《自動控制原理》課件第4章

第四章根軌跡法4.1根軌跡的基本概念4.2根軌跡的繪制4.3廣義根軌跡4.4附加開環(huán)零點和極點對根軌跡的影響4.5系統(tǒng)性能的分析小結(jié)4.1根軌跡的基本概念

所謂根軌跡,是指當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)(如開環(huán)增益K)由零連續(xù)變化到無窮大時,閉環(huán)特征根在復(fù)平面上形成的若干條曲線。下面結(jié)合圖4-1所示的二階系統(tǒng)的例子,介紹有關(guān)根軌跡的基本概念。圖4-1控制系統(tǒng)框圖將圖4-1所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為(4.1)其中,k=2K,式(4.1)便是繪制根軌跡所用的傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。由式(4.1)可得兩開環(huán)極點分別為p1=0,p2=-2,并且沒有開環(huán)零點。將這兩個開環(huán)極點繪于圖4-2上,并用“×”表示。由式(4.1)可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為即(4.2)所以,閉環(huán)系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)為(4.3)所以,閉環(huán)系統(tǒng)極點s1,s2與標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)k之間的關(guān)系可由圖4-2表示。從圖可以看出：(1)當(dāng)k=0時,s1,s2與p1,p2重合,即開環(huán)極點和閉環(huán)極點重合；

(2)當(dāng)0＜k＜1時,s1,s2均為(-2,0)區(qū)間內(nèi)的負(fù)實數(shù)；

(3)當(dāng)k=1時,s1=s2=-1,即兩閉環(huán)極點重合；(4)當(dāng)1＜k＜∞時, ,即兩閉環(huán)極點互為共軛；(5)當(dāng)k→∞時,s1,s2將沿著直線σ=-1趨于無窮遠(yuǎn)處。

由此可見,通過分析系統(tǒng)的根軌跡圖就可清楚地看出閉環(huán)系統(tǒng)極點隨系統(tǒng)某個參數(shù)變化的關(guān)系。例如,從圖4-2可以看出：無論K取何值,由圖4-1表示的控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于復(fù)平面的左半平面,因此系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的;而k=1(K=0.5)是此二階系統(tǒng)由過阻尼狀態(tài)過渡到欠阻尼狀態(tài)的分界點。并且從圖中可以看出,根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的,這也是根軌跡的一個特性。需要指出的是,繪制根軌跡時選擇的可變參數(shù)可以是系統(tǒng)的任何參量,但實際中最常用的是系統(tǒng)的開環(huán)增益。另外這里給出的例子是一個簡單的二階系統(tǒng),其特征方程容易求解,對于高階系統(tǒng),其特征根的計算要借助計算機(jī)。圖4-2二級系統(tǒng)根軌跡4.2根軌跡的繪制4.2.1繪制根軌跡的基本條件為了繪制根軌跡,需要從系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程入手。設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s),其中G(s)和H(s)分別為控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函數(shù),則反饋系統(tǒng)的特征方程為1+G(s)H(s)=0

或?qū)懗蒅(s)H(s)=-1(4.4)(4.5)將上式改寫成(i=0,1,2,…)從而得出繪制根軌跡所依據(jù)的條件是①幅值條件

|G(s)H(s)|=1 (4.7)②相角條件∠G(s)H(s)=arg［G(s)H(s)］=±180°+i·360°(i=0,1,2,…)

實際上滿足相角條件的任一點,一定可以找到相應(yīng)的可變參數(shù)值,使幅值條件成立。所以,相角條件式(4.8)也是根軌跡的充要條件。只要利用相角條件就可確定根軌跡的形狀,但利用幅值條件才可以求得給定閉環(huán)極點所對應(yīng)的增益K。進(jìn)行相角計算時,規(guī)定正實軸方向為0°,逆時針方向為相角的正方向。(4.8)(4.6)4.2.2根軌跡的繪制規(guī)則繪制系統(tǒng)的根軌跡,首先寫出系統(tǒng)的特征方程：然后將此方程中開環(huán)傳遞函數(shù)部分改寫為零極點增益形式,即特征方程可等價為(4.9)式(4.9)為繪制根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式。并且,由于閉環(huán)極點或為實數(shù)或為共軛復(fù)數(shù),因此根軌跡是對稱于實軸的。下面給出繪制根軌跡圖的一般規(guī)則。

