蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：多邊形的內(nèi)角和與外角和（6大考點(diǎn)+6種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（解析版）

第05講多邊形的內(nèi)角和與外角和

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索并了解“三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180?！?；

2.經(jīng)歷舉例、操作（畫(huà)圖、度量、拼圖）、觀察、歸納、說(shuō)理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生有條理的表達(dá)能

力.

3.掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，并能用內(nèi)角和知識(shí)解決有關(guān)多邊形的計(jì)算問(wèn)題；通過(guò)多邊形內(nèi)角和公式

的推導(dǎo)，增強(qiáng)探索與歸納的能力，初步掌握數(shù)學(xué)說(shuō)理能力；

4.經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和的過(guò)程,多角度,全方位地考慮問(wèn)題,初步掌握簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)結(jié)論的探究與運(yùn)用的方法；

5.經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，體驗(yàn)猜想的結(jié)論得到證實(shí)的成就感?.

思維導(dǎo)圖

一.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平行

線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求

三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

二.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角.

三.多邊形

C1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫(huà)多邊形任何一邊所在的直線整

個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°,通常所說(shuō)的多邊形指凸多邊形.

（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的支

撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心.

常見(jiàn)圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對(duì)角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊中線的交點(diǎn)（4）

任意多邊形.

四.多邊形的對(duì)角線

（1）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

（2）w邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對(duì)角線.從〃個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（w-3）條，而每條重復(fù)一次，

所以“邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：n（?-3）2（w23,且〃為整數(shù)）

（3）對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)公：w（"-3）2的理解：力邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成

對(duì)角線，故可連出（n-3）條.共有幾個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為“（〃-3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以

再除以2.

（4）利用以上公式，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)”的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方

程求77.

五.多邊形內(nèi)角與外角

（1）多邊形內(nèi)角和定理：（〃-2）780°（"》3且〃為整數(shù)）

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（?-3）條對(duì)角線，將〃邊形分割為（?-2）個(gè)三角

形，這（〃-2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但這些

方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾,其外角和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-（/2-2）-1800=360。.

六.平面鑲嵌（密鋪）

（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接.彼此之間不留空隙，

不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.

（2）正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制：①邊長(zhǎng)相等；②頂點(diǎn)公共；③在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為

360°.

判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°,

則說(shuō)明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能.

（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形.

（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形、四個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形、2個(gè)正三角形和2

個(gè)正六邊形、1個(gè)正三角形和2個(gè)正十二邊形、1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形等.

（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案.

題型精講

三角形內(nèi)角和定理（共11小題）

1.（2023春?贛榆區(qū)期末）如圖，把AABC沿砂翻折，疊合后的圖形如圖，若NA=60。，Zl=95°,則N2

的度數(shù)是（）

A.15°B.20°C.25°D.35°

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義運(yùn)用合理的推理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【解答】解：沿翻折，

:.ZBEF=ZB,EF,NCFE=NC'FE,

.-.180°-ZAEF=Z1+ZAEF,180O-ZAFE=Z2+ZAFE,

vZl=95°,

ZAEF=1(180°-95°)=42.5°,

\-ZA+ZAEF+ZAFE=180°,

ZAFE=180°-60°-42.5°=77.5°,

.?.180°-77.5°=Z2+77.5°,

.?.N2=25。，

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)軸對(duì)稱變化關(guān)系找到對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角.

2.(2023春?南京期末)如圖，兩面鏡子AB,3c的夾角為Ncr,當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡子后反射，Z1=Z2,

N3=N4.若N(z=70。，則//的度數(shù)是()

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】由平角的定義可得/5=180。-(/1+/2),Z6=180°-(Z3+Z4),再由三角形的內(nèi)角和可得

Z2+Z3=11O°,再利用三角形的內(nèi)角和即可求N6.

【解答】解：如圖,

由題意得：Z5=180°-(Zl+Z2)=180°-2Z2,Z6=180°-(Z3+Z4)=180°-2Z3,

???/“=70°,

.?.Z2+Z3=180°-Zdz=110°,

?.?/￡=180。一(N5+N6)

二./月=180。一(180°-2Z2+180°-2Z3)

=2(Z2+Z3)-180°

=2xll00-180°

=220°-180°

=40°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)角和為180。.

