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文檔簡介
2025年四川樂山市中區(qū)高三第一次診斷考試數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.2.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.63.設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.24.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.6.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.7.己知全集為實數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)8.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.9.如圖是計算值的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.10.已知三棱柱的所有棱長均相等,側(cè)棱平面,過作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線為,記直線與直線所成銳角分別為,則這三個角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.11.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.12.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為數(shù)列的前項和,若,,則______.14.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).15.已知,,且,則的最小值是______.16.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)求下列函數(shù)的導數(shù):(1)(2)18.(12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標準長度為,只要誤差的絕對值不超過就認為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測其長度,繪制條形統(tǒng)計圖如圖:(1)估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學期望;(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標準長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時,該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率的最小值.19.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.20.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過點.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點,點為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,(?。┳C明:平分線段(其中為坐標原點);(ⅱ)當取最小值時,求點的坐標.21.(12分)在開展學習強國的活動中,某校高三數(shù)學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組,其中黨員學習組有4名男教師、1名女教師,非黨員學習組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參加學校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學期望.22.(10分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設(shè)且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
討論的取值范圍,然后對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當時,,故切線的斜率變小,當時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當時,,故切線的斜率變大,當時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.2.C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.3.D【解析】
由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項等比數(shù)列得,∴,故選:D.本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
由題可知,,再結(jié)合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題5.D【解析】
由半圓面積之比,可求出兩個直角邊的長度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.6.B【解析】
由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.7.D【解析】
求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補集與交集的運算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.本題考查了交、并、補集的混合運算,考查了對數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.9.B【解析】
根據(jù)計算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
利用圖形作出空間中兩直線所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖,,設(shè)為的中點,為的中點,由圖可知過且與平行的平面為平面,所以直線即為直線,由題易知,的補角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算,考查了學生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學生直觀想象的核心素養(yǎng).11.B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
依次將選項中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當時,在上不單調(diào),故A不正確;當時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當時,在上不單調(diào),故C不正確;當時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導公式的應(yīng)用,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.63【解析】
對進行化簡,可得,再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式進行求解即可【詳解】由數(shù)列為首項為,公比的等比數(shù)列,所以63本題考查等比數(shù)列基本量的求法,當處理復(fù)雜因式時,常用基本方法為:因式分解,約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差和等比的基本性質(zhì)14.【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).15.8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當且僅當時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進一步利用導數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當時,此時,符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,.當,即時,最大.故答案為:.此題考查實際問題中導數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導法則可得結(jié)果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡得到.本題考查復(fù)合函數(shù)的導數(shù),此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導法則可得所求的導數(shù),本題屬于容易題.18.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列,再根據(jù)期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件產(chǎn)品是標準長度的概率為0.4,即可求出隨機抽取2件產(chǎn)品,都不是標準長度產(chǎn)品的概率,由對立事件的概率公式即可得到隨機抽取2件產(chǎn)品,至少有1件是標準長度產(chǎn)品的概率,判斷其是否符合生產(chǎn)要求;當不符合要求時,設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率為,可根據(jù)上述方法求出,解,即可得出最小值.【詳解】(1)由柱狀圖,該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表:00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學期望的估計為.(2)由(1)可知任取一件產(chǎn)品是標準長度的概率為0.4,設(shè)至少有1件是標準長度產(chǎn)品為事件,則,故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率為,由題意,又,解得,所以符合要求時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率的最小值為.本題主要考查離散型隨機變量的期望的求法,相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,對立事件的概率公式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解,意在考查學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解析】
(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回損失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為(元)本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.(1)(2)(?。┮娊馕觯áⅲc的坐標為.【解析】
(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標準方程;(2)(i)設(shè),的中點為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式,結(jié)合三點共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來,由換元法的對勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點的坐標.【詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設(shè),的中點為,(?。┳C明:由,可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得,所以,所以,則直線的斜率為,因為,所以,
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