高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合（解析版）

專題43排列組合

【題型歸納目錄】

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算

題型二：直接法

題型三：間接法

題型四：捆綁法

題型五：插空法

題型六：定序問題(先選后排)

題型七：列舉法

題型八：多面手問題

題型九：錯位排列

題型十：涂色問題

題型十一：分組問題

題型十二：分配問題

題型十三：隔板法

題型十四：數(shù)字排列

題型十五：幾何問題

題型十六：分解法模型與最短路徑問題

題型十七：排隊(duì)問題

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型

題型十九：環(huán)排問題

【考點(diǎn)預(yù)測】

知識點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

(1)定義：從〃個(gè)不同元素中取出加(〃三〃)個(gè)元素排成一列，叫做從〃個(gè)不同元素中

取出，八個(gè)元素的一個(gè)排列.從“個(gè)不同元素中取出m(加4〃)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫

做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號父表示.

MI

(2)排列數(shù)的公式：4：=-2)(n-m+1)=----方.

特例：當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，="!=〃("-1)(〃-2)3.2.1；規(guī)定：0!=1.

(3)排列數(shù)的性質(zhì)：

①然=砥：二；②③罌=mA小心.

n—mn—m

(4)解排列應(yīng)用題的基本思路:

通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件(特殊位置,

特殊元素).

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

人：=〃5-1)-(〃-機(jī)+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡或證明時(shí)，多用

n(n-m)\

知識點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

(1)定義：從〃個(gè)不同元素中取出加("74")個(gè)元素并成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中

取出加個(gè)元素的一個(gè)組合.從“個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫

做從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號C：表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)4",可以按以下兩步來考慮:

第一步，先求出從這"個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)；

第二步，求每一個(gè)組合中加個(gè)元素的全排列數(shù)A：；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到*=C：.線；

因此b=堂=小一1)("2)(二加+1)

M〃?！

這里〃，機(jī)eN+，且加4"，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)楦?，加、，所以組合

[n-my.

數(shù)公式還可表示為:特例：C：=C；=L

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題

時(shí)，一般都是按先取后排(先組合后排列)的順序解決問題.公式

C：=-1)(〃-2)…-+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算,c;=_2_常用于含字母算式的

ml

化簡或證明.

(3)組合數(shù)的主要性質(zhì)：①C：=C「"；②C：+

(4)組合應(yīng)用題的常見題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型

知識點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之

間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考

慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列

組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”.

知識點(diǎn)4、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清

楚分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個(gè)元素；

4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【方法技巧與總結(jié)】

1、如圖，在圓中，將圓分〃等份得到〃個(gè)區(qū)域M，M2,M3,,MQ..2）,現(xiàn)取依左.2）

種顏色對這"個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有

（一1）"（%-1）+（"1）"種.

2、錯位排列公式￡>“=（汽eiL+i）.〃！

臺n\

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限

制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題

的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元

素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，

再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將“個(gè)不同元素排成一排，其中某上個(gè)

元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這發(fā)個(gè)元素“捆綁在一起“，看成一個(gè)

整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元

A，T一女M+1

素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有4種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

娼普?/種?

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將“個(gè)不同元素排成一排，其中某七個(gè)

元素互不相鄰（kWn-k+1）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（n—k）個(gè)元素排成一排，

共有四二；種排法；然后把上個(gè)元素插入〃-左+1個(gè)空隙中，共有吃川種排法.根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理可知,符合條件的排法共有4聯(lián)?反_1種.

