高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.4曲線與方程(3知識點+4題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.4曲線與方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會“曲線的方程與方程的曲線”的概念.熟悉求曲線方程的步驟以及利用方程研究曲線的性質(zhì).3.掌握求動點軌跡方程的方法1.重點:曲線與方程的概念;求動點的軌跡方程2.難點:分析、判斷曲線與方程的關(guān)系;求動點的軌跡方程知識點01曲線的方程與方程的曲線的定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：1.曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上.則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程FxA．曲線C上的點的坐標(biāo)都滿足方程FB．不在曲線C上的點的坐標(biāo)都不滿足方程FC．坐標(biāo)不滿足方程FxD．曲線C是坐標(biāo)滿足方程Fx【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·課堂例題）分析下列曲線上的點與相應(yīng)方程的關(guān)系：(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點與方程xy=5(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點與方程x+知識點02兩曲線的交點己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0【即學(xué)即練3】（20-21高二·全國·課后作業(yè)）曲線x2+y2【即學(xué)即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知A?1,0，B1,0，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足|AC|:|知識點03點的軌跡方程曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程.【即學(xué)即練5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）等腰三角形ABC底邊兩端點分別為A(?3,0),A．一條直線 B．一條直線去掉一點 C．一個點 D．兩個點【即學(xué)即練6】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）判斷直線2x+5y難點：數(shù)形結(jié)合的運用示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E:x2+y23=8x【題型1：曲線方程的概念】例1．（23-24高二上·上?！て谀┮阎鴺?biāo)滿足方程FxA．曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程FB．不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合方程FC．凡坐標(biāo)不適合方程FxD．不在曲線C上的點的坐標(biāo)有些適合方程F變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程x+2A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線C．一個圓 D．一條直線變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．y=x與y2=xC．y2?x2=0與y變式3．（2014高三·全國·專題練習(xí)）方程x?1=A．—個圓 B．兩個圓C．一個半圓 D．兩個半圓變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線C:A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 B．曲線C關(guān)于y軸對稱C．x≤?255或變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線Γ：Fx，y=0對坐標(biāo)平面上任意一點Px，y，定義FP＝Fx，y．若兩點P，Q滿足FP?FQ＜0，稱點變式6．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）方程xx變式7．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷下列命題是否正確．(1)以坐標(biāo)原點為圓心，r為半徑的圓的方程是y=(2)過點A2,0平行于y軸的直線l的方程為x【方法技巧與總結(jié)】從集合的意義上來理解曲線和方程的概念如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A?B且B?A，即A=B.從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】例2．已知曲線C的方程為x2+yA．x軸 B．y軸 C．原點 D．直線y變式1．已知曲線C方程為x2A．x軸對稱 B．y軸對稱 C．原點對稱 D．y=變式2．關(guān)于方程x2A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于y=x對稱變式3．兩個曲線方程C1：x+y=1，A．曲線C1B．曲線C2C．曲線C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積D．曲線C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積變式4．（多選）某曲線C的方程為x2A．曲線C關(guān)于y=B．曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是2C．曲線C與直線x+yD．點x,y在曲線C上，則x變式5．（多選）下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱的是（

