河北省唐縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.已知是兩個相互垂直的單位向量，且向量，則（）A. B. C. D.2.先把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對稱軸可以是（）A. B. C. D.3.已知向量、滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)上有兩個零點，則m的取值范圍是A.（1,2） B.[1,2） C.（1,2] D.[l,2]5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.已知，，，均為銳角，則（）A. B. C. D.7.如圖，在中，D是中點，E，F(xiàn)是上的兩個三等分點．若，，則的值為（）A. B. C.1 D.28.已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共18分）9.下列命題中的假命題是（）A.若為非零向量，則與同向 B.設(shè)，為實數(shù)，若，則與共線C.若則 D.的充要條件是且∥10.已知平面向量，，則下列說法正確的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共線C.不可能為3 D.若，則在上的投影向量為11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為三、填空題（共15分）12.在中，若，是的方程的兩個實根，則____.13.已知，，與的夾角為，若向量與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍是：______．14.已知三邊為4，6，8，其外心為O，則的值為__四、解答題（共77分）15.已知（1）求的值；（2）求的值．16.已知函數(shù)（1）化簡，并用“五點法”作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象簡圖．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．17.如圖，點分別是矩形的邊上的兩點，，．（1）若是線段靠近的三等分點、是的中點，求；（2）若，求的范圍；18.如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．（1）若，求實數(shù)x，y的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）如圖2，過點直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．19.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池形狀為矩形(四個頂點都落在扇形邊界上)；再建造一個觀景臺，形狀為，記（1）當(dāng)角取何值時，荷花池的面積最大？并求出最大面積.（2）若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元不計橋的寬度；且建造觀景臺的費用為每平方千米16萬元，求建造總費用的范圍.

高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.已知是兩個相互垂直的單位向量，且向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：由題意得出，先求出，即可求解；法二：不妨設(shè)，根據(jù)向量坐標表示的運算法則及模的計算即可求解．【詳解】法一：由題意得，所以，則；法二：因為是兩個相互垂直的單位向量，且向量，所以不妨設(shè)，則，故，則，故選：A．2.先把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對稱軸可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡整理函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的變換得到函數(shù)，令，求得函數(shù)的對稱軸.【詳解】由題意可得：，經(jīng)過題中的一系列變換得到，令，，解得：，，對各項驗證可得：當(dāng)時，.故選：D3.已知向量、滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出，再利用投影向量的定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量、的夾角為，因為，可得，所以，在上的投影向量為.故選：C.4.已知函數(shù)上有兩個零點，則m的取值范圍是A.（1,2） B.[1,2） C.（1,2] D.[l,2]【答案】B【解析】【詳解】試題分析：利用輔助角公式化簡函數(shù)為,令,則,所以此時函數(shù)即為.令有,根據(jù)題意可知在上有兩個解,根據(jù)在函數(shù)圖像可知,

.考點：輔助角公式;;零點判斷;函數(shù)圖像.5已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用兩角和差正弦公式計算，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即可.【詳解】已知，且，則，所以，則.故選：C.6.已知，，，均為銳角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用同角基本關(guān)系式求和，再利用角的變換的值.【詳解】是銳角，，，，，且，，，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查角的變換求三角函數(shù)值，本題的關(guān)鍵是角的變換，即變形，即求的值.7.如圖，在中，D是的中點，E，F(xiàn)是上的兩個三等分點．若，，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合圖形由數(shù)量積的運算率和向量加法可得.【詳解】設(shè)，．同理，所以聯(lián)立得，所以．故選：B8.已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷的單調(diào)性，令，可得為奇函數(shù)，原式等價于，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性得到在上恒成立，求出，即可得解.【詳解】因為與在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對于函數(shù)，由，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，，則，所以為奇函數(shù)，原式等價于，進而得在上恒成立，所以上恒成立，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故選：D二、多選題（共18分）9.