統(tǒng)計(jì)與概率解答題（解析版）

統(tǒng)計(jì)與概率解答題一、解答題1．（2021·廣東茂名·高三月考）接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區(qū)有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種，假設(shè)在某個(gè)時(shí)間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應(yīng)都很充足，為了節(jié)省時(shí)間和維持良好的接種秩序，接種點(diǎn)設(shè)置了號(hào)碼機(jī)，號(hào)碼機(jī)可以隨機(jī)地產(chǎn)生A，B，C三種號(hào)碼（產(chǎn)生每個(gè)號(hào)碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號(hào)碼機(jī)上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號(hào)碼相對(duì)應(yīng)的疫苗（例如：取到號(hào)碼A，就接種A種疫苗，以此類(lèi)推）．若甲，乙，丙，丁四個(gè)人各自獨(dú)立的去接種第一針新冠疫苗．（1）求這四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A種疫苗的概率；（2）記甲，乙，丙，丁四個(gè)人中接種A種疫苗的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為．【分析】（1）記四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的事件為M，則；（2），然后算出答案即可.【詳解】（1）記四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的事件為M，則，所以四個(gè)人中恰有一個(gè)人接種A疫苗的概率為．（2）由題意可知，的取值依次為0，1，2，3，4．且，故隨機(jī)變量的分布列為01234．2．（2021·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三月考）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立．(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(1)0.108.(2)1.8，0.72.【詳解】試題分析：（1）設(shè)表示事件“日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”，表示事件“日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)且另一天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”.因此可求出，，利用事件的獨(dú)立性即可求出；（2）由題意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望為E(X)和方差D（X）的值.（1）設(shè)表示事件“日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”，表示事件“日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)且另一天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”.因此...（2）X的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)的概率為,,,,分布列為X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因?yàn)閄~B(3,0.6),所以期望為E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.二項(xiàng)分布.3．（2021·廣東高三月考）某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行垃圾分類(lèi)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別男235151812女051010713（1）若將問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱(chēng)為“環(huán)保關(guān)注者”．請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表．根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？（2）若將問(wèn)卷得分不低于80分的市民稱(chēng)為“環(huán)保達(dá)人”，從我市所有“環(huán)保達(dá)人”中隨機(jī)抽取5人，這5人中男性的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828．【答案】（1）不能；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）由樣本可知在50名“環(huán)保達(dá)人”中，男性有30人，占比為，則從全市的“環(huán)保達(dá)人”中抽取時(shí)，男性的人數(shù)隨機(jī)變量，根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列及期望的計(jì)算公式即可求解該題.【詳解】（1）由題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下：非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”總計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，不能認(rèn)為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)；（2）參與問(wèn)卷的100人中，有50人為“環(huán)保達(dá)人”，其中男性30人，占比為，從全市的“環(huán)保達(dá)人”中抽取5人，這5人中男性的人數(shù)記為X，則，則的分布列為：012345所以數(shù)學(xué)期望為.4．（2021·廣東荔灣·廣雅中學(xué)高三月考）目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專(zhuān)家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱(chēng)為“短潛伏著”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱(chēng)為“長(zhǎng)潛伏者”.（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），并計(jì)算出這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)；（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān)：短潛伏者長(zhǎng)潛伏者合計(jì)60歲及以上__________________16060歲以下60________________合計(jì)__________________300（3）研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過(guò)逐一試驗(yàn)直到把這2種特別有效的藥物找出來(lái)為止，每一次試驗(yàn)花費(fèi)的費(fèi)用是600元，設(shè)所需要的試驗(yàn)費(fèi)用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)這500名患者潛伏期的平均數(shù)為6，這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為250；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān)；(3)分布列見(jiàn)解析，.【分析】(1)利用各區(qū)間的中點(diǎn)值乘該區(qū)間的面積相加可得這500名患者潛伏期的平均數(shù)，由頻率分布表確定樣本中“長(zhǎng)潛伏者”的頻率，由此計(jì)算這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)；(2)補(bǔ)充列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算的值，查表確定臨界值，半徑兩者大小，確定是否接受假設(shè)，(3)由條件確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，并求取各值的概率，由此可得X的分布列，再根據(jù)期望的定義求的值.