大學(xué)物理教案(上)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

§1-1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述

一、參照系坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)

1、參照系

為描述物體運(yùn)動(dòng)而選擇的參考物體叫參照系。

2、坐標(biāo)系

為了定量地研究物體的運(yùn)動(dòng)，要選擇一個(gè)與參照系相對(duì)靜止的坐標(biāo)系。如圖17。

說明：參照系、坐標(biāo)系是任意選擇的，視處理問題方便而定。

3、質(zhì)點(diǎn)

忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個(gè)具有質(zhì)量、占據(jù)空間位置的物體，這樣的物

體稱為質(zhì)點(diǎn)。

說明：⑴質(zhì)點(diǎn)是一種理想模型，而不真實(shí)存在（物理中有很多理想模型）

⑵質(zhì)點(diǎn)突出了物體兩個(gè)根本性質(zhì)1）具有質(zhì)量

2）占有位置

⑶物體能否視為質(zhì)點(diǎn)是有條件的、相對(duì)的。

二、位置矢量運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程位移

1、位置矢量

定義：由坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量稱為位置矢

［簡(jiǎn)稱位矢或徑矢）。如圖1—2,取的是直角坐標(biāo)系，r

質(zhì)點(diǎn)尸的位置矢量

r=xi+yj-vzk（1-1）

圖1-2

位矢大?。篲__________

r=|r|=y/x2+y2+z2（1-2）

「方向可由方向余弦確定：

xz

cosa=—,cosp=—y,cos/=—

2、運(yùn)動(dòng)方程

質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，稱為運(yùn)動(dòng)方程。

運(yùn)動(dòng)方程⑴矢量式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k(1-3)

⑵標(biāo)量式：x=x(t),y=y(t),z=z[t}(1-4)

3、軌跡方程

從式(卜4)中消掉得出x、y、z之間的關(guān)系式。如平面二運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程為

x=t,y=t\得軌跡方程為y〔拋物線)

4、位移

以平面運(yùn)動(dòng)為例,取直角坐標(biāo)系，如圖1—3。設(shè)/、2+A；

刻質(zhì)點(diǎn)位矢分別為斤、G，那么A/時(shí)間間隔內(nèi)位矢變化為

|冊(cè)='"|(1-5)

稱國為該時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移。

\r=r2-r{=(x2-x^i+(y2-y\)J(1一6)

大小為

討論：⑴比擬"與八二者均為矢量；前者是過程量，后者

為瞬時(shí)量

⑵比擬醞與As(AfB路程)二者均為過程量；前者是矢量，后者是標(biāo)量。一般情

況下當(dāng)&—>0時(shí),|Ar|=As?

⑶什么運(yùn)動(dòng)情況下，均有叵|=6？

三、速度

為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向，從而引進(jìn)速度概念。

1、平均速度

A亍

如圖1-3,定義：V=—(1-7)

Ar

稱5為ET+4時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平溝速度。

P=—=—F+^J=vJ+v7(1-8)

5方向：同△尸方向。

說明：5與時(shí)間間隔(-f+Az)相對(duì)應(yīng)。

2、瞬時(shí)速度

方粗略地描述了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速度。

定義：v=limv=lim—=—

A/->OA/->O山

稱/為質(zhì)點(diǎn)在，時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度。

結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

_drdx；dyr；二/一八、

v=——=—I+—I=vi+v/（1-10）

dtdtdtxr'v

式中丫孚,“半。八、%分別為。在八y軸方向的速度分量。

dtydt'

v的大?。?/p>

v

0的方向：所在位置的切線向前方向。。與X正向軸夾角滿足吆。二上。

3、平均速率與瞬時(shí)速率

定義:叫竺=內(nèi)路程（參見圖1-3）

ArAr

稱/為質(zhì)點(diǎn)在"Z+4時(shí)間段內(nèi)得平均速率o為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié),引進(jìn)瞬時(shí)速率。

士ubsds

定乂：v=limv=lim——=——

A/-40A/->0zdt

稱V為/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率，簡(jiǎn)稱速率。

當(dāng)&T0時(shí)1參見圖1-3）,^=dr,As=/，有囪=為

y_心_冏_力

可知:=何

dtdt)dt

IT小

即(1-11)

11dt

結(jié)論:質(zhì)點(diǎn)速率等于其速度大小或等于路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

