2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

一、填空題（本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

2.半徑為2的球的表面積為.

3.已知長方體ZBC。—451GA的棱20=44]=1,4B=2,則異面直線5Q與臺。所成

角的余弦值為.

4.在四面體尸一NBC中，若底面A8C的一個(gè)法向量為〃=（1，1，0）,且°尸=。,2,_1）,則

頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為.

5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

6.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形OHB'C',且O/7/8'C',

04=28'。'=4,A'B'=2,則該平面圖形的面積為.

7.三棱錐尸—4BC中，三條側(cè)棱尸4=尸8=尸0,則頂點(diǎn)尸在平面4BC內(nèi)的射影。是

'ABC的.（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

8.在空間四邊形/8CO中，E,F,G,”分別是邊BC,CD,的中點(diǎn)，若四邊形對

71

角線4c=80=2,對角線/c與8。所成的角為5,則F層.

9.如圖，在圓柱QO2內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱。1

匕

。2的體積為K1，球。的體積為%，則%的值是

10.已知二面角a一28一尸為30。，尸是半平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸到平面廠的距離是1,則點(diǎn)

P在平面廠內(nèi)的投影到的距離是.

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾

動，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為

12.如圖，正方體488—4瓦G2的棱長為4,點(diǎn)P在正方形ABC。的邊界及其內(nèi)部運(yùn)

動.平面區(qū)域W由所有滿足49吊尸區(qū)2也的點(diǎn)P組成，則四面體P—48。的體積的取值

范圍.

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.己知直線/和平面則“/垂直于。內(nèi)的兩條直線”是“/的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非

必要條件

14.把一個(gè)圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺

中的部分）長為12,則原圓錐的母線長為（）

A.16B.18C.20D.22

15.機(jī)、〃為空間中兩條直線，必,為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①二面角的范圍是四兀）；

②經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；

③若機(jī)、〃為兩條異面直線，1/3,則"http://a.

④若根、〃為兩條異面直線，且機(jī)"a，”"%能//￡，〃//尸，則a”處

A.0B.1C.2D.3

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形,

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉席”.如

圖，在塹堵4sC—44G中，ACLBC,且"4="8=2.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A,四棱錐B—N/Cq為“陽馬,，

B.四面體4G。'為“鱉

2

c.四棱錐8—4"CG體積的最大值為3

過N點(diǎn)作'E'48于點(diǎn)￡,過￡點(diǎn)作跖,48于點(diǎn)R則48,面/所

D.

三、解答題（本題滿分78分，共5小題）

17.如圖，棱長為2的正方體4sCD—481G4中，M、N尸分別是G01、CG的

中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面

(2)求異面直線尸“與”乂所成角的大小.(結(jié)果用反三角表示)

18.如圖，已知P/=/C=PC=/B=a,PA1AB,NCJ_48,為/C的中點(diǎn).

(1)求證：尸W平面NBC；

(2)求直線依與平面4BC所成角的大小.

19.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐尸一48IG°I,下

部的形狀是正四棱柱4ss—4與。101(如圖所示)，并要求正四棱柱的高a°是正四棱錐

的高產(chǎn)a的4倍.

ap

(1)若4B=6m,0。i=2m,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)尸Q為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積

是多少？

20.如圖，48是圓柱的底面直徑，AB=2,R4是圓柱的母線且尸N=2,點(diǎn)C是圓柱底面

圓周上的點(diǎn).

(1)求圓柱的表面積；

(2)證明：平面平面尸NC；

(3)若NC=1,。是心的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段P4上，求CE+E。的最小值.

21.已知點(diǎn)尸是邊長為2的菱形48co所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸在底面N5CO上的射影是

NC與AD的交點(diǎn)°,已知/8/。=60°,0PDB是等邊三角形.

(1)求證：ACYPD.

(2)求點(diǎn)。到平面的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段ND上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)E在何處時(shí)，直線尸E與平面丑5c所成的角最大?

求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)E此時(shí)所在的位置.

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

一、填空題(本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分)

1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

【正確答案】平行或異面

【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】空間中的直線沒有公共點(diǎn)，則兩直線要么平行，要么是異面直線.

故平行或異面

2.半徑為2的球的表面積為.

【正確答案】16〃

【分析】代入球的表面積公式:S表=4加片即可求得.

【詳解】?:R=2,

.小轉(zhuǎn)的聿而由S表=4乃爐

??由球的表面積表公式可得，

S球表=4乂萬乂2?=16萬

故答案為：16萬

本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.