【詳解】(1)這500名患者潛伏期的平均數(shù)可表示為：，∴這500名患者潛伏期的平均數(shù)為6，“長(zhǎng)潛伏者”即潛伏期時(shí)間不低于6天的人，由頻率分布直方圖可得這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的頻率為(0.18+0.03+0.03+0.01)×2，即0.5，∴這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為250，(2)∵500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為250，由分層抽樣性質(zhì)可得，抽取300人中“長(zhǎng)潛伏者”有人，即150人，所以“短潛伏者”有150人，又300人中60歲以上的人有160人，故60歲以下的人有140人，∴列聯(lián)表為：短潛伏者長(zhǎng)潛伏者合計(jì)60歲及以上907016060歲以下6080140合計(jì)150150300∴，又查表可得，5.357>5.024∴有的把握認(rèn)為潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān)；(3)由已知可得隨機(jī)變量X的可能取值有1200，1800，2400，，，，∴X的分布列為：X120018002400P∴.5．（2021·廣東華僑中學(xué)高三月考）某校對(duì)學(xué)生關(guān)于開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了人，他們數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（單位：分）的頻數(shù)分布及對(duì)開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)贊成人數(shù)如表：成績(jī)頻數(shù)贊成人數(shù)（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表：能否有的把握認(rèn)為學(xué)生關(guān)于開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的態(tài)度與數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為分分界點(diǎn)有關(guān)？成績(jī)不低于分的人數(shù)成績(jī)低于分的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)（2）若對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)平均分在和的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求在選中的人中有人不贊成的條件下，贊成開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附參考公式與數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）表格見(jiàn)解析，有；（2）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，再利用求出，然后利用臨界值表進(jìn)行判斷，（2）由題意知，的所有可能取值為，，，，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望【詳解】解：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，如下：成績(jī)不低于分的人數(shù)成績(jī)低于分的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)4050由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生關(guān)于開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的態(tài)度與數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為分分界點(diǎn)有關(guān)；（2）由題意知，的所有可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為．6．（2021·廣州市第一中學(xué)高三月考）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類(lèi)．【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類(lèi)似，找出先回答類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類(lèi)問(wèn)題．7．（2021·廣東廣州·高三月考）為培養(yǎng)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化的興趣，某市從甲，乙兩所學(xué)校各抽取100名學(xué)生參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)分為優(yōu)秀和非優(yōu)秀兩個(gè)等級(jí)，成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲校6040100乙校7030100合計(jì)13070200（1）甲，乙兩所學(xué)校競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別是多少?（2）能否有95%的把握認(rèn)為甲校成績(jī)優(yōu)秀與乙校成績(jī)優(yōu)秀有差異?附：P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.6，0.7；（2）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為甲校成績(jī)優(yōu)秀與乙校成績(jī)優(yōu)秀有差異.【分析】（1）根據(jù)表格中兩所學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的頻數(shù)即可算出頻率；（2）根據(jù)參考公式算出，進(jìn)而根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】（1）甲學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：，乙學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的頻率為：.（2）由題意，，故沒(méi)有95%的把握認(rèn)為甲校成績(jī)優(yōu)秀與乙校成績(jī)優(yōu)秀有差異.8．（2021·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三月考）某觀影平臺(tái)為了解觀眾對(duì)最近上映的某部影片的評(píng)價(jià)情況（評(píng)價(jià)結(jié)果僅有“好評(píng)”、“差評(píng)”），從平臺(tái)所有參與評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽取216人進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示（單位：人）：好評(píng)差評(píng)合計(jì)男性68108女性60合計(jì)216（1）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“對(duì)該部影片的評(píng)價(jià)與性別有關(guān)”？（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺(tái)的所有給出“好評(píng)”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，從給出“好評(píng)”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“差評(píng)”的觀眾中抽取人．現(xiàn)從這人中，隨機(jī)抽出2人，用隨機(jī)變量Y表示被抽到的給出“好評(píng)”的女性觀眾的人數(shù)．若隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望不小于1，求m的最大值．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有；（2）答案見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，求出，根據(jù)參考數(shù)據(jù)可判斷.

(2)先求出隨機(jī)抽取1人為男性的概率，由題意，由二項(xiàng)分布可得答案.

