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文檔簡(jiǎn)介

專題43排列組合

【題型歸納目錄】

題型一:排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

題型二:直接法

題型三:間接法

題型四:捆綁法

題型五:插空法

題型六:定序問題(先選后排)

題型七:列舉法

題型八:多面手問題

題型九:錯(cuò)位排列

題型十:涂色問題

題型十一:分組問題

題型十二:分配問題

題型十三:隔板法

題型十四:數(shù)字排列

題型十五:幾何問題

題型十六:分解法模型與最短路徑問題

題型十七:排隊(duì)問題

題型十八:構(gòu)造法模型和遞推模型

題型十九:環(huán)排問題

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

(1)定義:從〃個(gè)不同元素中取出加(〃三〃)個(gè)元素排成一列,叫做從〃個(gè)不同元素中

取出,八個(gè)元素的一個(gè)排列.從“個(gè)不同元素中取出m(加4〃)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫

做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)父表示.

MI

(2)排列數(shù)的公式:4:=-2)(n-m+1)=----方.

特例:當(dāng)機(jī)=〃時(shí),="!=〃("-1)(〃-2)3.2.1;規(guī)定:0!=1.

(3)排列數(shù)的性質(zhì):

①然=砥:二;②③罌=mA小心.

n—mn—m

(4)解排列應(yīng)用題的基本思路:

通過審題,找出問題中的元素是什么,是否與順序有關(guān),有無特殊限制條件(特殊位置,

特殊元素).

注意:排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的,但作用略有不同,

人:=〃5-1)-(〃-機(jī)+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算;而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí),多用

n(n-m)\

知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

(1)定義:從〃個(gè)不同元素中取出加("74")個(gè)元素并成一組,叫做從〃個(gè)不同元素中

取出加個(gè)元素的一個(gè)組合.從“個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫

做從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)C:表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)4",可以按以下兩步來考慮:

第一步,先求出從這"個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù);

第二步,求每一個(gè)組合中加個(gè)元素的全排列數(shù)A:;

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到*=C:.線;

因此b=堂=小一1)("2)(二加+1)

M〃?!

這里〃,機(jī)eN+,且加4",這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)楦?,加、,所以組合

[n-my.

數(shù)公式還可表示為:特例:C:=C;=L

注意:組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法!在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題

時(shí),一般都是按先取后排(先組合后排列)的順序解決問題.公式

C:=-1)(〃-2)…-+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算,c;=_2_常用于含字母算式的

ml

化簡(jiǎn)或證明.

(3)組合數(shù)的主要性質(zhì):①C:=C「";②C:+

(4)組合應(yīng)用題的常見題型:

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合:取出的元素地位平等,沒有不同去向和分工.

排列:取出的元素地位不同,去向、分工或職位不同.

注意:排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題,它們之

間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序,不需要考慮順序的是組合問題,需要考

慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì),因此,分析解決排列

組合綜合問題的基本思維是“先組合,后排列”.

知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認(rèn)真審題,確定要做什么事;

2、確定怎樣做才能完成這件事,即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,弄清

楚分多少類及多少步;

3、確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少

及取出多少個(gè)元素;

4、解決排列組合綜合性問題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解題策略.

【方法技巧與總結(jié)】

1、如圖,在圓中,將圓分〃等份得到〃個(gè)區(qū)域M,M2,M3,,MQ..2),現(xiàn)取依左.2)

種顏色對(duì)這"個(gè)區(qū)域涂色,要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色,則涂色的方案有

(一1)"(%-1)+("1)"種.

2、錯(cuò)位排列公式£>“=(汽eiL+i).〃!