【典例例題】

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算

例1.（2022?山東?高密三中高三階段練習(xí)）己知小他為正整數(shù)，且〃2根，則在下列各式中

錯誤的是（）

A.圖=120；B.A；2=C；2.A；;C.C：+C3=C：；；；D.C：=Cr

【答案】C

【解析】對于A,=6x5x4=120,故正確；

對于B,因?yàn)镃%=冬，所以A：2=C1A；,故正確；

除7

對于C,因?yàn)樾〖訛檎麛?shù)，且〃2根，

4x3

所以令〃=3,加=1,貝i」c：+C3=C；+C；=7,C解=C；=-=6,止匕時(shí)

2x1

故錯誤；

對于D,C：=C：-m,故正確；

故選：C

例2.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.高三開學(xué)考試）己知“，加為正整數(shù)，且〃2相，則在下列各式中，

正確的個(gè)數(shù)是（）

①A：=120；②A；2=C"A；；③C：+C3=C＞：；@C：=C：-m

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對于①A：=6X5X4=120,故①正確；

對于②因?yàn)镃Z=請，所以A：2=C：2-A；,故②正確;

對于③因?yàn)閏;：+C：T=C；；'+1,故③錯誤；

對于④C：=C7",故④正確；

故選：c

例3.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若Aj=10A；,則〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由題意，得2〃（2〃-1）（2“-2）=10〃（，一1）（〃-2）,化簡可得4"-2=5"-10,解得〃=8.

故選:B

例4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知C；==C：；2,則x的值為（）

A.3B.3或4C.4D.4或5

【答案】B

【解析】因?yàn)镃；==C：；2,

所以2x—1=x+2或（2x—l）+（x+2）=13,

解得：x=3或x=4.

故選：B.

例5.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知A?-JA；+0!=4,則加的可能取值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因?yàn)锳f-〈A；+0!=4,所以A'TX6+1=4,所以Af=6,

其中，而A；=1,A；=3,A；=A；=6,

所以加的值可能是2或3.

故選：CD.

例6.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列等式正確的是（）

Am

A.C：=CLB.

〃n\

C.5+2）（〃+1）父=媲2D.qy+c"

【答案】ACD

【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知Cr=C；R,C；=c；：；+c；_,,故AD正確；

根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系可知C,：=￡1,故B不正確；

ml

V(n+2)(n+1)/^=(n+2)(n+l)n(n-1).....(n-m+1),

心=(/+2)5+1).-(n+2-m-2+l)

=(n+2)(n+l)n(n-l)--(n—m+1),

.?.(〃+2)(n+1)M=A臂，故C正確.

故選:ACD.

例7.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列等式中，正確的是（)

A.父+7砒'尸=心B.<=nC；：；

D.c：="小~4

-Cn1=C?+GT+C,I

+n—m

【答案】ABD

n\n\n\(n+l)-n!

【解析】選項(xiàng)A,左邊二--------—+m-+m-

yn-m)\(n-m+l)!(n-m+1)!(n-m+l)!(n-m+l)!

（n+l）!

一*=右邊，正確;

（n—1）!rn\n\

選項(xiàng)B,右邊=?！猑—7—------怎=—'7―=7------^=八77-------=左邊，正確;

選項(xiàng)c,右邊=￡"7+￡"=（?3r左邊，錯誤；

m+1n\(m+l)-n!n\

選項(xiàng)D,右邊二—左邊，

n—m

正確.

故選：ABD

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程

⑴A；<6A「

J____1_7

(2)cf-cf-ioc7

|0<x<8

【解析】⑴由題意得：1°-%-2-8,解得：2Vx<8,

_98!乙8!

A；〈6A；,即(8_耳!<X(8-x+2)!?

解得：7<x<12,結(jié)合2WxW8,可得：x=8

117

(2)---=,則0WmK5,

7m!(7-m)!

即X

5!6!~107!

解得：m=21（舍去）或2

故方程的解為：m=2

例9.（2022.全國?高三專題練習(xí)）⑴計(jì)算：?OO+MAAM；

（2）計(jì)算：C；+C；++C；

A7-A5

（3）解方程："=89.