(3)Y的可能取值為0，1，2．求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.【詳解】解：（1）填寫(xiě)列聯(lián)表如下：好評(píng)差評(píng)合計(jì)男性4068108女性6048108合計(jì)100116216所以，所以有99%的把握認(rèn)為“觀影評(píng)價(jià)與性別有關(guān)”．（2）從觀影平臺(tái)的所有給出“好評(píng)”的觀眾中隨機(jī)抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨(dú)立，所以，所以，，，．故X的分布列為X0123P（3）從給出“好評(píng)”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人,則男性4人，女性6人.則Y的可能取值為0，1，2．所以，，．所以，即，即，解得，又，所以m的最大值為2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查對(duì)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布和期望，解答本題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布問(wèn)題，即根據(jù)條件得出，以及求出對(duì)應(yīng)概率，屬于中檔題.9．（2021·廣東高三月考）自2019年起，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題新規(guī)則如下：聯(lián)賽分為一試?加試（即俗稱(chēng)的“二試”）.一試考試時(shí)間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分?20分?20分），滿分120分.二試考試時(shí)間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何?代數(shù)?數(shù)論?組合四個(gè)方面.前兩題每題40分，后兩題每題50分，滿分180分.已知某校有一數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，在一試中，正確解答每道填空題的概率為0.8，正確解答每道解答題的概率均為0.6.在二試中，前兩題每題能夠正確解答的概率為0.6，后兩題每題能夠正確解答的概率為0.5.假設(shè)每道題答對(duì)得滿分，答錯(cuò)得0分.（1）記該同學(xué)在二試中的成績(jī)?yōu)椋蟮姆植剂?；?）根據(jù)該選手所在省份歷年的競(jìng)賽成績(jī)分布可知，若一試成績(jī)?cè)?00分（含100分）以上的選手，最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性為0.9，試成績(jī)低于100分，最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性為0.2.求該選手最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性能否達(dá)到50%，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析；（2）該選手最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性達(dá)不到50%，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）先寫(xiě)出的可能值，再求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（2）先求出該同學(xué)一試獲得100分及以上的概率，再結(jié)合題意即可求解【詳解】（1）依題意，的可能值為0，40，50，80，90，100，130，140，180.所以，，，，，，，，.故的分布列為0405080901001301401800.040.120.080.090.240.040.180.120.09（2）由題意可知，一試分?jǐn)?shù)達(dá)到100分及以上，則后三題解答題只錯(cuò)一題，前8題全對(duì)，或者是前面的8題填空題只答錯(cuò)一題或者兩題，解答題全部答對(duì)，亦或是全部答對(duì).一試題目全部答對(duì)的概率為，后三題解答題只錯(cuò)一題，前8題全對(duì)的概率為，前面的8題填空題只答錯(cuò)一題或者兩題，解答題全部答對(duì)的概率為，所以一試獲得100分及以上的概率為，所以該同學(xué)獲得省一等獎(jiǎng)的概率為，所以該選手最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性達(dá)不到50%.10．（2021·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三月考）某商場(chǎng)以分期付款方式銷(xiāo)售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，.（1）求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（2）商場(chǎng)銷(xiāo)售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為300元.商場(chǎng)銷(xiāo)售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)記為X（單位：元）.（i）求X的分布列；（ii）若，求X的數(shù)學(xué)期望的最大值.【答案】（1）0.288；（2）（i）分布列答案見(jiàn)解析；（ii）最大值為480.【分析】(1)設(shè)選擇分2期分期付款的人數(shù)為，由已知可得，利用二項(xiàng)分布的分布列求事件的概率；(2)（i）確定隨機(jī)變量X的取值，再求X取各值的概率，由此可得X的分布列；(ii)由分布列的性質(zhì)結(jié)合條件，求得a的范圍和a,b的關(guān)系，再求的最大值.【詳解】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期分期付款的人數(shù)為，依題意，得，則.故購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（2）（i）依題意，得得取值分別為400，450，500，550，600.，，，，.所以的分布列為：4004505005506000.16（ii）根據(jù)題意得：，則，由，得解得：或又，則又，則，即當(dāng)時(shí)，有最大值，為480所以的數(shù)學(xué)期望的最大值為480.11．