2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新課標Ⅱ卷

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新課標Ⅱ卷數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在復平面內，(1＋3i)(3－i)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[因為(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復數(shù)在復平面內對應的點為(6，8)，位于第一象限，故選A．]2．設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．23 D．－B[依題意，有a－2＝0或2a－2＝0．當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B．所以a＝1，故選B．]3．某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有()A．C40045·C20015C．C40030·C20030D[由題意，初中部和高中部學生人數(shù)之比為400200＝21，所以抽取的60名學生中初中部應有60×23＝40(人)，高中部應有60×13＝20(人)，所以不同的抽樣結果共有C400404．若f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1為偶函數(shù)，則A．－1 B．0C．12 D．B[法一：設g(x)＝ln2x-12x+1，易知g(x)的定義域為-∞，-12∪12，+∞，且g(－x)＝ln-2x-1-2x+1＝ln2x+12x-1＝－ln2x-12x+1＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(法二：因為f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1為偶函數(shù)，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)ln13＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得a＝5．已知橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝(A．23 B．C．－23 D．－C[將直線y＝x＋m與橢圓聯(lián)立得y=x+m，x23+y2=1，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因為直線與橢圓相交于A，B點，則Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2．易知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即-2+m2＝2×2+6．已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)單調遞增，則a的最小值為()A．e2 B．eC．e-1 D．e-2C[因為函數(shù)f(x)＝aex－lnx，所以f′(x)＝aex－1x．因為函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)單調遞增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－1x≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，則0<1a≤xex在(1，2)恒成立．設g(x)＝xex，則g′(x)＝(x＋1)ex．當x∈(1，2)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以1a≤e，即a≥1e＝e-17．已知α為銳角，cosα＝1+54，則sinα2＝A．3-58 BC．3-D[由題意，cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3-58＝6-2516＝5-142，又α為銳角，所以sinα28．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120C[法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則a11-q41-q=-5，a11-q61-q=21×a11-法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……為等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54．當S2＝－1時，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；當S2＝54時，結合S4＝－5得a11-q41-q=-5，a11-q21-q=54二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側面積為43πC．AC＝22D．△PAC的面積為3AC[在△PAB中，由余弦定理得AB＝23．如圖，連接PO，易知圓錐的高h＝PO＝1，底面圓的半徑r＝AO＝BO＝3．對于A，該圓錐的體積V＝13πr2h＝π，故A選項正確；對于B，該圓錐的側面積S側＝πr·PA＝23π，故B選項錯誤；對于C，取AC的中點H，連接PH，OH，因為OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，則二面角P-AC-O的平面角為∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2-OH2＝2，所以AC＝22，故C選項正確；對于D，PH＝2OH＝2，S△PAC＝12×AC×PH＝2，故D10．設O為坐標原點，直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形AC[由題意，易知直線y＝－3(x－1)過點(1，0)．對于A，因為直線經過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標為(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以A選項正確對于B，不妨設M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，聯(lián)立方程得y=-3x-1y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3．由拋物線的定義得，|MN|＝x1＋x2＋p＝對于C，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標為53，-233，半徑r＝12|MN|＝83＝53＋1，所以以對于D，由兩點間距離公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝163，故D選項錯誤．綜上，故選AC11．若函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)既有極大值也有極小值，則A．bc＞0 B．ab＞0C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0BCD[因為函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)，所以函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax2-bx-2cx3，因為函數(shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f′(x)在(0，＋∞)上有兩個變號零點，而a≠0，所以關于x的方程ax2－bx－2c＝0有兩個不等的正實根x1，x212．在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率ABD[由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1－α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1－β．對于A，發(fā)1收1的概率為1－β，發(fā)0收0的概率為1－α，發(fā)1收1的概率為1－β，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A選項正確．對于B，相當于發(fā)了1，1，1，收到1，0，1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B選項正確．對于C，相當于發(fā)了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，則概率為C32β1-β2+C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正確．對于D，發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當于發(fā)0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，則此方案的概率P1＝C32α1-α2+C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率P2＝1－α，當0<α<0.5時，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量a，b滿足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．3[由|a－b|＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝3．]14．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________．28[如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，用平行于底面的平面截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐P-A′B′C′D′后，得到正四棱臺A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．記O′，O分別為正四棱臺A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點，連接PO，PH，O′H′，OH，則PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以該正四棱臺的體積V＝13×3×(22＋215．