臺(tái)n\

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

(1)解題原則:排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題,有限制條件的排列問題的限

制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上,或某個(gè)位子不排某些元素,解決該類排列問題

的方法主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子,若一個(gè)位子安排的元

素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問題,一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制,被限制的元素通常

稱為特殊元素,被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮:

(1)以元素為主考慮,這時(shí),一般先解決特殊元素的排法問題,即先滿足特殊元素,

再安排其他元素;

(2)以位置為主考慮,這時(shí),一般先解決特殊位置的排法問題,即先滿足特殊位置,

再考慮其他位置;

(3)用間接法解題,先不考慮限制條件,計(jì)算出排列總數(shù),再減去不符合要求的排列

數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”,其模型為將“個(gè)不同元素排成一排,其中某上個(gè)

元素排在相鄰位置上,求不同排法種數(shù)的方法是:先將這發(fā)個(gè)元素“捆綁在一起“,看成一個(gè)

整體,當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列,共有種排法;然后再將“捆綁”在一起的元

A,T一女M+1

素“內(nèi)部”進(jìn)行排列,共有4種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,符合條件的排法共有

娼普?/種?

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”,其模型為將“個(gè)不同元素排成一排,其中某七個(gè)

元素互不相鄰(kWn-k+1),求不同排法種數(shù)的方法是:先將(n—k)個(gè)元素排成一排,

共有四二;種排法;然后把上個(gè)元素插入〃-左+1個(gè)空隙中,共有吃川種排法.根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理可知,符合條件的排法共有4聯(lián)?反_1種.

【典例例題】

題型一:排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

例1.(2022?山東?高密三中高三階段練習(xí))己知小他為正整數(shù),且〃2根,則在下列各式中

錯(cuò)誤的是()

A.圖=120;B.A;2=C;2.A;;C.C:+C3=C:;;;D.C:=Cr

【答案】C

【解析】對(duì)于A,=6x5x4=120,故正確;

對(duì)于B,因?yàn)镃%=冬,所以A:2=C1A;,故正確;

除7

對(duì)于C,因?yàn)樾〖訛檎麛?shù),且〃2根,

4x3

所以令〃=3,加=1,貝i」c:+C3=C;+C;=7,C解=C;=-=6,止匕時(shí)

2x1

故錯(cuò)誤;

對(duì)于D,C:=C:-m,故正確;

故選:C

例2.(2022.江蘇鎮(zhèn)江.高三開學(xué)考試)己知“,加為正整數(shù),且〃2相,則在下列各式中,

正確的個(gè)數(shù)是()

①A:=120;②A;2=C"A;;③C:+C3=C>:;@C:=C:-m

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對(duì)于①A:=6X5X4=120,故①正確;

對(duì)于②因?yàn)镃Z=請(qǐng),所以A:2=C:2-A;,故②正確;

對(duì)于③因?yàn)閏;:+C:T=C;;'+1,故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④C:=C7",故④正確;

故選:c

例3.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))若Aj=10A;,則〃=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由題意,得2〃(2〃-1)(2“-2)=10〃(,一1)(〃-2),化簡(jiǎn)可得4"-2=5"-10,解得〃=8.

故選:B

例4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知C;==C:;2,則x的值為()

A.3B.3或4C.4D.4或5

【答案】B

【解析】因?yàn)镃;==C:;2,

所以2x—1=x+2或(2x—l)+(x+2)=13,

解得:x=3或x=4.

故選:B.

例5.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知A?-JA;+0!=4,則加的可能取值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因?yàn)锳f-〈A;+0!=4,所以A'TX6+1=4,所以Af=6,

其中,而A;=1,A;=3,A;=A;=6,

所以加的值可能是2或3.

故選:CD.

例6.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列等式正確的是()

Am

A.C:=CLB.

〃n\

C.5+2)(〃+1)父=媲2D.qy+c"

【答案】ACD

【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知Cr=C;R,C;=c;:;+c;_,,故AD正確;

根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系可知C,:=£1,故B不正確;

ml

V(n+2)(n+1)/^=(n+2)(n+l)n(n-1).....(n-m+1),

心=(/+2)5+1).-(n+2-m-2+l)

=(n+2)(n+l)n(n-l)--(n—m+1),

.?.(〃+2)(n+1)M=A臂,故C正確.