1.確定復(fù)平面上G(s)H(s)的零極點位置和根軌跡的分支數(shù)在復(fù)平面上標(biāo)出系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置,系統(tǒng)的根軌跡起點為開環(huán)極點,終點為開環(huán)零點(或無窮遠(yuǎn)處)。由于系統(tǒng)的特征方程有n個根,所以當(dāng)可變參數(shù)K由零變化到無窮時,這n個特征根必然會隨K的變化出現(xiàn)n條根軌跡。因此,根軌跡在復(fù)平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù),也就是說,根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點的個數(shù),也等于開環(huán)極點的數(shù)目。

2.確定實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡由位于實軸上的開環(huán)極點和零點確定。根據(jù)相角條件可以證明,實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)。

【例4-1】已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中,τ＞T。試大致繪出其根軌跡。解首先將開環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:式中,k=τK/T。系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0、p2=-1/T和一個開環(huán)零點z1=-1/τ,所以系統(tǒng)的根軌跡有兩條分支。當(dāng)k=0時,兩條根軌跡從開環(huán)極點開始;當(dāng)k→∞時,一條根軌跡終止于開環(huán)零點z1,另(2-1)=1條趨于無窮遠(yuǎn)處。并且根據(jù)開環(huán)零極點的位置,可知實軸上的(z1，p1)和(-∞,p2)區(qū)間為根軌跡的區(qū)段。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-3所示,其中“×”表示開環(huán)極點,“○”表示開環(huán)零點。圖4-3例4-1根軌跡圖

3.確定根軌跡的漸近線如果開環(huán)零點的數(shù)目m小于開環(huán)極點數(shù)n,即n＞m,則有(n-m)條根軌跡沿著某條漸近線終止于無窮遠(yuǎn)處。漸近線的方位可由下面的方程決定。漸近線與實軸的交點坐標(biāo)：

(4.10)漸近線與實軸正方向的夾角：(k=0,1,2,…)(4.11)當(dāng)k=0時,對應(yīng)與實軸有最小夾角的漸近線。盡管這里假定k可以取無限大,但隨著k值的增加,漸近線與實軸正方向的夾角會重復(fù)出現(xiàn),并且獨立的漸近線只有(n-m)條?！纠?-2】

已知一四階系統(tǒng)的特征方程為試大致繪制其根軌跡。

解先在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)零極點的位置,極點用“×”表示,零點用“○”表示,并根據(jù)實軸上根軌跡的確定方法繪制系統(tǒng)在實軸上的根軌跡(如圖4-4(a)所示)。根據(jù)式(4.10)和(4.11)確定系統(tǒng)漸近線與實軸的交點和夾角如下：

φa1=60°(q=0),φa2=180°(q=1),φa3=300°(q=2)結(jié)合實軸上的根軌跡,繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4(b)所示。圖4-4例4-2根軌跡圖

4.求出分離點兩條或兩條以上的根軌跡分支在復(fù)平面上相遇又分開的點稱為分離點。一般常見的分離點多位于實軸上,但有時也產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對中。分離點必然是重根點,如果將系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程寫為則根據(jù)分離點必然是重根點的條件,可以得出分離點的確定公式(4.12)(4.13)或(4.14)【例4-3】

對于例4-2給出的四階系統(tǒng),試確定其分離點坐標(biāo)。

解利用式(4.13)或(4.14)可以求出分離點為d1=-4,d2=-2.5994,d34=-0.7003±j0.7317將這四個值代入閉環(huán)系統(tǒng)方程(4.12),可知d34對應(yīng)的K不滿足大于零的要求,所以將其舍去。另外,可以發(fā)現(xiàn)d1=-4正是系統(tǒng)的開環(huán)極點(對應(yīng)K＝0時系統(tǒng)的閉環(huán)極點),是一個重根。所以此系統(tǒng)的分離點坐標(biāo)為(-2.5994,j0)和(-4,j0)。