說明：⑴比擬。與E:二者均為過程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量,

⑵比擬箕與X二者均為瞬時(shí)量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。

四、加速度

為了描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢，從而引進(jìn)加速度的概念。

1、平均加速度

定義：9=竺=上工（見圖1-4）

2Ar

稱萬為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度。

2、瞬時(shí)加速度

為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)加速度。

定義：5=lim=lim—=—

A/->0A/->0△/dt

稱a為質(zhì)點(diǎn)在/時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度。

(1-12)

結(jié)論：加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

式機(jī)%=*器,%=*宗。%、%分別稱為)在x、y軸上的分量。

五的方向：。與X軸正向夾角滿足吆。=&

ax

說明：萬沿土的極限方向，一般情況下之與E方向不同(如不計(jì)空氣阻力的斜上拋運(yùn)動(dòng))。

瞬時(shí)量：r,v,v,a

綜上：過程量：Ar,v,v>a

矢量：f,Ar,v,v,a?a

標(biāo)量：As,v,v

五、直線運(yùn)動(dòng)OX.X

質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，如圖1-5圖卜5

1、位移

Ar>0：甌沿+x軸方向；Ar<0：6沿-x軸方向。

2、速度

vx>0,D沿+x軸方向；<0,/沿-x軸方向。

3、加速度

6Tt>0,5沿+X軸方向；r<0,方沿-X軸方向。

由上可見，一維運(yùn)動(dòng)情況下，由小、八、明的正負(fù)就能判斷位移、速度和加速度的方

向，故一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)量式代替矢量式。

六、運(yùn)動(dòng)的二類問題

第一類問即：微分

運(yùn)動(dòng)方程］'0、2等

第二類問物：枳分

例1-1：一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為尸=2行+(2-/方(si),求:

⑴t=ls和t=2s時(shí)位矢;

⑵t=ls到t=2s內(nèi)位移;

⑶t=ls到t=2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度：

(4)t=ls和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度;

⑸t=Is到t=2s內(nèi)的平均加速度;

(6)t=ls和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度。

解：⑴斤=27+Jm

=47-2Jm

(2)△尸=弓一斤=2i-3jm

⑶5吟=編=2、3]m/s

⑷六絲=2；-

dt

v,=27-2]m/s

v2=27-4；m/s

=-2Jm/s2

(6后=?吟=一2加冷

例1-2：一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，加速度為〃=4,(SI),初始條件為：/=0時(shí)，％=0,%10m。

求：運(yùn)動(dòng)方程。

解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，由加速度定義有

。=包=今(一維可用標(biāo)量式)

dt

由初始條件有：

得：v=2r

由速度定義得：

由初始條件得：

即

2

x=-t2+10m

3

由上可見，例1T和例1-2分別屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第一類和第二類問題。

§1-2圓周運(yùn)動(dòng)

一、自然坐標(biāo)系

圖2-1中，BAC為質(zhì)點(diǎn)軌跡，，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P位于A

點(diǎn)，可、?！胺謩e為A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以A為原

點(diǎn)，號(hào)切向和0“法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自然

坐標(biāo)系［可推廣到三維)

二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度及法向加速度

1、切向加速度

如圖1-7,質(zhì)點(diǎn)做半徑為7?的圓周運(yùn)動(dòng)，，時(shí)刻，質(zhì)

點(diǎn)速度

v=vet(2-1)

式(2-1)中，y=M為速率。加速度為

萬=包=嗎4幺(2-2)

dtdt'dt

式(2-2)中，第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化引起的,方

圖1-7

向與自共線，稱該項(xiàng)為切向加速度，記為

z/v

4=石耳=4瓦(2-3)

at

式(2-3)中，

E3⑵球

%為加速度值的切向分量。

結(jié)論：切向加速度分量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

2、法向加速度

式［2-2)中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變引起的。

如圖1-8,質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有

因?yàn)楣璤LOA,e\1OB,所以弓、町夾角為由9。

西=心-耳(見圖1-9)

當(dāng)d8f0時(shí)，有|陽|=|用

因?yàn)辇?_L弓，所以龐,由A點(diǎn)指向圓心0,可有

式(2-2)中第二項(xiàng)為：

該項(xiàng)為矢量，其方向沿半徑指向圓心，稱為法向加速度,

為

"=?露(2-5)

大小為

卜=曰⑵6)

式C2-6)中，*是加速度的法向分量。

結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑o

3、總加速度

一一一——dv一V一,cr)

”…i…(2-7)

大小:

V2]

加+戊=+

方向：5與&夾角(見圖i-io)滿足

4、一般曲線運(yùn)動(dòng)

圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線

運(yùn)動(dòng)，只要把曲率半徑「看作變量即可。

圖1-10

討論：⑴如圖ITO,M總是指向曲線的凹側(cè)。

(2)。”三0時(shí)，廠-8,質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)