故選:ACD.

例7.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列等式中,正確的是()

A.父+7砒'尸=心B.<=nC;:;

D.c:="小~4

-Cn1=C?+GT+C,I

+n—m

【答案】ABD

n\n\n\(n+l)-n!

【解析】選項(xiàng)A,左邊二--------—+m-+m-

yn-m)\(n-m+l)!(n-m+1)!(n-m+l)!(n-m+l)!

(n+l)!

一*=右邊,正確;

(n—1)!rn\n\

選項(xiàng)B,右邊=?!猑—7—------怎=—'7―=7------^=八77-------=左邊,正確;

選項(xiàng)c,右邊=£"7+£"=(?3r左邊,錯(cuò)誤;

m+1n\(m+l)-n!n\

選項(xiàng)D,右邊二—左邊,

n—m

正確.

故選:ABD

例8.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))解下列不等式或方程

⑴A;<6A「

J____1_7

(2)cf-cf-ioc7

|0<x<8

【解析】⑴由題意得:1°-%-2-8,解得:2Vx<8,

_98!乙8!

A;〈6A;,即(8_耳!<X(8-x+2)!?

解得:7<x<12,結(jié)合2WxW8,可得:x=8

117

(2)---=,則0WmK5,

7m!(7-m)!

即X

5!6!~107!

解得:m=21(舍去)或2

故方程的解為:m=2

例9.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))⑴計(jì)算:?OO+MAAM;

(2)計(jì)算:C;+C;++C;

A7-A5

(3)解方程:"=89.

A"

A311

【解析】(1)原式:仁久+和3六人畜二婢8一人:。產(chǎn)黃+人畜=舒=1

(2)原式=C:+C:+C;+…+C:o=C”+…+C:o=C:+C:+-.+C:。

“?=C:°+C:°=C*=330;

(3)原方程可化為」_白(八一,'_-=89,整理得

n(〃一1)(〃一2)…-4)

(九一5)(九一6)—1=89,

即〃2一11〃+29=89,化簡(jiǎn)得*-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4(舍去),

所以原方程的解是〃=15.

例10.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))利用組合數(shù)公式證明。^+喘=。鬻.

(幾+1)!

【解析】證明:因?yàn)椤e?

(m+l)l(n-m)l

n\n\n![(n-m)+(m+l)](n+1)!

C;+1+C;=-------------------------1---------------

(--〃?-1)!(m+1)!m\(n—ni)\(m+1)!(M-m)!(m+1)!(?—ni)!

所以c:"+c:”=cu

題型二:直接法

例U.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽,決出第1名到第5名的名次.甲

和乙去詢問成績(jī),回答者對(duì)甲說:“很遺憾,你和乙都沒有得到冠軍.”對(duì)乙說:“你當(dāng)然不

會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析,5人的名次排列方式共有()種

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根據(jù)題意,甲乙都沒有得到冠軍,而乙不是最后一名,

分2種情況討論:

①甲是最后一名,則乙可以為第二、三、四名,即乙有3種情況,

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,有看=6種情況,

此時(shí)有3x6=18種名次排列情況;

②甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,有&=6種情況,

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,有闋=6種情況,

此時(shí)有6x6=36種名次排列情況;

則一共有36+18=54種不同的名次情況,

故選:A.

例12.某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽,通過初選,選出A,民C,£>,瓦產(chǎn)共6名同學(xué)

進(jìn)行決賽,決出第1名到第6名的名次(沒有并列名次),A和8去詢問成績(jī),回答者對(duì)A說

“很遺撼,你和B都末拿到冠軍;對(duì)3說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的

名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有()

A.720種B.600種C.480種D.384種

【答案】D

【解析】由題意,A3不是第一名且8不是最后一名,8的限制最多,故先排8,有4種情

況,

再排A,也有4種情況,余下4人有=4x3x2x1=24種情況,

利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有4x4x24=384種情況.

