數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一類基本問(wèn)題就是依據(jù)樣本提供的信息，對(duì)總體的分布或總體分布的數(shù)字特征作出統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷涉及兩類基本問(wèn)題，一是估計(jì)問(wèn)題，二是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，本章介紹估計(jì)問(wèn)題中參數(shù)估計(jì)的理論與方法。設(shè)總體的分布函數(shù)為，為未知參數(shù)，為總體的樣本，為樣本的一次實(shí)現(xiàn)。參數(shù)估計(jì)就是不論總體的分布函數(shù)已知還是未知，由樣本對(duì)總體參數(shù)或總體的某些數(shù)字特征作出估計(jì)的方法和過(guò)程。參數(shù)估計(jì)依據(jù)做結(jié)論的方式不同分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的基本理論可歸納為三個(gè)問(wèn)題：一是如何由樣本為總體參數(shù)制定估計(jì)量，即估計(jì)量的制定；二是判定制定的估計(jì)量是否良好，即估計(jì)量?jī)?yōu)良性判定；三是研究估計(jì)方法，尋找出估計(jì)的誤差限和可靠性。第2頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月§6.1點(diǎn)估計(jì)（PointEstimation）

樣本出發(fā)對(duì)總體參數(shù)或總體的某些數(shù)字特征作出估計(jì)，首先要將樣本中有關(guān)總體的信息加工提取出來(lái)，建立用于估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量，把用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量稱為的估計(jì)量，簡(jiǎn)記為，制定合適的統(tǒng)計(jì)量后,若得到樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則可用的實(shí)現(xiàn)作為總體參數(shù)的估計(jì)值。由于這種估計(jì)只獲得的一個(gè)近似值，稱之為點(diǎn)估計(jì)或定值估計(jì)。因此點(diǎn)估計(jì)的關(guān)鍵是為總體參數(shù)制定一個(gè)合適的估計(jì)量。

制定估計(jì)量的方法很多，僅介紹矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。第3頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月一、矩估計(jì)法（ME）

1.矩估計(jì)法的思想

由樣本矩或樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)總體矩或總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量。

矩估計(jì)的思想得益于獨(dú)立同分布R.V.序列的大數(shù)定律。設(shè)總體的階矩存在，是抽自總體的，則由大數(shù)定律知第4頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

Def

以樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量，以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量。這種估計(jì)量稱為矩估計(jì)量，也稱矩估計(jì)，矩估計(jì)量的樣本實(shí)現(xiàn)稱為矩估計(jì)值

2.矩估計(jì)的一般步驟（1）建立待估參數(shù)與總體矩的關(guān)系式；（2）用矩估計(jì)法建立矩估計(jì)方程，解矩估計(jì)方程；（3）寫(xiě)出參數(shù)的矩估計(jì)量及矩估計(jì)值。

例6.1設(shè)是抽自正態(tài)總體的

，求參數(shù)的矩估計(jì)量。

解：總體，則第5頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以的矩估計(jì)量為不論總體服從什么分布，只要存在，則它們的矩估計(jì)量分別為第6頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.2設(shè)總體的密度函數(shù)為求的矩估計(jì)量。

解：因?yàn)樗?故的矩估計(jì)量為第7頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.3

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布，其中a,b未知，是來(lái)自X的樣本,試求a,b的矩估計(jì)量。解：由題設(shè)條件第8頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月于是a,b的矩估計(jì)量為

例6.4總體，則的矩估計(jì)量為，。

矩估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，不需事先知道總體的分布。矩估計(jì)的缺點(diǎn)：若總體分布已知，沒(méi)有充分利用信息，浪費(fèi)許多信息；一般場(chǎng)合下，矩估計(jì)量不具有唯一性。其主要原因是建立矩估計(jì)方程時(shí)，選用哪些總體矩用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)具有一定的隨機(jī)性。第9頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月二、極大似然估計(jì)法（MLE）

極大似然估計(jì)法的思想來(lái)源于極大似然原理。什么是極大似然原理呢？通過(guò)例子給出：某同學(xué)和一位獵人一起外出打獵，只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下。要你推測(cè)，你覺(jué)得是誰(shuí)打中的？我們會(huì)想，只用了一發(fā)子彈便打中，獵人命中的概率一般大于該同學(xué)命中的概率，看來(lái)這一槍?xiě)?yīng)該是獵人打中的。