A"

A311

【解析】（1）原式:仁久+和3六人畜二婢8一人:。產(chǎn)黃+人畜=舒=1

（2）原式=C：+C：+C；+…+C：o=C”+…+C：o=C：+C：+-.+C：。

“?=C：°+C：°=C*=330；

（3）原方程可化為」_白（八一，'_-=89,整理得

n（〃一1）（〃一2）…-4）

（九一5）（九一6）—1=89,

即〃2一11〃+29=89,化簡得*-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4（舍去），

所以原方程的解是〃=15.

例10.（2022.全國?高三專題練習(xí)）利用組合數(shù)公式證明。^+喘=。鬻.

(幾+1)!

【解析】證明:因?yàn)?。?

(m+l)l(n-m)l

n\n\n!

C；+1+C；=-------------------------1---------------

(--〃？-1)!(m+1)!m\(n—ni)\(m+1)!(M-m)!(m+1)!(?—ni)!

所以c："+c：”=cu

題型二：直接法

例U.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲

和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當(dāng)然不

會是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）種

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，

分2種情況討論：

①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有看=6種情況,

此時(shí)有3x6=18種名次排列情況；

②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有&=6種情況,

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有闋=6種情況,

此時(shí)有6x6=36種名次排列情況；

則一共有36+18=54種不同的名次情況，

故選：A.

例12.某校開展研學(xué)活動時(shí)進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出A,民C,￡>,瓦產(chǎn)共6名同學(xué)

進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），A和8去詢問成績，回答者對A說

“很遺撼，你和B都末拿到冠軍；對3說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的

名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）

A.720種B.600種C.480種D.384種

【答案】D

【解析】由題意，A3不是第一名且8不是最后一名，8的限制最多，故先排8,有4種情

況，

再排A,也有4種情況，余下4人有=4x3x2x1=24種情況，

利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有4x4x24=384種情況.

故選：D.

例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）

A.24種B.6種C.4種D.12種

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，

則只需對剩下3人全排即可，

則不同的排法共有閥=3x2x1=6,

故選：B.

例14.某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女

教師最多為1人的選法種數(shù)為（）?

A.10B.30C.40D.46

【答案】C

【解析】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人

若女教師為。人，則男教師有3人，有C；C；=10種選擇；

若女教師為1人，則男教師2人，有以C；=30種選擇；

故女教師最多為1人的選法種數(shù)為10+30=40種

故選：C

題型三：間接法

例15.將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最

右端，則不同的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

【答案】D

【解析】7個(gè)人從左到右排成一排，共有"=5040種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都

相鄰有看其=720種不同的站法，甲站在最右端有用=720種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)

相鄰且甲站最右端有段耳=48種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲

不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648種不同的站法.

故選：D

例16.某學(xué)校計(jì)劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲

、乙、丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（）

A.21種B.231種C.238種D.252種

【答案】B

【解析人中選5人有C：。=252種選法，其中，甲、乙、丙三位教師均不選的選法有C：=21

種，

則甲、乙、丙三位教師至少一人被選中的選法共有C：。-C；=231種.

故選：B

例17.中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)''合稱"六藝“禮”主要指德育；“樂”主要指

美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開

展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”

兩次不相鄰，貝「'六藝”講座不同的次序共有（）

A.408種B.240種C.1092種.D.120種

【答案】A

【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為A；A；,

其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為A：A：A；,

于是得A；A；-A；A：A：=5x120-4x24x2=408,

所以“六藝”講座不同的次序共有408種.

故選：A

例18.紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)

歡會，經(jīng)過初賽，共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗

誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目.演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰,則演出順序的排法總數(shù)是（）

A.96B.326C.336D.360

【答案】C

【解析】所有演出方案有4=720種，

歌舞類相鄰有段@=240種，

小品類相鄰有MM=240種，

歌舞與小品均相鄰有=96種，

所以總數(shù)有￡一（另用+曷團(tuán)一&反叫=720-384=336種.

故選：C.

