2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)3排列的應(yīng)用含解析北師大版選修2-3

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(三)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．120B．60C．52D．50C[若個(gè)位為0，則有Aeq\o\al(2,5)＝20個(gè)，若個(gè)位不為0，則有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)＝32個(gè)，∴共有52個(gè)三位偶數(shù)．]2．某老師一天上3個(gè)班的課，每班一節(jié)，假如一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且老師不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上)，那么這位老師一天的課的全部排法有()A．474種 B．77種C．462種 D．79種A[首先不受限制時(shí)，從9節(jié)課中隨意支配3節(jié)，有Aeq\o\al(3,9)＝504種排法，其中上午連排3節(jié)的有3Aeq\o\al(3,3)＝18種，下午連排3節(jié)的有2Aeq\o\al(3,3)＝12種，則這位老師一天的課程表的全部排法有504－18－12＝474種．]3．一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!C[利用“捆綁法”求解，滿意題意的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)·(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.故選C.]4．在制作飛機(jī)的某一零件時(shí)，要先后實(shí)施6個(gè)工序，其中工序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步，工序B和C在實(shí)施時(shí)必需相鄰，則實(shí)施依次的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．144種C[由題意可知，先排工序A，有2種編排方法；再將工序B和C視為一個(gè)整體(有2種依次)與其他3個(gè)工序全排列共有2Aeq\o\al(4,4)種編排方法．故實(shí)施依次的編排方法共有2×2Aeq\o\al(4,4)＝96(種)．故選C.]5．由0,1,2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的肯定值等于8的有()A．98個(gè) B．105個(gè)C．112個(gè) D．210個(gè)D[當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為0,8時(shí)，有Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)個(gè)；當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為1,9時(shí)，有Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)個(gè)，共Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)＝210(個(gè))．]二、填空題6．六個(gè)停車位置，有3輛汽車須要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放的方法數(shù)為________．24[把3個(gè)空位看作一個(gè)元素，與3輛汽車共有4個(gè)元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(種)．]7．在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券安排給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)狀況有________種(用數(shù)字作答)．60[分狀況：一種狀況將有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券按2張、1張分給4個(gè)人中的2個(gè)人，種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝36；另一種將3張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券分給4個(gè)人中的3個(gè)人，種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24，則獲獎(jiǎng)狀況總共有36＋24＝60(種)．]8．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)打算著艦．假如甲、乙兩機(jī)必需相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種．24[把甲、乙看作1個(gè)元素和另一飛機(jī)全排列，調(diào)整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再把丙、丁插入到剛才“兩個(gè)”元素排列產(chǎn)生的3個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.]三、解答題9.在由0,1,2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，求十位數(shù)與千位數(shù)之差的肯定值等于7的四位數(shù)的個(gè)數(shù).[解]由題意知，隨意兩個(gè)數(shù)字之差的肯定值等于7的狀況有3類：0與7,1與8,2與9.分3種狀況探討：①當(dāng)十位數(shù)與千位數(shù)分別為0,7時(shí)，有Aeq\o\al(2,8)個(gè)四位數(shù)；②當(dāng)十位數(shù)與千位數(shù)為1,8時(shí)，有Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)個(gè)四位數(shù)；③當(dāng)十位數(shù)與千位數(shù)為2,9時(shí)，有Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)個(gè)四位數(shù)．所以共有Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)＝280(個(gè))符合題意的四位數(shù)．10．從集合{1,2,3，…，20}中任選出3個(gè)不同的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)？[解]設(shè)a、b、c∈N＋且a、b、c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c應(yīng)是偶數(shù)．因此從1到20這20個(gè)數(shù)字中任選出三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，而1到20這20個(gè)數(shù)字中有10個(gè)偶數(shù)和10個(gè)奇數(shù)．當(dāng)?shù)谝粋€(gè)和第三個(gè)數(shù)選定后，中間數(shù)被唯一確定．因此，選法只有兩類：(1)第一、三個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法；(2)第一、三個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法；于是，選出3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(個(gè))．[實(shí)力提升練]1．從集合{1,2,3，…，11}中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中的a和b，則能組成落在矩形區(qū)域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為()A．43 B．72C．863 D．90B[在1,2,3，…，8中任取兩個(gè)作為a和b，共有Aeq\o\al(2,8)＝56個(gè)橢圓；在9,10中取一個(gè)作為a，在1,2,3，…，8中取一個(gè)作為b，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,8)＝16個(gè)橢圓，由分類加法計(jì)數(shù)原理，知滿意條件的橢圓的個(gè)數(shù)為56＋16＝72.]2．某單位支配7位員工在10月1日至7日值班，每天支配1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙被支配在相鄰兩天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，則不同的支配方案共有()A．504種 B．960種C．1108種 D．1008種D[由題意知，滿意甲、乙兩人被支配在相鄰兩天值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)，其中滿意甲、乙兩人被支配在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(種)，滿意甲、乙兩人被支配在相鄰兩天值班且丁在10月7日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(種)，滿意甲、乙兩人支配在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)．因此滿意題意的方案共有1440－2×240＋48＝1008(種)．]3．6人排成一排照像，其中甲、乙兩人中間恰有一人的排法總數(shù)是________．192[甲乙排序有Aeq\o\al(2,2)種，從其余4人中選一人站在甲乙之間有4種選法，再將這三人看作一個(gè)元素與其余3人排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有4Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝192(種)排法．]4．用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是________．(用數(shù)字作答)40[可分三步來做這件事：第一步，先將3,5排列，共有Aeq\o\al(2,2)種排法；其次步，再將4,6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)種排法；第三步，將1,2放到3,5,4,6形成的空中，共有Aeq\o\al(1,5)種排法；由分步計(jì)數(shù)原理得共有Aeq\o\al(2,2)·2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,5)＝40種．]5．用1,2,3,4,5,6,7排出無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，按下述要求各有多少個(gè)？(1)偶數(shù)不相鄰；(2)偶數(shù)肯定在奇數(shù)位上；(3)1和2之間恰夾有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù)；(4)三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的依次排列．[解](1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440個(gè)．(2)先把偶數(shù)排在奇數(shù)位上有Aeq\o\al(3,4)種排法，再排奇數(shù)有Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576個(gè)．(3)在1和2之間放一個(gè)奇數(shù)有Aeq\o\al(1,