⑶勺工。時(shí)，7?有限，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)

加速圓周運(yùn)動(dòng)

圓周運(yùn)動(dòng),減速圓周運(yùn)動(dòng)

勻速圓周運(yùn)動(dòng)

⑷曲線運(yùn)動(dòng)特例

‘豎直下拋

拋體運(yùn)動(dòng)《平拋

斜拋

三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述

1、角坐標(biāo)

如圖1T1,f時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在A處，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在B

。是0A與x軸正向夾角，夕+△。是0B與x軸正向夾角，

為，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，△夕為f-i加時(shí)間間隔內(nèi)角坐標(biāo)

量，稱為在時(shí)間間隔內(nèi)的角位移。

2、角速度

平均角速度：

定義：b=^~(2-9)

Ar

稱0為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運(yùn)動(dòng)。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)

瞬時(shí)角速度。

定義：6?=limG7=lim=—(2-10)

Ar-M)Zdi

(2-11)

結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

說明：角速度是矢量，齒的方向與角位移方向一致。

3、角加速度

為了描述角速度變化的快慢，引進(jìn)角加速度概念。

(1)平均角加速度：

設(shè)在/7+內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)角速度增量為△口

定義：a=—(2-12)

稱值為+4時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均角加速度

瞬時(shí)角加速度：

稱。為/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱角加速度。

結(jié)論：角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

說明：角加速度是矢量，方向沿防方向。

4、線量與角量的關(guān)系

把物理量/、八a,區(qū)、痣等稱為線量，/，a等稱為角量。

11)、u與。關(guān)系

Bj+dt

如圖2-7,力.0時(shí)，|屈=小=以'

BP|v=rco\(215)

⑵、a,與a關(guān)系

圖1-12

式(2-15)兩邊對(duì)，求一階導(dǎo)數(shù)，有

即at=ra(2-16)

(3)>a“與①關(guān)系

BPan=rco(2-17)

§1-3相對(duì)運(yùn)動(dòng)

本節(jié)討論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用兩個(gè)參考系來描述，并得出兩個(gè)參考系中物理量(如:

速度、加速度)之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。

一、相對(duì)位矢

設(shè)有參照系E、M,其上固連的坐標(biāo)系，如圖1T3,二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行,

M相對(duì)于E運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)E、M的位矢分別

為七、弓M，相對(duì)位矢為：

加=J-T8)

結(jié)論：P對(duì)E的位矢等于P對(duì)M的位矢

與?！瘜?duì)E的位矢的矢量和。

二、相對(duì)位移

圖1-13

由(2-18)有

△%A=+△%￡(2-19)

結(jié)論：P對(duì)E的位移等于P對(duì)M的位移與ONE的位移的矢量和。

三、相對(duì)速度

將式(2-18)兩邊對(duì)時(shí)間求?階導(dǎo)數(shù)有

%=%+%/(2-20)

結(jié)論：P對(duì)E的速度等于P對(duì)M的速度與M對(duì)E的速度的矢量和。

四、相對(duì)加速度

由式(2-20)對(duì)時(shí)間番一階導(dǎo)數(shù)有

&PE=dpM+(2-21)

結(jié)論：P對(duì)E的加速度等于P對(duì)M的加速度與M對(duì)E的加速度的矢量和。

例1-3：質(zhì)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為小。和%,速度

為試說明下式正確的有哪些？

⑴”蟲

dt

⑵"小

dt2

⑶

Wa=-----

解：因?yàn)闃?biāo)量工矢量，所以⑴不對(duì)。

d2r

又。,而,故⑵不對(duì)。

*7

而獷一。,因此⑶正確。

由于〃=近中r為曲率半徑，而這里一為位矢的大小，不一定是曲率半徑，所以⑷不對(duì)。

r

例1?4：在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪上，一個(gè)齒尖P沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程5隨時(shí)間的變化

規(guī)律為S=%r+g加2,其中，％,6都是正的常數(shù)，那么f時(shí)刻齒尖P的速度和加

速度大小為多少？

解：v=—=v+

dt0

例1-5：—質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為『=10cos5萬+10sin56(SI),求：

⑴〃,二?

⑵%=?