下列命題中假命題是（）A.若為非零向量，則與同向 B.設(shè)，為實數(shù)，若，則與共線C.若則 D.的充要條件是且∥【答案】BCD【解析】【分析】由單位向量可得A正確；舉反例可得B錯誤；舉反例可得C錯誤；當(dāng)兩向量互為相反向量時可得D錯誤.【詳解】對于A，若為非零向量，表示方向相同的單位向量，所以與同向，故A正確；對于B，若，則與不一定共線，故B錯誤；對于C，若，則不一定共線；故C錯誤；對于D，當(dāng)兩向量互為相反向量時也滿足且∥，但，故D錯誤；故選：BCD10.已知平面向量，，則下列說法正確的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共線C.不可能為3 D.若，則在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示可判斷A；根據(jù)向量平行的坐標表示可判斷B；根據(jù)向量模長坐標公式可判斷C；根據(jù)在上的投影向量為可判斷D.【詳解】由題意知，.對于選項A，若向量，則，即，顯然此式能成立，故A錯；對于選項B，若向量，則有，即，即，顯然此式不成立，故B正確；對于選項C，，則當(dāng)時，，故C錯；對于選項D，若，則，，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BD11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點法作圖求出，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對于D，函數(shù)的圖象對稱軸為，當(dāng)與關(guān)于直線對稱時，的最大值與最小值的差最小，此時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，而，當(dāng)為奇數(shù)時，，而，最大值與最小值的差為1；當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當(dāng)或時均可取到等號，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點定A，求出周期定，由圖象上特殊點求.三、填空題（共15分）12.在中，若，是的方程的兩個實根，則____.【答案】【解析】【分析】列出韋達定理，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式計算可得.【詳解】因為，是的方程的兩個實根，所以，所以.故答案為：13.已知，，與的夾角為，若向量與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍是：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意便知，從而根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算便可得出，解該不等式，剔除夾角為零的情況，便可得出的取值范圍.【詳解】解：與夾角為銳角時，；解得；當(dāng)時，與分別為與同向，夾角為零，不合題意，舍去；∴實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】考查數(shù)量積的運算及其計算公式，以及向量夾角的概念，解一元二次不等式，此題容易漏掉考慮向量同向的情況.14.已知的三邊為4，6，8，其外心為O，則的值為__【答案】【解析】【分析】利用外心的特點，取的中點，得出，利用向量運算計算，同理得出，進而可得答案.【詳解】取的中點，則，即；所以，同理可得，所以.故答案為：四、解答題（共77分）15.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角的三角函數(shù)關(guān)系得到，再由二倍角的正切公式求出；（2）由誘導(dǎo)公式化簡再由同角的三角函數(shù)可得.【小問1詳解】，解得，所以.【小問2詳解】，16.已知函數(shù)（1）化簡，并用“五點法”作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象簡圖．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．【答案】（1），作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）先由二倍角的正弦公式和輔助角公式對函數(shù)化簡，然后由五點法畫圖；（2）由圖象平移的性質(zhì)結(jié)合偶函數(shù)和誘導(dǎo)公式可解.【小問1詳解】由可得，00100故在區(qū)間內(nèi)的圖象如下所示：【小問2詳解】，因為為偶函數(shù)，所以，因為，故m最小值為17.如圖，點分別是矩形的邊上的兩點，，．（1）若是線段靠近的三等分點、是的中點，求；（2）若，求的范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立如圖所示直角坐標系，利用坐標表示求夾角的余弦即可；（2）結(jié)合圖形，由向量的加法和數(shù)量積的定義求解即可.【小問1詳解】以點為坐標原點，、所在的直線為軸?軸建立直角坐標系，則，，，，所以，，，．【小問2詳解】由，，故，則，所以，由，故．18.如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．（1）若，求實數(shù)x，y的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，進而求解；（2）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示,又因為兩向量共線所以具有倍數(shù)關(guān)系，求出的值；（3）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，又因為三點共線，所以系數(shù)之和為1，得出，然后應(yīng)用基本不等式中1的代換求出的最小值.【小問1詳解】因為所以，所以,所以.【小問2詳解】由題意可知：，，又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得,，所以，解得：，所以.【小問3詳解】易知，由（2）知，又因為三點共線,所以，又，所以：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.19.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形(四個頂點都落在扇形邊界上)；再建造一個觀景臺，形狀為，記（1）當(dāng)角取何值時，荷花池的面積最大？并求出最大面積.（2）若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元不計橋的寬度；且建造觀景臺的費用為每平方千米