題型四：捆綁法

例19.（2022?四川?樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））甲、乙等5人去北京天安門游玩，在

天安門廣場排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（）

A.12種B.24種C.48種D.120種

【答案】B

【解析】將甲、乙捆綁在一起看成一個(gè)元素，有A：A；種排法，

其中甲、乙相鄰且在兩端的有C；A；A；種，

故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有A：A；-C；A；A；=24（種）.

故選:B.

例20.（2022?四川成都?高三開學(xué)考試（理））某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物

理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰

的兩節(jié)，則共有（）種不同的排法

A.24B.144C.48D.96

【答案】D

【解析】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有2種，

物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，

與語文、英語、生物三門課程進(jìn)行排序，有A；A：=48種排法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有2x48=96種不同的排法.

故選：D.

例21.（2022.全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，則甲、乙相鄰的排

法有（）

A.72種B.60種C.48種D.36種

【答案】C

【解析】甲、乙相鄰共有A；=2種.

將甲、乙捆綁與剩余的丙、丁、戊三人全排列有A：=4x3x2xl=24種.

貝！1共有2x24=48種.

故選：C.

例22.（2022.全國?高三專題練習(xí)）3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，共

有（）種站法.

A.144B.360C.480D.720

【答案】D

【解析】因?yàn)?位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，

所以共有A>A：=72。種站法，

故選：D

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某晚會上需要安排4個(gè)歌舞類節(jié)目和2個(gè)語言類節(jié)目的

演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個(gè)歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（）.

A.72B.96C.120D.144

【答案】D

【解析】第一步：全排列2個(gè)語言類的節(jié)目，共有用種情況，

第二步：從4個(gè)歌舞類節(jié)目中選出2個(gè)節(jié)目放入2個(gè)語言類的節(jié)目之間，共有照種情況，

第三步：再將排好的4個(gè)節(jié)目視為一個(gè)整體，與其余的兩個(gè)歌舞節(jié)目全排列，

共有A；種情況，所以N=&A：禺=144.

故選：D

題型五：插空法

例24.（2022.全國?高三專題練習(xí)）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動會

開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學(xué)為了弘揚(yáng)

我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知

識展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與

“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【解析】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4

個(gè)空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，

所以不同的放置方式有A；A；A：=144種.

故選：C

例25.（2022?全國?高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一、二

、三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排,必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

A.72B.144C.48D.36

【答案】A

【解析】先將選擇性必修有一、二、三這三本書排成一排，有A；=6種方法，

再將必修一、必修二這兩本書插入兩個(gè)空隙中，有A：=12種方法，

所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是：6x12=72.

故選：A.

例26.（2022.全國?高三專題練習(xí)）五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”.中

國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階

音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有笈=3,再將商、角

2

插入4個(gè)空中，共有3A；=36種.

故選：C.

例27.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））馬路上有編號為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)

掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈

方案有（）種

A.15B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，因?yàn)殛P(guān)掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，

則需要用插空法分析：

先將亮的6盞燈排成一列，除去2端，有5個(gè)符合條件的空位，

在5個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排熄滅的燈，有C；=10種情況，

即有10種關(guān)燈方法.

故選：C

例28.（2022?全國?模擬預(yù)測）某等候區(qū)有7個(gè)座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，

因受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有（）

A.4種B.10種C.20種D.60種

【答案】D

【解析】甲、乙、丙每兩人之間至少有一個(gè)空位，即甲、乙、丙互不相鄰，相當(dāng)于有四個(gè)空

位放置成一排，形成5個(gè)空檔，甲、乙、丙三人各帶一個(gè)座位插入，

所以有次=60（種）不同的坐法，

故選：D.

例29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛

青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)

教師節(jié)目，若保持原來的8個(gè)節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為（）

A.36B.45C.72D.90

【答案】D

【解析】采用插空法即可：

第1步：原來排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個(gè)空隙，插入1個(gè)教師節(jié)目有9種排法；

第2步：排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目和1個(gè)教師節(jié)目產(chǎn)生10個(gè)空隙，插入1個(gè)教師節(jié)目共有10

種排法，

故共有9x10=90種排法.

