二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教版導(dǎo)學(xué)案函數(shù)的應(yīng)用二學(xué)案

9/9函數(shù)的應(yīng)用（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。2．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解問(wèn)題?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。2．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型。【學(xué)習(xí)過(guò)程】問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P42－P44的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1．一次、二次函數(shù)的表達(dá)形式分別是什么？2．指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的表達(dá)形式是什么？【新知初探】幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0指數(shù)函數(shù)模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0冪函數(shù)模型y＝axn＋ma≠0，n≠1【自我檢測(cè)】1．判斷正誤（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）在一次函數(shù)模型中，系數(shù)k的取值會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì)。（）（2）在冪函數(shù)模型的解析式中，a的正負(fù)會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性。（）2．某自行車(chē)存車(chē)處在某一天總共存放車(chē)輛4000輛次，存車(chē)費(fèi)為電動(dòng)自行車(chē)0.3元/輛，普通自行車(chē)0.2元/輛。若該天普通自行車(chē)存車(chē)x輛次，存車(chē)費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝0.2x（0≤x≤4000）B．y＝0.5x（0≤x≤4000）C．y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000）D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000）3．某工廠2018年生產(chǎn)某產(chǎn)品2萬(wàn)件，計(jì)劃從2019年開(kāi)始每年比上一年增產(chǎn)20%，則這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)6萬(wàn)件的起始年份是（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（）A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年探究一、利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題1．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加成本100元，已知總收益滿足函數(shù)：R（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400）,80000（x>400）))，其中x為月產(chǎn)量。（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？[規(guī)律方法]eq\a\vs4\al()理解所給函數(shù)模型中各量的意義，利用已知量求解析式，進(jìn)而求函數(shù)的問(wèn)題來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題。2．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，并且生產(chǎn)量每增加一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加1萬(wàn)元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R（Q）＝4Q－eq\f(1,200)Q2，則總利潤(rùn)L（Q）的最大值是__________萬(wàn)元，這時(shí)產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為_(kāi)_______單位。探究二、構(gòu)造函數(shù)模型解決問(wèn)題3．目前某縣有100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)x年后為y萬(wàn)人。如果年平均增長(zhǎng)率是1．2%，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)（精確到0.1萬(wàn)人）；（3）計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)。（精確到1年）[規(guī)律方法]建立函數(shù)模型應(yīng)把握的三個(gè)關(guān)口（1）事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明白問(wèn)題講什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開(kāi)突破口。（2）文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系。（3）數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。4．某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車(chē)出租。該景區(qū)有50輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛。為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車(chē)的日凈收入（日凈收入＝一日出租自行車(chē)的總收入－管理費(fèi)用）。（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式及其定義域；（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為多少元時(shí)，才能使日凈收入最多？探究三、擬合函數(shù)模型解決問(wèn)題5．某經(jīng)營(yíng)商經(jīng)營(yíng)了A、B兩種商品，逐月投資金額與所獲純利潤(rùn)列表如下：投資A種商品金額（萬(wàn)元）123456獲純利潤(rùn)（萬(wàn)元）0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額（萬(wàn)元）123456獲純利潤(rùn)（萬(wàn)元）0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備第七個(gè)月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算。請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者第七個(gè)月可獲得的最大純利潤(rùn)（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。[規(guī)律方法]eq\a\vs4\al()函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖。（2）通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，畫(huà)出擬合直線或擬合曲線。（3）求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式。（4）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)。6．蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，還可美容保健，因此深受人們歡迎，在國(guó)內(nèi)占有很大的市場(chǎng)。某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場(chǎng)，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt。（2）利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本?！具_(dá)標(biāo)反饋】1．