一元一次方程組教學(xué)案例

一元一次方程組教學(xué)案例

李佳茹

在學(xué)習(xí)一元一次方程組時(shí)，有這樣一道題：

“512”汶川大地震后，災(zāi)區(qū)急需大量帳篷。某服裝廠原有4條成

衣生產(chǎn)線和5條童裝生產(chǎn)線，工廠決定轉(zhuǎn)產(chǎn)，計(jì)劃用3天時(shí)間趕制

1000頂帳篷支援災(zāi)區(qū)。若啟用1條成衣生產(chǎn)線和2條童裝生產(chǎn)線，

一天可以生產(chǎn)帳篷105頂;若啟用2條成衣生產(chǎn)線和3條童裝生產(chǎn)線,

一天可以生產(chǎn)帳篷178頂。

（1）每條成衣生產(chǎn)線和每條童裝生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)帳篷各多少

頂？

（2）工廠滿負(fù)荷全面生產(chǎn)，是否可以如期完成任務(wù)？如果你是廠

長(zhǎng)，你會(huì)怎樣體現(xiàn)你的社會(huì)責(zé)任感？

同學(xué)們經(jīng)過(guò)充分思考后，給出了不同的解答：

（學(xué)生1）

解：設(shè)每條成衣生產(chǎn)線每天生產(chǎn)帳篷x頂，每條童裝生產(chǎn)線每天生產(chǎn)

帳篷y頂，根據(jù)題意，得

X+2y=105

2x+3y=178

解得x=41y=32

（學(xué)生2）

解：因?yàn)?78—105:73（頂）105-73=32（頂）73-32=41（頂）

所以每條成衣生產(chǎn)線每天生產(chǎn)帳篷41頂，每條童裝生產(chǎn)線每天生

產(chǎn)帳篷32頂。

當(dāng)兩位同學(xué)說(shuō)完自己的解法后，同學(xué)們立即展開了激烈的討論,

有的同學(xué)說(shuō),學(xué)生1的解法符合題目的要求，用列方程組的方法解答,

不容易出錯(cuò);有的同學(xué)說(shuō)，學(xué)生2的解法簡(jiǎn)單，一目了然，可以口算出

答案，而且還可以鍛煉人的思維等等.經(jīng)過(guò)一番激烈的點(diǎn)評(píng)之后，我都

給予他們充分的肯定。

第一個(gè)問(wèn)題剛討論完，我就發(fā)現(xiàn)有一位平時(shí)學(xué)習(xí)不太好的同學(xué)把

手舉得高高的，急于要說(shuō)話,我點(diǎn)頭示意，他站起來(lái)后說(shuō),工廠滿負(fù)荷

全面轉(zhuǎn)產(chǎn)，也不能夠如期完成任務(wù).如果我是廠長(zhǎng),我會(huì)動(dòng)員工人加班

生產(chǎn),給他們多加工資，好早完工,支援災(zāi)區(qū)人民.聽到這兒,我的心一

顫，一位多有愛(ài)心的學(xué)生，多有社會(huì)責(zé)任感.想到這兒,我贊許地點(diǎn)了

點(diǎn)頭,表?yè)P(yáng)了這位同學(xué),接下來(lái),其他的同學(xué)都各抒己見,有的說(shuō),改進(jìn)

技術(shù),提高效率；有的說(shuō),可以聯(lián)系其它廠家支援等等.課堂氣氛十分

活躍，學(xué)生以主人的地位參與評(píng)價(jià)，對(duì)自己的學(xué)習(xí)狀況有比較全面客

觀的了解，能夠進(jìn)行反思與調(diào)控,并相應(yīng)地改變自己的學(xué)習(xí)方式,其主

體意識(shí)大大增強(qiáng),一堂充滿生機(jī)活力的課，一位位可愛(ài)的學(xué)生令人高

興,在這節(jié)課上,我給學(xué)生的評(píng)價(jià)是:你們都是好樣的！

我認(rèn)為，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極地參與評(píng)價(jià)，這樣既能培養(yǎng)學(xué)

生勇敢自信的品質(zhì)，又能鍛煉學(xué)生分析判斷問(wèn)題的能力，從而使學(xué)生

的主體意識(shí)進(jìn)一步確立.