（2021·肇慶市第一中學(xué)高三月考）大學(xué)生趙敏利用寒假參加社會(huì)實(shí)踐，對(duì)機(jī)械銷(xiāo)售公司7月份至12月份銷(xiāo)售某種機(jī)械配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)x和銷(xiāo)售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份i789101112銷(xiāo)售單價(jià)xi（元）99.51010.5118銷(xiāo)售量yi（件）111086514（1）根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.5元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問(wèn)（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（3）預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）．參考公式：回歸直線方程，其中，參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）（2）可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的（3）產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定為7.5元/件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大．【分析】分析：（1）先求均值，代入公式求，再根據(jù)回歸直線方程過(guò)（）求，（2）計(jì)算，并與2比較進(jìn)行判斷，（3）先建立利潤(rùn)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.詳解：（1）因?yàn)?，，所以，則，于是關(guān)于的回歸直線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的；（3）令銷(xiāo)售利潤(rùn)為，則，∴當(dāng)時(shí)，取最大值.所以該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定為元/件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大.點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫(xiě)出回歸方程，回歸直線方程恒過(guò)點(diǎn).12．（2021·珠海市第二中學(xué)高三月考）經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹(shù)的胸徑(樹(shù)的主干在地面以上處的直徑)越大，樹(shù)就越高.由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.下面給出了某林場(chǎng)在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)收集的某種樹(shù)的數(shù)據(jù).編號(hào)胸徑樹(shù)高編號(hào)胸徑樹(shù)高（1）根據(jù)表格繪制樹(shù)高與胸徑之間關(guān)系的散點(diǎn)圖；（2）分析樹(shù)高與胸徑之間的相關(guān)關(guān)系，并求關(guān)于的線性回歸方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)樹(shù)的胸徑為時(shí)，樹(shù)的高度約為多少.(精確)附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，；參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)樹(shù)高與胸徑之間正相關(guān)，；(3)27.47cm【分析】(1)畫(huà)直角坐標(biāo)系，橫軸為胸徑，縱軸為樹(shù)高，把12個(gè)以胸徑為橫坐標(biāo)，樹(shù)高為縱坐標(biāo)的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)描出即可得解；(2)觀察散點(diǎn)圖可得樹(shù)高，胸徑的相關(guān)性，再求出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法即可得回歸直線方程；(3)回歸直線方程中x取50.6即可得樹(shù)高的預(yù)測(cè)值.【詳解】(1)作出散點(diǎn)圖如下：(2)由散點(diǎn)圖可看出，當(dāng)胸徑x由小變大時(shí)，樹(shù)高y也由小變大，從而y與x之間是正相關(guān)關(guān)系，，，從而，，從而關(guān)于的線性回歸方程是；(3)當(dāng)x=50.6時(shí)，即當(dāng)樹(shù)的胸徑為時(shí)，樹(shù)的高度約為cm.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．13．（2021·汕頭市澄海中學(xué)高三月考）某種子公司培育了一個(gè)豌豆的新品種，新品種豌豆豆莢的長(zhǎng)度比原來(lái)有所增加，培育人員在一塊田地(超過(guò)1畝)種植新品種，采摘后去掉殘次品，將剩下的豆莢隨機(jī)按每20個(gè)一袋裝袋密封.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5袋，測(cè)量豌豆豆莢的長(zhǎng)度(單位：)，將測(cè)量結(jié)果按，，，，分為5組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)這批新品種豌豆豆莢長(zhǎng)度的平均數(shù)(不含殘次品，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）假設(shè)這批新品種豌豆豆莢的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其中的近似值為豌豆豆莢長(zhǎng)度的平均數(shù)，，試估計(jì)采摘的100袋新品種豌豆豆莢中，長(zhǎng)度位于區(qū)間內(nèi)的豆莢個(gè)數(shù)；（3）如果將這批新品種豌豆中豆莢長(zhǎng)度超過(guò)的豆莢稱(chēng)為特等豆莢，以頻率作為概率，隨機(jī)打開(kāi)一袋新品種豌豆豆莢，記其中特等豆莢的個(gè)數(shù)為，求的概率和的數(shù)學(xué)期望.附：，若隨機(jī)變量，則，.【答案】（1），平均數(shù)為；（2）(個(gè))；（3）概率為，數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法即可得這批新品種豌豆莢長(zhǎng)度的平均數(shù)的估計(jì)值；（2）根據(jù)與的值得到,即，再利用正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)計(jì)算相應(yīng)的概率，最后求豆莢個(gè)數(shù)；（3）先得到豆莢長(zhǎng)度超過(guò)的頻率為，再判斷服從二項(xiàng)分布，最后計(jì)算所求概率和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得.