3,已知長方體48co—的棱"0=44]=1,初=2,則異面直線AD與3G所成

角的余弦值為.

叵工業(yè)

【正確答案】5##5

【分析】由定義說明ND8C是異面直線AD與4c所成角或其補(bǔ)角，然后計(jì)算.

【詳解】因?yàn)橛肎"8C,所以/nsc是異面直線8。與8c所成角或其補(bǔ)角,

在直角ABDC中，BD=VCD~+CB~=y[5

V5

故5

D

4k---------------

4.在四面體尸-NBC中，若底面NBC的一個(gè)法向量為”（，，），且（，，），則

頂點(diǎn)P到底面4BC的距離為.

【正確答案】2應(yīng)

【分析】根據(jù)點(diǎn)面距公式代入計(jì)算即可得.

故答案為.2亞

5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

【正確答案】2萬

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與圓錐側(cè)面的關(guān)系求出圓錐底面圓半徑即可計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為心則該圓錐底面圓周長為2〃廠，

因圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長為2萬，

依題意，2療=2乃，解得r=l,

顯然圓錐的母線長，=2,則圓錐側(cè)面積S=?"=2萬,

所以圓錐的側(cè)面積為2萬.

故2萬

6.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形且。4'〃8'C,

0A'=2B'C=4,A'B'=2,則該平面圖形的面積為.

【分析】首先求出再畫出平面圖形，從而求出其面積.

【詳解】因?yàn)椤鉎=28'C=4,A'B'=2,所以℃'=河萬豆=?血,

由直觀圖可得如下平面圖形，則。4=28C=4.0C=20C=472,

%BC=9（2+4）X4后=12后

所以2

故12夜

7.三棱錐尸—4sC中，三條側(cè)棱尸4=尸8=尸0,則頂點(diǎn)尸在平面N8C內(nèi)的射影。是

Y4BC的.（填吶心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【正確答案】外心

【分析】由已知可得頂點(diǎn)尸在底面48c上的射影。到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即

0為Y4BC的外心.

【詳解】如圖，設(shè)頂點(diǎn)尸在底面N8C內(nèi)的射影為°,則尸°,平面ABC,

連接04,OB,0C,

0A,OB,0C在平面ABC內(nèi)，

POLOA，POLOB，PO1OC，

.??△尸CM,YPOB,△尸OC都是直角三角形，

-.?PA=PB=PC,

，△尸0/,VPOB和△尸0c三個(gè)三角形全等，

從而有°/=08=",

所以。為V4BC的外心.

故外心.

8.在空間四邊形4BCD中，E,F,G,〃分別是邊/瓦BC,CD,D/的中點(diǎn)，若四邊形對

71

角線4c=80=2,對角線NC與2。所成的角為則加=.

【正確答案】1或6

712兀

【分析】由題意可知四邊形為菱形，且知菱形相鄰的兩個(gè)角分別為3,再由所給

邊長即可求得切的長.

【詳解】如圖,

A

EFIIAC/1HG,EF=HG=-AC=1

由E,尸,G,“分別是43,3C,CDQ的中點(diǎn),得2

EH//BD//FG,EH=FG=-BD=1

2，則四邊形MG"為菱形，又ZC與8。所成的角

71

為3,

71兀2兀

于是直線所與所成角為即菱形MG"的邊長為1,相鄰兩個(gè)內(nèi)角分別為3,

ZFEH=-NFEH=型ZFEH=-

即3或3,當(dāng)3時(shí)，F(xiàn)H=EF=1,

2兀

/FEH-__r-

當(dāng)3時(shí)，F(xiàn)H=2EFsin60。=△

所以FH=1或FH=C.

故1或G

9.如圖，在圓柱QQ內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱Q

02的體積為H，球0的體積為％,則々的值是

3

【正確答案】2

—%=-nr-2-x-2-r=—3—3

【詳解】設(shè)球半徑為「，則,2>32.故答案為2.

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式

求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不

能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

10.已知二面角a—28一月為30。，p是半平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸到平面尸的距離是1,則點(diǎn)

P在平面廠內(nèi)的投影到4B的距離是.