故選:D.

例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,則不同的排法有()

A.24種B.6種C.4種D.12種

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,

則只需對(duì)剩下3人全排即可,

則不同的排法共有閥=3x2x1=6,

故選:B.

例14.某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教,則抽取的3人中,女

教師最多為1人的選法種數(shù)為()?

A.10B.30C.40D.46

【答案】C

【解析】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人

若女教師為。人,則男教師有3人,有C;C;=10種選擇;

若女教師為1人,則男教師2人,有以C;=30種選擇;

故女教師最多為1人的選法種數(shù)為10+30=40種

故選:C

題型三:間接法

例15.將7個(gè)人從左到右排成一排,若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰,且甲不站在最

右端,則不同的站法有().

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

【答案】D

【解析】7個(gè)人從左到右排成一排,共有"=5040種不同的站法,其中甲、乙、丙3個(gè)都

相鄰有看其=720種不同的站法,甲站在最右端有用=720種不同的站法,甲、乙、丙3個(gè)

相鄰且甲站最右端有段耳=48種不同的站法,故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰,且甲

不站在最右端,不同的站法有5040-720-720+48=3648種不同的站法.

故選:D

例16.某學(xué)校計(jì)劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教,若甲

、乙、丙三位教師至少一人被選中,則組隊(duì)支教的不同方式共有()

A.21種B.231種C.238種D.252種

【答案】B

【解析人中選5人有C:。=252種選法,其中,甲、乙、丙三位教師均不選的選法有C:=21

種,

則甲、乙、丙三位教師至少一人被選中的選法共有C:。-C;=231種.

故選:B

例17.中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)''合稱"六藝“禮”主要指德育;“樂”主要指

美育;“射”和“御”就是體育和勞動(dòng);“書”指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開

展“六藝”講座活動(dòng),每周安排一次講座,共講六次.講座次序要求“射”不在第一次,“數(shù)”和“樂”

兩次不相鄰,貝「'六藝”講座不同的次序共有()

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

【答案】A

【解析】每周安排一次,共講六次的“六藝”講座活動(dòng),“射”不在第一次的不同次序數(shù)為A;A;,

其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為A:A:A;,

于是得A;A;-A;A:A:=5x120-4x24x2=408,

所以“六藝”講座不同的次序共有408種.

故選:A

例18.紅五月,某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光,偉大夢(mèng)想”聯(lián)

歡會(huì),經(jīng)過初賽,共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽,其中2個(gè)歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目,1個(gè)朗

誦類節(jié)目,1個(gè)戲曲類節(jié)目.演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰,則演出順序的排法總數(shù)是()

A.96B.326C.336D.360

【答案】C

【解析】所有演出方案有4=720種,

歌舞類相鄰有段@=240種,

小品類相鄰有MM=240種,

歌舞與小品均相鄰有=96種,

所以總數(shù)有£一(另用+曷團(tuán)一&反叫=720-384=336種.

故選:C.

題型四:捆綁法

例19.(2022?四川?樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試(理))甲、乙等5人去北京天安門游玩,在

天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念,則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有()

A.12種B.24種C.48種D.120種

【答案】B

【解析】將甲、乙捆綁在一起看成一個(gè)元素,有A:A;種排法,

其中甲、乙相鄰且在兩端的有C;A;A;種,

故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有A:A;-C;A;A;=24(種).

故選:B.

例20.(2022?四川成都?高三開學(xué)考試(理))某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物

理、化學(xué)、生物六門課,如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié),物理和化學(xué)必須排在相鄰

的兩節(jié),則共有()種不同的排法

A.24B.144C.48D.96

【答案】D

【解析】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié),則數(shù)學(xué)的排法有2種,

物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié),將物理和化學(xué)捆綁,

與語文、英語、生物三門課程進(jìn)行排序,有A;A:=48種排法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有2x48=96種不同的排法.

故選:D.