故選：D.

題型六：定序問題（先選后排）

例30.滿足龍/eN'（i=l,2,3,4）,且再＜%＜三＜Z＜1°的有序數(shù)組（%，々，與，%）共有（）

個(gè).

A.C；B.或C.dD.瑞

【答案】A

【解析】???數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)

數(shù)為C；.

故選：A.

例31.A3,C9E五人并排站成一排，如果8必須站在A的右邊，（A8可以不相鄰）那么

不同的排法有（）

A.120種B.90種C.60種D.24種

【答案】C

【解析】所有人排成一排共有：團(tuán)=120種排法

5站在A右邊與A站在B右邊的情況一樣多

???所求排法共有：9120=60種排法

2

本題正確選項(xiàng)：C

例32.OVA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組

成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合.在DN4

中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，OWL中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩

條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是4T,或者是C-G,不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們

知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序.如圖所

示為一條QN4單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A,2

個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方式的種數(shù)為（）

^IIIIIII

-

4GG/TCGG

A.20B.40C.60D.120

【答案】C

A6720

【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為二烏/=/』=60.

用&66x2x1

故選：C

例33.某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法

有（）

A.120種B.80種C.20種D.48種

【答案】C

【解析】在5個(gè)位置中選兩個(gè)安排其它兩個(gè)節(jié)目，還有三個(gè)位置按順序放入甲、乙、丙，方

法數(shù)為6=20.

故選：C.

例34.某次數(shù)學(xué)獲獎的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他

前面的同學(xué)，則共有多少種站法（）

A.36B.90C.360D.720

【答案】B

【解析】6個(gè)高矮互不相同的人站成兩排，

后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為Cc海-4=90,

故選：B

例35.花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特

色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（）

久■■山

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由題意，對8盞不同的花燈進(jìn)行取下，

先對8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有星種方法，

因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取,

所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，

履

故一共有=2520種,

故選：A

例36.如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只

能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是（）

C.12D.24

【答案】B

【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩

種情況討論：若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;

若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況，故共有6+4=10種情況.

題型七：列舉法

例37.三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲

手中，則不同的傳球方式共有（）

A.6種B.8種C.10種D.16種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，作出樹狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計(jì)數(shù)原理可知：

經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，

故選：c.

例38.三人踢毯子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，健子

又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）

A.4種B.5種C.6種D.12種

【答案】C

【解析】解析：若甲先傳給乙，則有甲一乙一甲一乙一甲，甲-乙一甲一丙一甲，甲T乙一

丙T乙T甲3種不同的傳遞方式；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種

不同的傳遞方式.

答案：C.

例39.設(shè)A，巧，G｛-1,0,1,2｝,那么滿足尤;+后48的所有有序數(shù)組（尤1，尤2，毛）的

組數(shù)為（）

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解析】①當(dāng)士=2時(shí)，第+考=。，則%=%=0,共1組；

②當(dāng)司=1時(shí)，-14考+無；（7,則了2，覆不同時(shí)為2,共-1=4。一1=15組；

③當(dāng)士=。時(shí)，04考+考48,則巧，￡為｛-1,0,1,2｝中任一元素，共C；?C；=42=16組；

④當(dāng)西=一1時(shí)，14"+考49,則X2,覆不同時(shí)為。，共1=4°-1=15組.

故滿足題意的有序數(shù)組共有47組.

故選：C.

例40.從集合｛1,2,3,4,,15｝中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣

的等差數(shù)列有（）個(gè)

A.98B.56C.84D.49

【答案】A

【解析】當(dāng)公差為1時(shí)，數(shù)列可以是：123,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13種情況.

當(dāng)公差為2時(shí)，數(shù)列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11種情況.

當(dāng)公差為3時(shí)，數(shù)列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當(dāng)公差為4時(shí)，數(shù)列可以是：1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當(dāng)公差為5時(shí),數(shù)列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情況.