）A．x29?C．4x2+9變式6．（多選）已知曲線C：|xA．曲線C關(guān)于(aB．x2+C．曲線C的周長為2(D．曲線C圍成的圖形面積為2變式7．設(shè)曲線C的方程為：F(①如果以?y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于②如果以?x代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于③如果同時以?x代替x，以?y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于例：曲線C的方程為：|x||y【方法技巧與總結(jié)】求曲線方程的步驟1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)2.寫集合：寫出適合條件p的點M的集合：P={M|p(M)}3.列方程:用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=04.化簡:化方程f（x，y）=0為最簡形式5.證明:說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上【題型3：曲線交點問題】例3.作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學(xué)對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯誤的是（

）A．曲線不經(jīng)過第三象限 B．曲線關(guān)于直線y=x對稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點 D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點變式1．曲線y=1?xA．3 B．2 C．1 D．0變式2．(多選)作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+yA．曲線不經(jīng)過第三象限B．曲線關(guān)于直線y=C．曲線與直線x+D．曲線與直線x+變式3．（多選）給定下列四條曲線中，與直線x+A．y2=?45x B．x22變式4．曲線x24+ay2=1上存在四個點A變式5．關(guān)于曲線C：1x①曲線C關(guān)于原點對稱；

②曲線C關(guān)于直線x±③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2其中所有正確結(jié)論的序號為.變式6．直線2x+5y?15=0與曲線變式7．已知曲線C1的方程是x2?y=0，曲線C2的方程是【題型4：軌跡方程問題】例4．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知M?N兩點坐標(biāo)分別?2,0,2,0.直線MK?A．3x2?2C．x24+變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1:5x?2y+3m變式2．（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）當(dāng)點P在圓x2+y2=1變式3．（24-25高二上·全國·課堂例題）動點M在曲線x2+y2=1上移動，點M和定點B變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知過原點的動直線l與圓C1(1)求直線l與圓相交時，它的斜率k的取值范圍；(2)當(dāng)l與圓相交于不同的兩點A,B時，求線段AB的中點變式5．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等腰△ABC中，若一腰的兩個端點分別為A4,2，B?2,0，A變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓方程為x2+y24=1，過點M0,1的直線l交橢圓于點A,B,O變式7．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）①過點C2,0，②圓G恒被直線mx?y已知圓G經(jīng)過點A0,0，B(1)求圓G的一般方程：(2)設(shè)D6,5，P是圓G上的動點，求線段DP【方法技巧與總結(jié)】1.直接法當(dāng)動點直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時，在設(shè)出曲線上動點的坐標(biāo)為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語言運用基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點坐標(biāo)（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學(xué)語言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).2.定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.3.代入法若所求軌跡上的動點P（x，y）與另一個已知曲線C：F（x，y）=0上的動點Q（x1，y1）存在著某種聯(lián)系，可把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點法）.4.參數(shù)法如果所求軌跡的動點P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)信息可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍.②化簡方程前后要注意等價性.一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）方程x2A．一個點 B．一個點和一條直線C．一條直線 D．兩條直線2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2的點的軌跡方程為（