3.(2023春?廣陵區(qū)校級(jí)期中)已知：如圖，點(diǎn)￡＞、E、F、G都在AABC的邊上，DE//AC,且Nl+N2=180。

(1)求證：AD//FG；

(2)若DE平分Z4DB,ZC=40°,求/毋G的度數(shù).

G

/\\1Y\

/2\\

BDFC

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可；

（2）利用平行線的性質(zhì)和判定解答即可.

【解答】證明：（1）\DE//AC

:.Z2=ZDAC

???Z/+Z2=180°

.-.Z1+ZZMC=18O°

:.ADIIGF

（2）\ED//AC

:.NEDB=NC=40。

.ED平分Z4Z2B

.\Z2=ZEDB=40°

.\ZADB=80°

???AD//FG

.\ZBFG=ZADB=80°

【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

4.（2023春?泗洪縣期末）如圖，在AABC中，ZB=40°,ZC=60°,49平分NH4C,DELBC交AB于

點(diǎn)、E.

求Z4DE的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出44c=80。，利用角平分線的定義求出44。=/6。=40。，再根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求出N/4D6=100。，根據(jù)垂直的定義可知NHDE=90。，即可求解.

【解答】解：在AABC中，N5=40。，ZC=60°,

/.ZBAC=180°-40°—60。=80°,

?.?AD平分々AC,

,\ZBAD=ZCAD=40°,

在AABD中，ZB=40°,ZBAD=40°,

ZADB=180-40°-40°=100°,

DE±BC,

:.ZBDE=90°,

ZADE=ZADB-ZBDE=100°-90°=10°.

答：Z4DE的度數(shù)為10。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及垂直的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定

理，角平分線的定義及垂直的定義.

5.（2023春?興化市月考）我們定義：

在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”.如：三

個(gè)內(nèi)角分別為105。，60。，15。的三角形是“和諧三角形”.

【概念理解】

如圖1,NMON=60。，點(diǎn)A在邊。M上，過(guò)點(diǎn)A作欣交ON于點(diǎn)6,以A為端點(diǎn)作射線AD,交線

段QB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O,3重合）

（1）加。的度數(shù)為_(kāi)30。_,AAOB—（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；

（2）若Z4cB=84。，試說(shuō)明：AAOC是“和諧三角形”.

【應(yīng)用拓展】

如圖2,點(diǎn)。在AABC的邊AB上，連結(jié)DC,作NADC的平分線交4c于點(diǎn)E,在DC上取點(diǎn)尸，使

ZEFC+ZBDC=1SO°,ZDEF^ZB.若ABCD是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出NB的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)得至ljNQW=90。，求得NABO=90?！狽MQV=30。，得到N01B=3NABO,

所以AAOB不是“和諧三角形”；

(2)因?yàn)镹ACB是AAOC的一個(gè)外角，得到NACB=NO+NQ4C,求出NO4c=24。，NACO=96。，所以

ZACO=4ZOAC,所以得到AAOC是“和諧三角形”；

(3)由NEFC+N3DC=180。，ZADC+ZBDC=1SQ0,得到NEFC=NADC,可以證明AD//EF,得到

ZDEF^ZADE,而NDEF=NB,得至=由DEHBC,得至UNCDE=NBCD,根據(jù)ABCD是“和

諧三角形”，即可求解.

【解答】解：(1)-.-ABVOM,

:.ZOAB=9Q°,

ZABO=90°-ZMON=30°,

:.ZOAB=3ZABO,

不是“和諧三角形”；

故答案為：30°,不是；

(2)?.?NACB是AAOC的一個(gè)外角，

:.ZACB=ZO+ZOAC,

又NO=60°,ZACB=84°

:.ZOAC=24°,

ZACO=180°-84°=96°,

:.ZACO=4ZOAC,

j.AAOC是“和諧三角形”；

(3)■,■ZEFC+ZBDC=18Q°,ZADC+ZBDC=ISO°,

:.ZEFC=ZADC,

:.AD//EF,

:.ZDEF=ZADE,

而NDEF=4,

:.ZB=ZADE,

■.■DEI/BC,

:.ZCDE=ZBCD,

?.?DE平分NADC,

:.ZADE=Z.CDE,

:.ZB=ABCD,

?.?ABCD是“和諧三角形”，

ZBDC=4ZB或者ZB=4ZBDC

■.■ZBDC+ZBCD+ZB=180°

ZB=30。或者ZB=80。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，理解和諧三角形的概

念，用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

6.(2023春?江陰市期中)如圖，已知ACV//GH,點(diǎn)A在上，點(diǎn)3、C在GH上.在AABC中，ZACB=90°,

ZBAC=45°,點(diǎn)。、E在直線AB上，在ADE尸中，ZDFE=90°,NED尸=30。.