當(dāng)公差為6時(shí)，數(shù)列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當(dāng)公差為7時(shí)，數(shù)列可以是：L8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，

所以這樣的等差數(shù)列共有98個(gè).

故選：A

例41.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順

序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連緩固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是

【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會相

等的，若第一個(gè)選1號釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10

種方法，所以總共有10x6=60種方法，故答案是60.

題型八：多面手問題

例42.我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會唱歌，

2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳

舞，有種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析：根據(jù)題意可按照只會左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理，分成三類，即可求

解.

詳根據(jù)題意可按照只會左邊的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類2個(gè)只會左邊的都不選，有CrC：=100種；

第二類2個(gè)只會左邊的有1人入選，有CC；C；=400種；

第三類2個(gè)只會左邊的全入選，有C；C；C；=175種，所以共有675種不同的選法，故選A.

例43.某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人

既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）

種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類.

①“2人既會英語又會法語”不參加，這時(shí)有種；

②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，

這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，

因此有c；c；c：+c；c；c：種；

③“2人既會英語又會法語”中兩個(gè)均入選，

這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，

因此有Cfcfc：+c/cfc；+c；c；c；c：種.

綜上分析，共可開出《c：++C；C；C；+cfcjcl+C；C；C：+C；C；C；C；=185種.

故選：B.

例44.“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南

方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有

3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、

劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)人=｛只會劃左槳的3人｝,8=｛只會劃右槳的3人｝,C=｛既會劃

左槳又會劃右槳的2人｝,據(jù)此分3種情況討論：

①從A中選3人劃左槳，劃右槳的在（BuC）中剩下的人中選取，有C；=10種選法，

②從A中選2人劃左槳，C中選1人劃左槳，劃右槳的在（BUC）中選取，有C；C；C：=24

種選法，

③從A中選1人劃左槳，C中2人劃左槳，3中3人劃右槳，有C；=3種選法，

則有10+24+3=37種不同的選法.

故選：C.

例45.某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會

劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

【答案】D

【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法

有C；C；種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有C；C：種,

即共有+C；C；C；+C；C：=92（種）不同的選派方法.

故選：D

題型九：錯位排列

例46.編號為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中

有且只有兩個(gè)人的編號與座位號一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

【答案】B

【解析】先選擇兩個(gè)編號與座位號一致的人，方法數(shù)有C；=10,

另外三個(gè)人編號與座位號不一致，方法數(shù)有2,

所以不同的坐法有10x2=20種.

故選：B

例47.將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子

中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)

為（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：

（1）在6個(gè)小球中任選2個(gè)放入相同編號的盒子里，有C；=15種選法，假設(shè)選出的2個(gè)小

球的編號為5、6：

（2）剩下的4個(gè)小球要放入與其編號不一致的盒子里，

對于編號為1的小球，有3個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是2號盒子.

則對于編號為2的小球，有3個(gè)盒子可以放入，

對于編號為3、4的小球，只有1種放法.

綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為15x3x3=135種.

故選：B.

例48.若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)

不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片

的方法數(shù)有（）

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分2步分析：

①先從5個(gè)人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，

②對于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了

自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，

所以不同的拿卡片的方法有C；-C；?C；=45種.

故選：D.

題型十：涂色問題

例49.（2022?陜西?寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂

上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件

的涂色方案有（）種

【答案】D

【解析】如圖：將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩

類，

第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二

步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法,

第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有

4x3x2xlx2種方案，即48種方案；

區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步

涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第

五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有

4x3x2xlxl種方案,即24種方案;

所以符合條件的涂色方案共有72種，

例50.（2022?全國?高三專題練習(xí)）隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、

綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個(gè)有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）

125125625625

【答案】A

【解析】隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅，黃，藍(lán)，綠，黑這5種顏色供選擇，

每個(gè)三角形均有5種涂法，故基本事件總數(shù)”