直接證明和間接證明教案

直接證明和間接證明教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能理解直接證明（綜合法、分析法）和間接證明（反證法）的概念及證明思路。熟練掌握綜合法、分析法、反證法的證明步驟，并能運(yùn)用它們證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。2.過程與方法目標(biāo)通過對(duì)典型案例的分析，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題出發(fā)，探索證明方法，再到用規(guī)范格式進(jìn)行證明的過程，提高學(xué)生的推理論證能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的理性之美，感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)綜合法、分析法、反證法的證明原理和證明步驟。運(yùn)用綜合法、分析法、反證法證明數(shù)學(xué)命題。2.教學(xué)難點(diǎn)理解綜合法、分析法、反證法的證明思路，選擇合適的證明方法解決問題。分析法證明過程中如何正確地尋找使結(jié)論成立的充分條件。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合

四、教學(xué)過程

第一課時(shí)：綜合法1.導(dǎo)入通過回顧三角形面積公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生思考如何從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論，從而引出綜合法的概念。2.綜合法的概念教師講解：綜合法是從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理、論證，最后推出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。用符號(hào)表示為：$P\RightarrowQ_1$，$Q_1\RightarrowQ_2$，$Q_2\RightarrowQ_3$，$\cdots$，$Q_n\RightarrowQ$，其中$P$表示已知條件，$Q$表示要證明的結(jié)論。3.例題講解例1：已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求證：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。分析：從已知條件$a+b+c=1$出發(fā)，利用完全平方公式進(jìn)行變形，逐步推導(dǎo)出$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。證明：因?yàn)?(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$。又因?yàn)?ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c$時(shí)等號(hào)成立）。所以$1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leq3(a^2+b^2+c^2)$。則$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$。例2：在$\triangleABC$中，三個(gè)內(nèi)角$A,B,C$的對(duì)邊分別為$a,b,c$，且$A,B,C$成等差數(shù)列，$a,b,c$成等比數(shù)列，求證：$\triangleABC$為等邊三角形。分析：根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行推理。證明：因?yàn)?A,B,C$成等差數(shù)列，所以$2B=A+C$。又因?yàn)?A+B+C=\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$。因?yàn)?a,b,c$成等比數(shù)列，所以$b^2=ac$。由余弦定理得$b^2=a^2+c^22ac\cosB=a^2+c^2ac$。把$b^2=ac$代入上式得$ac=a^2+c^2ac$，即$(ac)^2=0$，所以$a=c$。又因?yàn)?B=\frac{\pi}{3}$，所以$\triangleABC$為等邊三角形。4.課堂練習(xí)已知$a,b\inR$，且$a+b=1$，求證：$a^3+b^3\geq\frac{1}{4}$。在$\triangleABC$中，已知$\sinA\sinB+\sinA\sinC+\cos2A=1$，求證：$\triangleABC$是等腰三角形。5.課堂小結(jié)綜合法的證明思路是"由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。證明過程中要注意運(yùn)用已知的定義、公理、定理等，以及一些基本的代數(shù)變形和邏輯推理。強(qiáng)調(diào)書寫證明過程時(shí)要條理清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。

第二課時(shí)：分析法1.導(dǎo)入提出問題：如何證明$\sqrt{3}+\sqrt{7}<2\sqrt{5}$？引導(dǎo)學(xué)生思考從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的條件，從而引出分析法。2.分析法的概念教師講解：分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法。用符號(hào)表示為：$Q\LeftarrowP_1$，$P_1\LeftarrowP_2$，$P_2\LeftarrowP_3$，$\cdots$，$P_n\LeftarrowP$，其中$Q$表示要證明的結(jié)論，$P$表示已知條件。3.例題講解例1：已知$a>0,b>0$，求證：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。分析：從結(jié)論$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件。證明：要證$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，只要證$a+b\geq2\sqrt{ab}$。只要證$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，即證$(\sqrt{a}\sqrt)^2\geq0$。因?yàn)?(\sqrt{a}\sqrt)^2\geq0$顯然成立，所以$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。例2：求證：$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$。分析：通過分析法將不等式兩邊平方，逐步化簡(jiǎn)找到使結(jié)論成立的條件。證明：要證$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，只要證$(\sqrt{6}+\sqrt{7})^2>(2\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$。即證$6+7+2\sqrt{42}>8+5+4\sqrt{10}$。即證$2\sqrt{42}>4\sqrt{10}$，即證$\sqrt{42}>2\sqrt{10}$。只要證$42>40$，顯然成立，所以$\sqrt{6}+\sqrt{7}>2\sqrt{2}+\sqrt{5}$。4.課堂練習(xí)已知$a,b,c\inR^+$，求證：$\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$。求證：$\sqrt{2}+\sqrt{10}<2\sqrt{6}$。5.課堂小結(jié)分析法的證明思路是"執(zhí)果索因"，從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件。證明過程中要注意每一步推理的依據(jù)，確保得到的條件是充分的。分析法和綜合法是兩種不同的證明方法，但在實(shí)際證明中可以相互結(jié)合使用。