(1)圖中NBAN的度數(shù)是45°；

(2)將ADEF沿直線AB平移，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，求NAFE的度數(shù)；

(3)將AD歷沿直線AB平移，當(dāng)以A、D、尸為頂點(diǎn)的三角形中，有兩個(gè)角相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出NE4N

的度數(shù).

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NDEF=60。，結(jié)合圖形計(jì)算即可;

(3)畫(huà)出圖形直接得到答案.

【解答】解：(1)???NACB=90。，

:.ZBAC-hZABC=90°,

ABAC=45°

.\ZABC=45°,

??.ZBAN=ZABC=45。.

故答案為：45°；

(2)-,-ZDFE=90°,

ZDEF+ZEDF=90°,

???N￡D產(chǎn)=30。，

:.ZDEF=60°,

\'ZDEF=ZEAF+ZAFE

ZAFE=ZDEF-ZEAF=60°-45°=15°；

(3)當(dāng)NE4D=NFZM時(shí)，如圖3,

?「ZED尸=30°,

:.ZFAD=ZFDA=30°,

:.ZFAN=15°.

當(dāng)NE4￡>=/?時(shí)，如圖4,NE4N=75。；

圖4

當(dāng)NE4r>=NAFD=75。時(shí)，如圖5,44N=30。；

當(dāng)NE4T>=NAFE>=15。時(shí)，如圖6,ZFAN=120°.

E

D

綜上所述，ZFAN的度數(shù)為15°或75°或30°或120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023春?漣水縣期末)如圖，D、E、F、G是AABC邊上的點(diǎn)，ZABC=ZADE,ZDEB=Z.GFC.

(1)求證：BE//GF;

(2)若3E平分NABC,ZBDE=110°,ZC=50°,求NCGF的度數(shù).

【分析】(1)由題意可求得OE//BC,則有N3ED=N￡BC,即可求得N￡BC=NGFC,即得3E//GR;

(2)由平行線的性質(zhì)得N3DE+NABC=180。，可求得NABC=70。，再由角平分線的定義得NEBC=35。,

再由平行線的性質(zhì)得NGRC=35。，從而可求解.

【解答】(1)證明：?.,NABC=NADE,

:.DE//BC,

:.ZBED=ZEBC,

ZDEB=NGFC,

:.ZEBC=Z.GFC,

BEIIGF-,

(2)解：-.■DE//BC,

ZBDE+ZABC=180°,

ZABC=180°-ZBDE=70°,

?.,BE平分ZABC,

ZEBC=-ZABC=35°,

2

■.■BE//GF,

:.NGFC=ZEBC=35°,

NC+ZGFC+ZCGF=180°,

ZCGF=180°-ZC-ZGFC=95°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角

之間的關(guān)系.

8.（2023春?江陰市期中）如圖，AABC的角平分線CD、3E1相交于b，ZA=90°,EGIIBC,且CG_LEG

于G,下列結(jié)論：

?ZCEG=2ZDCB；

?ZADC=ZGCD；

③CA平分ZBCG；

@ZDFB=-ZCGE.

2

其中正確的結(jié)論是（）

A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①正確.利用平行線的性質(zhì)證明即可.

②正確.首先證明NECG=NABC,再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

③錯(cuò)誤.假設(shè)結(jié)論成立，推出不符合題意即可.

④正確.證明NDEB=45。即可解決問(wèn)題.