某市的房?jī)r(jià)（均價(jià)）經(jīng)過(guò)6年時(shí)間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長(zhǎng)率是（）A．600元B．50%C．eq\r(3,2)－1D．eq\r(3,2)＋12．“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概。當(dāng)弓箭手以每秒a米的速度從地面垂直向上射箭時(shí)，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2確定。已知射出2秒后箭離地面高100米，則弓箭能達(dá)到的最大高度為_(kāi)_______米。3．某游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額y元與銷(xiāo)售的門(mén)票張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試由圖像解決下列問(wèn)題：（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）要使該游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額超過(guò)1000元，每天至少賣(mài)出多少?gòu)堥T(mén)票？【參考答案】【自我檢測(cè)】1．答案：（1）√（2）√2．答案：C3．答案：D探究一、利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題1．【解】（1）設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本G（x）＝20000＋100x，利潤(rùn)f（x）＝R（x）－G（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400）,60000－100x（x>400）))。（2）由0≤x≤400時(shí)，f（x）＝－eq\f(1,2)（x－300）2＋25000.所以當(dāng)x＝300時(shí)，f（x）取得最大值25000元。當(dāng)x＞400時(shí)，f（x）＝60000－100x是減函數(shù)，f（x）＜60000－100×400＝20000＜25000.所以當(dāng)x＝300時(shí)，f（x）的最大值為25000元。即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為25000元。2．解析：總利潤(rùn)＝總收入－成本，L（Q）＝4Q－eq\f(1,200)Q2－（200＋Q）＝－eq\f(1,200)（Q－300）2＋250.所以產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為300單位時(shí)，總利潤(rùn)L（Q）的最大值是250萬(wàn)元。答案：2503003．【解】（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝100＋100×1．2%＝100（1＋1．2%）；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝100（1＋1．2%）＋100（1＋1．2%）×1．2%＝100（1＋1．2%）2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝100（1＋1．2%）2＋100（1＋1．2%）2×1．2%＝100（1＋1．2%）3；…故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100（1＋1．2%）x（x∈N*）。（2）當(dāng)x＝10時(shí)，y＝100×（1＋1．2%）10＝100×1．01210≈112．7．故10年后該縣約有112．7萬(wàn)人。（3）設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬(wàn)，即100×（1＋1．2%）x＝120，解得x＝log1．012eq\f(120,100)≈16．故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)。4．解：（1）當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2．3．因?yàn)閤∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*，當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3（x－6）]x－115．令[50－3（x－6）]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*，故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N*，))定義域?yàn)閧x|3≤x≤20，x∈N*}。（2）對(duì)于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185，對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(811,3)（6＜x≤20，x∈N*）。當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270，因?yàn)?70＞185，所以當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為11元時(shí)，才能使日凈收入最多。5．【解】以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出A，B兩種商品的散點(diǎn)圖分別如圖①②所示。觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬。取點(diǎn)（4，2）為最高點(diǎn)，則y＝a（x－4）2＋2，再把點(diǎn)（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2．B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬。設(shè)y＝kx＋b，取點(diǎn)（1，0.25）和點(diǎn)（4，1），代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x。故前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.25x。設(shè)第七個(gè)月投入A，B兩種商品的資金分別為xA，xB（萬(wàn)元），總利潤(rùn)為W（萬(wàn)元），那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB.))所以W＝－0.15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋0.15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋2．6．所以當(dāng)xA≈3．2時(shí)W最大約為4．1，此時(shí)xB≈8．8．即該經(jīng)營(yíng)者第七個(gè)月把12萬(wàn)元中的3．2萬(wàn)元投資A種商品，8．8萬(wàn)元投資B種商品，可獲得最大利潤(rùn)約為4．1萬(wàn)元。6．解：（1）由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫(huà)蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，若用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個(gè)來(lái)反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，且上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述，將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c.))解得a＝eq\f(1,200)，b＝－eq\f(3,2)，c＝eq\f(425,2)。所以，刻畫(huà)蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(425,2)。（2）當(dāng)t＝－eq\f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150（天）時(shí)，蘆薈種植成本最低為Q＝eq\f(1,200)×1502－eq\f(3,2)×150＋eq\f(425,2)＝100（元/10kg）。【達(dá)標(biāo)反饋】1．解析：選C．設(shè)6年間平均增長(zhǎng)率為x，則有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1．2．解析：由x＝at－5t2且t＝2時(shí)，x＝100，解得a＝60.所以x＝60t－5t2．由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180，知當(dāng)t＝6時(shí)，x取得最大值為180，即弓箭能達(dá)到的最大高度為180米。答案：1803．解：（1）由圖像知，可設(shè)y