空間向量的應(yīng)用與新定義（五種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型專項復(fù)習(xí)（解析版）

第10講空間向量的應(yīng)用與新定義（五種題型）

題型一：空間向量的位置關(guān)系的證明

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCO-ABCIA中，。是底面ABCD的中心，瓦尸分別

是8綜。，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AflUEF

B.AO1EF

C.4?！ㄆ矫婧笫?/p>

D.4。，平面石尸耳

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.

【詳解】在正四棱柱ABCQ-ABCiA中，以點。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

令A(yù)B=2a,D1=2b（a>0力>0）,0是底面ABCQ的中心，E,尸分別是的中點,

則O(a,a,0),A(2a,0,2b),E(2a,2a,b),Bx(2a,2a,2b),F(0,0,Z?),西=(a,—a,2b),

FE=(2a,2a,0),EBX=(0,0,b),

對于A,顯然西與而不共線，即4。與石尸不平行，A不正確；

對于B,因西.耳g=a,2a+(—a)?2a+0?2b=0,則兩_L而，即AO_LW,B正確；

對于C,設(shè)平面E廠片的法向量為7=O,y,z),則°,令1=1,得幾=(1,-1,0),

[n-EBX=bz=Q

就工=2。＞0,因此兩與3不垂直，即4。不平行于平面石尸片，C不正確；

對于D,由選項C知，兩與％不共線，即4。不垂直于平面￡歹耳，D不正確.

故選：B

2.(2023春?河南洛陽?高三洛陽市第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在正方體ABCD-ABCR中，E,尸分別為

的中點，則()

A.平面耳功，平面B.平面瓦環(huán)，平面48。

C.平面BjEF//平面A&CD.平面耳后///平面44。

【答案】A

【分析】證明所1平面8。，，即可判斷A；如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2,

分別求出平面片\BD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體A8C3-A8c。中，

AC上BD且DD、±平面ABCD,

又￡Fu平面ABCD,所以E尸J./)，，

因為瓦尸分別為的中點，

所以EF04C,所以￡F_LBD,

又叼。。=。，

所以平面BDD{,

又EFu平面B|E尸，

2

所以平面4E尸，平面BOR,故A正確;

選項BCD解法一：

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2,

則4（2,2,2）,E（2,1,0）,b（1,2,0）,8（2,2,0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

G（0,2,2）,

則而=（-1,1,0）,甌=（0,1,2）,麗=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

A4；=（O,O,2）,AC=（-2,2,O），Aq=（-2,2,O）,

設(shè)平面B[EF的法向量為正=（%,%/1）,

則有17'八，可取加=（2,2,-1）,

\m?Eq=%+2Z[=0

同理可得平面4與。的法向量為E=（1，T，T），

平面AAC的法向量為后=（1,1,0）,

平面AC。的法向量為％=（1』,一1）,

則加?〃1=2—2+1=17t0,

所以平面與EF與平面48。不垂直，故B錯誤；

.UU

因為加與n2不平行，

所以平面與E尸與平面AAC不平行，故C錯誤；

因為面與瓦不平行，

所以平面與后尸與平面AG。不平行，故D錯誤，

故選：A.

3

選項BCD解法二：

解：對于選項B,如圖所示，設(shè)43口片￡=加，EFC[BD=N,則MN為平面與E尸與平面4BD的交線,

在ABMN內(nèi)，作BPLMN于點、P,在AEMN內(nèi)，作GP_LM2V,交EN于點G,連結(jié)BG,

則NBPG或其補角為平面BtEF與平面A3。所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG-+PN2=GN2,

底面正方形ABCD中，E尸為中點，則EF_LBD,

由勾股定理可得N/+NG?=BG2,

從而有：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB2+PG2*BG2,即NBPG*90。，

據(jù)此可得平面用口，平面48。不成立，選項B錯誤;

對于選項C,取A耳的中點H,則4Hll耳E,

4

由于AH與平面AAC相交，故平面耳跖〃平面AAC不成立，選項C錯誤;

