2023-2024學(xué)年上海市普陀區(qū)長征中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

-2024學(xué)年上海市普陀區(qū)長征中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．2．已知兩點(diǎn)，，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．3．已知圓和圓，觀察可得它們都經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，除此之外，它們還相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)是．4．直線與直線平行，則．5．兩條直線，夾角的大小是．（結(jié)果用反余弦函數(shù)值表示）6．若直線和直線垂直，則．7．在雙曲線中，的取值范圍是．8．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．9．求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且垂直于直線的直線的方程為．10．已知兩條直線；，當(dāng)兩直線夾角在變動時(shí)，則的取值范圍為．11．若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為．12．已知，，過軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是，，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13．方程表示圓的充要條件是A． B．或 C． D．14．圓的圓心到直線的距離為A． B． C． D．215．“的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為80”是“或”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16．已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，，是橢圓上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．已知兩條直線，，求分別滿足下列條件時(shí)的值：（1）與相交；（2）與重合．18．在△中，，，．（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求邊所在直線的方程；（2）求△的重心到邊所在直線的距離．19．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點(diǎn)．（1）若的傾斜角為，△是等邊三角形，求的值；（2）設(shè)，若直線的斜率等于2，求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．20．（18分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．（1）求證：△是等邊三角形；（2）若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求此時(shí)橢圓的方程；（3）若，直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，，且，求的斜率．21．（18分）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，圓與直線相交于、兩點(diǎn)，與線段相交于點(diǎn)，是線段上靠近焦點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且，如圖所示．（1）求證：；（2）求拋物線的方程；（3）過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線、的斜率分別為，，求的值．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號13141516答案BBCC一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解：由題意可知：，，即，，則，且焦點(diǎn)在軸上，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．2．已知兩點(diǎn)，，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解：圓的直徑為線段，圓心坐標(biāo)為，半徑．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．3．已知圓和圓，觀察可得它們都經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，除此之外，它們還相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)是．解：聯(lián)立兩圓方程，解得或，即可得這點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．4．直線與直線平行，則．解：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不滿足題意；當(dāng)且時(shí)，兩直線斜率均存在，需滿足，解得或．又當(dāng)時(shí)，與重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，與平行，滿足題意．故答案為：．5．兩條直線，夾角的大小是．（結(jié)果用反余弦函數(shù)值表示）解：設(shè)直線與直線的夾角為，由題意可知：直線的斜率，其方向向量可以為，直線的斜率，其方向向量可以為，所以，所以直線與直線的夾角為．故答案為：．6．若直線和直線垂直，則10．解：直線的斜率為，直線的斜率為，由兩直線垂直可得，解得．故答案為：10．7．在雙曲線中，的取值范圍是，，．解：由雙曲線，可得：，所以，則，故的取值范圍是，，．故答案為：，，．8．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．解：根據(jù)雙曲線方程可得：，則，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．9．求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且垂直于直線的直線的方程為．解：聯(lián)立，解得交點(diǎn)．設(shè)垂直于直線的直線的方程為，把代入上式可得：．要求的直線方程為：．故答案為：．10．已知兩條直線；，當(dāng)兩直線夾角在變動時(shí)，則的取值范圍為，，．解：直線的傾斜角為，令直線的傾斜角為，則有過原點(diǎn)的直線，的夾角在內(nèi)變動時(shí)，可得直線的傾斜角的范圍是，，．的斜率的取值范圍是，，，即的取值范圍為，，故答案為：，，11．若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為．解：由橢圓可得，由雙曲線可得，所以，又，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；所以，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；故答案為：．12．已知，，過軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是，，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為．解：的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設(shè)，則，，所以，取，，則，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，此時(shí)直線：，令，則，．故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13．方程表示圓的充要條件是A． B．或 C． D．解：由知或．故選：．14．圓的圓心到直線的距離為A． B． C． D．2解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得：，所以圓的圓心為，則圓心到直線的距離為．故選：．15．“的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為80”是“或”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：因?yàn)榈恼归_式中的系數(shù)為，所以或，所以“的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為80”是“或”的充要條件．故選：．16．已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，，是橢圓上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．解：連接，設(shè)，則，，，，即，在中，，即，，，則，，，在△中，，即，，，又，．故選：．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．已知兩條直線，，求分別滿足下列條件時(shí)的值：（1）與相交；（2）與重合．解：（1）直線，，當(dāng)，即且時(shí)，與相交，（2）由（1）知當(dāng)或時(shí)，直線平行或重合，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，兩直線重合．18．在△中，，，．（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求邊所在直線的方程；（2）求△的重心到邊所在直線的距離．解：（1）在△中，，，，則，則所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如下平面直角坐標(biāo)系：所以，，則邊所在直線的方程為，化簡可得：；（2）由于，，，所以△的重心坐標(biāo)為，即重心，所以△的重心到邊所在直線的距離．19．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點(diǎn)．（1）若的傾斜角為，△是等邊三角形，求的值；（2）設(shè)，若直線的斜率等于2，求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，則可得，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，不妨設(shè)，，如下圖所示：將點(diǎn)代入可得，又；解得；由△是等邊三角形可得，即，聯(lián)立解得或（舍；所以可得；（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，此時(shí)又直線的斜率等于2，所以直線方程為，不妨設(shè)，，，，聯(lián)立直線和雙曲線方程，整理可得，顯然△，由韋達(dá)定理可得，即，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為16．20．（18分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．（1）求證：△是等邊三角形；（2）若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求此時(shí)橢圓的方程；（3）若，直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，，且，求的斜率．解：（1）證明：設(shè)，，由，，則，，因?yàn)?，所以，解得：，故，由，，則，即，所以，則，又因?yàn)?，所以△是等邊三角形；?）由（1）知，，故，此時(shí)點(diǎn)，又△為直角三角形，故其外接圓圓心為，半徑為，所以，解得：，，，所以橢圓的方程為：．（3）若，則，，所以橢圓的方程為：，則，，，①當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，則，，，則，由，化簡得：，則有，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，化簡得：，即，即，則，所以直線的斜率．②當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則，，所以，不滿足題意．綜上所述，直線的斜率．21．（18分）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，圓與直線相交于、兩點(diǎn)，與線段相交于點(diǎn)，是線段上靠近焦點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且，