第三課時(shí)：綜合法與分析法的綜合應(yīng)用1.導(dǎo)入通過回顧綜合法和分析法的概念及特點(diǎn)，提出問題：在實(shí)際證明中，如何根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的證明方法？或者如何將兩種方法結(jié)合起來使用？從而引出本節(jié)課的主題。2.例題講解例1：已知$a,b,c$是不全相等的正數(shù)，求證：$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$。分析：可先用分析法從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的條件，再用綜合法進(jìn)行證明。證明：要證$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$，只要證$b^2+c^2\geq2bc$，$c^2+a^2\geq2ca$，$a^2+b^2\geq2ab$同時(shí)成立。因?yàn)?b^2+c^2\geq2bc$，$c^2+a^2\geq2ca$，$a^2+b^2\geq2ab$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c$時(shí)等號(hào)不成立）。又因?yàn)?a,b,c$是不全相等的正數(shù)，所以上述三個(gè)不等式不能同時(shí)取等號(hào)。由綜合法得：$a(b^2+c^2)\geq2abc$，$b(c^2+a^2)\geq2abc$，$c(a^2+b^2)\geq2abc$。三式相加得$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc$。例2：設(shè)$a,b,c$為一個(gè)三角形的三邊，$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$，且$s^2=2ab$，求證：$s<2a$。分析：先用分析法從結(jié)論$s<2a$出發(fā)，逐步轉(zhuǎn)化為已知條件，再用綜合法進(jìn)行證明。證明：要證$s<2a$，只要證$\frac{1}{2}(a+b+c)<2a$，即證$b+c<3a$。因?yàn)?s^2=2ab$，即$(\frac{1}{2}(a+b+c))^2=2ab$，展開得$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=8ab$。即$b^2+c^22ab+2bc+2ca=0$，即$(b+c)^22ab+2bc+2ca=0$。要證$b+c<3a$，只要證$(b+c)^2<9a^2$，即證$(b+c)^29a^2<0$。把$(b+c)^22ab+2bc+2ca=0$變形為$(b+c)^2=2ab2bc2ca$。則只要證$2ab2bc2ca9a^2<0$，即證$2a(bc\frac{9}{2}a)<0$。因?yàn)?b+c>a$，所以$bc\frac{9}{2}a<0$，$2a>0$，所以$2a(bc\frac{9}{2}a)<0$成立。由綜合法得：因?yàn)?b+c>a$，所以$b+c<3a$，即$\frac{1}{2}(a+b+c)<2a$，所以$s<2a$。3.課堂練習(xí)已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求證：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}$。已知$a,b,c$是正實(shí)數(shù)，且$ab+bc+ca=1$，求證：$a+b+c\geq\sqrt{3}$。4.課堂小結(jié)綜合法和分析法各有特點(diǎn)，在證明問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的證明方法，有時(shí)也可將兩種方法結(jié)合使用。選擇證明方法的關(guān)鍵是分析問題的已知條件和結(jié)論之間的關(guān)系，找到合適的推理途徑。強(qiáng)調(diào)在證明過程中要注意邏輯的嚴(yán)密性和推理的合理性。

第四課時(shí)：反證法1.導(dǎo)入通過講述"道旁苦李"的故事，引導(dǎo)學(xué)生思考王戎是如何得出"樹在道邊而多子，此必苦李"的結(jié)論的，從而引出反證法的概念。2.反證法的概念教師講解：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法的步驟：（1）反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2）歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。（3）存真：由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立。3.例題講解例1：已知$a,b,c\in(0,1)$，求證：$(1a)b,(1b)c,(1c)a$不能都大于$\frac{1}{4}$。分析：假設(shè)$(1a)b,(1b)c,(1c)a$都大于$\frac{1}{4}$，然后推出矛盾。證明：假設(shè)$(1a)b,(1b)c,(1c)a$都大于$\frac{1}{4}$。因?yàn)?a,b,c\in(0,1)$，所以$1a>0$，$1b>0$，$1c>0$。則$\frac{(1a)+b}{2}\geq\sqrt{(1a)b}>\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。同理，$\frac{(1b)+c}{2}>\frac{1}{2}$，$\frac{(1c)+a}{2}>\frac{1}{2}$。三式相加得：$\frac{(1a)+b}{2}+\frac{(1b)+c}{2}+\frac{(1c)+a}{2}>\frac{3}{2}$。即$\frac{3}{2}>\frac{3}{2}$，矛盾。所以$(1a)b,(1b)c,(1c)a$不能都大于$\frac{1}{4}$。例2：求證：$\sqrt{2}$是無理數(shù)。分析：假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù)，然后推出矛盾。證明：假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù)，則可設(shè)$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（$p,q$為互質(zhì)的正整數(shù)）。兩邊平方得$2=\frac{p^2}{q^2}$，即$p^2=2q^2$。所以$p^2$是偶數(shù)，