規(guī)律探究類的常見壓軸題（原卷版）-2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)訓(xùn)練

專題17規(guī)律探究類的常見壓軸題

1.（2021?山東青島?中考真題）問題提出：

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長(zhǎng)度都是整數(shù)的三角形.）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論.

（1）如表①，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長(zhǎng)是1,第三邊長(zhǎng)也是1.按照（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最

短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）的形式記為（W）,有1個(gè)，所以總共有1x1=1個(gè)整數(shù)邊三角形.

表①

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

11（1,1,1）11個(gè)11x1

（2）如表②，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長(zhǎng)是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)

最短邊長(zhǎng)為1時(shí)，第三邊長(zhǎng)只能是2,記為（2,1,2）,有1個(gè)；當(dāng)最短邊長(zhǎng)為2時(shí)，顯然第三邊長(zhǎng)也是2,記為

（2,2,2）,有1個(gè)，所以總共有1+I=lx2=2個(gè)整數(shù)邊三角形.

表②

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

1（2J2）1

22個(gè)11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況:

表③

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

1（3,1,3）1

32個(gè)22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況:

表④

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43個(gè)22x3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）請(qǐng)?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空:

表⑤

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決：

（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的整數(shù)邊三角形有個(gè).

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為〃，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形

個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請(qǐng)寫出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為〃的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù).

（3）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有個(gè).

拓展延伸:

在直三棱柱中，若所有棱長(zhǎng)均為整數(shù)，則最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為9的直三棱柱有個(gè).

2.（2021?山東青島?九年級(jí)期末）小明是魔方受好者，他擅長(zhǎng)玩各種魔方，從二階魔方到九階魔方，

他都能成功復(fù)原.有一天，小明突然想到一個(gè)問題，在九階魔方中，到底含有多少個(gè)長(zhǎng)方體呢？為此，我

們先來解決這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖，圖1是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c（a>2,b>2,c>2,且a,b,c

是正整數(shù)）的長(zhǎng)方體，被分成了"6xc個(gè)棱長(zhǎng)為1的小立方體.這個(gè)幾何體中一共包含多少個(gè)長(zhǎng)方體（包括

正方體）？（參考公式：1+2+3…+〃=小叫）.

2

問題探究：為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后得

出一般性的結(jié)論.

探究一：如圖2,該幾何體有1個(gè)小立方體組成，顯然，該幾何體共有1個(gè)長(zhǎng)方體.如圖3,該幾何體有2個(gè)

小立方體組成，那么它一共包含1+2=3個(gè)長(zhǎng)方體.如圖4,該幾何體有3個(gè)小立方體組成，那么它一共包含.

個(gè)長(zhǎng)方體.如圖5,該幾何體-共包含210個(gè)長(zhǎng)方體，那么該幾何體共有個(gè)小立方體組成.

探究二：如圖6,該幾何體有4個(gè)小立方休組成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9個(gè)長(zhǎng)方體.如圖7,

該幾何體有6個(gè)小立方體組成，那么它一共包含

個(gè)長(zhǎng)方體.如圖8,該幾何體共有2機(jī)個(gè)小立方體組成，那么該幾何體一共有個(gè)長(zhǎng)方體.

探究三：如圖1,該幾何體共有個(gè)。x6xc小立方體組成，那么該幾何體共有個(gè)長(zhǎng)方體.

探究四：我們現(xiàn)在可以解決小明開始的問題了.在九階魔方（即a=6=c=9）中，含有個(gè)長(zhǎng)方體.

探究五：聰明的小明在學(xué)習(xí)了三種視圖后，又提出一個(gè)新的問題：在圖1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方體后，剩下幾何體的三種視圖與原圖1的三種視圖完全一樣，那么最多可以拿走

個(gè)小立方體；此時(shí)，剩下的幾何體的表面積是.

3.（2021?沙坪壩?重慶八中九年級(jí)開學(xué)考試）根據(jù)閱讀材料，解決問題.

材料1：若一個(gè)正整數(shù)，從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同，則稱為“對(duì)稱數(shù)”（

例如：1、232、4554是對(duì)稱數(shù)).