5.確定根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交,說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點,即特征方程含有純虛數(shù)的根。將s=jω代入特征方程(4.4),則有1+G(jω)H(jω)=0將上式分解為實部和虛部兩個方程,即(4.15)解式(4.15),就可以求得根軌跡與虛軸的交點坐標(biāo)ω,以及此交點相對應(yīng)的臨界參數(shù)kc。【例4-4】

求例4-2所給出的系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點坐標(biāo)。

解將s=jω代入例4-2所給出的系統(tǒng)的特征方程,可得ω4-j10ω3-32ω2+j(32+K)ω+K=0寫出實部和虛部方程：ω4-32ω2+K=010ω3-(32+K)ω=0由此求得根軌跡與虛軸的交點坐標(biāo)為因為ω34對應(yīng)的K小于零,所以舍去。因此,系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點坐標(biāo)為(0,±j4.5204)。

6.確定根軌跡的入射角和出射角所謂根軌跡的出射角(或入射角),指的是根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處(或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處)的切線方向與實軸正方向的夾角。圖4-5中的 為出射角, 為入射角。

由于根軌跡的對稱性,對應(yīng)于同一對極點(或零點)的出射角(或入射角)互為相反數(shù)。因此,在圖4-5中有 。從相角條件,可以推出如下根軌跡出射角和入射角的計算公式。根軌跡從復(fù)數(shù)極點pr出發(fā)的出射角為(4.16)根軌跡到達(dá)復(fù)數(shù)零點zr的入射角為(4.17)式中,arg(·)表示復(fù)數(shù)的相角(幅角)。利用上面提到的六條規(guī)則可以給出根軌跡的大致走向和一些關(guān)鍵點。為了精確繪制根軌跡圖,可以使用MATLAB實現(xiàn)。圖4-5根軌跡出射角和入射角

7.根軌跡的根之和與根之積所謂設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為可以證明以下結(jié)論成立。如果滿足n-m≥2,則開環(huán)極點之和與閉環(huán)極點之和相等,即有若開環(huán)傳遞函數(shù)原點處存在極點,則有(4.18)(4.20)(4.19)即閉環(huán)特征根負(fù)值之積等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。其中zj

為開環(huán)零點,an為閉環(huán)特征多項式或特征方程中的常數(shù)項。根軌跡的根之和與根之積的結(jié)論(1)對于判斷根軌跡的走向非常重要。它反映了當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)分母階次高于分子階次至少2階時,系統(tǒng)閉環(huán)極點在移動過程中,其中心(或重心)將保持不變。即如果有一部分閉環(huán)極點向左移動,必有另外閉環(huán)極點向右移動。利用上面提到的七條規(guī)則可以給出根軌跡的大致走向和一些關(guān)鍵點。為了精確繪制軌跡圖,可以使用MATLAB實現(xiàn)。4.2.3MATLAB繪制根軌跡在MATLAB中提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的rlocus()函數(shù)。已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式,利用此函數(shù)可以方便地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。

【例4-5】

設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下:試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。解使用MATLAB繪制此根軌跡的程序如下:%ex_4-5num=［11］;den=conv(［10］,conv(［12］,［13］));G=tf(num,den);rlocus(G)title(′′);xlabel(′Re′);ylabel(′Im′);圖4-6例4-5的MATLAB仿真結(jié)果【例4-6】

設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。

解用MATLAB繪制此系統(tǒng)根軌跡的程序如下:%ex-4-6num=［124］;den=conv(［10］,conv(［14］,conv(［16］,［11.41］)));G=tf(num,den);rlocus(G)title(′′);xlabel(′Re′);ylabel(′Im′);圖4-7例4-6根軌跡圖【例4-7】

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中,試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。