對于選項D,取AD的中點加，很明顯四邊形4耳尸河為平行四邊形，則A"||耳尸,

由于AM與平面4G。相交，故平面與匹〃平面AQD不成立，選項D錯誤;

3.（2023春?云南昆明?高三校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體A3CD-ABG。中，尸為棱8瓦的

中點，。為正方形BAGC內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不亞確的是（）

A.若?！颉ㄆ矫?尸。，則動點。的軌跡是一條線段

B.存在。點，使得2。人平面4尸。

c.當且僅當。點落在棱CG上某點處時，三棱錐。-4尸。的體積最大

5

D.若20=手，那么。點的軌跡長度為亨萬

【答案】B

【分析】取B|G，CG中點E,尸，證明2EP//平面ADP,得動點軌跡判斷A,建立如圖所示的空間直角坐

標系，求出平面APO的一個法向量，由函與此法向量平行確定。點位置，判斷B,利用空間向量法求

得。到到平面AP。距離的最大值，確定2點位置判斷C,利用勾股定理確定。點軌跡，得軌跡長度判斷

D.

【詳解】選項A,分別取4G，CG中點及尸，連接D]E,DF，EF,PF,由Pb與8,G，AA平行且相等

得平行四邊形APFR,所以。尸〃4尸，

2廠0平面4。尸，APu平面A。尸，所以。///平面4。尸，

連接用C,EF//BtC,B,C/1AD,所以EF/M,，同理跖//平面4。尸，

EFcDF=F,E尸,2尸u平面REB,所以平面〃跖//平面4。尸，

當Qe斯時，DQu平面REF,所以RQ//平面8。尸，即。點軌跡是線段昉，A正確；

選項B,以2為原點，2A，2G，r>2所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

4（1,0,0）,￡>（0,0,1）,設(shè)。（無,1,Z）（0<x,z<l）,

—?—>1____.

40=（-i,o,i）,4P=（o/，5）,〃。=（演i,z）,

設(shè)機=（〃,"c）是平面AXPD的一個法向量，

m-AiD=-a+c=0

一1

則—.1，取。=1則根=（L—5，1）,

m-AxP=b+—c=0

若2。，平面4尸。，則麗〃而，所以存在XeR,使得麗=4而，

X=A

=解得x=z=-2拓[0,1],因此正方形BCCB內(nèi)（含邊界）不存在點。，使得平面$尸。，B

z=Z

錯；

6

選項c,△APD面積為定值，當且僅當點。到平面吊尸。的距離最大時，三棱錐Q-4尸0的體積最大,

4Q=(xT/,z),

23

Q到平面\PD的距離為d=x+z—0<x+z<2,

32

393

OWx+zW,時，d=—(x+z)],當無+z=O時，d有最大值1,

3231

]W%+zW2時，=—[(x+z)——],x+z=2時，d有最大值§,

綜上，%+z=o時，d取得最大值1,故。與a重合時，1取得最大值，三棱錐。-a尸。的體積最大，c正

確;

選項D,。］。1，平面35℃,CQu平面BAG。，DXCX1CXQ,

所以CiQ=jDiQ2_D￡；力,所以。點軌跡是以G為圓心，變?yōu)榘霃降膱A弧，圓心角是9,軌跡長度

222

為=x2兀x立^=也^Z，D正確.

424

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間點的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過2且與平面4尸。平行的平面

DtEF,由體積公式，在正方形BBCC內(nèi)的點。到平面同尸。的距離最大，則三棱錐。-4尸。體積最大.

二、多選題

4.（2022?湖南長沙?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體ABCO-A耳G2的棱長為2,E、F、G分別為

7

AD,AB,的中點，以下說法正確的是（）

B.AC_L平面EFG

C.過點旦F、G作正方體的截面，所得截面的面積是3#

D.異面直線EG與AG所成的角的余弦值為立

3

【答案】ABC

【分析】對于A直接計算即可；對于B,D選項以為1軸，。。為y軸，為z軸，建立空間直角坐標

系，結(jié)合空間向量計算即可；對于c作G2中點N,BB]的中點M,DD,的中點T,連接GN,GM,

FM,TN,ET,計算面積即可.