已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值________2(2，－2，12，－12中任意一個均可)[設直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1，0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝21+m2，|AB|＝2R2-d2＝24-21+m22＝4m1+m2．由S△ABC＝85，得12×4m1+m2×21+m2＝85，16．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝12與曲線y＝f(x)的兩個交點，若|AB|＝π6，則f(π)＝－32[對比正弦函數(shù)y＝sinx的圖象易知，點2π3，0為“五點(畫圖)法”中的第五點，所以2π3ω＋φ由題知|AB|＝xB－xA＝π6，又y＝12，則ωxA+φ=π6，ωx+即π6ω＝4π6，解得ω＝代入①，得φ＝－2π3，所以f(π)＝sin4π-2π3＝－sin2π3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD＝1．(1)若∠ADC＝π3，求tanB(2)若b2＋c2＝8，求b，c．解：(1)因為D為BC的中點，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCsin∠ADC＝2×12×1×DC×32解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4．因為∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7．在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝3．在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝c2+a2-所以sinB＝1-cos2B所以tanB＝sinBcosB(2)因為D為BC的中點，所以BD＝DC．因為∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，則在△ABD與△ADC中，由余弦定理，得AD2+得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23．在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝b2+c2-所以S△ABC＝12bcsin∠＝12bc＝12bc＝1＝3，解得bc＝4．則由bc=4b2+c2=8，18．(12分)已知{an}為等差數(shù)列，bn＝an-6，n為奇數(shù)2an，n為偶數(shù)．記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n(1)求{an}的通項公式；(2)證明：當n＞5時，Tn＞Sn．解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d．因為bn＝an所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6．因為S4＝32，T3＝16，所以4a整理，得2a1+3d所以{an}的通項公式為an＝2n＋3．(2)證明：由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝n5+2n+32＝nbn＝2n當n為奇數(shù)時，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝n+12-1+2n-3當n＞5時，Tn－Sn＝3n2+5n-102－(n2＋4n)＝所以Tn＞Sn．當n為偶數(shù)時，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2-1+2n-52當n＞5時，Tn－Sn＝3n2+7n2－(n2＋4n)＝n所以Tn＞Sn．綜上可知，當n＞5時，Tn＞Sn．19．(12分)某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布．以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率p(c)＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；(2)設函數(shù)f(c)＝p(c)＋q(c)．當c∈[95，105]時，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值．解：(1)由題圖知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，設X為患病者的該指標，則p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5．設Y為未患病者的該指標，則q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．(2)當95≤c≤100時，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；當100＜c≤105時，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．綜上所述，f(c)＝-0.008由一次函數(shù)的單調性知，函數(shù)f(c)在[95，100]上單調遞減，在(100，105]上單調遞增，作出f(c)在區(qū)間[95，105]上的大致圖象(略)，可得f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．20．(12分)如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．(1)證明：BC⊥DA；(2)點F滿足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值．解：(1)證明：如圖，連接DE，AE，因為DC＝DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC．因為∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC．因為DE∩AE＝E，DE，AE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE．又DA?平面ADE，所以BC⊥DA．(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．不妨設DA＝DB＝DC＝2，因為∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．由題可知△DBC為等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝2．因為AE⊥BC，所以AE＝AB2-在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．以E為坐標原點，ED所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則D(2，0，0)，B(0，2，0)，A(0，0，2)，DA＝(－2，0，2)，BA＝(0，－2，2設F(xF，yF，zF)，因為EF＝DA，所以(xF，yF，zF)＝(－2，0，2)，可得F(－2，0，2)．所以FA＝(2，0，0)．設平面DAB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則DA·m=0BA·m=0，即-2x1+2z1=0-2y1+2z1=0設平面ABF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則FA·n=0BA·n=0，即2x2=0-2y2+2z2=0，得x2＝0所以cos〈m，n〉＝m·nm·n記二面角D-AB-F的大小為θ，則sinθ＝1-cos2〈m，故二面角D-AB-F的正弦值為3321．(12分)已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為(－25，0)，離心率為5．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上．解：(1)設雙曲線C的方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)由題意可得c=25所以雙曲線C的方程為x24－y2(2)證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為x＝my－4，則x1＝my1－4，x2＝my2－4．聯(lián)立x=my-4x24-y216=1，得(4m2－因為直線MN與雙曲線C的左支交于M，N兩點，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．由根與系數(shù)的關系得y1+y2=32m4m2-1y1y因為A1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．直線MA1的方程為y1x1+2＝y(tǒng)x+2，直線NA所以y1x1+2y2x2-2＝y(tǒng)x因為my1＝m＝-3＝－3，所以x-2x+2＝－3，解得x所以點P在定直線x＝－1上．22．(12分)(1)證明：當0＜x＜1時，x－x2＜sinx＜x；(2)已知函數(shù)f(x)＝cosax－ln(1－x2)，若x＝0是f(x)的極大值點，求a的取值范圍．解：(1)證明：令h(x)＝x－x2－sinx，0＜x＜1，則h′(x)＝1－2x－cosx，令p(x)＝1－2x－cosx，則p′(x)＝－2＋sinx＜0，所以p(x)即h′(x)單調遞減，又h′(0)＝0，所以當0＜x＜1時，h′(x)＜h′(0)＝0，h(x)單調遞減，所以當0＜x＜1時，h(x)＜h(0)＝0，即x－x2＜sinx．令g(x)＝sinx－x，0＜x＜1，則g′(x)＝cosx－1≤0，所以g(x)單調遞減，又g(0)＝0，所以當0＜x＜1時，g(x)＜g(0)＝0，即sinx＜x．綜上，當0＜x＜1時，x－x2＜sinx＜x．(2)法一：由f(x)＝cosax－ln(1－x2)，得f′(x)＝－asinax＋2x1-x2(－1＜令t(x)＝－asinax＋2x1-x2(－1＜則t′(x)＝－a2cosax＋21+x21-x22(由x＝0是f(x)的極大值點，易得f′(0)＝0，t′(0)＜0，所以2－a2＜0，解得a＜－2或a＞2．所以a的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．法二：因為