極大似然原理：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為，在一次試驗(yàn)中，結(jié)果出現(xiàn)，則隨機(jī)試驗(yàn)的條件對(duì)結(jié)果出現(xiàn)更為有利，即認(rèn)為出現(xiàn)的概率最大。第10頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

MLE的基本思想：選取作為的估計(jì)值，使當(dāng)時(shí)，樣本實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)可能性最大，這種估計(jì)值稱為極大似然估計(jì)值，相應(yīng)的估計(jì)量稱為極大似然估計(jì)量。MLE要求總體的分布已知，其應(yīng)用范圍相對(duì)矩估計(jì)窄。下面分別介紹離散型總體和連續(xù)型總體參數(shù)的極大似然估計(jì)法的概念和步驟。

1.離散型的似然函數(shù)：若總體的概率函數(shù)形式已知，為待估參數(shù)，是的取值范圍，為來(lái)自總體的，為樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為第11頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

為樣本取到樣本實(shí)現(xiàn)的概率其為的函數(shù)，稱函數(shù)為樣本似然函數(shù)。

2.連續(xù)型的似然函數(shù)：

若總體的密度函數(shù)為，形式已知，

為待估參數(shù)，是的取值范圍,為來(lái)自總體的樣本，為樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為第12頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

為樣本取到樣本實(shí)現(xiàn)的概率其為的函數(shù)，稱函數(shù)為樣本似然函數(shù)。

3.極大似然估計(jì)法：對(duì)樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)在的取值范圍內(nèi)選一個(gè)，使似然函數(shù)在點(diǎn)處達(dá)到最大值，即滿足第13頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月這樣的與樣本實(shí)現(xiàn)有關(guān)，記為稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為的極大似然估計(jì)量。

極大似然估計(jì)法求解的一般步驟：（1）求似然函數(shù)；（2）對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，求導(dǎo)確定其最大值點(diǎn)；（3）寫(xiě)出的極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量。第14頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.5總體，為來(lái)自總體的，為樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，求的極大似然估計(jì)量。

解：因?yàn)?，所以有從而似然函?shù)為對(duì)其取對(duì)數(shù)有對(duì)上式關(guān)于求導(dǎo)，并令其為0，則有第15頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月解得的極大似然估計(jì)值為

的極大似然估計(jì)量為第16頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.6

設(shè)總體，為來(lái)自總體的，為樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，求的極大似然估計(jì)量。

解：因?yàn)?，所以有所以的似然函?shù)為取對(duì)數(shù)得第17頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)上式關(guān)于求導(dǎo)，并令其為0，整理得解得的極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量分別為第18頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.7

設(shè)總體，為未知參數(shù)，為抽自總體的，為樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，求的極大似然估計(jì)量。

解：因?yàn)樗运迫缓瘮?shù)為對(duì)其取對(duì)數(shù)得第19頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)其關(guān)于求導(dǎo)并令其為0，得解得的極大似然估計(jì)值為所以，的極大似然估計(jì)量為第20頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

解：參數(shù)的似然函數(shù)為記則

例6.8

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布，其中a,b未知，是來(lái)自

的樣本,是樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，試求a,b的極大使然估計(jì)量。第21頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以參數(shù)的極大似然估計(jì)值為參數(shù)的極大似然估計(jì)量為第22頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

由前面的內(nèi)容知，對(duì)同一參數(shù)，用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不同，原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可作為未知參數(shù)的估計(jì)量。問(wèn)題：（1）對(duì)同一參數(shù)究竟采用哪種估計(jì)量好？（2）評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么？三、估計(jì)量的優(yōu)良性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1.無(wú)偏估計(jì)（最基本標(biāo)準(zhǔn)）

設(shè)為總體的待估參數(shù)，為的估計(jì)量，若有，則稱為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。

無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義是：沒(méi)有系統(tǒng)誤差如：用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí)，雖無(wú)法說(shuō)明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機(jī)的在0附近波動(dòng)。對(duì)同一統(tǒng)計(jì)問(wèn)題大量重復(fù)使用不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。第23頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.9設(shè)總體的均值方差均存在且未知，是來(lái)自總體的，以樣本均值和樣本方差分別作為的估計(jì)量，證明它們滿足無(wú)偏性。

證明：因?yàn)闉榭傮w的，則第24頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量；樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。樣本二階中心矩不是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。第25頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.有效估計(jì)