【正確答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)尸在平面廠內(nèi)的投影為點(diǎn)°,作產(chǎn)。,4s于點(diǎn)°,連接證明

N尸。。即為二面角a-AB-0的平面角,再解RtAPOQ即可.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)尸在平面廠內(nèi)的投影為點(diǎn)°,則尸°”，尸。=1,

作產(chǎn)°于點(diǎn)°,連接

因?yàn)?OQMBu。,所以尸0，/民尸

又尸。，AB,POcPQ=P,PQ,尸。u平面POQ,

所以平面產(chǎn)。。，

又OQu平面尸00,所以45，。0,

所以/POQ即為二面角0一48一"的平面角，

所以400=30。，

在RtZ\PO0中，ZPOQ=30°,PQ=1

所以。。=百，

即點(diǎn)P在平面B內(nèi)的投影到4B的距離是V3.

故答案為.6

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾

動，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為

【正確答案】12

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,求出以S為圓心，以為半徑的圓的面積以及圓錐的側(cè)面積，根

據(jù)題意，列出方程即可求得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/，則以S為圓心，陽為半徑的圓的面積為成,

又圓錐的側(cè)面積為兀x3x/=3或，

因?yàn)楫?dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動了4周，

所以成2=4x3或，解得/=12,

故12

12.如圖，正方體"BCD—481G2的棱長為4,點(diǎn)尸在正方形Z5CO的邊界及其內(nèi)部運(yùn)

動.平面區(qū)域W由所有滿足4引4H-26的點(diǎn)P組成，則四面體0—48C的體積的取值

范圍

【分析】連接NP,由線面垂直的性質(zhì)得到4"“尸，再由勾股定理求出094P區(qū)2,即

了%-4BC=七-PBC=卜S-PBC，

可得到p以A為圓心2為半徑的4圓面上，再根據(jù)3得到當(dāng)

P在邊上時(shí)四面體的體積最大，當(dāng)尸在邊48的中點(diǎn)時(shí)四面體的體積最小，再根據(jù)面體

的體積公式計(jì)算可得取值范圍.

【詳解】連接如圖所示，

因?yàn)?幺，平面480,4Pu平面45CD,所以幺/工力尸,

■」4H=4,由4引4產(chǎn)區(qū)2百|(zhì)4P|=Jzp「+M4『,則ogzp區(qū)2；

所以尸在以A為圓心2為半徑的a圓面上，由題意可知，

=

Vp-A、BC「4-PBC=J|"4卜SdPBC

11/一32

_x_x4x4x4____

所以當(dāng)尸在邊幺。上時(shí)，四面體尸—'RO的體積的最大值是323

oS^PBC=-x4x2=4

所以當(dāng)尸在邊48的中點(diǎn)時(shí)，'*BC的面積取得最小值，此時(shí)2,

1,”16”「1632-

pJ-X4X4=^P-ABC￡5

所以四面體“一4”。的體積的最小值是33,所以"L33」，

-1632-

故答案為.-33_

思路點(diǎn)睛：

V=-Sh

求解三棱錐體積的最值問題，要找準(zhǔn)突破口，也即是按三棱錐的體積公式3,

通常會有以下兩種：

①如果底面積固定，則通過找高的最值來進(jìn)行求解；

②如果高已知確定，則求底面積的最值來進(jìn)行求解（如本題）.

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.已知直線/和平面則“‘垂直于。內(nèi)的兩條直線”是“/的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非

必要條件

【正確答案】B

【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

而“/垂直于a內(nèi)的兩條直線“，沒有滿足相交，

所以不一定能推出直線與平面垂直，

但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，

即可得：“/垂直于a內(nèi)的兩條直線“是一的必要不充分條件.

故選：B.

14.把一個(gè)圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺

中的部分）長為12,則原圓錐的母線長為（）

A.16B.18C.20D.22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：

C￡>1

取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為484,且CD//AB,BD=12,

CDED_/~121

設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)相似比可得A8EBI4,解得/=16,

即原圓錐的母線長為16.

故選：A.

15.機(jī)、〃為空間中兩條直線，必尸為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①二面角的范圍是1°'兀）；

②經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；

③若機(jī)、〃為兩條異面直線，機(jī)ua,〃u￡,機(jī)///，則///a.

④若機(jī)、〃為兩條異面直線，且能〃//a,機(jī)///,〃///,則a//尸.