例21.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,則甲、乙相鄰的排

法有()

A.72種B.60種C.48種D.36種

【答案】C

【解析】甲、乙相鄰共有A;=2種.

將甲、乙捆綁與剩余的丙、丁、戊三人全排列有A:=4x3x2xl=24種.

貝!1共有2x24=48種.

故選:C.

例22.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))3位教師和4名學(xué)生站一排,3位教師必須站在一起,共

有()種站法.

A.144B.360C.480D.720

【答案】D

【解析】因?yàn)?位教師和4名學(xué)生站一排,3位教師必須站在一起,

所以共有A>A:=72。種站法,

故選:D

例23.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))某晚會(huì)上需要安排4個(gè)歌舞類節(jié)目和2個(gè)語言類節(jié)目的

演出順序,要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個(gè)歌舞類節(jié)目,則不同的演出方案的種數(shù)為().

A.72B.96C.120D.144

【答案】D

【解析】第一步:全排列2個(gè)語言類的節(jié)目,共有用種情況,

第二步:從4個(gè)歌舞類節(jié)目中選出2個(gè)節(jié)目放入2個(gè)語言類的節(jié)目之間,共有照種情況,

第三步:再將排好的4個(gè)節(jié)目視為一個(gè)整體,與其余的兩個(gè)歌舞節(jié)目全排列,

共有A;種情況,所以N=&A:禺=144.

故選:D

題型五:插空法

例24.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))2022年2月4日,中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)

開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎,驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學(xué)為了弘揚(yáng)

我國(guó)二十四節(jié)氣文化,特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知

識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里,要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰,且“清明”與

“驚蟄”兩塊展板不相鄰,則不同的放置方式有多少種?()

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【解析】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起,與“雨水”、“谷雨”排列,有4

個(gè)空,然后“清明”與“驚蟄”去插空,

所以不同的放置方式有A;A;A:=144種.

故選:C

例25.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二,選擇性必修有一、二

、三共5本書,把這5本書放在書架上排成一排,必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是(

A.72B.144C.48D.36

【答案】A

【解析】先將選擇性必修有一、二、三這三本書排成一排,有A;=6種方法,

再將必修一、必修二這兩本書插入兩個(gè)空隙中,有A:=12種方法,

所以把這5本書放在書架上排成一排,必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是:6x12=72.

故選:A.

例26.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))五聲音階是中國(guó)古樂的基本音階,故有成語“五音不全”.中

國(guó)古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徽、羽,如果用上這五個(gè)音階,排成一個(gè)五音階

音序,且商、角不相鄰,徽位于羽的左側(cè),則可排成的不同音序有()

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序,且徽位于羽的左側(cè),有笈=3,再將商、角

2

插入4個(gè)空中,共有3A;=36種.

故選:C.

例27.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))馬路上有編號(hào)為1,2,3…,9九只路燈,現(xiàn)要關(guān)

掉其中的三盞,但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞,也不能關(guān)掉兩端的兩盞,求滿足條件的關(guān)燈

方案有()種

A.15B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】根據(jù)題意,因?yàn)殛P(guān)掉3盞路燈不能是兩端2盞,也不能相鄰,

則需要用插空法分析:

先將亮的6盞燈排成一列,除去2端,有5個(gè)符合條件的空位,

在5個(gè)空位中,任選3個(gè),安排熄滅的燈,有C;=10種情況,

即有10種關(guān)燈方法.

故選:C

例28.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某等候區(qū)有7個(gè)座位(連成一排),甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐,

因受新冠疫情影響,要求他們每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位,則不同的坐法有()

A.4種B.10種C.20種D.60種

【答案】D

【解析】甲、乙、丙每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位,即甲、乙、丙互不相鄰,相當(dāng)于有四個(gè)空

位放置成一排,形成5個(gè)空檔,甲、乙、丙三人各帶一個(gè)座位插入,

所以有次=60(種)不同的坐法,

故選:D.