設(shè)為待估參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，若滿足，則稱估計(jì)量比更有效由于方差是R.V.取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度，所以有效估計(jì)在無(wú)偏估計(jì)的基礎(chǔ)上，方差小者為更好。

最小方差無(wú)偏估計(jì)簡(jiǎn)稱為最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)。對(duì)其作如下說(shuō)明：（1）不是所有總體中的未知參數(shù)都有最小方差無(wú)偏估計(jì)量（2）判斷一個(gè)估計(jì)量是否是最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量較復(fù)雜；（3）事件發(fā)生的頻率是事件發(fā)生概率的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量；（4）若總體服從正態(tài)分布，則樣本均值和樣本方差分別為總體均值和總體方差的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量。

第26頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.10

設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的指數(shù)分布的總體分布的概率密度函數(shù)為其中參數(shù)未知，證明與都是無(wú)偏估計(jì)，并比較其有效性。證明：有極小分布可知Z服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則有

所以都是無(wú)偏估計(jì)量。第27頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月第28頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

3.一致估計(jì)設(shè)為總體的待估參數(shù)的估計(jì)量，對(duì)任意，總成立則稱為的一致估計(jì)量。一致估計(jì)又稱為相合估計(jì)，一致估計(jì)從理論上保證了樣本容量越大，估計(jì)值出現(xiàn)大誤差機(jī)會(huì)越小。在實(shí)際中，若估計(jì)量滿足一致性，則想降低估計(jì)值與待估參數(shù)間的差距常采用增大樣本容量的方法。例6.11證明在重復(fù)抽樣情況下，樣本均值是總體均值的一致估計(jì)。第29頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

證明：對(duì)重復(fù)抽樣有則對(duì)任意，由Chebychev大數(shù)定律知因此，樣本均值是總體均值的一致估計(jì)。注：（1）樣本的階原點(diǎn)矩是總體階原點(diǎn)矩的一致估計(jì)；若參數(shù)，其中g(shù)為實(shí)連續(xù)函數(shù)，則的矩估計(jì)量是參數(shù)的一致估計(jì)。（2）由極大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量一般具有一致性；（3）一致性是對(duì)一個(gè)估計(jì)量的基本要求，若估計(jì)量不具有一致性，則不論樣本容量多大，都不能將參數(shù)估計(jì)的足夠準(zhǔn)確，這樣的估計(jì)量不可取。第30頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月四、點(diǎn)估計(jì)的應(yīng)用

從前面的討論不難看出，從統(tǒng)計(jì)理論上講點(diǎn)估計(jì)法只給出了待估參數(shù)的估計(jì)值，并沒(méi)有給出參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差，也沒(méi)有作出估計(jì)結(jié)論的可靠性，而這些是實(shí)際工作中最關(guān)心的。因此，為了滿足實(shí)際應(yīng)用的需要，從應(yīng)用的角度提出對(duì)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的一般性約定：

Def

設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,對(duì)給定的,若能確定一個(gè)僅依賴于樣本和的實(shí)數(shù)使得下式恒成立則稱的一個(gè)實(shí)現(xiàn)是參數(shù)的估計(jì)值，為估計(jì)值的誤差限（即最大絕對(duì)誤差），為估計(jì)值的可靠性（可信程度）。第31頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

在實(shí)際應(yīng)用中，估計(jì)誤差限常被轉(zhuǎn)換為估計(jì)精度，簡(jiǎn)稱精度。估計(jì)精度的定義為：第32頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月§6.2區(qū)間估計(jì)（IntervalEstimation）

參數(shù)估計(jì)除了點(diǎn)估計(jì)外，還有一種實(shí)際中常用的形式---區(qū)間估計(jì)（給出參數(shù)的一個(gè)范圍）。這種估計(jì)的最大特點(diǎn)就是在結(jié)論中能體現(xiàn)估計(jì)的誤差限和可靠性，其與我們對(duì)點(diǎn)估計(jì)的約定異曲同工。一、區(qū)間估計(jì)

1.區(qū)間估計(jì)的思想從樣本出發(fā)構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，使得這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量所形成的隨機(jī)區(qū)間盡可能短，涵蓋待估參數(shù)的概率盡可能大。

第33頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月2.區(qū)間估計(jì)定義設(shè)為參數(shù)的估計(jì)量，對(duì)于給定的如果滿足則稱為參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間，