【解答】解：

:.ZCEG=ZBCA,

?.?CD平分NACB,

:.ZBCA=2ZDCB,

:.ACEG=1ZDCB,故①正確，

-.■CG±EG,

...NG=90°,

ZGCE+ZCEG=90°,

?.-ZA=90°,

:.ZBCA+ZABC=90°,

?;NCEG=NACB,

.-.ZECG=ZABC,

ZADC=ZABC+ZDCB,NGCD=ZECG+ZACD,ZACD=ZDCB,

:.ZADC=ZGCD,故②正確，

假設(shè)AC平分ZBCG,則ZECG=ZECB=ZCEG,

:.ZECG=ZCEG=45°,顯然不符合題意，故③錯(cuò)誤，

ZDFB=ZFCB+ZFBC=-(ZACB+ZABC)=45°,-ZCGE=45°,

22

:.ZDFB=-ZCGE,故④正確，

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

9.（2023春?沐陽(yáng)縣期末）如圖，在AABC中，Z1=Z2=Z3.

（1）證明：ZBAC=ZDEF；

（2）ABAC=70°,ZDFE=50°,求NABC的度數(shù).

【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

（2）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【解答】（1）證明：-.■ZBAC=Z1+ZCAE,ZDEF=Z3+ZCAE,Z1=Z3,

:.ZBAC=ZDEF.

:.ZABC=N1+ZABD=ZEDF,

由（1）可知NDEF=Na4C=70。，

ZABC=Z1+ZABD=ZEDF=180°-ZDEF-ZDFE=180°-70°-50°=60°,

:.ZABC=60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定

理，屬于中考常考題型.

10.（2023秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，AE是AABC的外角平分線，

（1）若AE/ABC則NB=NC嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由；

（2）若N3=NC則/場(chǎng)//BC嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ND1E=NB,NE4C=NC,根據(jù)角平分線的定義得出NZME=NC4E,

即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出4MC=NC+NB,角平分線的定義得出NZME=NC4E,根據(jù)

ZB=NC,得出即可證明AE/ABC.

【解答】（1）證明：?.?AE//8C,

:.ZDAE=ZB,ZEAC=Z.C,

?.?AE是NIMC的角平分線

:.ZDAE=Z.CAE,

.?.NB=NC；

（2）證明：???AE是NZMC的角平分線，

:.ZDAE=ACAE,BPADAC=ADAE+ACAE,ZDAE=-ADAC,

-.■ZDAC=AC+ZB,ZB=NC,即NZMC=2NB,

:.ZDAE=ZB,

:.AE//BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?江都區(qū)月考）在AABC中，平分NABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)

。重合），過(guò)點(diǎn)E作EF//3C交射線比）于點(diǎn)F,NCEF的角平分線所在直線與射線班＞交于點(diǎn)G.

（1）如圖1,點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng).

①若NABC=40°,ZC=70°,則NfiGE=55。；

②若NA=50。，則NBGE=i°;

③探究N3GE與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出4GE與之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；

②根據(jù)，ZBGE=NF_EG+NF=；NC+gNABC=；（ZB+NC）=g（18（）o-NA）,再代入計(jì)算即可；

③根據(jù)②的結(jié)論，可得，ZBGE=ZFEG4-ZF=-ZC+-ZABC=-（ZB+ZC）=-（180O-ZA）=90°--ZA；

22222

（2）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理平行線的性質(zhì)與判斷得出答案.

【解答】解：（1）①?.?5/是NABC平分線，￡G是NDEF的平分線，

/.ZABD=ZDBC=-ZABC=20°,ZCEG=ZFEG=-ZCEF,

?;EF//BC,

:./DBC=/F=—ZABC,/C=/CEF=2/FEG=QV,

2

ZFEG=-ZC=35°,

2

:.ZBGE=AFEG+ZF

=35。+20。

=55°,

故答案為：55；

②由①得，ZBGE=ZFEG+ZF

=-ZC+-ZABC

22

=1(ZB+ZC)

=1(180°-ZA)

=1(180°-50°)

=65°.

故答案為：65；

(3)ZBGE=90°--ZA,理由為:

2

由②得，ZBGE=AFEG+ZF

=-ZC+-ZABC

22

=1(ZB+ZC)

=1(180°-ZA)

=90°--ZA；

2

(2)如圖,

BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,

NG3C=gzABC=g(180。一ZA—NC),

-,-EF//BC,

ZCEF=180°-ZC,

;EH平分NCEF,

AFEH=|ZCEF=1(180°-ZC)=90°一：NC,

ZBHG=180°-ZFEH=180°-90o+-ZC=90°+-ZC,

22

ZBGE=1800-ZGBC-ZBHG

=180°--(180°-ZA-ZC)-(90°+-ZC)

22

=180°-90°+-ZA+-ZC-90°--ZC

222

=—ZA.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和為

180°以及題目中各個(gè)角之間的關(guān)系得出答案即可.

