二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)總結(jié)

二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)總結(jié)二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)總結(jié)一、二項(xiàng)式定理：（）等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對二項(xiàng)式定理的理解：（1）二項(xiàng)展開式有項(xiàng)（2）字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1到0；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1到（3）二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對于任意的實(shí)數(shù)，等式都成立，通過對取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)，則（）（4）要注意二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式展開，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開式合并成二項(xiàng)式二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定項(xiàng)（如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對通項(xiàng)的理解：（1）字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2）與的次數(shù)之和為（3）在通項(xiàng)公式中共含有這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素例1、等于（）A、B。C。D、例2、（1）求的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)三、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)：①對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即②增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即偶數(shù)：；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即③二項(xiàng)展開式的各系數(shù)的和等于，令，即；④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令，即例題：寫出的展開式中：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；（3）項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；（4）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（5）各項(xiàng)系數(shù)的和4、多項(xiàng)式的展開式及展開式中的特定項(xiàng)（1）求多項(xiàng)式的展開式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式定理展開。例題：求多項(xiàng)式的展開式（2）求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項(xiàng)，可以先寫出各個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)再分析。例題：求的展開式中的系數(shù)例題：（1）如果在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。（2）求的展開式的常數(shù)項(xiàng)?！舅季S點(diǎn)撥】求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知，求：（1）；（2）；（3）、六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：（1）進(jìn)行近似計(jì)算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：取的展開式中的四項(xiàng)即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計(jì)算的處理方法當(dāng)n不是很大，||比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求的近似值。例題：的計(jì)算結(jié)果精確到0、01的近似值是（）A、1、23B、1、24C、1、33D、1、34（2）整除性問題或求余數(shù)的處理方法①解決這類問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式②用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，這里的通常為1，若為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)再次構(gòu)造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項(xiàng)）一、二項(xiàng)就可以了③要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)，有確定的一對整數(shù)和，滿足，其中為除數(shù)，為余數(shù)，，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題：求除以7所得的余數(shù)例題：若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是（）A、0B。2C。7D、8例題：當(dāng)且>1，求證【思維點(diǎn)撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的、1、在的展開式中，的系數(shù)為（）A、B、C、D、2、已知，的展開式按a的降冪排列，其中第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù)n等于（）A、4B、9C、10D、113、已知（的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為11∶2，則n是（）A、10B、11D、134、5310被8除的余數(shù)是（）A、1B、2C、3D、75、(1、05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0、01的近似值是（）A、1、23B、1、24C、1、33D、1、346、二項(xiàng)式(nN)的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、47、設(shè)(3x+x)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若t+h=272，則展開式的x項(xiàng)的系數(shù)是（）B、1C、2D、38、在的展開式中的系數(shù)為（）A、4B、5C、6D、79、展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是（）A、330B、462C、680D、79010、的展開式中，的系數(shù)為（）A、－40B、10C、40D、4511、二項(xiàng)式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為，則x在[0，2π]內(nèi)的值為（）B、或C、或D、或12、在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n－5的（）A、第2項(xiàng)B、第11項(xiàng)C、第20項(xiàng)D、第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果、13、展開式中的系數(shù)是、14、若，則的值為__________、15、若的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是、16、對于二項(xiàng)式(1-x)，有下列四個(gè)命題：①展開式中T=－Cx；②展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；③展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；④當(dāng)x=2000時(shí)，(1-x)除以2000的余數(shù)是1、其中正確命題的序號是__________、（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74分、17、（12分）若展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列、（１）求n的值；（２）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？18、（12分）已知()n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)、19、（12分）是否存在等差數(shù)列，使對任意都成立？若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由、20、（12分）某地現(xiàn)有耕地畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？21、（12分）設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為11，試問：m、n取何值時(shí)，f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值、