）A．y=2xx≠0 B．y=±2x3．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程是FxA．F?x,C．F?x,?4．（21-22高二下·河南鄭州·期中）將曲線Fx,y=0上的點的橫坐標(biāo)縮短為原來的A．Fx2,3C．Fx2,5．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程為x2A．(?1,2)； B．(1,?2)； C．(2,?3)； D．(3,6)．6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知點A(1，0)，直線l：y2x－4，點R是直線l上的一點，若RA=A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋47．（21-22高二上·貴州·階段練習(xí)）已知點A?4,0，B?1,0，動點M(x,A．x2+y2=4 B．x28．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點的軌跡方程是（）A．x?y=1C．x?y=1二、多選題9．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）若曲線E是由方程x?1=1?yA．曲線E圍成的圖形面積為π+4B．若點x0,y0在曲線EC．若E與直線y=xD．若圓x2+y2=10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A0，1，B3，1，動點P滿足PA=2PB，記動點P的軌跡為曲線A．曲線C的方程為(x?4)2+(yC．若直線l與曲線C相交，其弦長為4，則k=?2 D．BP11．（22-23高二上·湖南長沙·期末）法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程x3+yA．經(jīng)過第三象限 B．關(guān)于直線y=C．與直線x+y+1=0有公共點 三、填空題12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）方程1?x=1?13．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）過點?3,0，且與圓x?32+14．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點F1?1,0,F21,0，若P為平面上的一個動點且四、解答題15．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知點P是曲線y=x2+1上任意一點，16．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是(1)求點A的軌跡T的方程；(2)設(shè)AC所在直線與軌跡T的另一個交點為E，當(dāng)△ABD面積最大且A在第一象限時，求AE17．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A1,1，動點P滿足PA(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)直線l：y=kx+1與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，若18．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知圓M:x2+((1)求r；(2)若動點P到坐標(biāo)原點O的距離等于5,Q為圓M上一動點，求PQ19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C經(jīng)過點A1,3和B5,1，且圓心C(1)求⊙C(2)設(shè)動直線l與⊙C相切于點M，點N8,0.若點P在直線l上，且PM=2.4曲線與方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會“曲線的方程與方程的曲線”的概念.熟悉求曲線方程的步驟以及利用方程研究曲線的性質(zhì).3.掌握求動點軌跡方程的方法1.重點:曲線與方程的概念;求動點的軌跡方程2.難點:分析、判斷曲線與方程的關(guān)系;求動點的軌跡方程知識點01曲線的方程與方程的曲線的定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：1.曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上.則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程FxA．曲線C上的點的坐標(biāo)都滿足方程FB．不在曲線C上的點的坐標(biāo)都不滿足方程FC．坐標(biāo)不滿足方程FxD．曲線C是坐標(biāo)滿足方程Fx【答案】C【分析】根據(jù)曲線與方程的定義和關(guān)系進行判斷即可.【詳解】對于A，若坐標(biāo)滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，則方程此時曲線C上位于曲線M之外部分的點的坐標(biāo)不滿足方程Fx對于B，命題"不在曲線C上的點的坐標(biāo)都不滿足程Fx對于C，由A選項的分析過程得，曲線C上位于曲線M之外部分的點的坐標(biāo)不滿足方程Fx但這些點在曲線C上，故C選項中的命題錯誤.對于D，由A選項的分析過程可知，D選項中的命題錯誤..