解得估計(jì)新品種豌豆豆莢長(zhǎng)度的平均數(shù).（2）由（1）知新品種豌豆豆莢長(zhǎng)度的平均數(shù)約為1.11，則，又，所以，，，.所以所以100袋豌豆豆莢中，長(zhǎng)度位于區(qū)間內(nèi)的豆莢個(gè)數(shù)為(個(gè))（3）在新品種豌豆豆莢中隨機(jī)抽取一個(gè)，豆長(zhǎng)度超過(guò)的頻率為，所以隨機(jī)打開(kāi)一袋新品種豌豆豆莢，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一個(gè)豆莢，這個(gè)豆莢為特等豆莢的概率.依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，……，20，且所以；的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】結(jié)論拓展：（1）頻率分布直方圖的性質(zhì)：各組的頻率等于各小長(zhǎng)方形的面積，且所有小長(zhǎng)方形的面積和等于1.（2）頻率分布直方圖與眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)的關(guān)系：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)的估計(jì)值；②中位數(shù)左邊，右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和.14．（2021·廣東高三月考）紅隊(duì)隊(duì)員甲?乙?丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，，進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)，乙對(duì)，丙對(duì)各一盤(pán)，已知甲勝，乙勝，丙勝的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（2）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意知紅隊(duì)至少有兩名隊(duì)員獲勝包括四種情況，一是只有甲輸，二是只有乙輸，三是只有丙輸，四是三個(gè)人都贏，這四種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果．

（2）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，利用獨(dú)立事件的乘法公式求出變量對(duì)應(yīng)的概率，利用對(duì)立事件求得變量為2的概率，寫(xiě)出分布列.【詳解】解：（1）設(shè)甲勝A的事件為，乙勝的事件為，丙勝的事件為，則，，分別表示甲不勝A，乙不勝，丙不勝的事件.∵，，，∴，，.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：，，，，由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率；（2）由題意知可能取值為0，1，2，3.因此，，，由對(duì)立事件的概率公式得.所以的分布列為：01230.10.350.40.1515．（2021·深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)高三月考）某產(chǎn)品每件成本元，買(mǎi)方收貨前要進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方案規(guī)定：每件產(chǎn)品隨機(jī)檢測(cè)件，若合格，按一等品付款，每件售價(jià)元；若檢測(cè)到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機(jī)檢測(cè)件，若合格則按一等品付款，每件售價(jià)元；若仍然檢測(cè)到次品，按二等品付款，每件售價(jià)元.檢測(cè)后的合格品需要重新包裝，每件需花費(fèi)元；次品不再出售.若出售后發(fā)現(xiàn)一件一等品為次品需換貨并支付售價(jià)的倍賠款；根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該產(chǎn)品的次品率為（按每件有件次品計(jì)算）.（1）求該產(chǎn)品檢測(cè)為一等品的概率；（2）為加大檢測(cè)力度，質(zhì)檢部門(mén)提出新的檢測(cè)方案：每件產(chǎn)品隨機(jī)檢測(cè)件，若全部合格，按一等品付款；若檢測(cè)到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機(jī)檢測(cè)件，若全部合格按一等品付款；若仍然檢測(cè)到次品，按二等品付款.根據(jù)件產(chǎn)品凈利潤(rùn)，試比較原檢測(cè)方案合理還是新檢測(cè)方案合理.【答案】（1）；（2）新方案更合理．【分析】（1）設(shè)該產(chǎn)品檢測(cè)為一等品為事件，分別求得一次檢測(cè)到合格品和兩次檢測(cè)到合格品的概率，由加法公式可求得結(jié)果；（2）首先確定原方案和新方案的凈利潤(rùn)和所有可能的取值，并計(jì)算得到每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得，根據(jù)可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)該產(chǎn)品檢測(cè)為一等品為事件，第一次檢測(cè)到一件合格品的概率：，第一次檢測(cè)到一件次品，第二次檢測(cè)到一件合格品的概率：，．（2）設(shè)原方案中件產(chǎn)品凈利潤(rùn)為，原方案分三種情況：檢驗(yàn)一次按一等品付款，；檢驗(yàn)兩次按一等品付款，；檢驗(yàn)兩次按二等品付款，；的所有可能取值有，，，則；；，的分布列為：．設(shè)新方案中件產(chǎn)品凈利潤(rùn)為，分四種情況：檢驗(yàn)一次按一等品付款，；檢驗(yàn)兩次第一次檢測(cè)出一件次品按一等品付款，；檢驗(yàn)兩次第一次檢測(cè)出兩件次品按一等品付款，；檢驗(yàn)兩次按二等品付款，；的所有可能取值有，，，，則；；；，的分布列為．，新方案更合理．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)學(xué)期望解決決策性、合理性的問(wèn)題，基本思路是能夠通過(guò)對(duì)比新舊兩種方案所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義選擇合適的方案.16．