解:(1)v=—=-50sin5ti+50cos5(/

dt

v=|v|=-J(-50sin5r)2+(50cos5r)2=50m/s

2

(2)atl=J/_=a=250m/s

(注意此方法，給定運(yùn)動(dòng)方程，先求出5、之后求。小這樣比用a“=L求明簡(jiǎn)單)

r

例1-6：拋射體運(yùn)動(dòng)，拋射角為夕，初速度為。。，不計(jì)空氣阻力，

⑴問運(yùn)動(dòng)中之變化否？勺、%變否？

⑵任意位置同|、〃”為多少？

⑶拋出點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)同|、。“各為多少？曲率半徑為多少?

解：如圖所取坐標(biāo)，x軸水平，y軸豎直，

。為拋射點(diǎn)。

⑴質(zhì)點(diǎn)受重力恒力作用，有之=g，故M不變.

???4=心，而u改變，???見變。

at

2

*.*an=&而a不變，為變，

*?,。”變。

⑵任意位置P處，質(zhì)點(diǎn)的可、明為圖1-14

⑶拋射點(diǎn)處，a=e,P=vo,有

最高點(diǎn)：a=0,v=v0cos^,

???落地點(diǎn)：與出射點(diǎn)對(duì)稱

]a,\=gsm0

?\an=geos。

r=------

geos。

例1-7：-質(zhì)點(diǎn)從靜止1=0)出發(fā)，沿半徑為R=3m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度大小不變,

為a,=3m/s；在f時(shí)刻，其總加速度不恰與半徑成45°角，求，=?

解：依題意知，心與々夾角為45°,有

%=6①

?.?々=破="上②

"RR

由②有

例1-8：某人騎自行車以速率u向西行使，北風(fēng)以速率u吹來(對(duì)地面)，問騎車者遇到風(fēng)

速及風(fēng)向如何？

解：地為靜系E,人為動(dòng)系M。風(fēng)為運(yùn)動(dòng)物體P

絕對(duì)速度：vP￡=v,方向向南；

牽連速度：vW￡=V,方向向西；

求相對(duì)速度以例=?方向如何？

:%=0PM+^ME有圖1T5。

,**|vwe|=|vPE|=vNa=45°

方向：來自西北?；驏|偏南45,。

第二章牛頓運(yùn)動(dòng)定律

§2-1牛頓運(yùn)動(dòng)定律力

一、牛頓運(yùn)動(dòng)定律

1、第一定律

戶=0時(shí)，＞=恒量|(2-1)

說明：⑴反映物體的慣性，故叫做慣性定律。

⑵給出了力的概念，指出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。

2、第二定律

戶=而(2-2)

說明：⑴戶為合力

⑵戶=〃位為瞬時(shí)關(guān)系

⑶矢量關(guān)系

⑷只適應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)

⑸解題時(shí)常寫成

F*=max

F=nia=><Fy=may（直角坐標(biāo)系）（2-3）

F7=ma.

u2

F?=man=m一（法向）

F=ma=><r(自然坐標(biāo)系)（2-4）

F〔=maf=m—C切向）

dt

3、第三定律

E=一凡(2-5)

說明：⑴后、月在同一直線上，但作用在不同物體上。

⑵岳、凡同有同無互不抵消。

二、幾種常見的力

1、力

力是指物體間的相互作用。

2、力學(xué)中常見的力

[1)萬有引力

即任何二質(zhì)點(diǎn)都要相互吸引，引力的大小和兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量叫、陽2的乘積成正比，和它們

距離一的平方成反比；引力的方向在它們連線方向上。

說明：通常所說的重力就是地面附近物體受地球的引力。

⑵彈性力

彈簧被拉伸或壓縮時(shí)，其內(nèi)部就產(chǎn)生對(duì)抗力，并企圖恢復(fù)原來的形狀，這種力稱為彈

簧的恢復(fù)力。

(3)摩擦力

當(dāng)一物體在另一物體外表上滑動(dòng)或有滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，在接觸面上有一種阻礙它們相對(duì)

滑動(dòng)的力，這種力稱為摩擦力。

3、兩種質(zhì)量

“=G〃zM/產(chǎn)確定的質(zhì)勤稱為引力質(zhì)量，啊

\/=根4確定的質(zhì)量加稱為慣性質(zhì)量，加慣

可記明：^-=const

加慣

適選單位可有相引=〃!慣。

，以后不區(qū)別一者，統(tǒng)稱為痛量。

圖2-1

§2-2力學(xué)單位制和量綱（自學(xué)）

§2-3慣性系力學(xué)相對(duì)性原理

一、慣性參照系

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，參照系可任選，在應(yīng)用牛頓定律時(shí)，參照系不能任選，因?yàn)榕ｎD運(yùn)動(dòng)定