【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·課堂例題）分析下列曲線上的點與相應(yīng)方程的關(guān)系：(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點與方程xy=5(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點與方程x+【答案】(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點的軌跡方程不是xy=5(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x+【詳解】（1）與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點的坐標(biāo)不一定滿足方程xy=5，如點?1,5但以方程xy=5因此，與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點的軌跡方程不是xy=5（2）第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的坐標(biāo)都滿足x+反之，以方程x+因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x+知識點02兩曲線的交點己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0【即學(xué)即練3】（20-21高二·全國·課后作業(yè)）曲線x2+y2【答案】2【分析】聯(lián)立方程，方程組解的個數(shù)即為交點個數(shù)．【詳解】由x2+y2+2x=0y+故答案為：2．【即學(xué)即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知A?1,0，B1,0，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足|AC|:|【答案】x【分析】設(shè)C(【詳解】設(shè)C(x,y)即(x即x2所以點C的軌跡方程為x2故答案為：x2知識點03點的軌跡方程曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程.【即學(xué)即練5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）等腰三角形ABC底邊兩端點分別為A(?3,0),A．一條直線 B．一條直線去掉一點 C．一個點 D．兩個點【答案】C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分析即可.【詳解】∵△ABC為等腰三角形且AB為底邊，∴CA=CB,∴又∵C為AB的中點時不能構(gòu)成三角形，∴點C【即學(xué)即練6】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）判斷直線2x+5y【答案】相交，交點坐標(biāo)為：(10,?1)和(?5【分析】聯(lián)立方程，運用代入法進行消元，通過方程是否有解進行求解判斷即可.【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：y=?解得x=10，或x當(dāng)x=10時，y當(dāng)x=?52因此直線2x+5y?15=0與曲線y=?難點：數(shù)形結(jié)合的運用示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E:x2+y23=8x【答案】5【分析】由題意明確曲線的性質(zhì)，確定符合題意的點的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】由x2+y23可知|x0|≤2，故滿足x0令x0=0，則y0=0，由于因此只需研究第一象限圖象上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點的情況，令x0=1，則1+y23令y23=t,t>0，則有1+則1+y2=2故結(jié)合曲線對稱性可知在第一象限，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點共有3個：1,1,故整個曲線上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點共有13個，所以任取一點P，該點為格點的概率為513故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是明確四葉草曲線的對稱性，由此確定符合題意的點的個數(shù).【題型1：曲線方程的概念】例1．（23-24高二上·上?！て谀┮阎鴺?biāo)滿足方程FxA．曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程FB．不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合方程FC．凡坐標(biāo)不適合方程FxD．不在曲線C上的點的坐標(biāo)有些適合方程F【答案】C【分析】由逆否命題的真假性的關(guān)系結(jié)合曲線與方程的定義逐一判斷即可.【詳解】由于“坐標(biāo)滿足方程Fx,y所以“不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合方程Fx對于點集A=0,0不滿足Fx,y.變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程x+2A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線C．一個圓 D．一條直線【答案】A【分析】先化簡題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.【詳解】由x?12+則由x+2y?1則方程x+2變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．y=x與y2=xC．y2?x2=0與y【答案】D【分析】根據(jù)x,【詳解】A選項，y=x中y≥0，yB選項，y=x中y∈R，xC選項，y=D選項，y=lgx2中x≠0，變式3．