三角形的外角性質(zhì)（共9小題）

12.（2023春葉口江區(qū)期末）如圖，NAO3的度數(shù)可能是（）

B

A.45°B.60°C.65°D.70°

【分析】設(shè)量角器的外沿與射線交于點(diǎn)C,量角器的中心為點(diǎn)D,連接CD,貝|JNCDB<55。，結(jié)合“三

角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”，可得出NAOB<55。，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)量角器的外沿與射線。4交于點(diǎn)C,量角器的中心為點(diǎn)O,連接CD,則NCDB<55。，

又ZAOBvZCDB,

:.ZAOB<55°.

故選：A.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”是解題

的關(guān)鍵.

13.（2023春?句容市月考）如圖所示.ZA=10°,ZABC=90°,ZACB=ZDCE,ZADC=ZEDF,

ZCED=ZFEG.則NF的度數(shù)等于（）

6

A

CEG

A.60°B.55°C.50°D.45°

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NACB=80。，然后根據(jù)已知條件連續(xù)利用三角形外角的性質(zhì)即可求

解.

【解答】解：?.?NA=10°,ZABC=90°,

:.ZACB=80°,

ZACB=ZDCE,

:.ZADC=ZDCE-ZA=70°,

ZADC=ZEDF,

:.ZCED=ZAED=ZEDF-ZA=6O°,

ZCED=ZFEG

ZF=ZFEG-ZA=60°-10°=50°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2023春?宜興市月考）如圖，ZABC=ZACB,AD,BD、CD分別平分AABC的外角NE4C、內(nèi)角

ZABC.外角NACF.以下結(jié)論：①ADI/BC；②NACB=2NADB；③NADC=90。一NABD；④虞）平分

ZADC-,?ZBDC=ZBAC.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得NE4C=NABC+NACB=2NABC,根

據(jù)角平分線的定義可得N￡4C=2NE4￡）,然后求出=NABC,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得

AD//BC,判斷出①正確；

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得Z4DB=NCB￡）,再根據(jù)角平分線的定義可得NABC=2NCBD,從而得

至ljNACB=2NAO3,判斷出②正確；

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NADC=NOB,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和和角平分線的定義整理可得/4￡2=90。-/45￡>,判斷出③正確；

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)與角平分線的定義表示出NDCF,然后整理得到=判斷出⑤錯(cuò)誤,

2

再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NCBZ）=NADB,NABC與NfiAC不一定相等，所以NADB與N3DC

不一定相等，判斷出④錯(cuò)誤.

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，ZEAC=ZABC+ZACB=2ZABC,

AD是NE4c的平分線，

:.ZEAC=2ZEAD,

:.ZEAD=ZABC,

:.AD//BC,故①正確，

:.ZADB=ZCBD,

?.?班＞平分ZABC,

:.ZABC=2ZCBD,

ZABC=ZACB,

:.ZACB=2ZADB,故②正確；

?;ADIIBC,

:.ZADC=ZDCF,

?.?CD是NACF的平分線，

ZADC=|zACF=1(ZABC+ZBAC)=1(180°-ZACB)=1(180°-ZABC)=90°-ZABD,故③正確；

由三角形的外角性質(zhì)得，ZACF=ZABC+ZBAC,ZDCF=ZBDC+ZDBC,

?瓦)平分NABC,CD平分NACF,

ZDBC=-ZABC,ZDCF=-ZACF,

22

ZBDC+ZDBC=-(ZABC+ABAC)=-ZABC+-ZBAC=ZDBC+-ZBAC,

2222

:.ZBDC=-ZBAC,故⑤錯(cuò)誤；

2

-,-AD//BC,

:.ZCBD=ZADB,

NABC與NfiAC不一定相等，

二Z4DB與NBDC不一定相等，

.?.SD平分N4DC不一定成立，故④錯(cuò)誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的

內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并綜合分析，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.(2023春?濱湖區(qū)期中)若一個(gè)三角形的3個(gè)外角的度數(shù)之比2:3:4,則與之對(duì)應(yīng)的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之

比為()

A.3:2:4B.4:3:2C.5:3:1D.3:1:5

【分析】已知三角形三個(gè)外角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為女。，根據(jù)三角形的外角和等于360。列方程求三個(gè)

內(nèi)角的度數(shù)，確定三角形內(nèi)角的度數(shù)，然后求出度數(shù)之比.