材料2：對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)A,將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字，得到三個(gè)新的數(shù)字x,J

,z,我們對(duì)自然數(shù)A規(guī)定一個(gè)運(yùn)算：K(A)=x2+y2+z2,

例如：/=191是一個(gè)三位的“對(duì)稱數(shù)”，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字分別是：2、8、2.則

A：(191)=22+82+22=72.

請(qǐng)解答：

(1)請(qǐng)你直接寫出最大的兩位對(duì)稱數(shù)：—，最小的三位對(duì)稱數(shù)：—；

(2)如果將所有對(duì)稱數(shù)按照從小到大的順序排列，請(qǐng)直接寫出第1100個(gè)對(duì)稱數(shù)―；

(3)一個(gè)四位的“對(duì)稱數(shù)”8,若K(B)=8,請(qǐng)求出B的所有值.

4.(2021?青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試)(實(shí)際問題)小明家住15樓.一天，他要把一根3米長(zhǎng)

的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中(如圖①示)那么，電梯的長(zhǎng)、寬、高和的最大

值是多少米？

圖①

(類比探究)為了解決這個(gè)實(shí)際問題，我們首先探究下面的數(shù)學(xué)問題.

探究：如圖②，在中，AC1BC.若BC=a,AC=b,AB=c,貝W與c之有什么數(shù)量關(guān)系？

B

54

圖②

解：在A45C中，

?-?AC1BC,

BC2+AC2=AB2,BPa2+b2=c2.

,?-(a-Z,)2>0,

a2+b2-2ab>0,

a2+b2>lab，

c2>lab，

??c2+a2_|_b2>2ab+Q2+廿.

2c?>(a+b)2.

???a，b,c均大于0,

a+b與。之間的數(shù)量關(guān)系是〃+板.

探究2：如圖③，在四邊形Z5C。中，4C是對(duì)角線，ABLBC,ACLCD.若AB=a,BC=b,CD=c

，AD=d,則a+b+c與d之間有什么數(shù)量關(guān)系？

圖③

解：VABVBC,ACLCD,

???BC2+AB2=AC2,AC2+CD2=AD2.

?*-a2+b2+c2=d2

v(a-b)2>0,(6Z-C)2>0,(Z)-C)2>0,

a2+b2>2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc.

將上面三式相加得，2/+2b2+2c2>2ab+lac+2bc,

2d2>2ab+2ac+2bc.

,?2d2+/+b?+c?22ab+2QC+2bc+Q?++c??

d22(a+6+c)2.

<a,b,c,d均大于0,

a+b+c^d之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：a+b+c<d.

探究3：如圖④，仿照上面的方法探究，在五邊形ZBCQE中，AC,是對(duì)角線，AB1BC,ACLCD

，AD±DE.若AB=a,BC=b,CD-c,DE-d,AE=e,則a+b+c+d與e之間的數(shù)量關(guān)系是

圖④

（歸納結(jié)論）

當(dāng)%>0,%>°，…，。">0，加>0時(shí)，若％2a2?+…+。”2=小，則為+%+…+%與加之間的數(shù)量關(guān)系

是.

（問題解決）

小明家住15樓一天，他要把一根3米長(zhǎng)的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①

示）,那么，電梯的長(zhǎng)、寬、高和的最大值是米.

（拓展延伸）

公園準(zhǔn)備修建一個(gè)四邊形水池，邊長(zhǎng)分別為。米，6米，c米，d米，分別以水池四邊為邊向外建四個(gè)正方

形花園，若花園面積和為900平方米，則水池的最大周長(zhǎng)為米.

5.（2021?山東南區(qū)?九年級(jí)一模）（問題提出）用〃個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

（問題探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次

遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論.

探究一：如圖1,一個(gè)圓能把平面分成2個(gè)區(qū)域.

探究二：用2個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

如圖2,在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的

圓分成2部分，從而增加2個(gè)區(qū)域，所以，用2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)區(qū)域.