例29.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))為迎接新年到來,某中學(xué)2022作“唱響時(shí)代強(qiáng)音,放飛

青春夢(mèng)想”元旦文藝晚會(huì)如期舉行.校文娛組委員會(huì)要在原定排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)

教師節(jié)目,若保持原來的8個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變,則不同排法的種數(shù)為()

A.36B.45C.72D.90

【答案】D

【解析】采用插空法即可:

第1步:原來排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個(gè)空隙,插入1個(gè)教師節(jié)目有9種排法;

第2步:排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目和1個(gè)教師節(jié)目產(chǎn)生10個(gè)空隙,插入1個(gè)教師節(jié)目共有10

種排法,

故共有9x10=90種排法.

故選:D.

題型六:定序問題(先選后排)

例30.滿足龍/eN'(i=l,2,3,4),且再<%<三<Z<1°的有序數(shù)組(%,々,與,%)共有()

個(gè).

A.C;B.或C.dD.瑞

【答案】A

【解析】???數(shù)組中數(shù)字的大小確定,從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組,所有個(gè)

數(shù)為C;.

故選:A.

例31.A3,C9E五人并排站成一排,如果8必須站在A的右邊,(A8可以不相鄰)那么

不同的排法有()

A.120種B.90種C.60種D.24種

【答案】C

【解析】所有人排成一排共有:團(tuán)=120種排法

5站在A右邊與A站在B右邊的情況一樣多

???所求排法共有:9120=60種排法

2

本題正確選項(xiàng):C

例32.OVA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子,由稱為堿基的化學(xué)成分組

成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈,兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合.在DN4

中只有4種類型的堿基,分別用A、C、G和T表示,OWL中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩

條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是4T,或者是C-G,不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此,如果我們

知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序,那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序.如圖所

示為一條QN4單鏈模型示意圖,現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A,2

個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方式的種數(shù)為()

^IIIIIII

-

4GG/TCGG

A.20B.40C.60D.120

【答案】C

A6720

【解析】依題意可知,不同的插入方式的種數(shù)為二烏/=/』=60.

用&66x2x1

故選:C

例33.某次演出有5個(gè)節(jié)目,若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定,則不同的排法

有()

A.120種B.80種C.20種D.48種

【答案】C

【解析】在5個(gè)位置中選兩個(gè)安排其它兩個(gè)節(jié)目,還有三個(gè)位置按順序放入甲、乙、丙,方

法數(shù)為6=20.

故選:C.

例34.某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相,后排每個(gè)人都高于站在他

前面的同學(xué),則共有多少種站法()

A.36B.90C.360D.720

【答案】B

【解析】6個(gè)高矮互不相同的人站成兩排,

后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為Cc海-4=90,

故選:B

例35.花燈,又名“彩燈”“燈籠”,是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物,兼具生活功能與藝術(shù)特

色.如圖,現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下,每次取1盞,則不同取法總數(shù)為()

久■■山

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由題意,對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行取下,

先對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行全排列,共有星種方法,

因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K,而且只能從下往上取,

所以須除去重復(fù)的排列順序,即先取上方的順序,

故一共有=2520種,

故選:A

例36.如圖所示,某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱,一堆2個(gè),一堆3個(gè),現(xiàn)需要全部裝運(yùn),每次只

能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱,則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是()

C.12D.24

【答案】B

【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩

種情況討論:若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;

若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況,故共有6+4=10種情況.

題型七:列舉法

例37.三人互相傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲

手中,則不同的傳球方式共有()

A.6種B.8種C.10種D.16種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意,作出樹狀圖,第四次球不能傳給甲,由分步加法計(jì)數(shù)原理可知:

經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲手中,則不同的傳球方式共有10種,

故選:c.

例38.三人踢毯子,互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,健子

又被踢回甲,則不同的傳遞方式共有()

A.4種B.5種C.6種D.12種

【答案】C

【解析】解析:若甲先傳給乙,則有甲一乙一甲一乙一甲,甲-乙一甲一丙一甲,甲T乙一

丙T乙T甲3種不同的傳遞方式;同理,甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種

不同的傳遞方式.