（2014高三·全國·專題練習(xí)）方程x?1=A．—個圓 B．兩個圓C．一個半圓 D．兩個半圓【答案】A【分析】方程可化為(|x|?1)2+(【詳解】方程可化為(|x因為|x所以x≤?1或x若x≤?1時，則方程為(若x≥1時，則方程為(變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線C:A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 B．曲線C關(guān)于y軸對稱C．x≤?255或【答案】ACD【分析】A選項，利用對稱性質(zhì)判斷即可，取特殊點驗證即可B選項；將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程，由方程有解即可判斷C選項；換元法，令t=x?解之即可得D選項.【詳解】因為點P(x,所以點P1(?x所以A正確；若P(2,1)，因為點P所以B錯誤；因為x2所以y2所以x2所以x≤?25設(shè)t=x?所以(y所以y2所以t2所以t2所以x2所以D正確．CD變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線Γ：Fx，y=0對坐標(biāo)平面上任意一點Px，y，定義FP＝Fx，y．若兩點P，Q滿足FP?FQ＜0，稱點【答案】6＜a＜24．【分析】到點0，1與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C，求出軌跡方程.分類討論：當(dāng)0≤y≤3時和當(dāng)?2≤y≤0時，利用【詳解】設(shè)曲線C上的動點為x，y，則化簡得曲線C的方程為x2=83?其軌跡為兩段拋物線弧當(dāng)0≤y≤3時，F(xiàn)當(dāng)?2≤y≤0時，F(xiàn)故若有FM?F故答案為：6＜a＜24．變式6．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）方程xx【答案】直線x=0和單位圓【分析】由方程xx【詳解】由方程xx2+y2所以方程xx2+y2故答案為：直線x=0和單位圓x變式7．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷下列命題是否正確．(1)以坐標(biāo)原點為圓心，r為半徑的圓的方程是y=(2)過點A2,0平行于y軸的直線l的方程為x【答案】(1)不正確(2)不正確【分析】（1）利用圓的方程定義判斷即可.（2）利用直線方程的定義判斷即可.【詳解】（1）不正確．設(shè)x0,y0是方程y=兩邊開平方取算術(shù)平方根，得x02+y0點x0但是，以原點為圓心、r為半徑的圓上的一點如點(r卻不是y=所以以原點為圓心，r為半徑的圓的方程不是y=r2（2）不正確．直線l上的點的坐標(biāo)都是方程x=2但是坐標(biāo)滿足x=2的點，不一定在直線l上，如點(?2,0)不在直線l因此x=2不是直線l的方程，直線l的方程應(yīng)為x【方法技巧與總結(jié)】從集合的意義上來理解曲線和方程的概念如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A?B且B?A，即A=B.從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】例2．已知曲線C的方程為x2+yA．x軸 B．y軸 C．原點 D．直線y【答案】C【分析】利用坐標(biāo)互換一一判定選項即可.【詳解】曲線C的方程為x2將x換為?x,y不變，原方程仍為x2+將y換為?y,x不變，原方程變?yōu)閤2+將x換為?x,y換為?y，原方程變?yōu)閷換為y,y換為x，原方程變?yōu)樗郧€C不關(guān)于直線y=故選:B．變式1．已知曲線C方程為x2A．x軸對稱 B．y軸對稱 C．原點對稱 D．y=【答案】C【分析】用軸對稱和點對稱的定義逐一判斷即可.【詳解】用?y替換方程中的y，方程變?yōu)閤與原方程不同，故曲線C不關(guān)于x軸對稱，故A錯誤；用?x替換方程中的x，方程可化為為x與原方程相同，故曲線C關(guān)于y軸對稱，故B正確；用?x和?y替換方程中的x和y，化簡后方程變?yōu)楣是€C不關(guān)于原點對稱，故C錯誤；用y替換方程中的x，同時用x替換方程中的y，方程變?yōu)閤2故C不關(guān)于直線y=.變式2．關(guān)于方程x2A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于y=x對稱【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱變換的方法逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，用?y換方程中的y，得x2?對于B，用?x換方程中的x，得x2?對于C，用x換y，y換x，得2x2+對于D，將點?x,?y變式3．兩個曲線方程C1：x+y=1，A．曲線C1B．曲線C2C．曲線C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積D．曲線C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積【答案】A【分析】在曲線C1上任取一點(a,b)，驗證點(b,a)也在曲線上，可判斷A的正誤；在曲線C2上任取一點(a,b【詳解】A．在曲線C1上任取一點(a,點(a,b)關(guān)于直線y=所以曲線C1關(guān)于yB．在曲線C2上任取一點(點(a,b)關(guān)于原點的對稱點為所以曲線C2C．對于等式x+y=1,0≤y≤1當(dāng)0<a<1時，a<a，當(dāng)在曲線x+y=1則1=a+b>a

直線x+y=1交x軸于點A所以S1D．在曲線x4+y因為0<a<1，0<b<1，則則1=a4+b4