探究三：用3個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

如圖3,在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增

加的圓分成2x2=4部分，從而增加4個(gè)區(qū)域，所以，用3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)區(qū)域.

（1）用4個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.

（2）（一般結(jié)論）用"個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前。個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成

一部分，從而增加個(gè)區(qū)域，所以，用"個(gè)圓最多能把平面分成

個(gè)區(qū)域.（將結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)）

（3）（結(jié)論應(yīng)用）

①用10個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)區(qū)域；

②用個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域.

6.閱讀材料：1261

年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》，在注釋中提到“楊輝三角”解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在他

之前，北宋數(shù)學(xué)家賈憲也用過此方法，“楊輝三角”又叫“賈憲三角”.

1

Ii....................................

-----------------------------3”

1331~?-5〃

這個(gè)三角形給出了（。+6y（n

為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序、b的次數(shù)由小到大的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如：在

三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1,恰好對(duì)應(yīng)（。+6）2=/+2/+62展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)

1、3、3、1,恰好對(duì)應(yīng),+6）3=^+3/6+3加+/展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等.

從二維擴(kuò)展到三維：根據(jù)楊輝三角的規(guī)則，向下進(jìn)行疊加延伸，可以得到一個(gè)楊輝三角的立體圖形.經(jīng)研

究，它的每一個(gè)切面上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的恰巧是展開式的系數(shù).

(a+6+c)°=l1

(a+b+c)1=a+b+c

1

11

(Q+b+c)2=a2+h2+c2+2ab+2ac+2be

1

22

121

(Q+b+c)3

=a+b3+c+3a2b+3ab~+3a2c+3ac"+3b2c+3be2+6abc

1

33

363

1331

（1）根據(jù)材料規(guī)律，請(qǐng)直接寫出（a+b『的展開式；

（2）根據(jù)材料規(guī)律，如果將a-b看成“+（-6）,直接寫出'-0+1］的展開式（結(jié)果化簡(jiǎn)）；若

求工+1］的值;

2/一5/+2-7

（3）已知實(shí)數(shù)a、b、c,滿足〃+/+。2+2。―46+6。=-10,且-+-——-----=0,求〃+6的值.

。+1b-2c+3

7.先閱讀下面的文字，然后按要求解題：

例：1+2+3+...+100=?

如果一個(gè)一個(gè)順次相加顯然太繁瑣，我們仔細(xì)分析這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的規(guī)律和特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用加法

運(yùn)算律，是可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算，提高運(yùn)算速度的.

因?yàn)?+100=2+99=3+98=...=50+51=101

所以將所給算式中各加數(shù)經(jīng)過交換、結(jié)合以后，可以很快求出結(jié)果.

解：1+2+3+…+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)

=101x____________

（1）補(bǔ)全例題的解題過程；

⑵計(jì)算：。+（。+6）+（。+26）+（。+36）H-----F（。+996）+（。+100b）

8.（2021?四川中區(qū)?九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）閱讀與應(yīng)用：

閱讀1：。、b為實(shí)數(shù)，且q>0,6>0,因?yàn)橐话裕?gt;0,所以+b20,從而Q+6N2A/^K（當(dāng)Q

=b時(shí)取等號(hào)）.

閱讀2：函數(shù)》=、+%（常數(shù)冽>0,x>0）,由閱讀1結(jié)論可知：X+->2AC^=2V^,所以當(dāng)'='即

XX\XX

x=時(shí)，函數(shù)y='+'"的最小值為.

X

閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：

問題1：已知一個(gè)矩形的面積為4,其中一邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為：，周長(zhǎng)為2（x+j,求當(dāng)尸

一時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為.

問題2：已知函數(shù)為=x+l（%〉一1）與函數(shù)y2=N+2x+17（x>—1）,當(dāng)％=__________時(shí)，匹的最小

必

值為.