律不是對(duì)所有的參照系都適用。如圖2-1,假設(shè)火車車廂的桌面是水平光滑的，在桌面上

放一小球，顯然小球受合外力=0,當(dāng)火車以加速度值向前開時(shí)，車上人看見小球以加速度一萬

向后運(yùn)動(dòng)。而對(duì)地面上人來說，小球的加速度為零。如果取地參系，小球的合外力等于零,

故此時(shí)牛頓運(yùn)動(dòng)定律（第一、二定律）成立。如果取車廂為參照系，小球的加速度工0,而

作用小球的合外力=0,故此時(shí)牛頓運(yùn)動(dòng)定律（第一、第二定律）不成立。但凡牛頓運(yùn)動(dòng)定

律成立的參照系，稱為慣性系。牛頓定律不成立的參照系稱為非慣性系。

說明：（1）一個(gè)參照系是否為慣性系，要由觀察和實(shí)驗(yàn)來判斷。天文學(xué)方面的觀察證明，

以太陽中心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸的方向指向恒星的坐標(biāo)軸是慣性系。理論證明，但

凡對(duì)慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系都是慣性系。

（2）地球是否為慣性系？因?yàn)樗凶赞D(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球?qū)μ栠@個(gè)慣性系不是

作勻速直線運(yùn)動(dòng)的，嚴(yán)格講地球不是慣性系。但是，地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度

都很小，故可以近似看成是慣性系。

二、力學(xué)相對(duì)性原理

在1-3中已講過，參照系E與M,設(shè)E是一慣性系，M相對(duì)E以%/故勻速直線運(yùn)動(dòng)，

即0M也是一慣性系，二參照系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，在E、M上牛頓第二定律均成立，設(shè)一質(zhì)

點(diǎn)R質(zhì)量為m,相對(duì)E、M有

及二〃疝/相對(duì)七）［（2-7）

乙=〃疝.（相對(duì)M）_|

設(shè)P相對(duì)E、M的速度分別為%苫、有

%（2-8）

上式兩邊對(duì)f求一階導(dǎo)數(shù)有

&PE=GpM（2-9）

可見，P對(duì)E和M的加速度相同。綜上可知，對(duì)于不同的慣性系，牛頓第二定律有相

同的形式（見在一慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn),都不能確定該慣性系相對(duì)其

它慣性系是否在運(yùn)動(dòng)（JL（2-9））,這個(gè)原理稱為力學(xué)相對(duì)性原理或伽利略相對(duì)性原理。

§2-4牛頓定律應(yīng)用舉例MF

_____

例2-1:如圖2-2,水平地面上有一質(zhì)量為M的物體，靜

圖2-2

止于地面上。物體與地面間的靜摩擦系數(shù)為外，假設(shè)要拉動(dòng)物體，問最小的拉力是多少？

沿何方向？

解：⑴研究對(duì)象：M

⑵受力分析：M受四個(gè)力，重力戶，拉力T,

面的正壓力耳，地面對(duì)它的摩擦力『，見圖2-3。

⑶牛頓第二定律：

合力：F=P+T+N^-f=>P+T+N+f=Ma

分量式：取直角坐標(biāo)系

x分量：Fcos?-j=Ma①

y分量：尸sin19+N—尸=0②

物體啟動(dòng)時(shí)，有

Fcos^-/>0(3)

物體剛啟動(dòng)時(shí)，摩擦力為最大靜摩擦力，即f="N,由②解出N,求得了為：

/二〃式F—Fsing)④

④代③中：有

F>4sMg/(cos。sin8)⑤

可見：F=F⑻。7=，^時(shí)，要求分母(cos6+〃,sin。)最大。

設(shè)A(e)=4ssin夕+cos。

j2A

*.*—=-jussin。-cos。<0

???吆。=4時(shí)，A=Amax

=>F=^min09=工代入⑤中，

得：

戶方向與水平方向夾角為。二arctg,、時(shí)、即為所求結(jié)果。

強(qiáng)調(diào)：注意受力分析，力學(xué)方程的矢量式、標(biāo)量式(取坐標(biāo))。

例2-2：質(zhì)量為也的物體被豎直上拋，初速度為％,物體受到的空氣阻力數(shù)值為f=KV,

K為常數(shù)。求物體升高到最高點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間及上升的最大高度。