【解答】解：設(shè)一份為左。，則三個(gè)外角的度數(shù)分別為2左。，3k。,4人。，

根據(jù)三角形外角和定理，可知2左。+3左。+4左。=360。，得左。=40。，

三個(gè)外角分別為80°,120°和160°,

根據(jù)三角形外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是100。，60。和20。，

即三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比為5:3:1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)的知識(shí)，解答的關(guān)鍵是溝通外角和

內(nèi)角的關(guān)系.

16.（2023春?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，3P是AABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，如

果NABP=20。，ZACP=50°,則NP=30°.

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出”的度數(shù).

【解答】解：:BP是AABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，

ZABP=Z.CBP=20°,ZACP=ZMCP=50°,

ZPCM是ABCP的外角,

:.ZP=ZPCM-ZCBP=50°-20°=3Q°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和.

17.（2023春?興化市月考）如圖，NACD是AABC的外角，NABC的平分線與Z4CD的平分線交于點(diǎn)兒，

幺3c的平分線與ZACD的平分線交于點(diǎn)NAoz/C的平分線與幺022?！ǖ钠椒志€交于點(diǎn)41）23.設(shè)

ZA=a,則乙心=一/57戊一?

【分析】根據(jù)角平分線、三角形內(nèi)外角關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理得到兩個(gè)相鄰角之間的關(guān)系即可得到答案.

【解答】解：?.?NACD是AABC的外角，

:.ZACD=ZA+ZABC,

■：ZABC的平分線與ZACD的平分線交于點(diǎn)A,

ZAiBC+ZAlCA=^(ZACD+ZABC),

■-Z^=180°-(ZAlBC+ZAlCA+ZACB),

：.ZA=180°--(ZACD+ZABC)-ZACB=-ZA,

22

由此規(guī)律可得，幺。23=§產(chǎn)4=擊￡,

故答案為：擊

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量代換及整

體代換得到相鄰兩個(gè)含字母A的角的關(guān)系.

18.(2023春?祁江區(qū)期中)綜合與探究：愛(ài)思考的小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過(guò)

程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式，讓我們來(lái)一起看一下吧.在A4BC中，ZABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)P.

(1)如圖1,如果NA=80。，那么N3PC=_130?！?/p>

(2)如圖2,作AABC的外角NMBC,NNCB的平分線交于點(diǎn)Q,試探究NQ與N3PC的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)線段成，QC交于點(diǎn)E,在ABQE中，若/。=4/￡,求NA的度數(shù).

【分析】(1)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出N4BC+NACB,進(jìn)而求出N3PC即可

解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出NMBC與N3CN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得NCBQ+ZBCQ,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)在ABQE中，由于/。=90。一；44,求出=由/Q=4/E,得出2NA=90°—g/A,求解即

可.

【解答】解：⑴-.-ZA=80°,

.?.ZABC+ZACB=180°-ZA=180o-80=100o,

ZABC與ZACB的平分線交于點(diǎn)P,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

NBPC=180°-(ZPBC+NPCB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--xl00°=130°；

22

故答案為：130。；

(2)?.?外角NMBC,NNCB的平分線交于點(diǎn)Q,

ZQBC=|ZMBC,ZQCB=|ZNCB.

NQ=180°-(NQBC+NQCB)=180°-^(ZMBC+ZNCB)=180°-1(l800-ZABC+180°-ZACB)=g(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA)=90°-1zAJ

ZBPC=180°-(ZPBC+NPCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+1zA,

:.ZQ+ZBPC=180°；

(3)如圖，延長(zhǎng)3C至尸，

?：CQ為MBC的外角ZNCB的角平分線,

CE是MBC的外角ZACF的平分線,

:.ZACF=2ZECF,

?.?BE平分NABC,

:.ZABC=2ZEBC,

ZECF=NEBC+ZE,

2ZECF=2ZEBC+2ZE,

即ZACF=ZABC+2ZE,

5L-.-ZACF=ZABC+ZA,

:.ZA=2ZE,§PZ￡=-ZA,

2

NQ=4NE,

:.ZQ=2ZA,

ZQ=90°-^ZA,

2ZA=90°--ZA,

2

.-.ZA=36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三

角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

19.（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）已知如圖1,線段至、8相交于點(diǎn)O,連接4）、CB,我們把形如圖1