答案:C.

例39.設(shè)A,巧,G{-1,0,1,2},那么滿足尤;+后48的所有有序數(shù)組(尤1,尤2,毛)的

組數(shù)為()

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解析】①當(dāng)士=2時(shí),第+考=。,則%=%=0,共1組;

②當(dāng)司=1時(shí),-14考+無;(7,則了2,覆不同時(shí)為2,共-1=4。一1=15組;

③當(dāng)士=。時(shí),04考+考48,則巧,£為{-1,0,1,2}中任一元素,共C;?C;=42=16組;

④當(dāng)西=一1時(shí),14"+考49,則X2,覆不同時(shí)為。,共1=4°-1=15組.

故滿足題意的有序數(shù)組共有47組.

故選:C.

例40.從集合{1,2,3,4,,15}中任意選擇三個(gè)不同的數(shù),使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,這樣

的等差數(shù)列有()個(gè)

A.98B.56C.84D.49

【答案】A

【解析】當(dāng)公差為1時(shí),數(shù)列可以是:123,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13種情況.

當(dāng)公差為2時(shí),數(shù)列可以是:1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11種情況.

當(dāng)公差為3時(shí),數(shù)列可以是:1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當(dāng)公差為4時(shí),數(shù)列可以是:1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當(dāng)公差為5時(shí),數(shù)列可以是:1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情況.

當(dāng)公差為6時(shí),數(shù)列可以是:1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當(dāng)公差為7時(shí),數(shù)列可以是:L8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況,遞增或遞減,

所以這樣的等差數(shù)列共有98個(gè).

故選:A

例41.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí),需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順

序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊,但不能連緩固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是

【解析】根據(jù)題意,第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè),共有6種選擇方法,并且是機(jī)會(huì)相

等的,若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候,第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘,依次選下去,可以得到共有10

種方法,所以總共有10x6=60種方法,故答案是60.

題型八:多面手問題

例42.我校去年11月份,高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán),其中3人只會(huì)唱歌,

2人只會(huì)跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演,3人唱歌,3人跳

舞,有種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析:根據(jù)題意可按照只會(huì)左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理,分成三類,即可求

解.

詳根據(jù)題意可按照只會(huì)左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類2個(gè)只會(huì)左邊的都不選,有CrC:=100種;

第二類2個(gè)只會(huì)左邊的有1人入選,有CC;C;=400種;

第三類2個(gè)只會(huì)左邊的全入選,有C;C;C;=175種,所以共有675種不同的選法,故選A.

例43.某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員,其中有5人只會(huì)英語,4人只會(huì)法語,2人

既會(huì)英語又會(huì)法語,現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯,4人當(dāng)法語翻譯,則共有()

種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況分成三類.

①“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”不參加,這時(shí)有種;

②“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中有一人入選,

這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能,

因此有c;c;c:+c;c;c:種;

③“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中兩個(gè)均入選,

這時(shí)又分三種情況:兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種,

因此有Cfcfc:+c/cfc;+c;c;c;c:種.

綜上分析,共可開出《c:++C;C;C;+cfcjcl+C;C;C:+C;C;C;C;=185種.

故選:B.

例44.“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一,也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一,在我國(guó)南

方普遍存在端午節(jié)臨近,某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽,參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有

3人只會(huì)劃左槳,3人只會(huì)劃右槳,2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、

劃右槳的3人共6人去參加比賽,則不同的選派方法共有()

A.26種B.30種C.37種D.42種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意,設(shè)人={只會(huì)劃左槳的3人},8={只會(huì)劃右槳的3人},C={既會(huì)劃

左槳又會(huì)劃右槳的2人},據(jù)此分3種情況討論:

①?gòu)腁中選3人劃左槳,劃右槳的在(BuC)中剩下的人中選取,有C;=10種選法,

②從A中選2人劃左槳,C中選1人劃左槳,劃右槳的在(BUC)中選取,有C;C;C:=24

種選法,

③從A中選1人劃左槳,C中2人劃左槳,3中3人劃右槳,有C;=3種選法,

則有10+24+3=37種不同的選法.