解：⑴研究對(duì)象：m

⑵受力分析：m受兩個(gè)力，重力戶及空

氣阻力/，如圖2-4。

⑶牛頓第二定律：

合力：F=P+f

dV

y分量：—mg—KV=m——

dt

dV

即--dt

mg+KVm圖2-4

I1

=>V=—(mgKV)em—mg①

AttA

V=0時(shí)，物體到達(dá)了最高點(diǎn)，可有，o為

1n(1+義)②

KmgKmg

?.?V=包

dt

??dy=Vdt

K

m-—f~\\i

=—^{mg+KVQ)1-e5一方〃zg%③

例2-3：如圖2-5,長(zhǎng)為/的輕繩，一端系質(zhì)量為用的小球，另一端系于原點(diǎn)o,開始時(shí)小

球處于最低位置，假設(shè)小球獲得如下圖的初速度均，小球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)作圓周運(yùn)

動(dòng)，求:小球在任意位置的速率及繩的張力。

解：⑴研究對(duì)象：m

⑵受力分析：小球受兩個(gè)力，

即重力mg,拉力Fn,如圖2-6o

⑶牛頓定律：F?+m§=ma

應(yīng)用自然坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，分量方程有，

?！胺较?m

Fn-mgcos。=man=~j~①

圖2-5

可方向:一機(jī)gsin6=ma=tn—②

tdt

.八dvdvdOdvvdv

由②有:一gsin〃=—=---------=——co=-------

dtdOdtdOIdO

即vdv=-IgsinOdO

作如下積分:￡vdv=sinOdO

2

有^(v-vl)=lg(cosO-\)

J

得：v=4諱+2lg(cosB-l)

口代①中，得:

//////.

例2-4：如圖2-6,一根輕繩穿過定滑輪，輕繩兩端一/

各系一質(zhì)量為機(jī)］和叫的物體，且町〉小2，

設(shè)滑輪的質(zhì)量不計(jì)，滑輪與繩及軸間摩擦不

一

計(jì)，定滑輪以加速度即相對(duì)地面向上運(yùn)動(dòng)，

試求兩物體相對(duì)定滑輪的加速度大小及繩中張力。

解：⑴研究對(duì)象：mx、m2

⑵受力分析：叫、叫各受兩個(gè)力，即重力

及繩拉力，如圖2-7。圖2-6

⑶牛頓定律

設(shè)町對(duì)定滑輪及地加速度為4r、匹,

y

叫對(duì)定滑輪及地加速度為。2r、2，

tnx：加/+1=加自=〃4(3+匹)

m2：m2g+T2=m2a2=tn2\a2r+瓦)

如圖所選坐標(biāo)，并注意=%r=%，7]=T?=T,有

解得：。"生*(g+a°)

叫+m2

例2-5：如圖2-8,質(zhì)量為M的三角形劈置于水平光滑

面上，另一質(zhì)量為m的木塊放在M的斜面上，，〃與M間

摩擦。試求M對(duì)地的加速度和加對(duì)M的加速度。

解：⑴研究對(duì)象：〃八M

⑵受力分析：“受三個(gè)力，重力Mg,正壓力加，

面支持力—'。，〃受兩個(gè)力，重力堿，M的支持力

圖2-9所。圖2-8

取坐標(biāo)系，設(shè)M對(duì)地加速度為，”，加對(duì)M的加速度為圖”，加對(duì)地的加速度為意

Wam=ainM+aM

由牛頓得二定律有：

m：mg+N=m(anjM+aM)

x分量：'§山。=皿〃“曲＜：05。-4乂)①

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量加與其速度/的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，記為戶。目

?=而(3-1)

說明：⑴戶是矢量，方向與力相同

⑵戶是瞬時(shí)量

(3)戶是相對(duì)量

⑷坐標(biāo)和動(dòng)量是描述物體狀態(tài)的參量

2、沖量

牛頓第二定律原始形式

由此有聲力=d(mD)

積分：VFdt=rdP=p.-pK(3-2)

“Jpi

定義：力稱為在。-4時(shí)間內(nèi)力R對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。

記為加(3-3)

說明：⑴7是矢量

⑵7是過程量

(3)7是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)

(4)7的分量式

1出7)=[國力

????[02-4)=1心力(3-4)

用工力

。=5區(qū)7)

?二分量式[3—4)可寫成'1y=/*v(/2-Z|)[3-5)

尺、凡、尺是在八一2時(shí)間內(nèi)匕、Fy\"平均值。

3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

由上知I=p2-p.(3-6)

結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量二質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。

說明：(1)7與〈同方向

L=P2x-Pix

⑵分量式,ly=P2y-Ply(3-7)

Jz=p2z-P1Z

⑶過程量可用狀態(tài)量表示，使問題得到簡(jiǎn)化

⑷成立條件：慣性系

⑸動(dòng)量原理對(duì)碰撞問題很有用

二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點(diǎn)