新課程的評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)：評(píng)價(jià)功能從注重甄別與選拔轉(zhuǎn)向激勵(lì)、反饋

與調(diào)整；評(píng)價(jià)主體從單一轉(zhuǎn)向多元。在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，評(píng)價(jià)是教

師的專利，學(xué)生常常處在被動(dòng)甚至被忽略的地位，等待教師指點(diǎn)評(píng)說(shuō),

很少有機(jī)會(huì)自主調(diào)控。由于評(píng)價(jià)對(duì)象自身的復(fù)雜性，形式單一的評(píng)價(jià)

很難形成恰如其分的評(píng)價(jià)。長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)我認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)課堂

教學(xué)中，必須強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)形式的多樣性，在教學(xué)中，我經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生之

間進(jìn)行互評(píng)，老帥和學(xué)生之間互評(píng)，使單一的評(píng)價(jià)成為一種雙向甚至

多向的評(píng)價(jià)活動(dòng)。使學(xué)生在評(píng)價(jià)過(guò)程中學(xué)會(huì)傾聽他人意見，正確看待

問(wèn)題，正確認(rèn)識(shí)自我，也使課堂充滿了思考的氣息，充滿了生命的活

力。

相反數(shù)教學(xué)案例

李佳茹

師：同學(xué)們，請(qǐng)問(wèn)汽車甲是沿著什么樣的路線行駛到達(dá)A處的？

（幾秒鐘后有學(xué)生舉手了）

生：是沿向東方向行駛的。

師：汽車甲是沿著向東的方向行駛的。（還有學(xué)生的手仍然高高舉

著）

生：是沿著從0向東的方向行駛的。

師：很不錯(cuò)，這位同學(xué)他注意到了汽車甲的出發(fā)點(diǎn)0,汽車甲從0

處出發(fā)沿著向東的方向一路行駛到了A處。好，我們知道了汽車甲行

駛的方向，那么A處離汽車的出發(fā)地。處有多遠(yuǎn)？（很快又學(xué)生舉

手）

生：10km遠(yuǎn)。

師：也就是說(shuō)汽車行駛了10km,對(duì)不對(duì)呢？

生：對(duì)師：那這個(gè)lOKni還可以說(shuō)成是什么呢？

生1：汽車甲所開的路程。

生2：汽車甲向東行駛的路程。

師：為什么是向東行駛的路程呢？

生：因?yàn)槭钦?0km,所以是向東行駛的路程。

師：很好，你注意到了10這個(gè)數(shù)的符號(hào)！很不錯(cuò)，應(yīng)該表?yè)P(yáng)。（全

班學(xué)生給該生以熱烈的掌聲?。?/p>

師：同學(xué)們，汽車乙從0處行駛到達(dá)B,是沿著什么路線行駛的？生:

沿從0向西行駛的。

師：不錯(cuò)，汽車甲沿著向西的方向一路行駛到了B處，那么B處離

汽車的出發(fā)地。處有多遠(yuǎn)？

生：10km遠(yuǎn)。

帥：也就是說(shuō)汽車行駛了10km,對(duì)不對(duì)呢？

生：對(duì)師：那這個(gè)10Km還可以說(shuō)成是什么呢？

生1：汽車甲所行駛的路程。

生2：汽車甲向西行駛的路程。

師：為什么是向西行駛的路程呢？

生：因?yàn)槭钦?10km,所以是向西行駛的路程。

師：很好，你也注意到了70這個(gè)數(shù)的符號(hào)！很不錯(cuò)，應(yīng)該表?yè)P(yáng)c

我在教學(xué)過(guò)程中，先向?qū)W生出示了生活實(shí)際的事實(shí)，學(xué)生在問(wèn)題

的引導(dǎo)下探究絕對(duì)值的概念、意義。這個(gè)做法結(jié)合了學(xué)生的實(shí)際情況

給原本枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)概念賦予了生活的味道，貼近實(shí)際生活，讓學(xué)

生不是被動(dòng)地接受老師灌輸?shù)闹R(shí)，而是有自己獨(dú)到的見解，問(wèn)題探

究式的教學(xué)可以讓學(xué)生有思考的過(guò)程。在實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程中，