的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的

聰明才智，解決以下問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)寫(xiě)出/4、ZB.NC、NO之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)6個(gè);

（3）在圖2中，若NZ）=30。，ZB=40°,ZZMB和NBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD,

回分別相交于M、N.利用（1）的結(jié)論，試求NP的度數(shù)；

（4）如果圖2中/O和NB為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)"與/￡＞、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)

系：—.（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

（5）①在圖3中，AP平分ACMD的外角NfiAE,CP平分ABCO的外角，試問(wèn)NP與々之間存在

著怎樣的數(shù)量關(guān)系：—.（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

②在圖4中，NZ14B的平分線AM所在直線與ABCO的外角ZDCF的平分線相交于點(diǎn)P,試問(wèn)ZP與ZD、

之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系：—（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）.

圖1圖2圖3圖4

【分析】（1）在AAOD中，ZAOD=1800-ZA-ZD,在ABOC中，ZBOC=1800-ZB-ZC,進(jìn)而求解；

（2）交點(diǎn)有點(diǎn)M、N各有1個(gè)，交點(diǎn)O有4個(gè)，進(jìn)而求解；

（3）由（1）可知，ZDAP+ZD=ZPCD+ZP,ZBCP+ZB=ZPAB+ZP,則

ZDAP+ZD+ZBCP+ZB=ZPCD+ZP+ZPAB+ZP,得到2NP=ND+NB,進(jìn)而求解；

（4）由（1）可知，ZDAP+ZD=ZPCD+ZP,ZBCP+ZB=ZPAB+ZP,則

ZDAP+ZD+ZBCP^ZB=ZPCD+ZP+ZPAB+ZP,進(jìn)而求解；

（5）①在四邊形PCZM中，ZP+ZD+APCD+APAD=360°,則/?+/。=360。-（180。一（/+￡）,同理可

得：ZP+ZB=360°-（180°+?-^）,進(jìn)而求解；②同理可解.

【解答】解：（1）在AAOZ）中，ZAOD=180°-ZA-ZD,

在ABOC中，ZBOC=180°-ZB-ZC,

ZAOD=ZBOC（對(duì)頂角相等），

180°-ZA-ZD=180°-ZB-ZC,

:.ZA+ZD=ZB+Z,C-,

（2）交點(diǎn)有點(diǎn)M、N各有1個(gè)，交點(diǎn)。有4個(gè)，

所以，“8字形”圖形共有6個(gè)，

故答案為：6；

（3）由（1）可知，ZDAP+ZD=ZPCD+ZP,ZBCP+ZB=ZPAB+ZP,

:.ZDAP+ZD+ZBCP+ZB=ZPCD+ZP+ZPAB+ZP,

■：ZDAB和ZBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

:.ZDAP^ZPAB,ZPCD=ZPCB,

:.2ZP=ZD+ZB,

?/ZD=30°,ZB=40°,

.?.2ZP=30o+40°=70°,

.?.々=35°；

（4）由（1）可知，ZDAP+ZD=ZPCD+Z.P,ZBCP+ZB=Z.PAB+AP,

:.ZDAP+ZD+ZBCP+ZB=ZPCD+ZP+NPAB+ZP,

ZDAB和ZBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

:.ZDAP=ZPAB,ZPCD=ZPCB,

:.2ZP=ZD+ZB.

故答案為：2ZP=ZD+ZB；

（5）①如圖，由題意得：ZS4D=180°-26z,同理，NBOZ）=180。-2月，

圖3

在四邊形PCZM中，ZP+ZD+Z.PCD+Z.PAD=360°,

貝UNP+/D=360°-（180。一a+4），

同理可得：ZP+ZB=360°-（180°+a-/?）,

整理得：2（180。一/「）=/￡）+/3；

故答案為：2（180。一/「）=/。+/3；

②同理可得：2NP+"+N3=180。，

故答案為：2NP+ND+NB=180。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是善于運(yùn)用"8字形”的結(jié)論.