圓x2+y所以S2．變式4．（多選）某曲線C的方程為x2A．曲線C關(guān)于y=B．曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是2C．曲線C與直線x+yD．點x,y在曲線C上，則x【答案】AD【分析】對A，交換x，y即可判斷；對B，利用判斷式法即可判斷；對C，將直線方程與曲線C方程聯(lián)立解出A,B點坐標(biāo)即可；對D，利用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為求【詳解】對于A：將x，y互換代入曲線C，得x2?xy+y對于B：x2?xy將其看成關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式法得Δ=?解得?433≤y≤4對于C：將x+可得(x?1)2=4，即x?1=±2所以A(3,?2),則|AB對于D：因為x2由題意可知x2?xy又因為x2所以4+xy≥2xy，則xy因為x2+y2≥?2xy，則則?43≤即43故選:ABD.變式5．（多選）下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱的是（

）A．x29?C．4x2+9【答案】AC【分析】依次將x,?y，【詳解】x,y關(guān)于x軸的對稱點為x,?y，關(guān)于對于A，x29?∴x29?y對于B，2?y?∴2y?x2=0對于C，4x2+9∴4x2+9y=1對于D，2x2?42x2?4x+C.變式6．（多選）已知曲線C：|xA．曲線C關(guān)于(aB．x2+C．曲線C的周長為2(D．曲線C圍成的圖形面積為2【答案】ABD【分析】確定方程表示的曲線，根據(jù)對稱性判斷A；利用x2【詳解】對于A，設(shè)(x0,則(2a?x而點(x0,y0)與對于B，當(dāng)x≤a,y≤即xa+y同理當(dāng)a≤x?≤2a,0≤方程為?xa+yb則方程|x?a|ax2+y2表示菱形M上點到原點距離的平方，原點到AB的距離為△OAB斜邊因此x2+y對于C，菱形M的周長為4a對于D，菱形M的面積為12BD變式7．設(shè)曲線C的方程為：F(①如果以?y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于②如果以?x代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于③如果同時以?x代替x，以?y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于例：曲線C的方程為：|x||y【答案】x軸y軸原點原點【方法技巧與總結(jié)】求曲線方程的步驟1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)2.寫集合：寫出適合條件p的點M的集合：P={M|p(M)}3.列方程:用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=04.化簡:化方程f（x，y）=0為最簡形式5.證明:說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上【題型3：曲線交點問題】例3.作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學(xué)對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯誤的是（

）A．曲線不經(jīng)過第三象限 B．曲線關(guān)于直線y=x對稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點 D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點【答案】D【分析】對于A：當(dāng)x<0,y<0時，判斷x【詳解】當(dāng)a=1，則方程為對于A：若x<0,y<0所以x3對于B：將點y,x代入方程得所以曲線關(guān)于直線y=x對稱，故B正確；對于C、D：聯(lián)立方程x+由x+y=?1將y=?x?1所以方程組x+故C錯誤，D正確；.變式1．曲線y=1?xA．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】作出曲線y=1?x【詳解】由y=1?x2可得x2如下圖所示：因為原點O到直線y=?x+所以，曲線y=1?x.變式2．(多選)作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+yA．曲線不經(jīng)過第三象限B．曲線關(guān)于直線y=C．曲線與直線x+D．曲線與直線x+【答案】ABD【分析】A：當(dāng)x,y<0B：將點(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當(dāng)x,y<0將點y,x代入曲線有程得x3聯(lián)立x3+y將x+y=?1代入得?(xBD.變式3．（多選）給定下列四條曲線中，與直線x+A．y2=?45x B．x22【答案】ABC【分析】分別將直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組求解即可【詳解】對于A，由x+y?5=0對于B，將直線方程x+y?5=0對于C，將直線方程x+y?5=0代入x對于D，將直線方程x+y?5=0代入xBC變式4．曲線x24+ay2=1上存在四個點A【答案】?【分析】由題意可得x24+【詳解】由題意可得x24+聯(lián)立y=xx易知14+a要x24+ay2=1故答案為:?1變式5．關(guān)于曲線C：1x①曲線C關(guān)于原點對稱；