我們讓數(shù)學(xué)教學(xué)變成一個(gè)充滿活力的過(guò)程，努力給學(xué)生創(chuàng)造從事數(shù)學(xué)

活動(dòng)的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在探究、實(shí)踐、合作交流的環(huán)境氛圍中，

解除自己心中的困惑，更加明晰自己的思想，并有機(jī)會(huì)與他人分享自

己的想法。在親身的生活經(jīng)歷與探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)

學(xué)問(wèn)題；體驗(yàn)成功、學(xué)會(huì)傾聽、學(xué)會(huì)質(zhì)疑與說(shuō)理，達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新

境界。

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確地把“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的一些基本

策略”作為一個(gè)重要的課程目標(biāo)。為此數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置一些具有挑戰(zhàn)

性的問(wèn)題情境，是可以激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

課堂教學(xué)中，《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確地指出：“人人學(xué)有

價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同

的發(fā)展J每個(gè)學(xué)生都有不同的個(gè)性，不同的資質(zhì)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上

也有不同的發(fā)展，在提問(wèn)探究的過(guò)程中要考慮到不同的學(xué)生，讓每個(gè)

學(xué)生都參與到數(shù)學(xué)的課堂上，讓每個(gè)學(xué)生都行使認(rèn)真思考的權(quán)力，真

正成為學(xué)習(xí)的主人，成為課堂的主體。學(xué)生不僅積極地參與到學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的過(guò)程中，情緒高昂，切身感受了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，數(shù)學(xué)與生活的

聯(lián)系。在此過(guò)程中學(xué)生還品嘗到求知、參與、成功、交流和被尊重的

愉悅。在問(wèn)題的探究過(guò)程中不同的學(xué)生都進(jìn)行了思考，在這個(gè)過(guò)程中

都學(xué)到了不同的有價(jià)值的數(shù)學(xué)。

《變量》案例

李佳茹

請(qǐng)同學(xué)們看下列問(wèn)題：

問(wèn)題一；汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千

米，行駛時(shí)間為t小時(shí)。填下面的表。再試用含t的式子表不s。

師：哪位同學(xué)來(lái)填表？

生1：填好表格中的數(shù)據(jù)。

師：你怎么算出來(lái)的？

生1：路程=速度X時(shí)間

師：用含t的式子表示s

生1：s=60t

師：觀察誰(shuí)在變，誰(shuí)沒(méi)變？

生1：路程s、時(shí)間t在變，速度沒(méi)變。

師：路程隨時(shí)間的變化而變化。

問(wèn)題二：每張電影票的售，如果早場(chǎng)售出票150張，日?qǐng)鍪鄢?/p>

205張，晚場(chǎng)售出310張，三場(chǎng)電影票的票房收入各多少元？若設(shè)一

場(chǎng)電影售出票x張，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示

y?

師：某同學(xué)你來(lái)解答

生2：早場(chǎng)票房收入為10X150二1500

日?qǐng)銎狈渴杖霝?0X205=2050

晚場(chǎng)票房收入為10X310=3100

y=10x

師：觀察誰(shuí)在變，誰(shuí)沒(méi)變？

生2：xy在變，票價(jià)為10元沒(méi)變

師：票房收入隨售出票數(shù)的變化而變化。

問(wèn)題三：在一根彈簧的下端掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀

察并記錄彈簧長(zhǎng)度的變化，探索它們的變化規(guī)律。如果彈簧長(zhǎng)原長(zhǎng)為

10cm,每1千克重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm,怎樣用含重物質(zhì)量x(kg)

的式子表示受力后的彈簧長(zhǎng)度L(cm)?