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】B

【分析】利用二面角的取值范圍可判斷①，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)可判斷②，利用線面平行的判定方

法可判斷③，利用線面平行的性質(zhì)以及面面平行的判定定理可判斷④

【詳解】對于①，二面角的范圍是［°'兀1①錯(cuò)；

對于②，若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面，②錯(cuò)

對于③，若加、〃為兩條異面直線，mua,nu/3,ml用,則〃與a可能平行也可能相交,

故③錯(cuò)誤；

對于④，因?yàn)閙//1，加//〃，過直線加作平面7,使得7仆&=女用口7=°,

由線面平行的性質(zhì)定理可得冽//°，加/%,則a/",

因?yàn)閍(Za,bua,則a//a,

因?yàn)椤?/%〃//,，過直線〃作平面0,使得"na=",6n0=c,

由線面平行的性質(zhì)定理可得"http://。，〃//4,則c//",

因?yàn)閏(Z%dua,則c//a,

若a//c,則加〃〃，這與加、〃為兩條異面直線矛盾，故”4相交，

又因?yàn)閍，cu^,所以a//〃，故④對，

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形,

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉席”.如

圖，在塹堵4sC—44G中，ACLBC,且N4="8=2.下列說法錯(cuò)誤的是()

A,四棱錐8—4"CG為，，陽馬，，

B.四面體4GC8為“鱉麝,，

2

C.四棱錐3一幺/CG體積的最大值為3

D.過/點(diǎn)作'"48于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作于點(diǎn)尸，則48,面/斯

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A,B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)NC=8C時(shí)，四棱錐

8-N/CG體積有最大值，求值可判斷c的正誤；根據(jù)題意可證48,平面4EF,進(jìn)而

判斷D的正誤.

【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，

...在塹堵4gC—481G中，ACLBC,側(cè)棱44],平面age,

A選項(xiàng)，"4,80,又4c上BC,且441nze=Z,則8C"L平面"/CG,

???四棱錐8—4"CG為，，陽馬，，，故A正確；

B選項(xiàng)，由NCCC,即4CJ3C,又4CJGC且8CCGC=C,

???4G1平面網(wǎng)G。，...4G1BC、,則v48cl為直角三角形，

又由5C，平面'4G。，得A48C為直角三角形，由，，塹堵，，的定義可得AMGC為直角三

角形，為直角三角形，...四面體4GC5為“鱉膈,,，故B正確；

C選項(xiàng)，在底面有4=幺02+80222NC1C,即ZC5CV2,當(dāng)且僅當(dāng)

ZC=BC=正時(shí)取等號,

11244

K..=-S.xBC=-AA.xACxBC=-ACxBC<--

rc3MAgCC'33,最大值為3

BRCG3故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，因?yàn)镋F工”,從EcEF=E,所以45,平面ZEE,故D正

確；

故選：C

三、解答題（本題滿分78分，共5小題）

17.如圖，棱長為2的正方體ABCD—4與。1°1中，M、NP分別是G2、CG44］的

中點(diǎn).

（1）證明：MN//平面4s與4.

（2）求異面直線02與“乂所成角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

【正確答案】（1）證明見解析

Vio

arccos-----

(2)10

【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

（2）根據(jù)線線平行，找出異面直線所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小問1詳解】

如圖：連接吊巴小

因?yàn)锳BCD-4與。12為正方體，所以48//cn.

又，M、N分別是G2、CG的中點(diǎn)，所以MN//C2,

所以MN"，出，4Bu平面4sBi4,A/N(Z平面ZBB/I,所以〃乂//平面4544

【小問2詳解】

如圖：連接尸C、PDi

———干

//

//

4B

因?yàn)镸N"。，，所以/尸℃即為異面直線"乂與02所成的角，設(shè)為6.

在YPCD、中PD[=《PA；+4D；=V1+4=#>CD\=272

PC=yjPA2+AB2+BC2=Vl+4+4=3

。尸+℃2尸025+8—9而

2xDFD[C2XV5X2A/210

arccos

所以異面直線與所成的角為.10

18.如圖，已知P/=ZC=PC=/5=a,PA±AB,“為/c的中點(diǎn).

（1）求證：尸W平面/BC；

（2）求直線網(wǎng)與平面/8C所成角的大小.

,V6

arcsin—

【正確答案】（1）見解析（2）4

【分析】（1）推導(dǎo)出PML4C,PM1AB,由此能證明。平面/8C；

（2）連結(jié)則2尸8河是直線總和平面N8C所成的角，由此能求出直線依和平面

ABC所成的角.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)锳P/C為等邊三角形，且M為/C的中點(diǎn)，

所以PWNC

又PA1.AB,ACLAB,且尸4口幺。=2,

所以R4,平面尸ZC.

又在平面P/C內(nèi)，所以

因?yàn)閆8cZC=4,且PM1AC,

所以PA/工平面48c.

