2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題

年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題數(shù)學(xué)一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)z＝2i，則z·z＝()A．－i B．1C．－1 D．2D[依題意得，z＝－2i，故z·z＝－2i2＝2.故選D.]2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，則A∩B＝()A．{1，3，4} B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}C[依題意得，對(duì)于集合B中的元素x，滿(mǎn)足x＋1＝1，2，3，4，5，9，則x可能的取值為0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}．故選C.]3．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件4x-3y-3≥0，x-2y-2≤0，2x+6y-9≤0，A．5 B．12C．－2 D．－7D[實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x-3y-3≥0，由z＝x－5y可得y＝15x－15則該直線(xiàn)截距取最大值時(shí)，z有最小值，此時(shí)直線(xiàn)y＝15x－15z過(guò)點(diǎn)聯(lián)立4x-3y-3=0，2x+6y-9=0，解得x=3則zmin＝32－5×1＝－7故選D.]4．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()A．14 B．1C．12 D．B[畫(huà)出樹(shù)狀圖：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，所以所求概率為824＝13.5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝1，則a3＋a7＝()A．－2 B．73C．1 D．2D[法一：利用等差數(shù)列的基本量由S9＝1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9＝9a1＋9×82d＝1?9a1＋36d＝1又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝29(9a1＋36d)＝2故選D.法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9＝9a1+a92＝9a3+a7故選D.法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列的公差d＝0，則S9＝1＝9a1?a1＝19，則a3＋a7＝2a1＝2故選D.]6．已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，4)，(0，－4)，點(diǎn)(－6，4)在該雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A．4 B．3C．2 D．2C[設(shè)F1(0，－4)，F(xiàn)2(0，4)，P(－6，4)，則|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝62+-4-42＝10，|PF2|＝則2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，則e＝2c2a＝84故選C.]7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex+2sinx1+x2，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)A．16 B．1C．12 D．A[f′(x)＝ex+2cosx1+x2-ex+2sinx·2x1+x22，所以f′(0)＝3，所以曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋8．函數(shù)f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在區(qū)間[－2.8，2.8]的大致圖象為()ABCDB[f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，又函數(shù)定義域?yàn)閇－2.8，2.8]，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又f(1)＝－1＋e-1esin1>－1＋e-1esinπ6＝e2故可排除D.故選B.]9．已知cosαcosα-sinα＝3，則A．23＋1 B．23－1C．32 D．1－B[因?yàn)閏osαcosα所以11-tanα＝3，解得tanα＝1所以tanα+π4＝tanα+11-tan故選B.]10．已知直線(xiàn)ax＋y＋2－a＝0與圓C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A．2 B．3C．4 D．6C[設(shè)直線(xiàn)為l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l過(guò)定點(diǎn)P(1，－2)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋2)2＝5，所以圓心為C(0，－2)，半徑為5，且點(diǎn)P在圓C內(nèi)．因?yàn)楫?dāng)PC⊥AB時(shí)，圓心C到直線(xiàn)l的距離最大，此時(shí)|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝252-1211．設(shè)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，且α∩β＝m.下列四個(gè)命題：①若m∥n，則n∥α或n∥β；②若m⊥n，則n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，則m∥n；④若n與α和β所成的角相等，則m⊥n.其中所有真命題的編號(hào)是()A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④A[對(duì)①，當(dāng)n?α，因?yàn)閙∥n，m?β，則n∥β；當(dāng)n?β，因?yàn)閙∥n，m?α，則n∥α；當(dāng)n既不在α內(nèi)也不在β內(nèi)，因?yàn)閙∥n，m?α，m?β，則n∥α且n∥β，故①正確；對(duì)②，若m⊥n，則n與α，β不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，過(guò)直線(xiàn)n分別作兩平面與α，β分別相交于直線(xiàn)s和直線(xiàn)t，因?yàn)閚∥α，過(guò)直線(xiàn)n的平面與平面α的交線(xiàn)為直線(xiàn)s，則根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知n∥s，同理可得n∥t，則s∥t，因?yàn)閟?平面β，t?平面β，則s∥平面β，因?yàn)閟?平面α，α∩β＝m，則s∥m，又因?yàn)閚∥s，則m∥n，故③正確；對(duì)④，若α∩β＝m，n與α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，則m∥n，故④錯(cuò)誤．綜上只有①③正確，故選A.]12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若B＝π3，b2＝94ac，則sinA＋sinC＝(A．23913 BC．72 D．C[因?yàn)锽＝π3，b2＝94ac，則由正弦定理得sinAsinC＝49sin2B由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝94ac即a2＋c2＝134ac，根據(jù)正弦定理得sin2A＋sin2C＝134sinAsinC＝所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝74因?yàn)锳，C為三角形內(nèi)角，則sinA＋sinC>0，則sinA＋sinC＝72故選C.]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)f(x)＝sinx－3cosx在[0，π]上的最大值是________．2[由題意知，f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx-π3，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，x－π3∈-π3，2π3，sinx-π3∈-32，1，于是f(x)∈[14．已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為_(kāi)_______．