浙江省紹興市中職學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

紹興市中職學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期第一次聯(lián)考試卷科目：數(shù)學(xué)適用班級：23級高考班考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分出卷人：命題小組考試說明：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，1-10小題每題2分，11-20每小題3分，共50分）（在每小題列出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的，錯涂、多涂或者未涂均不得分）1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則此數(shù)列是（）A.以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列 B.以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列C.以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列 D.不是等差數(shù)列【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和，再根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式是，所以，，所以，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.故選：.2.數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察所給數(shù)列，尋找與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，即可得到通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用來調(diào)節(jié)，又因?yàn)?，所以通?xiàng)公式為.故選：.3.已知等差數(shù)列中，，則公差（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可解得.【詳解】由題可得，則解得，故選：D4.等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可解得.【詳解】由題，為等比數(shù)列，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，不成立，故，故選：A5.在數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得通項(xiàng)公式，據(jù)此的值即可得解.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，因此.故選：.6.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的第項(xiàng)等于（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與之間的關(guān)系即可解得.【詳解】由題，數(shù)列的前項(xiàng)和，則，故選：C7.數(shù)列是等比數(shù)列，下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對A、B：因?yàn)?，所以A、B項(xiàng)錯誤；對C：，故C項(xiàng)正確；對D：，故D項(xiàng)錯誤.故選：C.8.在等比數(shù)列an中，已知，則首項(xiàng)和公比分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，再由公比求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，則公比.故選：B.9.等差數(shù)列an中，則（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可解得.【詳解】由題，數(shù)列為等差數(shù)列，，則，故選：D.10.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，則等于（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】由題意知：，解得或，當(dāng)時(shí)，前三項(xiàng)為，不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，前三項(xiàng)為，構(gòu)成以的等比數(shù)列，所以.故選：.11.若數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列an的公比為，因此.故選：.12.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可解得.【詳解】由題，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，又知，則，故，故選：C13.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列與之間的關(guān)系和等比數(shù)列的定義即可解得.【詳解】由題，，，又知數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，解得，故選：A14.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】因?yàn)?故選：A.15.等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件求出公差，進(jìn)而寫出的表達(dá)式，然后令，解方程即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，所以，解得，所以，令，，解得，故選：.16.等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．若，則（）．A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】利用成等差數(shù)列，得出，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q的值；接下來運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得出.【詳解】因成等差數(shù)列，則，又因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，且，則整理為，解得，所以.故選：C.17.等比數(shù)列an中，如果，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系即可解得.【詳解】由題，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，則，則，，故選：A18.數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A.1000 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可解得.【詳解】由題，數(shù)列都是等差數(shù)列，則設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即.故選：D19.等差數(shù)列an中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值，再由代入求值即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)椋?，即，，即，所以，所?故選：.20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知與等比數(shù)列求和公式寫出數(shù)列通項(xiàng)公式，再由分組求和即可解得.【詳解】由題，數(shù)列通項(xiàng)公式，故，故選：D.二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）21.數(shù)列，依次規(guī)律，此數(shù)列的第項(xiàng)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解得.【詳解】由題可知，數(shù)列通項(xiàng)公式，則，故答案為：22.數(shù)列中，，則________.【答案】11【解析】【分析】由累加法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)椋?，所以，所以，則.故答案為：11.23.與的等比中項(xiàng)是__________.【答案】##2或-2【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的定義即可求解.【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)為，所以，解得.故答案為：.24.已知是等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和，則其公差為________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)求得的值，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及求得，進(jìn)而求出公差.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因此公差?故答案為：1225.在等比數(shù)列中，若公比，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】由題意知，，因?yàn)?，所以，解?所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.26.在等比數(shù)列中，若，若，則________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)即可解得.【詳解】由題，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又知，則，故答案為：27.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則________.【答案】【解析】【分析】由題意利用裂項(xiàng)相消法可求出，再令，求得的值即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為：由題意可得：，解得：.故答案為：.三、解答題（本大題共7小題共72分）（解答應(yīng)寫出文字說明及演算步驟）28.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求：（1）；（2）；（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)數(shù)列與之間的關(guān)系即可解得.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由上得時(shí)符合，所以.29.已知等差數(shù)列滿足：，求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出此時(shí)的值.【答案】（1）（2）最大值為，【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列前項(xiàng)和的最大值和此時(shí)的值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，當(dāng)時(shí)，取得最大值，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，因此數(shù)列前項(xiàng)和的最大值為，此時(shí)的.30.已知等比數(shù)列滿足：，且，求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可得到所求通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得答案.【小問1詳解】由題意可得：，化簡可得，解得：或，因?yàn)?，所以，所以，因此通?xiàng)公式為：.【小問2詳解】由（1）可得：，因此數(shù)列前項(xiàng)和.31.已知等差數(shù)列滿足：，公差，且恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的概念結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程可求出的值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)求值即可.（2）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前前項(xiàng)和公式即可求值.【小問1詳解】已知an為等差數(shù)列，由恰為等比數(shù)列bn可得，即，其中，則，化簡可得，解得（舍）或，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：，數(shù)列bn中，，，即，則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為：.【小問2詳解】由（1）可知，，，則，所以.32.已知數(shù)列滿足：且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過在兩邊構(gòu)造相同形式得到遞推數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等比數(shù)列.（2）根據(jù)（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列求出的通項(xiàng)公式，再因此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以?shù)列為公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】因?yàn)?，所?由（1）可知，，則.當(dāng)時(shí)，符合題意，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.33.某公司年初投入萬元引進(jìn)一條高科技生產(chǎn)線，第一年投入10萬元對該生產(chǎn)線進(jìn)行維護(hù)，且以后每年投入的維護(hù)費(fèi)逐年遞增5萬元，預(yù)估此生產(chǎn)線從年開始每年可收入萬元.（1）若an表示前年的總維護(hù)費(fèi)，求：；（2）另不考慮其他因素，問哪年該生產(chǎn)線開始盈利.【答案】（1），（2）年【解析】【分析】（1）根據(jù)題中規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可解得.（2）根據(jù)已知列出不等式，結(jié)合一元二次不等式求解即可.小問1詳解】由題意知：，每一年的維護(hù)費(fèi)可構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為5的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由題，第年末，利潤共有，若