內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力

外力：系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用力

設(shè)系統(tǒng)含〃個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速度分別為叫、弓，對(duì)于第，?個(gè)質(zhì)點(diǎn)受合內(nèi)力

為卻產(chǎn)受合外力為R外，由牛頓第二定律有

對(duì)上式求和，有

因?yàn)閮?nèi)力是一對(duì)一對(duì)的作用力與反作用力組成，故無內(nèi)力=0,

有屋外力=》(3-8)

at

結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動(dòng)量的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。

式(3-8)可表示如下

1心外力力=1％》二員一2(3-9)

即7合外力沖L瓦一回(3-10)

結(jié)論：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這也是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的又一表述。

例3-1：質(zhì)量為〃，的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時(shí)間4,打擊前鐵錘速率

為u,那么在打擊木樁的時(shí)間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？

解：設(shè)豎直向下為正，由動(dòng)量定理知：

強(qiáng)調(diào)：動(dòng)量定理中說的是合外力沖量二動(dòng)量增量

例3-2：一物體受合力為/=2/(SI),做直線運(yùn)動(dòng)，試問在第二人5秒內(nèi)和第一個(gè)5秒內(nèi)

物體受沖量之比及動(dòng)量增量之比各為多少？

解；設(shè)物體沿儀方向運(yùn)動(dòng)，

乙=二產(chǎn)力=(2E=25NS(4沿:方向)

Fdt

右=]=\52皿=75N?S(八沿i方向)

.??皿=3

(△P)i

例3-3：如圖3-1,一彈性球，質(zhì)量為m=0.020kg,速率n=5m/s,與墻壁碰撞后跳回。設(shè)

跳回時(shí)速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為a=60°。

⑴求碰撞過程中小球受到的沖量7=?

⑵設(shè)碰撞時(shí)間為&=0.05s,求碰撞過程中小球受到的平均沖力下=?

W：(1)7=?

如圖3T所取坐標(biāo)，動(dòng)量定理為7=-機(jī)弓

〈方法一〉用分量方程解

=>7=Ij=2mvcosai=2x0.020x5xcos601=0.107N-S

〈方法二〉用矢量圖解

(。2-％)如上圖3-1所示。

AOBA=。=60°,,ZA=60,

故NO4B為等邊三角形。

=1%-胃=u=5m/s,(%-%)沿：方向

???/="％一%|=0020x5=0.10N?S,沿：方向。

(2)1=鼠

=>F=7/Ar=0.107/0.05=2fN

注意：此題按7=1戶力求7困難（或求不出來）時(shí)，用公式『二件求方便。

§3-2動(dòng)量守恒定律

由.（3-8）知，當(dāng)系統(tǒng)受合外力為零時(shí)

O（3-,n

即系統(tǒng)動(dòng)量不隨時(shí)間變化,稱此為動(dòng)量守恒定律。

說明：⑴動(dòng)量守恒條件：戶合外力=0，慣性系。

⑵動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，而不是指?jìng)€(gè)別物體的動(dòng)量守恒。

⑶內(nèi)力能改變系統(tǒng)動(dòng)能而不能改變系統(tǒng)動(dòng)量。

⑷戶合外力時(shí)，假設(shè)乙外力在某一方向上的分量為零，那么在該方向上系統(tǒng)的

動(dòng)量分量守恒。

⑸動(dòng)量守恒是指。=常矢量（不隨時(shí)間變化），，此時(shí)要求網(wǎng)外力三0。

⑹動(dòng)量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。

例3-4：如圖3-2,質(zhì)量為加的水銀球，豎直地落到光滑的水平桌面上，分成質(zhì)量相等的三

等份，沿桌面運(yùn)動(dòng)。其中兩等份的速度分別為％、v2,大小都為0.30m/s。相互垂直地分

開，試求第三等份的速度。

解：〈方法一〉用分量式法解

研究對(duì)象：小球

受力情況：加只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，即在水平方向不受力，故水平

方向動(dòng)量守恒。

在水平面上如圖3-2取坐標(biāo)，有

.v3=>/2v=V2x0.30=0.42機(jī)Is

??[e=45°na=135°（艮與%成135°）

〈方法二〉用矢量法解

*.*/?1V,+/712V2+m3v3=0

及=m2=%

vl+v2+v3=0

即/3=-（%+%）

即有圖3-3?？傻胈_____

匕=|v3|=|-（v,4-v2）|=Jvf+.==0.42m/s

得，=45°=a=135°

強(qiáng)調(diào)：要理解動(dòng)量守恒條件

例3-5：如圖3-4,在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為M長(zhǎng)為/的小車，車上一端有一質(zhì)量為