分別稱為置信下限和置信上限。若以上關(guān)系式中只涉及置信下限或置信上限，則稱為單側(cè)置信限,若兩者均涉及則稱置信區(qū)間為雙側(cè)置信區(qū)間。對(duì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，我們希望置信區(qū)間越短越好，置信度越大越好，但從概率意義上這是矛盾的。為了解決這一矛盾，我們需要折中，因此實(shí)際是在保證可靠性的前提下，盡量使估計(jì)區(qū)間盡可能短。第34頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月二、樞軸變量法

例6.12總體，其中未知已知，是抽自總體的，求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間。

解：對(duì)給定的置信度，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，使得

成立，同時(shí)使在平均意義下盡可能短。為此選的無(wú)偏估計(jì)量，則第35頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)給定的，由的雙側(cè)分位數(shù)定義有使得即因此參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為第36頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月由此例可看出為未知參數(shù)制定置信度的置信區(qū)間的步驟為：（1）由參數(shù)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量出發(fā)，尋找一個(gè)僅依賴樣本和未知參數(shù)的函數(shù)，稱為樞軸變量。（2）對(duì)任意，確定兩數(shù)，使得

（3）若由能確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，使得則區(qū)間為參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間。第37頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月這種制定參數(shù)置信度為的置信區(qū)間的關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)臉休S變量，因此稱為樞軸變量法。找樞軸變量一般由參數(shù)的優(yōu)良估計(jì)出發(fā)。三、點(diǎn)估計(jì)的約定與區(qū)間估計(jì)

為了彌補(bǔ)統(tǒng)計(jì)理論中點(diǎn)估計(jì)的不足，從應(yīng)用角度提出對(duì)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的一般約定，這一約定表明，為描述點(diǎn)估計(jì)的誤差和可靠性，必須研究參數(shù)估計(jì)量的概率分布，并在給定可靠性條件下尋找僅依賴樣本和可靠性有關(guān)的量,使得即由置信區(qū)間的定義和上式知，參數(shù)置信度為的置信區(qū)間為，這表明從應(yīng)用角度對(duì)點(diǎn)估計(jì)提出的約定從某種意義上體現(xiàn)了區(qū)間估計(jì)的概念。第38頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月§6.3一個(gè)總體均值的估計(jì)

總體均值是常用的總體參數(shù)之一，實(shí)際中往往由于總體很大或?qū)傮w指標(biāo)的觀測(cè)需要費(fèi)大量的人力、物力、和財(cái)力，有時(shí)甚至無(wú)法得到的真值，因此需從總體中合理抽樣,由樣本信息對(duì)總體均值作出估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)）。一、總體服從正態(tài)分布的情況(小樣本方法)設(shè)總體，是來(lái)自總體的，是樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，下面分情況討論總體均值的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的方法及原理。第39頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月1.總體方差已知總體，為總體的，則即由分布的雙側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意，存在使得將進(jìn)行變量代換，則有第40頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月即……①

……②

結(jié)論

由①知總體均值的點(diǎn)估計(jì)為：（1）的估計(jì)值為樣本均值的一個(gè)實(shí)現(xiàn)；（2）估計(jì)的誤差限為；

（3）估計(jì)的可靠性為。

第41頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月由②知總體均值的區(qū)間估計(jì)為：（1）的置信區(qū)間為的一個(gè)樣本實(shí)現(xiàn)；（2）估計(jì)的置信度為。例6.13某車(chē)間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期生產(chǎn)的統(tǒng)計(jì)資料知，滾珠直徑可認(rèn)為服從正態(tài)分布，若已知方差為0.06，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽6件，測(cè)得直徑（mm）為:14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1。求該天生產(chǎn)的滾珠平均直徑的點(diǎn)估計(jì)()及區(qū)間估計(jì)()。解：由題意知第42頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月由總體方差已知時(shí)總體均值點(diǎn)估計(jì)知（1）直徑的平均值的估計(jì)值為14.95；（2）估計(jì)的誤差限為

（3）估計(jì)的可靠性為0.95.區(qū)間估計(jì)為：（1）的置信區(qū)間為；

（2）置信度為0.99.第43頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.總體方差未知總體，為總體的，則，且相互獨(dú)立，于是由分布的雙側(cè)分位數(shù)知，對(duì)給定的，存在使得將進(jìn)行變量代換得第44頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