（2021·廣東珠?！じ呷驴迹┠硰S加工的零件按箱出廠，每箱有個(gè)零件，在出廠之前需要對(duì)每箱的零件作檢驗(yàn)，人工檢驗(yàn)方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取個(gè)零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗(yàn)；若抽取的零件至少有1個(gè)至多有個(gè)次品，則對(duì)剩下的個(gè)零件逐一檢驗(yàn)．已知每個(gè)零件檢驗(yàn)合格的概率為，每個(gè)零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立，且每個(gè)零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為元．（1）設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為元，求的分布列；（2）除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法，機(jī)器檢驗(yàn)需要對(duì)每箱的每個(gè)零件作檢驗(yàn)，每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)為元，現(xiàn)有箱零件需要檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中，應(yīng)該選擇哪一個(gè)？說(shuō)明你的理由．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）人工檢驗(yàn)，詳見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意，工人抽查的5個(gè)零件中，分別計(jì)算出5個(gè)都是正品或者都是次品，5個(gè)不全是次品的人工費(fèi)用，得出的可能值，利用二項(xiàng)分布分別求出概率，即可列出的分布列；（2）由（1）求出的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)條件分別算出1000箱零件的人工檢驗(yàn)和機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，比較即可得出結(jié)論.【詳解】（1）的可能取值為，，，，則的分布列為（2）由（1）知，，∴1000箱零件的人工檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元．∵1000箱零件的機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元，且，∴應(yīng)該選擇人工檢驗(yàn)．【點(diǎn)睛】該題考查離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量概率、分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于簡(jiǎn)單題目.17．（2021·深圳市龍崗區(qū)平岡中學(xué)高三月考）中國(guó)提出共建“一帶一路”，旨在促進(jìn)更多的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉?波蘭蘋(píng)果?法國(guó)紅酒走上了國(guó)人的餐桌，中國(guó)制造的汽車(chē)?電子元件?農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市場(chǎng).為拓展海外市場(chǎng)，某電子公司新開(kāi)發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，若系統(tǒng)中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為900元.（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；（2）該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)組成，設(shè)為電子產(chǎn)品所需要維修的費(fèi)用，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次概率計(jì)算公式能求出系統(tǒng)需要維修的概率；（2）設(shè)為需要維修的系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，則，且，寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有取值，分別求出對(duì)于隨機(jī)變量的概率，由此能求出的分布列及期望．【詳解】解：（1）系統(tǒng)需要維修的概率為；（2）設(shè)為需要維修的系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，則，且，則的所有可能取值為0，900，1800，2700，，，，090018002700所以．18．（2021·廣東羅湖·深圳第三高中高三月考）某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步籃兩個(gè)項(xiàng)目.每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步籃考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無(wú)需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無(wú)論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為0.8，三步籃考核合格的概率為0.7，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無(wú)關(guān).（1）若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由.【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析；（2）小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，4，10，分別計(jì)算出概率得分布列；（2）由（1）求出期望，再求得小明先進(jìn)行三步籃考核，記為小明的累計(jì)得分的分布列，計(jì)算出期望，比較期望的大小可得．【詳解】解：（1）由已知可得，的所有可能取值為0，4，10，則，，，所以的分布列為：04100.20.240.56（2）小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，理由如