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文檔簡介
2025年甘肅省隴南市重點中學高三1月份統(tǒng)一考試(數(shù)學試題理)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,183.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④4.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.5.已知雙曲線的左,右焦點分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點P,以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切,切點為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.6.數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④7.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.11.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應填入的條件是()A. B. C. D.12.已知集合,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____.14.在的展開式中的系數(shù)為,則_______.15.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點P是上底面16.拋物線的焦點坐標為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:18.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(﹣2,4),若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)在直角坐標系中,直線l過點,且傾斜角為,以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程,并判斷曲線C是什么曲線;設直線l與曲線C相交與M,N兩點,當,求的值.20.(12分)在直角坐標系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.21.(12分)設,,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.22.(10分)某商場為改進服務質(zhì)量,隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:滿意不滿意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關?(2)為答謝顧客,該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動.據(jù)統(tǒng)計,在此期間顧客購買該商品的支付情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付,1/2的顧客按6折支付,1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率,記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為,求的分布列和數(shù)學期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標運算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.2.A【解析】
利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為:故選A.本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用.3.B【解析】
由命題的否定,復合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關系對每個命題進行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯誤.故選:B.本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關系,復合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎.4.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.5.A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.本題考查雙曲線離心率的計算問題,處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立三者間的關系,本題是一道中檔題.6.B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.本題考查曲線與方程的應用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.7.D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.8.B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個不同交點,要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則有兩個不同的根,設由根的分布可知,,解得.故選:B.本題考查復合方程根的個數(shù)問題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9.A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.10.A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個底面為一個直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.11.D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關系,最終得出選項.【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構,判斷框為跳出循環(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點:(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構還是循環(huán)結(jié)構;(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結(jié)構和直到型循環(huán)結(jié)構;(4)處理循環(huán)結(jié)構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算,直到達到輸出條件即可.12.A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2.【解析】
由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為:本題正確結(jié)果:本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質(zhì),涉及到點到直線距離公式的考查,屬于基礎題.14.2【解析】
首先求出的展開項中的系數(shù),然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知,當時有,解得.故答案為:.本題主要考查了二項式展開項的系數(shù),屬于簡單題.15.π.【解析】
設三棱錐P-ABC的外接球為球O',分別取AC、A1C1的中點O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點P所構成的圖形的面積為π×O本題考查三棱錐的外接球的相關問題,根據(jù)立體幾何中的線段關系求動點的軌跡,屬于中檔題.16.【解析】
變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為,,所以焦點坐標為.故答案為:本題考查了拋物線的焦點坐標,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構造函數(shù),,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因為定義域為,所以,時,,即在和上單調(diào)遞增,當時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導數(shù)證明不等式,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.18.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】
(2)設圓心為M(m,0),根據(jù)相切得到,計算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.【詳解】(2)設圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因為m為整數(shù),故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以實數(shù)a的取值范圍是().(3)設符合條件的實數(shù)a存在,則直線l的斜率為,l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在實數(shù)使得過點P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.本題考查了直線和圓的位置關系,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.19.(Ⅰ)曲線是焦點在軸上的橢圓;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)由題易知,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),;曲線的直角坐標方程為,橢圓;(2)將直線代入橢圓得到,所以,解得.試題解析:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為.曲線的
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