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2025年甘肅省隴南市重點(diǎn)中學(xué)高三1月份統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)試題理)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,183.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④4.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.5.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.6.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④7.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.11.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.12.已知集合,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為_____.14.在的展開式中的系數(shù)為,則_______.15.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是上底面16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求證:18.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設(shè)直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P(﹣2,4),若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線l過(guò)點(diǎn),且傾斜角為,以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷曲線C是什么曲線;設(shè)直線l與曲線C相交與M,N兩點(diǎn),當(dāng),求的值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長(zhǎng).(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.22.(10分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?(2)為答謝顧客,該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì),在此期間顧客購(gòu)買該商品的支付情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購(gòu)物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付,1/2的顧客按6折支付,1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,記某顧客購(gòu)買一件該促銷商品所支付的金額為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.2.A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.3.B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).4.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.5.A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.6.B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點(diǎn),,,,則①和③都錯(cuò)誤;由,得④正確.故選:B.本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.7.D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為.故選D.本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.8.B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個(gè)不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn),要使關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個(gè)不同的根,設(shè)由根的分布可知,,解得.故選:B.本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9.A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.10.A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.11.D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語(yǔ)句性質(zhì),然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語(yǔ)句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語(yǔ)句,,故選D.題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.12.A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2.【解析】
由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為:本題正確結(jié)果:本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查,屬于基礎(chǔ)題.14.2【解析】
首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù),然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知,當(dāng)時(shí)有,解得.故答案為:.本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.15.π.【解析】
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉',分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點(diǎn)P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問(wèn)題,根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,屬于中檔題.16.【解析】
變換得到,計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對(duì)恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因?yàn)槎x域?yàn)椋?,時(shí),,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對(duì)恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.18.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】
(2)設(shè)圓心為M(m,0),根據(jù)相切得到,計(jì)算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計(jì)算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過(guò)點(diǎn)M(2,0),計(jì)算得到答案.【詳解】(2)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因?yàn)閙為整數(shù),故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點(diǎn),故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是().(3)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,則直線l的斜率為,l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在實(shí)數(shù)使得過(guò)點(diǎn)P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19.(Ⅰ)曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)由題易知,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),;曲線的直角坐標(biāo)方程為,橢圓;(2)將直線代入橢圓得到,所以,解得.試題解析:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為.曲線的
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