【詳解】

nZ

Dx_______________C,QNG

4f4________

1z

1zf

1,zt/

?z//;

hi/J/cy

/FBAFB

-x2=1,故A正確；

對于A,V_=—,S△取/CC]=—x-

AEFG332

對于B,以。A為x軸，。。為y軸，DQ為z軸，建立空間直角坐標系，C（0,2,0）,C"0,2,2）,

8

A(2,0,2),E(l,0,0),*2,1,0),G(l,2,2),A(2,0,0),

則際=(-2,2,-2),,EF=(1,1,0),而=(0,2,2),而.麗=0,A^CEG=0,

則AC,平面EFG,B正確；

對于C,作GQ中點M2用的中點M,。，的中點T,連接GN,GM,FM,TN,ET,則正六邊形

EFMGNT為對應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為0,則截面面積為：S=6x^x(0『=3若，故C正確；

對于D,旃=(0,2,2),而=(-2,2,2),1os(而，鬲)卜提工色=￥，故D錯誤.

故選:ABC.

5.(2022?廣東?統(tǒng)考三模)在正方體ABCO-ABCQi中，AB=1,點P滿足回=2詼+〃。巳，其中

九e[0,1],/Ze[0,1],則下列結(jié)論正確的是()

A.當男尸//平面時，B[P可能垂直CQ

qrTT

B.若片P與平面CGA。所成角為￡，則點尸的軌跡長度為g

42

c.當彳=〃時，?力耳+|石|的最小值為鳥@

D.當4=1時，正方體經(jīng)過點4、P、C的截面面積的取值范圍為[池，V2]

2

【答案】ABD

【分析】依題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算A、D,連接GP,則/瓦PG即為

與P與平面CG。。所成角，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到尸的軌跡，即可判斷B,將平面CDD]與平面ABC2沿

CQ展成平面圖形，化曲為直，利用余弦定理計算即可判斷C；

【詳解】解：對于A選項：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-孫Z,

則4(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),4(0,0,1),Q(1,1,1),0(0,1,1),

所以西=(-1,0,1),率=焚+國=麻+4而+〃石=(—41,〃-1),

則百=(-1,0,1),=(-1,1,0),設(shè)平面48。的一個法向量為3=(x,y,z),

所以僚:二二令x=l,則y=z=l,即平面A加的一個法向量為A=(1,U),

若耳尸〃平面48。，則小麗=0,

9

1___,___.

即2=〃，貝U當4=〃=/時，BpCR=2+〃-1=0,即尸為C2中點時,

有用尸〃平面480,且用PLCR,故A正確;

B選項：因為與G，平面CG。。，連接弓尸，則/BZG即為⑻尸與平面CCQQ所成角，

若用P與平面CG2。所成角為二，則tan/用尸6=寫=1,所以G尸=8?=1,

44cl

即點尸的軌跡是以G為圓心，以1為半徑的31個圓，于是點尸的軌跡長度為nW，故B正確;

42

C選項：如圖，將平面CDD1與平面ABCR沿C。展成平面圖形,

線段AQ即為|力用+|4日的最小值，

利用余弦定理可知\D-=-24R.￡>〃cos—

所以4〃=12+夜,故C錯誤；

10

D選項：正方體經(jīng)過點A、p、c的截面為平行四邊形APCH，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角

坐標系A(chǔ)-型，

則4(0,0,0),c(l,l,o),A(0,0,1),尸

所以定=(1,0,T),承=(1,1,一1),PCA^=l+t,|PC|=VW,|AC|=V3,

_、2

所以點p到直線4c的距離為d=?定產(chǎn)一PCA^C

l2t2-2t+2

=V-3-'

于是當時，△尸4c的面積取最小值，此時截面面積為邁；

22

當/=0或1時，△PAC的面積取最大值，此時截面面積為血，故D正確.