問題3：某民辦學(xué)習(xí)每天的支出總費(fèi)用包含以下三個(gè)部分：一是教職工工資6400元；二是學(xué)生生活費(fèi)每人1

0元；三是其他費(fèi)用.其中，其他費(fèi)用與學(xué)生人數(shù)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01.當(dāng)學(xué)校學(xué)生人數(shù)為多少

時(shí)，該校每天生均投入最低？最低費(fèi)用是多少元？（生均投入=支出總費(fèi)用一學(xué)生人數(shù)）

9.（2021?鹽城市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）閱讀材料：各類方程的解法：

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為

一元一次方程來解；類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它

轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，

所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想一

轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+xJ

2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（/+x-2）=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

（1）問題：方程6x3+14--12x=0的解是：再=0,%=,x3=；

（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程j2x+3=x的解;

（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD=21m,寬AB=8m,點(diǎn)P在AD上（AP>PD）,小華把一根

長(zhǎng)為27m的繩子一段固定在點(diǎn)B,把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P,再拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C,求

AP的長(zhǎng).

pD

千年一千年、￥千

/、、

p千千千千、%

BC

10.（2021?山東濟(jì)南?九年級(jí)一模）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合務(wù)=左（左＞0且左片1）的點(diǎn)尸會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

（問題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在x軸，V軸上分別有點(diǎn)C（見點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且

OP=r,設(shè)—=左，求尸C+狂見的最小值.

圖1

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在。。上取點(diǎn)使得（W:。尸=。尸:。。=左；

第二步：證明枕O=PM；第三步：連接CM,此時(shí)C0即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在。。上取點(diǎn)使得（W:。尸=OP:OD=左，

又QAPOD=/.MOP,POM:MDOP.

任務(wù)：

⑴將以上解答過程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在R/A48c中，N/CB=90°,NC=4,8。=3,。為^18c內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD=2,利用⑴中的

2

結(jié)論，請(qǐng)直接寫出的最小值.

11.（2020?山東青島?九年級(jí)一模）［提出問題］正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的

邊及內(nèi)角有什么關(guān)系？

［探索發(fā)現(xiàn)］

（1）為了解決這個(gè)問題，我們不妨從最簡(jiǎn)單的正多邊形——正三角形入手

如圖①，AA8C是正三角形，邊長(zhǎng)是尸是A48C內(nèi)任意一點(diǎn)，P到AA8C各邊距離分別為4、刈、"，確

定%+為+勿的值與A4BC的邊及內(nèi)角的關(guān)系.

圖①

（2）如圖②，五邊形/BCDE是正五邊形，邊長(zhǎng)是是正五邊形/BCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，尸到五邊形N3CDE各

邊距離分別為％也也，力4,%，

參照（1）的探索過程，確定九+e+〃3+&+/5的值與正五邊形ABCDE的邊及內(nèi)角的關(guān)系.

D

H

ANB

w圖②

（3）類比上述探索過程：

正六邊形（邊長(zhǎng)為a）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和4+為+H+兒+%+4=

正八邊形（邊長(zhǎng)為。）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和4+4+%+均+力5+4+〃7+為=

澗題解決]正〃邊形（邊長(zhǎng)為a）內(nèi)任意-一點(diǎn)P到各邊距離之和h1+h2+……+h?=

12.（2020?青島超銀中學(xué)九年級(jí)月考）（問題情境）

我們知道若一個(gè)矩形是的周長(zhǎng)固定，當(dāng)相鄰兩邊相等，即為正方形時(shí)，它的面積最大.反過來，若一個(gè)矩

形的面積固定，它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢？

（探究方法）

用兩個(gè)直角邊分別為。，b的4個(gè)全等的直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。若小b,可以拼成如圖所示的

22

正方形，從而得至g2+62>4xg",gpa+b>2ab；當(dāng)時(shí)，中間小正方形收縮為1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方

形的面積等于4個(gè)直角三角形面積的和.即片+〃=4（；/）=2m.于是我們可以得到結(jié)論：a,b為正數(shù)

，總有1+6222a6,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，代數(shù)式/+〃取得最小值2".另外，我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)

算得到類似上面的結(jié)論：

?.?[a-b'f>0,a2-2ab+b2>0,a2+b2>lab

??.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b總有+及N2ab,且當(dāng)a=6時(shí)，代數(shù)式/+/取最小值2".