【小問2詳解】

解：連結(jié)8",由（1）知尸平面

所以ZPBM是直線PB和平面ABC所成的角.

p

cPM^—a

因?yàn)椤魇琙C為等邊三角形，所以2

NPAB=-

又△尸48為等腰直角三角形，且2

所以PB=6a.

sinZPBM=—=—

因?yàn)楫a(chǎn)初所以PB4

/PBM=arcsin^-

則4

,76

arcsm——

所以直線尸2和平面N8C所成的角的大小等于4

19.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐尸一4呂0101,下

部的形狀是正四棱柱481Goy如圖所示），并要求正四棱柱的高°i°是正四棱錐

的高00的4倍.

（1）若4B=6m,0a=2m,則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)尸Q為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積

是多少？

【正確答案】（1）312m3

2

（2）3亞,288V2m

【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應(yīng)公式求解；

（2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，S（x）=16j5-Jx（36-x）然后利用二次函數(shù)性

質(zhì)求其最值.

【小問1詳解】

由尸口=2知。9=40。產(chǎn)8

因?yàn)?AB=6

I1

所以正四棱錐尸—的體積曝一片-丁6x2-24（m）,

正四棱柱ABCD-ARCR的體積曝=疝?OQ=62x8=288陋）

山z人才,…如修=曝時(shí)%=24+288=312（0?）

所以倉庫的容積錐柱'

【小問2詳解】

設(shè)PO{=xm,下部分的側(cè)面積為S（x）,

2

則00、=4xm44=436-X,AXBX=V2?,36-x?

2

S（x）=4A}B100x=16\[2x\j36-x=16A/2-Jx?06-x）（0<x<6）

^/（x）=x2（36-x2）=-x4+36x2=-（x2-18j+324

當(dāng)x?=18,即x=3后時(shí)，/（x）max=324,S（x）皿=2880

即當(dāng)尸?為3/時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是2880n?.

20.如圖，Z8是圓柱的底面直徑，AB=2,力是圓柱的母線且4=2,點(diǎn)C是圓柱底面

圓周上的點(diǎn).

p

c

（1）求圓柱的表面積；

（2）證明：平面尸平面qNC；

（3）若/C=l,。是尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段"上，求CE+E"的最小值.

【正確答案】（1）6兀

（2）證明見解析（3）出

【分析】（1）根據(jù)圓柱求表面積公式即可求解.

（2）先證平面尸NC,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

（3）先分析得將A4。繞著P/旋轉(zhuǎn)到尸C',使其與尸48共面，且C在48的反向延長

線上，當(dāng)°,E,C三點(diǎn)共線時(shí)，CE+即的最小值為CZ）,通過解三角形求C'。即可.

【小問1詳解】

y—_A_B_—1,

根據(jù)題意，圓柱的底面半徑2,圓柱的高力=尸2=2,

圓柱的上下底面積和為2s底=2兀L=2冗，圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2口”=4無，

所以圓柱的表面積為S=2S底油S=671

【小問2詳解】

由題意可知，丑/,底面NBC,BCu底面NBC,則PZ,BC,

由直徑所對的圓周角為直角，可得BC1AC,

又P/n/C=/,0/u平面P/C,/。匚平面尸/。，

所以8cL平面尸ZC,又因?yàn)?Cu平面PBC,

所以平面P8C,平面尸NC

【小問3詳解】

將AP4C繞著PA旋轉(zhuǎn)到尸C',使其與PAB共面，

且°在A8的反向延長線上，當(dāng)D,E,°三點(diǎn)共線時(shí)，

CE+EQ的最小值為CZ),

因?yàn)镻Z=2,AB=2,PA1AB,PB=^PA2+AB2=272,

tanZPBA=——=-=lZPBA=-BD=—BP=C

282,所以4,2,

8C'=8/+/C=2+1=3,所以在三角形。如中，

=J32+(72^-2x3x72x—=V5

由余弦定理可得N2

所以CE+即的最小值為后.

21.已知點(diǎn)尸是邊長為2的菱形Z8CQ所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸在底面Z5CO上的射影是

NC與RD的交點(diǎn)°,已知/氏4￡>=60°,0PDB是等邊三角形.

p

(1)求證：AC1.PD.

(2)求點(diǎn)。到平面的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段ND上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)E在何處時(shí)，直線0E與平面丑5c所成的角最大?

求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)E此時(shí)所在的位置.

【正確答案】(1)證明見解析

2居

(2)5

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