11

三、填空題

6.（2022秋.湖南懷化.高三?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體ABCDEB中，面ABC。為正方形，平面

ABCD,CF//DE,且A2=OE=2,CF=1,G為棱8C的中點，X為棱DE上的動點，有下列結(jié)論：

①當X為。E的中點時，G8〃平面ABE；

②存在點H,使得GHLAE；

③三棱錐B-GHF的體積為定值；

④三棱錐E-BCF的外接球的表面積為14%.

其中正確的結(jié)論序號為.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①③④

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計算公式，以及棱錐外接球半

徑的求解，對每一項進行逐一求解和分析即可.

【詳解】對①：當”為。E的中點時，取切中點為加，連接"7/,人歷，如下所示：

因為分別為EZ）,E4的中點，故可得MH=^AD,

根據(jù)已知條件可知：BG//AD,BG=^AD,故MHHBG,MH=BG,

故四邊形為平行四邊形，則〃G//MB,又MBu面ABE,HGz面ABE,

故HG〃面ASE,故①正確；

對②：因為即上面人⑶⑺的人的^匚面.。。，故石，DC,

又四邊形ABCD為矩形，故則兩兩垂直，

12

以。為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示:

則4(2,0,0),E(0,0,2),G。,2,0),設(shè)H(0,0,/n),ue[0,2],

若GHLAE,貝I曲.樂=(-1,一2,m).(-2,0,2)=0,

即2+2m=0,解得m=-1,不滿足題意，故②錯誤；

對③：VB—GFH=VR—BGF，因為氏EG均為定點，故S,"/為定值，

又DEHCT7,CT7u面BGF,DE<z面BGF,故QE〃面BGF,

又點7/在DE上運動，故點//到面BGb的距離是定值，

故三棱錐3-G切的體積為定值，則③正確；

對④：取△EFC的外心為。一過。1作平面EFC的垂線。聲，

則三棱錐B-EFC的外接球的球心O一定在QN上

因為。。，面麻。，/C_L面A2CD,CBu面A5CD,則CFJLCB,又CBLCD,

C尸c8=C,CF,CDu面EFCD,故CB_L面EFCD，又BC_L面EFC,

則。OJ/CB,故OOi，BC在同一個平面，

則過。作OPL3C,連接OB,OC如圖所示.

在小EPC中，容易知EF=&EC=26.,FC=1,

13

則由余弦定理可得cosZEFC=出/=-旦，故sinZEFC=冬5

2J555

EC

則由正弦定理可得O1C=*。尸；

2sinZEFC

設(shè)三棱錐E-FC3的外接球半徑為R,則OC=O3=R,

在△03尸中，OB=R,OP=—,

2

22

y.BP=2-PC=2-00l=2-yj0C-0lC=2-

故由勾股定理可知：032=0尸+3產(chǎn)，即代=：+4+尺2-：一4K

解得：片=g則該棱錐外接球的表面積5=4%K=14%,故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查線面平行的證明，線線垂直的判定，以及三棱錐體積的計算和外接球半徑的求解，屬綜

合困難題.

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4GR中，M,N分別是棱

A與，A2的中點，點尸在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論:

①平面CW截正方體ABC￡>-AB|G2所得的截面圖形是五邊形；

②直線片，到平面CMN的距離是正；

2

③存在點P,使得N4PA=90。；

@APDDX面積的最小值是地.

6

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③

【分析】作出截面圖形判斷①，利用等積法可判斷②，利用坐標法可判斷③④.