②曲線C關(guān)于直線x±③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2其中所有正確結(jié)論的序號為.【答案】①②④【分析】利用曲線方程的性質(zhì)，對稱性的應(yīng)用及曲線間的位置關(guān)系即可判斷上述結(jié)論是否正確.【詳解】對于①，將方程中的x換為?x，y換為?y，得1?x2對于②，將方程中的x換為y或?y，y換為x或?x，得1y2+1x對于③，由1x2+1y2=1得1y2對于④，由③知曲線C不是封閉圖形，聯(lián)立1x2+1y2=1x2+y2=2，消去y2，得故答案為：①②④.變式6．直線2x+5y?15=0與曲線【答案】(10,?1)和(?5【分析】聯(lián)立方程，運用代入法進行消元，通過方程是否有解進行求解判斷即可.【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：y=?解得x=10，或x當(dāng)x=10時，y當(dāng)x=?52因此直線2x+5y?15=0與曲線y=?故答案為：(10,?1)和(?變式7．已知曲線C1的方程是x2?y=0，曲線C2的方程是【答案】C1與C2有三個交點，交點坐標(biāo)為0,0、1,1【分析】聯(lián)立兩曲線的方程，求出方程組的公共解，即可得出結(jié)論.【詳解】解：聯(lián)立兩個方程得方程組x2解方程組可得x=0y=0或x因此C1與C2有三個交點，且交點坐標(biāo)為0,0、1,1、【題型4：軌跡方程問題】例4．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知M?N兩點坐標(biāo)分別?2,0,2,0.直線MK?A．3x2?2C．x24+【答案】A【分析】本題先設(shè)K點的坐標(biāo)，根據(jù)斜率之和為3列出方程，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)Kx,y，則直線KM的斜率為kKM=依據(jù)題意可知，kKM+k因為直線KM、KN的斜率存在，所以x≠±2所以3x.變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1:5x?2y+3m【答案】y【分析】聯(lián)立兩直線方程用m表示交點坐標(biāo)，再消元化簡即可.【詳解】聯(lián)立兩直線方程得5x解之得x=3my=9所以兩直線l1,l故答案為：y=變式2．（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）當(dāng)點P在圓x2+y2=1【答案】x【分析】根據(jù)相關(guān)點法，利用中點坐標(biāo)找到動點的關(guān)系，代入已知點的軌跡方程化簡即可求解.【詳解】設(shè)Mx,y,P可得P2由于P2x?4,2y在圓即x?2所以M的軌跡方程為x?2變式3．（24-25高二上·全國·課堂例題）動點M在曲線x2+y2=1上移動，點M和定點B【答案】x【分析】設(shè)出M和P點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式把M點的坐標(biāo)用P點的坐標(biāo)和常數(shù)表示，再由M在定圓上，把M的坐標(biāo)代入圓的方程整理后即可得到答案.【詳解】設(shè)Px,y因為P為MB的中點，所以x=x0又因為點M在曲線x2+y所以2x所以點P的軌跡方程為2x?32變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知過原點的動直線l與圓C1(1)求直線l與圓相交時，它的斜率k的取值范圍；(2)當(dāng)l與圓相交于不同的兩點A,B時，求線段AB的中點【答案】(1)?(2)x?3【分析】（1）利用直線與圓的位置關(guān)系計算即可；（2）設(shè)A,B,【詳解】（1）∵圓C1:x∴圓C1的圓心坐標(biāo)為3,0設(shè)直線l的方程為y=kx，即∵直線l與圓C1∴圓心C1到直線l的距離d解得?2即k的取值范圍是?2（2）由（1）知直線l的方程為y=kx，設(shè)Ax將直線l與圓C1的方程聯(lián)立，可得1+由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x∴線段AB的中點M的軌跡C的參數(shù)方程為x=其中?255<消去k得x?∴線段AB的中點M的軌跡C的方程為x?32變式5．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等腰△ABC中，若一腰的兩個端點分別為A4,2，B?2,0，A【答案】x?42+y?2【分析】設(shè)Cx,y，求出AB【詳解】設(shè)點C的坐標(biāo)為x,∵△ABC為等腰三角形，且A為頂點，∴又∵AB∴AC∴x又∵點C不能與點B重合，也不能使A，B，C三點共線．∴x≠?2且∴點C的軌跡方程為x?42+y?2變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓方程為x2+y24=1，過點M0,1的直線l交橢圓于點A,B,O【答案】4【分析】設(shè)P坐標(biāo)，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l的點斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示P坐標(biāo)，消參即可得P軌跡方程，再驗證l斜率不存在時即可.【詳解】解:設(shè)Px①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=由x2+y24由OP=12OA+消去k得4x②當(dāng)直線l的斜率不存在時，AB的中點為坐標(biāo)原點，也適合方程．綜上，動點P的軌跡方程為4x變式7．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）①過點C2,0，②圓G恒被直線mx?y已知圓G經(jīng)過點A0,0，B(1)求圓G的一般方程：(2)設(shè)D6,5，P是圓G上的動點，求線段DP【答案】(1)x(2)4x【分析】（1）設(shè)出圓的方程，根據(jù)條件構(gòu)造方程，運用待定系數(shù)法求解即可；（2）畫出圖形，運用相關(guān)點法求解即可.【詳解】（1）方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為x2則F=02+D則圓G的方程為x2方案二：選條件②直線mx?y?因為圓G恒被直線mx?y?所以圓心坐標(biāo)為1,0，又圓G經(jīng)過點A0,0所以圓的半徑r=1，所以圓G的方程為x?12方案三：選條件③設(shè)圓G的方程為x?由題意可得a=ra則圓G的方程為x?12+（2）設(shè)Mx,y，因為M為線段DP因為點P是圓G上的動點，所以2x即4x所以M的軌跡是一個圓.

