=-
4
sina
故tana-a故選:B
cosaIF
3
【典例2](23-24高三上?上海松江?期中)已知cos6=不,且sin6<0,貝UtanS的值為()
【答案】A
_______4
【解析】由題意得si"=-Jl-cos2e=-J,貝==£=-g,故選:
'⑸5cos。£3
5
371
【典例3](23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)已知tana=3,兀<a<——貝Ucosa—sina=
2
【答案】平
3兀
【解析】Qtana=3,兀<a<—,
2
3廂
cosa=理-
a1010
Vio3V10Vio
則cosi-sina=--1---二—
10105
五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟
任意負(fù)角任意正角0?2n的
利用誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式一利用誘導(dǎo)公式二銳角三
的三角函的三角函角的三角
角函數(shù)
數(shù)二或~■*數(shù)函數(shù)或四或五
也就是:“負(fù)化
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年演出經(jīng)紀(jì)人試題解析與答案
- 多角度演出經(jīng)紀(jì)人資格證試題與答案
- 2024年演出經(jīng)紀(jì)人資格證考點解析及試題與答案
- 2024年營養(yǎng)師資格認(rèn)知試題及答案
- 2024年演出經(jīng)紀(jì)人考試前準(zhǔn)備清單:試題及答案
- 圓滿完成的營養(yǎng)師試題及答案
- 如何高效學(xué)習(xí)演出經(jīng)紀(jì)人資格證試題及答案未來趨勢
- 營養(yǎng)師資格要求及試題解析
- 精確定位營養(yǎng)師考試的試題及答案
- 2024年營養(yǎng)師證復(fù)習(xí)指南試題及答案
- 河南省駐馬店市泌陽縣部分中學(xué)聯(lián)考2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題(原卷版+解析版)
- 肺結(jié)核病人的心理護(hù)理
- 2025年開封文化藝術(shù)職業(yè)學(xué)院單招職業(yè)技能測試題庫含答案
- 2025年遼寧冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫有完整答案
- 2025年安徽揚子職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫(各地真題)
- 2025年湖北幼兒師范高等??茖W(xué)校單招職業(yè)技能測試題庫匯編
- 創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目計劃書撰寫
- 2024年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中自主招生數(shù)學(xué)試卷
- 2025年安徽警官職業(yè)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫帶答案
- 《汽車底盤構(gòu)造與維修》專業(yè)課程標(biāo)準(zhǔn)
- 2025年中國外運股份有限公司招聘筆試參考題庫含答案解析
評論
0/150
提交評論