即……①……②結(jié)論由①知總體均值的點(diǎn)估計(jì)為：（1）的估計(jì)值為樣本均值的一個(gè)實(shí)現(xiàn)；（2）估計(jì)的誤差限為；（3）估計(jì)的可靠性為。第45頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月由②知總體均值的區(qū)間估計(jì)為：（1）的置信區(qū)間為的一個(gè)樣本實(shí)現(xiàn)（2）置信度為。

例6.14有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)取16袋，稱得重量(單位:克)506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496，假設(shè)糖包重量服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解：由題意知，未知，查表得,計(jì)算得所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為第46頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月二、非正態(tài)總體的情況(大樣本方法)

1.總體方差已知設(shè)總體在某個(gè)指標(biāo)上的均值為,方差為，是總體的，則由抽樣分布知，從而有當(dāng)時(shí)，由的雙側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意存在數(shù)使得第47頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)做變量代換得即

……①……②第48頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

結(jié)論

由①知總體均值的點(diǎn)估計(jì)為：（1）的估計(jì)值為樣本均值的一次實(shí)現(xiàn)；（2）估計(jì)的誤差限為；（3）可靠性為。由②知總體均值的區(qū)間估計(jì)為：（1）的置信區(qū)間為的一次樣本實(shí)現(xiàn)；（2）置信度為第49頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.總體方差未知在實(shí)際應(yīng)用中，一般未知，由于是的無(wú)偏估計(jì)量，因此，樣本容量充分大時(shí)，可用的實(shí)現(xiàn)近似代替，這樣就得到總體均值的一種近似估計(jì)?？傮w均值的點(diǎn)估計(jì)為：（1）的估計(jì)值為樣本均值的一次實(shí)現(xiàn)；（2）估計(jì)的誤差限為；（3）估計(jì)的可靠性為。第50頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月總體均值的區(qū)間估計(jì)為：（1）的置信區(qū)間為的一個(gè)樣本實(shí)現(xiàn),（2）估計(jì)的置信度為。

例6.15預(yù)估計(jì)育苗大棚內(nèi)油松2年生苗木高度，采用重復(fù)抽樣的方式從大棚內(nèi)抽取65株苗木，苗高(cm)數(shù)據(jù)如下:12.316.612.017.112.610.811.011.712.214.811.512.612.311.912.913.912.815.013.612.416.613.216.613.514.012.711.313.911.413.913.913.513.615.414.816.814.815.312.614.512.614.512.916.418.317.813.511.813.617.213.513.614.512.915.813.615.416.115.612.912.914.615.115.013.6試以95%的可靠性對(duì)大棚內(nèi)苗木的平均高度進(jìn)行估計(jì)。

解：由題意知總體方差與分布均未知，由樣本的實(shí)現(xiàn)整理得第51頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以，該大棚內(nèi)苗木的平均高度的點(diǎn)估計(jì)為：

（1）苗木平均高度的估計(jì)值為13.94cm；（2）估計(jì)的誤差限為,

（3）可靠性為95%。該大棚內(nèi)苗木平均高度的區(qū)間估計(jì)為:（1）置信區(qū)間為；（2）置信度為95%。估計(jì)的估計(jì)精度為第52頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月三、總體均值的單側(cè)置信限估計(jì)對(duì)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)中，我們同時(shí)關(guān)注未知參數(shù)的置信上限和置信下限，但在實(shí)際中，有時(shí)只關(guān)注未知參數(shù)的置信上限或置信下限，如產(chǎn)品的平均壽命問(wèn)題，我們關(guān)注的是下限。一般，設(shè)為總體的未知參數(shù)，對(duì)任意，若由確定了未知參數(shù)的估計(jì)量使得則稱為的置信度為的單側(cè)置信下限；若使得

則稱為的置信度為的單側(cè)置信上限。第53頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

下面介紹幾種常見(jiàn)情況下的總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)1.正態(tài)總體方差已知時(shí)，總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)

（1）的置信度為的單側(cè)置信下限由的上側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意，存在使得因此，的置信度為的置信下限為

第54頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）的置信度為的置信上限即則的置信度為的置信上限為第55頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月2.正態(tài)總體方差未知時(shí)，總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)（1）的置信度為的單側(cè)置信下限由分布的上側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意,存在使得即則的置信度為的置信下限為第56頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月(2）的置信度為的單側(cè)置信上限