14

【詳解】對于①，如圖直線MN與C由、G2的延長線分別交于連接CM”CM分別交8綜￡（2于

M2,N2,連接MM2,NN],

則五邊形即為所得的截面圖形，故①正確；

對于②，由題可知MN//4D，MNu平面CMN,用2a平面CMV,

瓦2〃平面CMV,故點見到平面CMN的距離即為直線4R到平面CMN的距離,

設(shè)點與到平面CMV的距離為及，由正方體ABCD-A4GR的棱長為2可得,

CM=CN=3,MN=垃,夜x卜用當

VB「CMN=-h=；x乎X'=平〃'

匕一MMN=]S△用MNCG=5X5X2=],

???由！-CMN-Vc—B\MN，可得%=，

所以直線8a到平面CMN的距離是也，故②錯誤；

17

對于③，如圖建立空間直角坐標系，則旦（2,0,2）,0（0,2,2）,。（2,2,0）,M（l,0,2）,

15

^PC=2MC,O<2<1,

：.PC=AMC=A（l,2,-2）,又C（2,2,0）,4（2,0,2）,"（0,2,2）,

尸（2—4,2—24,2/1）,PBi=（A,22-2,2-22）,PDi=（2-2,22,2-22）,

假設(shè)存在點P，使得NBFn=90。,

/.PB1PD1=A（2-2）+22（2A-2）+（2-2A）2=0,整理得9/^-14/1+4=0,

...）=7+岳力（舍去）或彳=7一舊,

99

故存在點尸，使得/4尸。=90。，故③正確；

對于④，由上知尸（2—彳,2-2彳,2彳），所以點尸（2—42-2；1,2彳）在。A的射影為（。，2,24,

.?.點尸（2-42-242彳）至1」DD）的距離為:

2216

</=^(2-2)+(-22)1522-4/1+4=+一，

5

.?.當4=2時，d.=—,

5m,n5

...故△P。。面積的最小值是_1*2*生5=迪，故④錯誤.

255

故答案為：①③.

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在棱長為，的正方體ABC。-AAGA中，M,N分別為雙兒百G的中

點，點P在正方體表面上運動，且滿足MP_LCV,點P軌跡的長度是.

16

【答案】（2+布）。

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解出點P軌跡的長度.

【詳解】在正方體ABC。-AAGA中，以。為坐標原點，分別以ZM,DC,為尤軸，y軸，z軸建

立空間直角坐標系,

2)(0,0,0),2眨段費｝明，呵,C(0,a,0),.?.國=(J,0,a

設(shè)尸(x,y,z),則標=[x-

■:MPLCN,：0=>2x+4z—3。=0,

當…時，z/當…時，zf

取F^a,a,^,H[O,O,,J,G(0,a,學(xué)],

連結(jié)E/，F(xiàn)G,GH,HE,

則EF=HG=(0,a,0),EH=FG=f—a,0,—

四邊形EFGH為矩形，則瓦?.西=0，EHCN=0>

即EFLCTV,EHLCN,又跖和E"為平面EFG”中的兩條相交直線,

CN_L平面EFGH,

aaa(aaa

又麗=~~,~~~,MG=[~292,4

224

???M為EG的中點，則河￡平面EFGH,

為使MPLQV,必有點尸￡平面￡FGH,

又點P在正方體表面上運動，所以點P的軌跡為四邊形及‘GH,

17

又EF=GH=a,EH=FG=—a,：.EF^EH,則點P的軌跡不是正方形,

2

則矩形的周長為（2+行）a.

故答案為：（2+布）a

【點睛】對于立體幾何中的軌跡問題，可以建立空間直角坐標系，將其代數(shù)化處理，可以很方便的求出邊

的長度及角度.

四、解答題

9.（2023.北京海淀.中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐P-ASCD的底面是矩形，PD1

底面ABC。，PD=DC=1,BCf，〃為的中點.

(1)求證：PBLAM-,

（2）求平面24〃與平面PDC所成的角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

7

【分析】（1）以點。為原點，依次以。A,DC,。尸所在直線為羽y,z軸建立空間直角坐標系，求出

18

PBAM^O,利用數(shù)量積即可證明.

(2)求出兩平面B4M與平面PDC的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦.

【詳解】解：(1)依題意，棱ZM,DC,0P兩兩互相垂直.

以點D為原點，依次以D4,DC,。尸所在直線為x,?z軸，

如圖，建立空間直角坐標系.