64[兩圓臺(tái)的上、下底面面積對(duì)應(yīng)相等，則兩圓臺(tái)的體積之比為高之比，根據(jù)母線(xiàn)與半徑的關(guān)系可得甲與乙的體積之比為4r2-r15．已知a>1且1log8a-1loga64[由題意1log8a-1loga4＝3log2a-12log2a＝－52解得log2a＝－1或log2a＝6.又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.]16．曲線(xiàn)y＝x3－3x與y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．(－2，1)[令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，則g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g′(x)＝0(x>0)得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，g(0)＝1，g(1)＝－2，因?yàn)榍€(xiàn)y＝x3－3x與y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于y＝a與g(x)＝x3＋x2－5x＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以a∈(－2，1)．]三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一)必考題：共60分．17．(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝3an＋1－3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和．[解](1)因?yàn)?Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3，所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比數(shù)列的公比q＝53故2a1＝3a2－3＝3a1×53－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝5(2)由等比數(shù)列求和公式得Sn＝1×1-53n1-設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn＝32×531-53n18．(12分)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線(xiàn)智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間乙車(chē)間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5.設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果p>p＋1.65p1-pn，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線(xiàn)智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？(150附：K2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間2624乙車(chē)間7030則完整的2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總計(jì)甲車(chē)間262450乙車(chē)間7030100總計(jì)9654150K2＝150×26×30-70×242因?yàn)镵2＝4.6875>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；因?yàn)镵2＝4.6875<6.635，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異．(2)由題意可知p＝96150＝0.64又p＋1.65p1-pn＝0.5＋1.65×0.5×1-0.5150≈0.5＋1.65×所以p>p＋1.65p1-p19．(12分)如圖，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝10，AE＝23，M為CD的中點(diǎn)．(1)證明：EM∥平面BCF；(2)求點(diǎn)M到平面ADE的距離．[解](1)證明：由題意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四邊形EFCM是平行四邊形，所以EM∥FC.又CF?平面BCF，EM?平面BCF，所以EM∥平面BCF.(2)取DM的中點(diǎn)O，連接OA，OE(圖略)，因?yàn)锳B∥MC，且AB＝MC，所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以AM＝BC＝10，又AD＝10，故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等邊三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝AD2-DM22＝3，OE＝ED2-DM22＝3，又AE＝23，所以O(shè)A又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM?平面EDM，所以O(shè)A⊥平面EDM.易知S△EDM＝12×2×3＝3在△ADE中，cos∠DEA＝4+12-102×2×23＝所以sin∠DEA＝134，S△ADE＝12×2×23×設(shè)點(diǎn)M到平面ADE的距離為d，由VM-ADE＝VA-EDM，得13S△ADE·d＝13S△EDM·OA，得d＝故點(diǎn)M到平面ADE的距離為61320．(12分)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<ex-1恒成立．[解](1)f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＝ax-1當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝ax-1x<0，故f(x)在(0，＋∞)當(dāng)a>0，x∈1a，+∞時(shí)，f′(x)>0，f(當(dāng)x∈0，1a時(shí)，f′(x)<0，f(綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在1a，+∞(2)證明：a≤2，且x>1時(shí)，ex-1－f(x)＝ex-1－a(x－1)＋lnx－1≥ex-1－2x＋1＋lnx，令g(x)＝ex-1－2x＋1＋lnx(x>1)，下證g(x)>0即可．g′(x)＝ex-1－2＋1x，再令h(x)＝g′(x)，則h′(x)＝ex-1－1顯然h′(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則h′(x)>h′(1)＝e0－1＝0，即g′(x)＝h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故g′(x)>g′(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(1)＝e0－2＋1＋ln1＝0，問(wèn)題得證．21．(12分)設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(4，0)的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，N為線(xiàn)段FP的中點(diǎn)，直線(xiàn)NB交直線(xiàn)MF于點(diǎn)Q，證明：AQ⊥y軸．[解](1)設(shè)F(c，0)，由題設(shè)有c＝1且b2a＝32，故a2-1a＝32，故a故橢圓C的方程為x24(2)直線(xiàn)AB的斜率必定存在，設(shè)AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由3x2+4y2=12，y=kx-4，可得(3＋4k2)x2－32k2故Δ＝1024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－12<k<1又x1＋x2＝32k23+4k2，x1而N52，0，故直線(xiàn)BN：y＝y(tǒng)2x2-5所以y1－yQ＝y(tǒng)1＋3y2＝k＝k·2＝k·2×＝k·128k2-24-160故y1＝y(tǒng)Q，即AQ⊥y軸．(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ＝ρcosθ＋1.(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l：x=ty=t+a(t為參數(shù))，若C與l相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，求a[解](1)由ρ＝ρcosθ＋1，將