，〃的人，起初相、“均靜止，假設(shè)人從車一端走到另一端時(shí)，那么人和車相對(duì)地

面走過的距離為多少？

解：研究對(duì)象：〃7、M為系統(tǒng)

???此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，

???在此方向動(dòng)量守恒。

（方法一〉mv,n+MVM=0（對(duì)地）

即“晨用+（w+M）vw=0

如圖所取坐標(biāo)，標(biāo)量式為

即=（fn+M）vM

積分（/=0?”在A處，，=%,用在B處）

圖3-4

即ml=（m+M）SM

由圖3-4知：S=l-S=------1

inMm+M

＜方法二〉mvm+MvM=0

標(biāo)量式：mvin-MVM=0

即〃叫，-"匕w

積分：加『4川=川『為力

=＞咻=MS”①

可知：s”,+s“=/②

由①、②得：

例3-6：質(zhì)量為加的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為根的物體，此人用以與水平方向成。角的速率u

向前跳去。當(dāng)他到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)、他將物體以相對(duì)于人為〃的水平速率向后拋出，問：由于

人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）

解：如圖3-5,設(shè)P為拋出物體后人

到達(dá)的最高點(diǎn)，%、馬分別為拋球

前后跳躍的距離。

研究對(duì)象：人、物體組成的系統(tǒng)，

??,該系統(tǒng)在水平方向上合外力二0,

???在水平方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。

設(shè)在P點(diǎn)，人拋球前、后相對(duì)地的速度分別為D、V,，

SP點(diǎn)拋球后球相對(duì)地速度為力,有圖3-5

標(biāo)量式：（rrf+m）v=my+m（V[-u）

即（加cosa=（/"+㈤匕-mu

得：Vj=vcoscr+-----u

0ni+m

強(qiáng)調(diào)：v2=vx+u,v2^v+wO因?yàn)椤ㄊ桥c％同時(shí)產(chǎn)生的，而人速度為萬時(shí)，丘還沒產(chǎn)生

§3-3碰撞

一、碰撞

直接碰撞

碰撞

非直接碰撞

特點(diǎn)：⑴碰撞時(shí)物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相比照擬可忽略。

即碰撞系統(tǒng)合外力=0。故動(dòng)量守恒。

完全彈性碰撞：E守恒

⑵機(jī)械能E完全非彈性碰撞

＞：E不守恒

非完全彈性碰撞

二、完全彈性碰撞

1、對(duì)心情況（一維）

如圖36,以與〃?2為系統(tǒng)，碰撞中"=常矢

”.io+加2%=嗎匕+fn2v2(3-12)

5叫臉+；啊臉+-mv1(3-14)

(v>0,沿+x方向;反之，沿-X方向）

?_（加|一切2）匕o+2嗎嗎。

匕一

〃q+m

解得：?2(3-15)

_（加2一機(jī)|）為。+2加嚴(yán)|0

%~,

+in2

（交換速度）

討論：⑴班二m=<

〔彩=%

m2?州,Vj工-vI0,v2=0

(2)v20=0

加2?>n^v{?vI0,v2=2v10

2、非對(duì)心情況

設(shè)州二川2，JEV20=0,可知，機(jī)］、加2系統(tǒng)動(dòng)量及動(dòng)能均守恒，即

見%=相用+哂

,121212316)

+-/n2v；

總。="產(chǎn)(3-17)

=>

[%=匕+%

可知，%、%、%是以Go為斜邊的

直角三角形，如圖3-7。

圖3-7

§3-4動(dòng)能定理

一、功

定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。

1、恒力的功

恒力：力的大小和方向均不變,

如圖3-8,功為W=FcosaS=F-5(3-18)

即

|卬二戶?可(3-19)

說明：⑴W為標(biāo)量

⑵功是過程量

⑶功是相對(duì)量

⑷功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)

⑸作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。

圖3-8

2、變力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-9,戶為變力，在

個(gè)位移元△s中，E看作恒力，E對(duì)物體做功為

△W：=FjcosoASj=R?ASf

質(zhì)點(diǎn)從Qfb過程中，戶對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為

功的精確數(shù)值為

即

W二:戶而

Ja

討論：⑴恒力功

⑵直線運(yùn)動(dòng)

設(shè)戶（幻=尸（幻:，如圖3-10,

質(zhì)點(diǎn)在afb中，功為

⑶合力功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)受〃