則8(0,1,0),尸(0,0/)，4(夜,0,0),,1,0

可得麗=(3,1,-1),而=[一乎,1,0.

所以兩說=@]_S+1_0=0,

所以

(2)由⑴得到A(衣0,0),

因此可得4M=1—,AP=(-A/2,0,1).

設(shè)平面24M的一個法向量為百=(x,y,z),則由

19

［也

瓦.麗=0,x+y=0,

得2

%?AP=0,

-"x/Zx+z=0,

令z=2忘,解得1=（2,0,2忘）.

同理，可求平面尸。C的一個法向量屐=(1,0,0).

所以，平面B4M與平面PDC所成的銳二面角。滿足:

%?幾2_2_V14

cos。=

匐卜217

即平面鞏"與平面尸DC所成的銳二面角的余弦值為巫.

7

10.(2023?北京海淀?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-4耳。中，抽，平面A3C,

AB1AC,AB=AC=AAl=l,M為線段AG上一點.

JT

(2)若直線AB,與平面BCM所成角為:，求點A到平面BCM的距離.

4

【答案】(1)證明過程見解析；

(2)-.

3

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可;

(2)利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.

【詳解】(1)因為平面A3C,A2,ACu平面A3C,

所以A4,而AB人AC,因此建立如圖所示的空間直角坐標系：

20

A(0,0,0),A(0,0,1),B(l,0,0),C(0,l,0),耳(1,0,1),M(0,a,l)(ae[0,1]),

BM=(-1,a,1),AB^=(1,0,1),因為加?鬲=Txl+ax0+lxl=0,

所以加，離，即BM_LA耳，

(2)設(shè)平面BCM的法向量為〃=(x,y,z),

W=(-1,a,1),BC=(-1,1,0),

n-BM=0—x+ay+z=0

所以有=>n=(1,1,1—di),

n-BC=0一九+y=0

TT

因為直線9與平面BCM所成角為一

A/2|1+1—tz|A/2

所以kos〈礫，可.71AB}-n

=sin—=>2=.仔+1；+(1—〃)2xa2

4HR

解得。=g,即2=因為“=(1,0,-1),

所以點A到平面BCM的距離為:

COS<

【點睛】

n.（2022秋.天津濱海新?高三校考期末）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AAG2中，E為棱8C的中

21

點，尸為棱CD的中點.

（I）求證：。///平面AEG；

（ID求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

（III）求二面角A-4G-E的正弦值.

【答案】（D證明見解析；（ID@；（HI）

93

【分析】（D建立空間直角坐標系，求出爐及平面AEG的一個法向量而，證明即，而，即可得證；

（II）求出狷，由sinO^cos（加離,運算即可得解；

（III）求得平面AAC的一個法向量而，由cos（OB,〃z）=網(wǎng)同結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解.

【詳解】（D以A為原點，M,仞,招分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則4（0,0,0）,A（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,G（2,2,2）,0（0,2,2）,

因為E為棱的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以E（2,l,0）,*1,2,0）,

所以即=（1,0,-2）,/=（2,2,0）,乖=（2,1,—2）,

設(shè)平面AEQ的一個法向量為前=（網(wǎng),％,zj,

則＜_____,令%=2,貝1]7〃=（2,-2,1）,

加?4萬=2%+乂-2Z]=0

因為麻.石=2—2=0,所以取前，

因為。尸0平面4EQ,所以2尸//平面AEG；

（II）由（1）得，AQ=（2,2,2）,

設(shè)直線與平面AEG所成角為e,

22

=____A_G__2V3

則sin0==

一同陽-3x2有一9；

(III)由正方體的特征可得，平面A41G的一個法向量為麗=⑵-2,0),

麗石82應(yīng)

|DB|-|m|3x2^23

所以二面角A-AQ-E的正弦值為J—cos2(函同=1.

12.(2023春?天津武清?高三?？奸_學(xué)考試)直三棱柱ABC-44Q中,

AAi^AB^AC=2,AAilAB,AClAB,。為4瓦的中點，E為的中點，尸為8的中點.