使得上面的方法，對(duì)于正數(shù)。，b,試比較a+6和2&萬的大小關(guān)系.

（類比應(yīng)用）

利用上面所得到的結(jié)論完成填空

（1）當(dāng)x>0時(shí)，代數(shù)式x+士有最_值為_.

X

（2）當(dāng)x>l時(shí)，代數(shù)式x+—1有最—值為—.

X-1

（3）如圖，已知P是反比例函數(shù)y=:（x>0）圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，。（0,0）,/（-M）,試求S△皿的最小面

積.

13.（2020?山西九年級(jí)一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍.

梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截,

這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與

三條邊的延長(zhǎng)線都相交）.他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）：

設(shè)。，E,尸依次是A43C的三邊BC,?；蚱溲娱L(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足絲?絲?與=1

DBECFA

這個(gè)定理的證明步驟如下:

情況①：如圖1,直線DE交A42c的邊N2于點(diǎn)。，交邊ZC于點(diǎn)尸，交邊2c的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E.

過點(diǎn)C作CMLDE交42于點(diǎn)跖則萼=黑，照=］（依據(jù)），

ECDMDMFC

BEAD_BDAF

~FC"

ADBECF,

；,BE,AD/FC=BD?AF*EC,即Rn------------=1.

DBECFA

A

圖1圖2圖3

情況②：如圖2,直線DE分別交AIBC的邊A4,BC,C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，E,F.

（1）情況①中的依據(jù)指：;

（2）請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；

（3）如圖3,D,尸分別是△/I8C的邊N8,/C上的點(diǎn)，且ND:D3=CF:出=2:3,連接。尸并延長(zhǎng)，交3C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么BE:CE=.

14.（2020?重慶八中九年級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料：

問題：已知方程/+工一1=0,求一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為八則y=2x,所以x=5.

把代入已知方程，得金|+1-1=0

化簡(jiǎn)，得必+2了-4=0

故所求方程為「+2夕-4=0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）.

（1）已知方程/+xT=（）,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為

（2）已知關(guān)于x的一元二次方程af+bx+c：。有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的

根分別是已知方程根的倒數(shù)；

（3）已知關(guān)于x的方程無2-加x+〃=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求一個(gè)方程，使它的根分別是已知方程根的平方.

15.（2020?山東青島?九年級(jí)期末）空間任意選定一點(diǎn)O,以點(diǎn)。為端點(diǎn)作三條互相垂直的射線Ox,

Oy,Oz.這三條互相垂直的射線分別稱作x軸、y軸、z軸，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的方向分別為Ox（水

平向前），。了（水平向右），Oz（豎直向上）方向，這樣的坐標(biāo)系稱為空間直角坐標(biāo)系.將相鄰三個(gè)面

的面積記為幾邑,號(hào),且s2VsJ的小長(zhǎng)方體稱為單位長(zhǎng)方體，現(xiàn)將若干個(gè)單位長(zhǎng)方體在空間直角坐標(biāo)

系內(nèi)進(jìn)行碼放，要求碼放時(shí)將單位長(zhǎng)方體百所在的面與X軸垂直，星所在的面與丁軸垂直，號(hào)所在的面與

z軸垂直，如圖1所示.若將X軸方向表示的量稱為幾何體碼放的排數(shù)，了軸方向表示的量稱為幾何體碼放

的列數(shù)，z軸方向表示的量稱為幾何體碼放的層數(shù)；如圖2是由若干個(gè)單位長(zhǎng)方體在空間直角坐標(biāo)內(nèi)碼放

的一個(gè)幾何體，其中這個(gè)幾何體共碼放了1排2列6層，用有序數(shù)組記作（1,2,6）,如圖3的幾何體碼放了

2排3列4層，用有序數(shù)組記作

（2,3,4）.這樣我們就可用每一個(gè)有序數(shù)組（x,y,z）表示一種幾何體的碼放方式.

（1）有序數(shù)組（3,2