解給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,也可以直接用rlocus(A,B,C,D)繪制出根軌跡。MATLAB程序如下:%ex_4-7A=［010;001;-160-56-14］;B=［0;1;-14］;C=［100］;D=［0］;rlocus(A,B,C,D);title(′′);xlabel(′Re′);ylabel(′Im′);圖4-8例4-7根軌跡圖4.3廣義根軌跡4.3.1參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡指的是以非開環(huán)增益(如某個環(huán)節(jié)的時間常數(shù)等)為可變參數(shù)繪制的根軌跡。只要對系統(tǒng)閉環(huán)特征方程稍作處理,這類根軌跡的繪制就可以轉(zhuǎn)化為常規(guī)根軌跡的繪制,4.2節(jié)給出的繪制規(guī)則依然成立。通常情況下,繪制參數(shù)根軌跡的方法如下:(1)寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0。(2)變換特征方程為1+ρG1(s)=0,其中1+ρG1(s)稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。(3)按照常規(guī)根軌跡法則,再繪制以K*為參變量的根軌跡?！纠?-8】已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)以Ks為變化參數(shù)的根軌跡。解根據(jù)給出的開環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為上述方程可變形為等價開環(huán)傳遞函數(shù)為(ρ=10)用MATLAB繪制此系統(tǒng)以K*為變化參數(shù)的根軌跡程序如下:%ex_4-8num=[10];den=[1210];G=tf(num,den);rlocus(G)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');程序運行結(jié)果如圖4-9所示。不難發(fā)現(xiàn),只要將圖4-9的根軌跡按比例縮小10倍,就可以得到系統(tǒng)以Ks為變化參數(shù)的根軌跡。4.3.2零度根軌跡對于閉環(huán)系統(tǒng)是正反饋的控制系統(tǒng),繪制其以某一參數(shù)連續(xù)變化時的根軌跡方法與常規(guī)根軌跡類似。設(shè)正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s),其中G(s)和H(s)分別為控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函數(shù),則反饋系統(tǒng)的特征方程為1-G(s)H(s)=0(4.21)或可以寫成(4.23)從而得出繪制根軌跡所依據(jù)的條件是幅值條件|G(s)H(s)|=1（4.24）相角條件由(4.26)可知,正反饋控制系統(tǒng)根軌跡滿足的相角條件為開環(huán)傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)向量的相角指向正實軸方向(復(fù)數(shù)向量相角的0°方向),因此稱這類根軌跡為零度根軌跡。按照常規(guī)根軌跡的繪制方法,也可以推導(dǎo)出類似的繪制規(guī)則。(4.25)4.4附加開環(huán)零點和極點對根軌跡的影響4.4.1增加開環(huán)極點對根軌跡的影響增加開環(huán)極點會改變根軌跡在實軸上的分布,改變漸近線的條數(shù)、方向角及與實軸的交點位置。一般情況下,根軌跡向右偏移不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。【例4-9】已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制各系統(tǒng)的根軌跡。解用MATLAB繪制各系統(tǒng)以K為變化參數(shù)的根軌跡程序如下:%ex_4-9num_a=[1];den_a=conv([10],[12]);G_a=tf(num_a,den_a);rlocus(G_a)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');num_b=[1];den_b=conv([14],conv([10],[12]));G_b=tf(num_b,den_b);figure;rlocus(G_b)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');num_c=[1];den_c=conv([11],conv([10],[12]));G_c=tf(num_c,den_c);figure;rlocus(G_c)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');num_d=[1];den_d=conv([100],[12]);G_d=tf(num_d,den_d);figure;rlocus(G_d)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');各系統(tǒng)根軌跡如圖4-10所示。圖4-10例4-9根軌跡圖4.4.2增加開環(huán)零點對根軌跡的影響增加開環(huán)零點同樣可以改變根軌跡的形狀和實軸上的分布情況,但不改變根軌跡的分支數(shù)。通常情況,增加開環(huán)零點可使根軌跡向左移動,有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能?！纠?-10】已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制各系統(tǒng)的根軌跡。解用MATLAB繪制各系統(tǒng)以K為變化參數(shù)的根軌跡程序如下:%ex_4-10num_a=[1];den_a=conv([100],[12]);G_a=tf(num_a,den_a);rlocus(G_a)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');num_b=[11];den_b=conv([100],[12]);G_b=tf(num_b,den_b);figure;rlocus(G_b)title(″);xlabel('Re');ylabel('Im');num_c=[10.5];den_c=conv([100],[12]);G_c=tf(num_c,den_c);figure;rlocus(G_c)title(″);xlabel('Re');y