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)求直線BE與平面CCtD所成角的正弦值；

(3)求平面\CD與平面CCQ所成二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑶亞

10

23

【分析】（1）以點A為坐標原點，4A、A4、4G所在直線分別為X、y、z軸建立空間直角坐標系,

利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

（2）利用空間向量法可求得直線BE與平面CCQ夾角的正弦值;

（3）利用空間向量法可求得平面4。與平面CG。夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明：在直三棱柱ABC-44。中，44,，平面48。1,且ACJ_AB,則耳

以點4為坐標原點，4A、44、4G所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則4（2,0,0）、3（2,2,0）、C（2,0,2）、A（。，。，。）、5,（0,2,0）,G（0,0,2）、￡>（0,1,0）,￡（1,0,0）,

尸O則麗=錯4

易知平面A3c的一個法向量為方=（1,0,0）,則瓦?.?=0，故而_L而，

平面ABC,故?！ㄆ矫鍭BC.

（2）解：束=（2,0,0）,QD=（O,l,-2）,麗=（1,2,0）,

設(shè)平面CG。的法向量為。=G，x，zJ,貝小心箕=2%二°

EBu_4

?。?2,可得5=（0,2,1）,cos<EB,u>=

4

因此，直線跖與平面CG。夾角的正弦值為二.

（3）解：后=（2,0,2）,麗=（0,1,0）,

V-A。=2X+2Z=0

設(shè)平面AC。的法向量為則22

v?A。=%=o

24

->-*u'v1JlO

?。?1,可得人（1,。,-1）,則3<","=而=-耳7r-而，

因此，平面ACQ與平面CCQ夾角的余弦值為強.

10

13.（2022春?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-45CD中，底面ABC。是正方形，側(cè)面上4。，底面

ABCD,

E,尸分別為尸A3。中點，PA=PD=AD=2.

（1）求證：班〃平面P3C；

（2）求二面角E-O尸-A的余弦值；

（3）在棱PC上是否存在一點G,使G廠，平面瓦R?若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）姮；（3）不存在；理由見解析.

5

【分析】（1）作A2的中點連接EH,FH,先利用面面平行的判定定理，證明出平面所月〃平面

PBC,進而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出EF//平面PBC；

（2）作￡7垂直AD于/,作L7LDB=J,連接E7,作AD中點0,連接OP,先證出/E〃為二面角

E-Ob-A的平面角，進而求得〃和￡7,最后在直角三角形中求得cosNE”；

（3）先假設(shè)存在點G,建立空間直角坐標系，求得平面EFD的一個法向量，表示出於和根據(jù)向量

共線的性質(zhì)建立等式對2求解.

【詳解】（1）作A2的中點連接EH,FH,

?..在中，E,H為中點、,

：.EH//PB,

「團二平面尸及？，依（=平面尸3。，

即〃平面PBC,

同理可證明FH//平面PBC,

:EHu平面EFH,FHu平面EFH,EH^FH=H,

平面EFH〃平面PBC,

25

EFu平面EFH,

：.EFU平面PBC；

(2)作￡7垂直AZ)于/,作"上DB=J,連接E7,作AD中點0,連接OP,

,.?PA=PD,

：.OP,LAB,

*：ElLAB,

：.EIIIOP,

???E為中點，

EI=—OP=——,A￡=—AB=一,

2242

側(cè)面PAD，底面ABCD,

E/_L底面ABCD,

?；IJLDB,

：.EI±DBf

???/￡〃為二面角石—。尸—A的平面角，

?.?ZADB=/JIB,ZDJI=/DAB=90°,

"DJIs,

.DIJI

上,

2

EJ=J〃2+￡/2=

842&

20

即二面角后—。尸―A的余弦值為姮；

5

26

p

(3)不存在.