20.（2023春?新吳區(qū)期中）概念認(rèn)識(shí)

如圖①，在NABC中，ZABD=ZDBE=ZEBC,則80,班叫做NABC的''三分線”.其中，80是''鄰

?三分線”，BE是“鄰3c三分線”.

（1）如圖①，ZABC=60°,BD,BE是NABC的“三分線”，則ZABE=40。；

（2）如圖②，在AABC中，NA=60。，ZB=48°,若的三分線8D交AC于點(diǎn)￡>,貝i]/BDC=°；

（3）如圖③，在AABC中，BP、CP分別是NABC鄰5c三分線和NACB鄰3C三分線，且N3PC=140。，

求NA的度數(shù)；

（4）【延伸推廣】

在AABC中，NACD是AABC的外角，的三分線所在的直線與N4CD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P.若

NA=a。，ZB=n°,直接寫(xiě)出N3PC的度數(shù).（用含加、〃的代數(shù)式表示）

【分析】（1）BD是“鄰4?三分線”時(shí)，BE是“鄰3c三分線”時(shí)，根據(jù)三角形的三分線求出即可；

（2）分情況討論如圖當(dāng)比）是“鄰回三分線”時(shí)，ZBDC=ZA+ZABD；當(dāng)BD是“鄰BC三分線”時(shí)，

ZBDC=ZA+ZABD即可得答案；

（3）求出NPBC+NPCB=140。，根據(jù)3P、CP分別是NABC鄰3c三分線和NACB鄰BC三分線求出

ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,求出NABC+NACB=120。，再求出NA即可；

33

（4）畫(huà)出符合的所有情況，①當(dāng)5尸和CP分別是“鄰三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，②當(dāng)3P和CP分

別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，③當(dāng)8P和0分別是“鄰AB三分線”、“鄰8三分線”時(shí)，④

當(dāng)5尸和CP分別是“鄰3C三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可.

【解答】解：（1）?.?ZABC=60°,BD,BE是NABC的“三分線”，

ZABD=ZDBE=ZEBC=-ZABC=-x60°=20°,

33

ZABE=ZABD+ZDAE=20°+20°=40°,

故答案為：40；

(2)如圖,

當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，

???NA=60。，ZABC=48°f

/.ZBDC=ZA+ZABD=60°+-x48°=76°；

3

當(dāng)瓦7是“鄰5C三分線”時(shí)，

???ZA=60。，ZB=48°,

2

/.NBDC=ZA+ZABD=60°+-x48°=92°；

3

綜上所述，NBDC=76?；?2。，

故答案為：76?；?2。；

(3)如圖,

,.,BP工CP,

/.ZBPC=140°,

.\ZPBC+ZPCB=40°,

???BP、CP分別是NABC鄰5C三分線和ZACB鄰AC三分線,

:.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

339

??.-ZABC+-ZACB=40°,

33

/.ZABC+ZACB=120°,

/.ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°—120。=60°；

(4)分為四種情況：

情況一：如圖1,

AP

BCD

圖1

當(dāng)3P和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時(shí),

2?

由外角可得：ZPCD--ZACD=-(m°+n°),

222

/BPC=/PCD-ZPBC=-(nf+n°)--n°=-nf；

情況二：如圖2,

當(dāng)?shù)暮虲P分別是“鄰三分線”、“鄰AC三分線”時(shí),

2?

由外角可知：ZPCD=-ZACD=-(m°+?°),

21?m°+n°

/BPC=ZPCD-NPBC=-(m°+〃。)一：〃。=竺;

當(dāng)成和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時(shí),

當(dāng)加。＞〃。時(shí)，如圖3,

由外角可得：ZPCD=|ZACD=-(m°+n°),

12m°-

ZBPC=ZPCD-ZPBC=-(m°+n°)--n°=--

由外角及對(duì)頂角可得：ZDCE=/PCB=|ZACD=1(m°+”。),

21n°—nz°

ZBPC=NFBC-ZPCB=-n°——(m°+?°)=----------；

333

情況四、如圖5,

當(dāng)成和CP分別是“鄰3c三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，

由外角可得：ZPCD=|ZACD=1（m°+?°）,

NBPC=ZPCD-ZPBC=|（m°+n°）-1n°=1m°；

綜合上述：N3PC的度數(shù)是2加?；蚩胀粱蚧蛲鋈蛲鲑A或工機(jī)。.

33333

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

三