【方法技巧與總結(jié)】1.直接法當(dāng)動點直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時，在設(shè)出曲線上動點的坐標(biāo)為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語言運用基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點坐標(biāo)（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學(xué)語言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).2.定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.3.代入法若所求軌跡上的動點P（x，y）與另一個已知曲線C：F（x，y）=0上的動點Q（x1，y1）存在著某種聯(lián)系，可把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點法）.4.參數(shù)法如果所求軌跡的動點P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)信息可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍.②化簡方程前后要注意等價性.一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）方程x2A．一個點 B．一個點和一條直線C．一條直線 D．兩條直線【答案】A【分析】變形給定方程，即可判斷得解.【詳解】方程x2+xy=x，化為x所以方程x2+xy=x2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2的點的軌跡方程為（

）A．y=2xx≠0 B．y=±2x【答案】C【分析】根據(jù)到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2，列出等式即可求解.【詳解】設(shè)該動點為(x,y)，則有故選:B.3．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程是FxA．F?x,C．F?x,?【答案】C【分析】用?y代換曲線C的方程中的y，得到F【詳解】根據(jù)曲線的對稱性質(zhì)得，用?y代換曲線C的方程是Fx,y=0則曲線C關(guān)于x軸對稱的曲線方程Fx.4．（21-22高二下·河南鄭州·期中）將曲線Fx,y=0上的點的橫坐標(biāo)縮短為原來的A．Fx2,3C．Fx2,【答案】C【分析】根據(jù)曲線變換原則可直接得到結(jié)果.【詳解】設(shè)Px0,y0為F則x=12x0，y=3y即所得的曲線方程為：F2.5．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程為x2A．(?1,2)； B．(1,?2)； C．(2,?3)； D．(3,6)．【答案】A【分析】利用點與曲線的關(guān)系即可求解.【詳解】對于A，將(?1,2)代入方程(?1)2?(?1)×2+2?5=0，所以點對于B，將(1,?2)代入方程12?1×(?2)+(?2)?5=?4≠0，所以點對于C，將(2,?3)代入方程22?2×(?3)+(?3)?5=2≠0，所以點對于D，將(3,6)代入方程32?3×6+6?5=?8≠0，所以點.6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知點A(1，0)，直線l：y2x－4，點R是直線l上的一點，若RA=A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋4【答案】C【分析】用相關(guān)點法即可求解，設(shè)P為(x,y)，通過RA=【詳解】設(shè)P(x,y)，Rx1,∴&x＋x∵點Rx1,y∴－y2(2－x)－4，即y2x．﹒7．（21-22高二上·貴州·階段練習(xí)）已知點A?4,0，B?1,0，動點M(x,A．x2+y2=4 B．x2【答案】A【分析】根據(jù)兩點間的距離公式求出MA，MB，利用|MA【詳解】∵M(x,y∴MA=(又∵動點M(x∴兩邊平方后可得x整理后可得：x8．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點的軌跡方程是（）A．x?y=1C．x?y=1【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)結(jié)合題意進行求解即可.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為(x,y二、多選題9．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）若曲線E是由方程x?1=1?yA．曲線E圍成的圖形面積為π+4B．若點x0,y0在曲線EC．若E與直線y=xD．若圓x2+y2=【答案】ABC【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線的圖形，利用圖形的對稱性，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由|x|?1=1?y2，∵0≤1?y當(dāng)1≤x≤2時，x?1=1?y同理可得E的其他部分，分別為圓心為(?1,0)半徑為1的半圓，圓心為(0,1)半徑為1的半圓，圓心為(0,?1)半徑為1的半圓；作曲線E的圖形如下圖：圖中虛線部分ABCD是邊長為2的正方形；對于A，圖形的面積=2×2+4×1對于B，由圖可知x0的取值范圍是[?2,2]對于C,根據(jù)曲線的對稱性可知，當(dāng)直線y=x+1+m2=1?故要使曲線E與直線y=x+對于D，覆蓋住曲線E的圓的半徑的最小值顯然是2，正確；BC．10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A0，1，B3，1，動點P滿足PA=2PB，記動點P的軌跡為曲線A．曲線C的方程為(x?4)2+(yC．若直線l與曲線C相交，其弦長為4，則k=?2 D．BP【答案】AD【分析】設(shè)P(x,y)，代入PA=2PB，得曲線C的方程判斷選項A；由直線l【詳解】設(shè)動點P(x,y)，由PA直線l:k(x?3)?y+2=0過定點D(3,2)，點弦長為4，等于圓的直徑，圓心(4,1)在l上，代入直