假設(shè)存在，連接AC,80,交于點F，所為平面瓦加和平面PAC的交線,

以。為原點，OA,OF,OP分別為孫z軸建立空間直角坐標系，

則A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),￡)(-1,0,0),

P(0,0,73),Eg，0，3，F(xiàn)(0,1,0),

設(shè)G(4%,Zi),則宓=(占/_必，4)，

設(shè)平面EFD的一個法向量是:=(%,%,z0),

n?DF=/+%=0

n,DE=~XQ+^Z0=°

y=x—

即《0n0-，令%=1，則〃=(1,—1,—，

*0=73%\)

???因為GF_L平面EttF,

FG=^n^

.?％]二/i,%-1=—A,Z]=—y/3A9

**GC9/共線，尸。=卜1,2,一百)，CG=(x+1,%—2,zJ，

.1+1—%—2.z

-12—5

.?上二上二幸,無解，

-12-V3

故在棱PC上不存在一點G,使得G尸，平面瓦邛.

27

z

題型二：空間角的向量求法

一、多選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正四棱柱ABCO-ABCa中，CCX=2AB=2,E為CQ的中點，尸為

棱AA]上的動點，平面a過B,E,P三點,則（）

A.平面a_L平面

B.平面a與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形

C.當尸與A重合時，a截此四棱柱的外接球所得的截面面積為！■兀

O

JT

D.存在點P,使得AD與平面a所成角的大小為T

【答案】AC

【分析】A選項，證明用ELBE,A瓦，BE從而證明出BE，平面4瓦￡,進而證明面面垂直；B選項，

當尸時，畫出平面a與正四棱柱表面的交線圍成的圖形是五邊形；C選項，作出尸與A重合時的平

面a,求出外接球半徑，得到截面面積；D選項，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角的大小.

【詳解】因為C￡=248=2,E為CC,的中點，底面ABC。為正方形，

所以與ELBE,又因為44,平面BCC4,^^=平面2a7出，

所以4耳，BE,

因為B]EcAg=4,

所以平面4片￡，

因為BEu平面a,

所以平面C平面A4E,即A正確;

28

當PA>P4時，畫出平面a與正四棱柱表面的交線圍成的圖形如下圖:

其中尸在線段AA上，G在2G上，BP//EG,BE//PF,

可知交線圍成的圖形為五邊形，即B錯誤;

如圖，以A為坐標原點，AD,ABAA所在直線為x,?z軸，建立空間直角坐標系,

04(0,0,0),B(0,l,0),￡(1,1,1),

設(shè)平面ABEF的法向量為為=(%y,z),

n?BE=x+z=0

則有《令x=1,貝!Jz=—1,

n?AB=y=0

貝IJ而=(l,0,—l)

29

網(wǎng)?為

球心0到平面ABE的距離d=I_0

同一7'

此正四棱柱的外接球半徑為R=g=限,

22

所以截面半徑,=，霜-第=，則截面積S=兀/=?無，

O

即C正確；

設(shè)尸(0,0,m)，0<m<2,

則平面a的法向量為I=(AX，zJ,則;3,郎='+4二°,

巧?BP=一%+mzx=0

令4=1,則占=-1,%=機，所以%=(-1,m,1),

設(shè)相>與平面夕所成角為6,

則晨碼卜黑=舟丁總當，

因為y=sinx在(0,3上單調(diào)遞增，

所以。，

30

冗

所以不存在點尸，使得AD與平面a所成角的大小為W，即D錯誤.

故選：AC

【點睛】求解直線與平面夾角的取值范圍或平面之間夾角的取值范圍問題，建立空間直角坐標系可以很好

的將抽象的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為運算問題進行解決.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知梯形ABC。，AB=AD^-BC^1,ADIIBC,ADJ.AB,P是線段

2

3C上的動點；將△ABD沿著3D所在的直線翻折成四面體A'BCD,翻折的過程中下列選項中正確的是

A.不論何時，3。與AC都不可能垂直

B.存在某個位置，使得4力，平面A'BC

C.直線AP與平面BCD所成角存在最大值

D.四面體A