由分布的下側(cè)分位數(shù)知即則的置信度為的置信上限為

第57頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月3.非正態(tài)總體總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)在總體不服從正態(tài)分布或總體分布未知時(shí)，由從而類似正態(tài)總體的情況討論，即可得總體均值的單側(cè)置信區(qū)間。（1）的置信度為的單側(cè)置信下限第58頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）的置信度為的單側(cè)置信上限第59頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月§6.4一個(gè)總體方差與頻率的估計(jì)一、正態(tài)總體方差的估計(jì)設(shè)總體，是來(lái)自總體的是樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，由樣本對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。1.總體均值已知時(shí)，估計(jì)總體方差則由分布定義有第60頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月由分布分位數(shù)定義,對(duì)任意,存在使得即所以總體方差的置信度為置信區(qū)間為第61頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.總體均值未知時(shí)，估計(jì)總體方差對(duì)正態(tài)總體，未知，由于為的一致無(wú)偏估計(jì)量，且，則由分布分位數(shù)定義，對(duì),存在使得即第62頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以總體方差的置信度為的置信區(qū)間為總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信區(qū)間

例6.17已知某種果樹(shù)產(chǎn)量服從，隨機(jī)抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量(公斤)，獲得數(shù)據(jù)為221,191,202,205,256,236，試以95%的置信度估計(jì)產(chǎn)量的方差。第63頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

解：由題意知產(chǎn)量,總體均值已知，由樣本得所以果樹(shù)產(chǎn)量方差的置信度為95%的置信區(qū)間為第64頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.18某地區(qū)林業(yè)局茶葉廠生產(chǎn)富硒茶，預(yù)估計(jì)今年新茶微量元素硒含量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，從今年新茶中任取16個(gè)樣品分析，結(jié)果為(mg/100g)：60.6,60.8,59.9,60.3,60.4,61.0,59.7,61.2,61.4,60.5,59.3,59.6,60.6,60.2,60.9,59.6，設(shè)茶葉中硒元素含量近似服從正態(tài)分布，以此資料求今年新茶每百克中硒元素含量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間。

解：由題意知硒元素含量均值方差均未知，由樣本知所以今年新茶每百克中硒元素含量的均值的置信度為95%的置信區(qū)間為[60.0446,60.7054]，標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間為[0.4589,0.9599]。第65頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月二、正態(tài)總體方差的單側(cè)置信限1.總體均值已知時(shí)由分布分位數(shù)定義,對(duì)任意,存在使得第66頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以總體方差的置信度為單側(cè)置信限為（1）總體方差的置信度為單側(cè)置信下限為（2）總體方差的置信度為單側(cè)置信上限為第67頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.總體均值未知時(shí)，對(duì)正態(tài)總體，未知，由于為的一致無(wú)偏估計(jì)量，且，則由分布分位數(shù)定義，對(duì)，存在使得第68頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月所以總體方差的置信度為單側(cè)置信限為（1）總體方差的置信度為單側(cè)置信下限為（2）總體方差的置信度為單側(cè)置信上限為第69頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月二、總體頻率的估計(jì)

設(shè)總體頻率為，從總體中以重復(fù)抽樣的方式抽容量為的樣本，樣本頻數(shù)為，由樣本頻率估計(jì)總體頻率.

以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的估計(jì)方法因?yàn)?，所以由?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意，存在使得第70頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月第71頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月第72頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月

例6.19某林區(qū)發(fā)生大面積松毛蟲(chóng)的危害,為估計(jì)該林區(qū)松毛蟲(chóng)危害率,在發(fā)生區(qū)隨機(jī)抽400株松樹(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn)180株有松毛蟲(chóng)危害.試以0.95的置信度估計(jì)該林區(qū)松毛蟲(chóng)的危害率.

解:

由題設(shè)可知是總體頻率的估計(jì)問(wèn)題。第73頁(yè),共95頁(yè)，星期六，2024年，5月6.5兩個(gè)總體均值差的估計(jì)是來(lái)自第一、二個(gè)總體的樣本且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，用

設(shè)已給定置信水平為,并設(shè)；表示第一、二個(gè)總體的樣本均值，用表示第第一、二個(gè)總體的樣本方差。一.兩個(gè)正態(tài)總體的情況1.兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布且方差已知由抽樣分布定理和正態(tài)分布性質(zhì)知道由正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)知，對(duì)任意，存在使得第74頁(yè),共95