師：某同學(xué)你來(lái)解答

生3：L=10+0.5xo

師：怎么考慮的？

生3：每1千克重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm,掛重物質(zhì)量xkg,受力后的

彈簧長(zhǎng)度0.5x,彈簧長(zhǎng)原長(zhǎng)為10cm,所以受力后的彈簧長(zhǎng)度

L=10+0.5xo

師：非常好，那么誰(shuí)在變化？

學(xué)生齊答：x、L在變。

問(wèn)題四：要畫一個(gè)面積為10的圓，圓的半徑應(yīng)取多少？當(dāng)圓的面

積為20時(shí)呢？怎樣用含圓面積s的式子表示圓的半徑r呢？

過(guò)程略

問(wèn)題五：用10m長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形，試改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度，

觀察長(zhǎng)方形的面積怎樣變化？記錄不同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度值，計(jì)算相應(yīng)

的長(zhǎng)方形面積的值，探索它們的變化規(guī)律。設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為x米,

面積為S平方米，怎樣用含X的式子表示S?

教師根據(jù)得出的關(guān)系式歸納

變量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量。

常量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量為常量。

分析：

1、缺少學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，比如問(wèn)題三、四、五。

2、這種問(wèn)答式的講課方式，表面上看教師提出的問(wèn)題學(xué)生都對(duì)

答如流，沒(méi)有任何障礙，但結(jié)果學(xué)生是否掌握了問(wèn)題所在，學(xué)生的思

維是否被激起？本應(yīng)是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象、能夠提出的問(wèn)題、可以總結(jié)

的規(guī)律，只是讓個(gè)別的學(xué)生來(lái)說(shuō)、甚至是教師包辦代替講出來(lái)。得變

量、常量概念時(shí)，怕學(xué)生不理解又在反復(fù)重復(fù)已得到的規(guī)律。

3、由于一直是教師在領(lǐng)著學(xué)生走，所以學(xué)生數(shù)學(xué)思考的時(shí)間不

充分，一些在思維方面的問(wèn)題沒(méi)有暴露出來(lái)。比如說(shuō)，問(wèn)題四中半徑

與面積的關(guān)系表述，實(shí)際中可能會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生表示不出來(lái)或表

示錯(cuò)誤；問(wèn)題三中受力后的彈簧長(zhǎng)度是否可以任意伸長(zhǎng)等。因此，要

給學(xué)生一定的思考時(shí)間和思維空間，要減少“講與聽”，增加“說(shuō)與

做”,嘗試“教與評(píng)”

4、教師課堂同題的設(shè)置價(jià)值不大，僅僅為木課服務(wù)，教師沒(méi)有

真正理解編者的意圖。以上五個(gè)問(wèn)題是教材提供的素材，五個(gè)問(wèn)題中

都含有變量之間的的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)討論這些問(wèn)題，不僅可以引

出變量與常量的概念，而且也為后面引出變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)而

學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式作了鋪墊。變量

之間的的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括變量的取值限制教師沒(méi)有講出來(lái)。

修改：

1、對(duì)于問(wèn)題一和問(wèn)題二的解決學(xué)生們有知識(shí)基礎(chǔ)，可以自行解

決，所以教學(xué)中，呈現(xiàn)問(wèn)題一和問(wèn)題二安排學(xué)生獨(dú)立完成。之后追問(wèn)：

“根據(jù)自己的解題過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)？能歸納一下嗎？"歸納①有

兩個(gè)量在變化，有不變的量（數(shù)值）。②一個(gè)量變化另一個(gè)量隨著在

變化。③當(dāng)一個(gè)量取一個(gè)確定的值時(shí)，另一個(gè)量的值隨之確定。④當(dāng)

兩個(gè)變化的量中一個(gè)量的值確定了，它就是一個(gè)一元一次方程。

2、問(wèn)題三對(duì)于部分學(xué)生在理解上稍有困難，教師可以借助于實(shí)

物演示，有條件的可以以小組為單位實(shí)物操作，在教師的指導(dǎo)下改變

并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長(zhǎng)度的變化。這樣學(xué)生在動(dòng)手實(shí)

驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)受力后的彈簧長(zhǎng)度L=10-0.5xo此時(shí)教師可以追問(wèn):

“在問(wèn)題一和問(wèn)題二中的發(fā)現(xiàn)還有嗎？有新發(fā)現(xiàn)嗎？”意在得出重量

m的質(zhì)量應(yīng)該有限制，原因是彈簧的受力是有限度的。

3、有了問(wèn)題三的探索過(guò)程，問(wèn)題五完全可以放手讓學(xué)生們以小

組為單位