故選:C.

例45.某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員,其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,2人既會(huì)劃左舷又會(huì)

劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽,則不同的選派方法共有()

A.56種B.68種

C.74種D.92種

【答案】D

【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類:劃左舷中沒有“多面手”的選派方法

有C;C;種,有一個(gè)“多面手”的選派方法有種,有兩個(gè)“多面手”的選派方法有C;C:種,

即共有+C;C;C;+C;C:=92(種)不同的選派方法.

故選:D

題型九:錯(cuò)位排列

例46.編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位,其中

有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有()

A.10種B.20種C.30種D.60種

【答案】B

【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人,方法數(shù)有C;=10,

另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致,方法數(shù)有2,

所以不同的坐法有10x2=20種.

故選:B

例47.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子

中,每盒放一球,若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同,則不同的放法種數(shù)

為()

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,分以下兩步進(jìn)行:

(1)在6個(gè)小球中任選2個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里,有C;=15種選法,假設(shè)選出的2個(gè)小

球的編號(hào)為5、6:

(2)剩下的4個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里,

對(duì)于編號(hào)為1的小球,有3個(gè)盒子可以放入,假設(shè)放入的是2號(hào)盒子.

則對(duì)于編號(hào)為2的小球,有3個(gè)盒子可以放入,

對(duì)于編號(hào)為3、4的小球,只有1種放法.

綜上所述,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的放法種數(shù)為15x3x3=135種.

故選:B.

例48.若5個(gè)人各寫一張卡片(每張卡片的形狀、大小均相同),現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)

不透明的箱子里,并攪拌均勻,再讓這5人在箱子里各摸一張,恰有1人摸到自己寫的卡片

的方法數(shù)有()

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根據(jù)題意,分2步分析:

①先從5個(gè)人里選1人,恰好摸到自己寫的卡片,有種選法,

②對(duì)于剩余的4人,因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片,因此第一個(gè)人有3種拿法,被拿了

自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法,剩下的2人拿法唯一,

所以不同的拿卡片的方法有C;-C;?C;=45種.

故選:D.

題型十:涂色問題

例49.(2022?陜西?寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試(理))某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂

上顏色,現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇,要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則符合條件

的涂色方案有()種

【答案】D

【解析】如圖:將五個(gè)區(qū)域分別記為①,②,③,④,⑤,則滿足條件的涂色方案可分為兩

類,

第一類區(qū)域②,④涂色相同的涂色方案,第二類區(qū)域②,④涂色不相同的涂色方案,

其中區(qū)域②,④涂色相同的涂色方案可分為5步完成,第一步涂區(qū)域①,有4種方法,第二

步涂區(qū)域②,有3種方法,第三步涂區(qū)域③,有2種方法,第四步涂區(qū)域④,有1種方法,

第五步涂區(qū)域⑤,有2種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②,④涂色相同的涂色方案有

4x3x2xlx2種方案,即48種方案;

區(qū)域②,④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成,第一步涂區(qū)域①,有4種方法,第二步

涂區(qū)域②,有3種方法,第三步涂區(qū)域③,有2種方法,第四步涂區(qū)域④,有1種方法,第

五步涂區(qū)域⑤,有1種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②,④涂色不相同的涂色方案有

4x3x2xlxl種方案,即24種方案;

所以符合條件的涂色方案共有72種,

例50.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色,有紅、黃、藍(lán)、

綠、黑這5種顏色供選擇,則“任意兩個(gè)有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為()

125125625625

【答案】A

【解析】隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色,有紅,黃,藍(lán),綠,黑這5種顏色供選擇,

每個(gè)三角形均有5種涂法,故基本事件總數(shù)”

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